Kreisbogenlängen-Rechner

Der Kreisbogenlängen-Rechner misst die gekrümmte Entfernung entlang eines beliebigen Teils eines Kreises, von einem kleinen Ausschnitt bis zum vollständigen Umfang. Er akzeptiert sechs verschiedene Ausgangsmessungen, sodass Sie den Wert verwenden können, den Sie bereits haben. Befolgen Sie diese Schritte, um in weniger als einer Minute eine korrekte Antwort zu erhalten.

1. Eingabemethode wählen. Wählen Sie Radius, Durchmesser, Vollständiger Kreisumfang, Sehnenlänge, Vollständige Kreisfläche oder Sektorfläche. Das Eingabefeld, seine Beschriftung und seine Einheitenliste ändern sich entsprechend der gewählten Methode.
2. Messung eingeben. Geben Sie den Wert in das Eingabefeld ein. Bei Flächenmethoden verwenden Sie die Liste mit quadrierten Einheiten (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Zentriwinkel eingeben. Geben Sie den Winkel in Grad oder Radiant über den DEG/RAD-Umschalter ein, oder ziehen Sie den Winkelschieberegler von 0° bis 360°. Das Live-Diagramm und das Ergebnis aktualisieren sich, während Sie ihn bewegen.
4. Bei Bedarf Start- und Endwinkel festlegen. Der Standard-Sweep beginnt bei 0° und verläuft gegen den Uhrzeigersinn. Ändern Sie den Startwinkel, den Endwinkel oder die Richtung, um einen Bogen an einer beliebigen Stelle des Kreises zu messen. Der Sweep, nicht die Position, bestimmt die Bogenlänge.
5. Eingabe- und Ausgabeeinheiten wählen. Der Rechner wandelt Ihre Eingabe in eine einheitliche interne Einheit um, rechnet, und wandelt dann die Antwort in Ihre Ausgabeeinheit um. Die Zahl ändert sich mit der Einheit, die Länge nicht.
6. Genauigkeit wählen. Wählen Sie 2, 4, 6 oder 8 Dezimalstellen. Die Standardeinstellung ist 4. Der Rechner verwendet intern immer π in voller Genauigkeit und rundet nur das angezeigte Ergebnis.
7. Auf Berechnen klicken. Das Hauptergebnis ist die ausgewählte Bogenlänge mit ihrer Klassifizierung: Bogen der Länge null, kleiner Bogen, Halbkreis, großer Bogen oder vollständiger Kreis. Darunter erhalten Sie den Radius, den Durchmesser, den vollständigen Umfang, den komplementären Bogen, die Sehnenlänge, die Sektorfläche, die Kreissegmentfläche, den Bogenprozentsatz, beide Winkelformen und das Bogen-Sehnen-Verhältnis.
8. Das Diagramm erkunden. Das Live-Kreisdiagramm zeichnet den vollständigen Kreis, hebt den ausgewählten Bogen in Gold hervor und markiert den Mittelpunkt O, die Radiuslinien, die Sehne und die Endpunkte. Verwenden Sie die Umschalter, um Radius, Durchmesser, Sehne, Mittelpunkt, Winkelmarkierung sowie die kleinen und großen Bögen ein- oder auszublenden.
9. Kopieren, drucken oder zurücksetzen. Verwenden Sie Ergebnis kopieren, um die Antwort in die Zwischenablage zu legen, Zusammenfassung drucken für einen einfachen Bericht, oder Zurücksetzen, um das Panel zu leeren. Die Voreinstellungs-Schaltflächen laden verifizierte Beispiele sofort.

Probieren Sie ein Beispiel. Radius 5 mit einem Winkel von 60° ergibt einen Bogen von 5.2359877560 Einheiten. Radius 8 mit 90° ergibt 12.5663706144 Einheiten. Radius 4 mit 270° ergibt einen großen Bogen von 18.8495559215 Einheiten. Durchmesser 14 mit 120° ergibt 14.6607657168 Einheiten. Radius 10 mit 180° ergibt den Halbkreisbogen 31.4159265359 Einheiten, und Radius 6 mit 360° ergibt den vollen Umfang 37.6991118431 Einheiten.

Wichtige Tipps. Halten Sie die Winkeleinheit einheitlich: 60° und 1.0471975512 Radiant sind derselbe Winkel, aber 60 Radiant sind nicht 60°. Die Bogenlänge ist nur die gekrümmte Entfernung; die Sehne ist eine andere Messung und ist immer kürzer, außer bei einem Bogen der Länge null. Wenn Sie einen Durchmesser eingeben, halbiert der Rechner ihn zuerst, um den Radius zu finden. Eine Messung von null oder eine negative Messung ist kein gültiger Kreis, daher weist der Rechner sie zurück, statt eine irreführende Antwort zu zeigen.

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in einem festen Abstand, dem Radius, von einem Mittelpunkt O. Ein Bogen ist ein zusammenhängender Teil des Kreises zwischen zwei Punkten auf ihm. Die Bogenlänge ist die Entfernung, die Sie zurücklegen würden, wenn Sie entlang der Kurve von einem Endpunkt zum anderen laufen und dabei die ganze Zeit auf dem Kreis bleiben.

Stellen Sie sich eine kreisförmige Laufbahn vor. Die Bogenlänge ist die Entfernung entlang der Bahn zwischen zwei Toren. Die gerade Linie, die zwischen denselben zwei Toren über das Innenfeld schneidet, ist die Sehne, und sie ist kürzer. Der Unterschied ist wichtig: Ein Läufer folgt der Kurve, also zählt die gekrümmte Entfernung.

Jeder Kreis hat dieselben Teile, skaliert nach seinem Radius. Der Mittelpunkt O ist der feste Punkt. Der Radius r verläuft von O zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis. Der Durchmesser d verläuft von einer Seite zur anderen durch O und ist immer doppelt so groß wie der Radius. Der Umfang C ist die Entfernung einmal ganz herum, C = 2πr. Der Zentriwinkel θ ist der Winkel bei O zwischen den beiden Radien, die zu den Bogenendpunkten verlaufen, und er bestimmt, welchen Anteil des Umfangs der Bogen abdeckt.

Zwei Punkte auf einem Kreis erzeugen immer zwei Bögen: den kürzeren, den kleinen Bogen, und den längeren, den großen Bogen. Zusammen ergeben sie den vollständigen Umfang. Welchen Sie brauchen, hängt von Ihrer Aufgabe ab, und der Rechner zeigt beide, sodass Sie nie raten müssen.

Die Bogenlänge ist eine eindimensionale Messung, eine Länge, und wird daher in einfachen Einheiten wie cm, m oder Zoll angegeben. Sie ist keine Fläche und kein Winkel. Diese drei Größen auseinanderzuhalten, ist der erste Schritt, um jede Kreisberechnung richtig zu machen.

Die Bogenlänge eines Kreises ergibt sich direkt aus dem Umfang eines vollständigen Kreises. Der Umfang eines vollständigen Kreises ist:

Ein Zentriwinkel stellt einen Bruchteil einer vollständigen 360°-Drehung dar. Ein Bogen mit dem Zentriwinkel θ deckt den Bruchteil θ / 360 des gesamten Kreises ab, also:

Vereinfacht ergibt sich die Gradform der Formel:

Wenn der Winkel in Radiant gemessen wird, ist die Formel noch einfacher, weil ein Radiant durch den Radius selbst definiert ist:

Jedes Symbol in den Formeln hat eine genaue Bedeutung:

Beide Formen liefern dieselbe Antwort. Verwenden Sie L = πrθ / 180, wenn Ihr Winkel in Grad angegeben ist, und L = rθ, wenn er in Radiant angegeben ist. Der Rechner wandelt Grad zuerst in Radiant um und verwendet dann intern L = rθ, weshalb die beiden Modi immer übereinstimmen.

Die Verwendung des Durchmessers statt des Radius ergibt eine zweite Form derselben Formel. Da d = 2r ist, gilt r = d / 2, und Einsetzen ergibt L = dθ / 2 in Radiant oder L = πdθ / 360 in Grad.

Radius plus Zentriwinkel ist der direkteste Weg, eine Bogenlänge zu finden. Das durchgerechnete Beispiel unten verwendet einen Radius von 5 Einheiten und einen Zentriwinkel von 60°.

1. Radius bestimmen. r = 5 Einheiten.
2. Zentriwinkel bestimmen. θ = 60°.
3. Grad in Radiant umrechnen. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 Radiant.
4. Bogenlängenformel aufschreiben. L = rθ.
5. Werte einsetzen. L = 5 × π / 3.
6. Berechnen. L = 5.2359877560 Einheiten.
7. Nach Bedarf runden. Auf zwei Dezimalstellen gerundet ist L = 5.24 Einheiten.

Dieselben Schritte funktionieren für jeden Radius und Winkel. Ein Radius von 8 Einheiten mit 90° ergibt L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 Einheiten. Ein Radius von 3 Einheiten mit 60° ergibt L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 Einheiten. Ein Radius von 1 Einheit mit 60° ergibt L = 1.0471975512 Einheiten, was genau π / 3 ist, eine nützliche Kontrolle: Bei r = 1 entspricht die Bogenlänge dem Winkel in Radiant.

Rundungsregel. Runden Sie erst am Ende. Wenn Sie π vor dem Multiplizieren durch 3.14 ersetzen, ergibt ein Radius von 5 mit 60° 5.2333333333 statt 5.2359877560, ein Fehler von 0.0026544227. Dieser Fehler wächst mit dem Radius, also behalten Sie die volle Genauigkeit während der Berechnung bei und runden Sie erst das endgültig angezeigte Ergebnis.

Wenn Sie statt des Radius den Durchmesser kennen, halbieren Sie ihn zuerst und wenden Sie dann dieselbe Formel an. Das durchgerechnete Beispiel unten verwendet einen Durchmesser von 14 Einheiten und einen Zentriwinkel von 120°.

1. Durchmesser bestimmen. d = 14 Einheiten.
2. Radius finden. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 Einheiten.
3. Zentriwinkel bestimmen. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 Radiant.
4. Formel aufschreiben. L = rθ, oder direkt L = πdθ / 360.
5. Einsetzen. L = 7 × 2.0943951024, oder L = π × 14 × 120 / 360.
6. Berechnen. L = 14.6607657168 Einheiten.
7. Nach Bedarf runden. Auf zwei Dezimalstellen gerundet ist L = 14.66 Einheiten.

Beide Wege stimmen genau überein, was eine gute Selbstkontrolle ist. Der Radiusweg ergibt 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Der Durchmesserweg ergibt π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Wenn die beiden nicht übereinstimmen, wurde der Durchmesser nicht korrekt halbiert.

Ein weiteres Beispiel: Ein Durchmesser von 20 Einheiten mit 180° ergibt r = 10 Einheiten, also L = π × 10 = 31.4159265359 Einheiten, der Halbkreisbogen. Ein Durchmesser von 10 Einheiten mit 60° ergibt r = 5 Einheiten, also L = 5.2359877560 Einheiten. Der häufigste Fehler bei dieser Berechnung ist, die Division durch zwei zu vergessen und den Durchmesser zu verwenden, als wäre er der Radius, was die Antwort verdoppelt. Bei d = 14 ergibt dieser Fehler 29.3215314336 statt 14.6607657168.

Messtipp. Durchmesser lassen sich im echten Leben oft leichter messen als Radien, weil man gerade über den Kreis hinweg messen kann. Deshalb akzeptiert der Rechner die Durchmessereingabe direkt: Messen Sie quer, geben Sie den Wert ein, und der Rechner halbiert ihn für Sie.

Grad sind die alltägliche Einheit für Winkel. Ein vollständiger Kreis enthält 360°, sodass ein Zentriwinkel in Grad direkt angibt, welchen Bruchteil des vollen Kreises Ihr Bogen abdeckt. Ein Winkel von 90° deckt ein Viertel des Kreises ab, 180° deckt die Hälfte ab und 270° deckt drei Viertel ab.

Die Gradformel lautet L = πrθ / 180, wobei θ in Grad angegeben ist. Sie ergibt sich aus der Bruchteil-Idee: θ / 360 des Umfangs 2πr, vereinfacht.

Durchgerechnetes Beispiel. Radius 8 Einheiten, Winkel 90°.

1. Werte bestimmen. r = 8 Einheiten, θ = 90°.
2. Bruchteil des Kreises finden. 90 / 360 = 1 / 4, ein Viertelkreis.
3. Formel aufschreiben. L = πrθ / 180.
4. Einsetzen. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Berechnen. L = 12.5663706144 Einheiten.
6. Gegen den Umfang prüfen. Der volle Umfang ist 2π × 8 = 50.2654824574 Einheiten, und ein Viertel davon ist 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 Einheiten. Die beiden stimmen überein.

Weitere Gradbeispiele mit einem Radius von 5 Einheiten: 30° ergibt L = 2.6179938780 Einheiten, 45° ergibt L = 3.9269908170 Einheiten, 120° ergibt L = 10.4719755120 Einheiten und 270° ergibt L = 23.5619449019 Einheiten. Beachten Sie, dass eine Verdoppelung des Winkels die Bogenlänge bei gleichem Radius verdoppelt, weil die Bogenlänge direkt proportional zum Zentriwinkel ist.

Häufiger Gradfehler. Einen Gradwert direkt in L = rθ einzusetzen, ohne ihn umzurechnen, ergibt eine völlig falsche Antwort. Bei r = 5 und 60° ergibt die nicht umgerechnete Berechnung 5 × 60 = 300, aber die richtige Antwort ist 5.2359877560. Die Formel L = rθ braucht Radiant, also wandeln Sie entweder zuerst um oder verwenden Sie die Gradform L = πrθ / 180.

Ein Radiant ist der Winkel, den man erhält, wenn die Bogenlänge gleich dem Radius ist. Wenn Sie eine Schnur mit der Länge des Radius um den Kreis wickeln, beträgt der Winkel, den sie am Mittelpunkt einschließt, genau 1 Radiant. Ein vollständiger Kreis enthält 2π Radiant, etwa 6.2831853072 Radiant, weil der volle Umfang 2πr beträgt und die Division durch r 2π übrig lässt.

Die Radiantformel lautet L = rθ, die einfachste Bogenlängenformel überhaupt. Sie enthält kein π, weil das π bereits im Radiantmaß des Winkels steckt.

Durchgerechnetes Beispiel. Radius 5 Einheiten, Winkel π / 3 Radiant (das sind 60°).

1. Werte bestimmen. r = 5 Einheiten, θ = π / 3 = 1.0471975512 Radiant.
2. Formel aufschreiben. L = rθ.
3. Einsetzen. L = 5 × 1.0471975512.
4. Berechnen. L = 5.2359877560 Einheiten.
5. Gegen Grad prüfen. π / 3 Radiant sind 60°, und die Gradformel ergibt L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 Einheiten. Die beiden stimmen genau überein.

Weitere Radiantbeispiele: Ein Radius von 4 Einheiten mit θ = π / 2 Radiant ergibt L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 Einheiten. Ein Radius von 6 Einheiten mit θ = π / 4 Radiant ergibt L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 Einheiten. Ein Radius von 10 Einheiten mit θ = π Radiant ergibt L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 Einheiten, den Halbkreisbogen.

Warum Radiant in der Mathematik bevorzugt werden. Die Analysisformeln für Bogenlängen und die Formeln für Sehne, Sektor und Segmentfläche auf dieser Seite verwenden alle Radiant. Grad sind für alltägliche Messungen praktisch, aber Radiant machen die Mathematik sauber, weshalb der Rechner jeden Winkel vor der Berechnung in Radiant umwandelt.

Zwei Punkte auf einem Kreis teilen ihn in zwei Bögen. Der kürzere ist der kleine Bogen, der längere ist der große Bogen. Sie haben dieselben Endpunkte, und zusammen ergeben sie den vollständigen Umfang.

Der Zentriwinkel entscheidet, welcher welcher ist. Ein Zentriwinkel unter 180° ergibt einen kleinen Bogen. Ein Zentriwinkel über 180° ergibt einen großen Bogen. Genau 180° ergibt einen Halbkreis, der weder klein noch groß ist: Beide Bögen sind gleich.

Kleiner und großer Bogen ergänzen sich. Für einen kleineren Zentriwinkel θ ist der kleine Bogen Lklein = rθ und der große Bogen Lgroß = r(2π - θ). Ihre Summe ist immer der vollständige Umfang:

Durchgerechnetes Beispiel. Radius 5 Einheiten, kleinerer Winkel 60°. Der kleine Bogen ist L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 Einheiten. Der große Bogen verwendet den überstumpfen Winkel 360° - 60° = 300°, also L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 Einheiten. Die Summe ist 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 Einheiten, was genau dem Umfang 2π × 5 entspricht. Der kleine Bogen macht 16.67% des Kreises aus und der große Bogen 83.33%.

Ein weiteres Beispiel. Radius 4 Einheiten, Winkel 270°. Dies ist bereits der große Bogen: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 Einheiten. Sein komplementärer kleiner Bogen verwendet 90°: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 Einheiten. Die Summe ist 25.1327412287 Einheiten, der volle Umfang 2π × 4.

Verwechseln Sie nicht die beiden Winkel. Der häufigste Fehler bei kleinen und großen Bögen ist, den kleineren Winkel zu verwenden, wenn die Aufgabe nach dem großen Bogen fragt, oder umgekehrt. Prüfen Sie immer, ob der Winkel, der Ihnen gegeben wurde, der kleinere oder der überstumpfe ist, und denken Sie daran, dass der Rechner beide Bögen nebeneinander zeigt, sodass Sie den wählen können, den Ihre Aufgabe braucht.

Bogenlänge und Sehnenlänge verbinden beide dieselben zwei Punkte auf einem Kreis, aber sie nehmen unterschiedliche Wege. Der Bogen folgt der Kurve. Die Sehne schneidet gerade quer. Der Bogen ist fast immer länger.

Die Formeln zeigen den Unterschied deutlich:

Die Sehne hängt vom Sinus des halben Winkels ab, der langsamer wächst als der Winkel selbst, sodass der Abstand zwischen Bogen und Sehne mit wachsendem Winkel größer wird.

Drei Fakten aus der Tabelle sind es wert, sich sie zu merken. Bei 30° ist der Bogen nur etwa 1.15% länger als die Sehne, sodass die beiden bei kleinen Winkeln nahe beieinander liegen. Bei 180° ist die Sehne der Durchmesser, 10 Einheiten, während der Bogen πr = 15.7079632679 Einheiten beträgt. Bei 270° schrumpft die Sehne wieder auf 7.0710678119 Einheiten, genau wie bei 90°, weil die Sehne vom kleineren Winkel zwischen den Endpunkten abhängt, während der Bogen mit dem Sweep weiter wächst.

Sonderfall. Bei 60° entspricht die Sehne genau dem Radius: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Bei r = 5 beträgt die Sehne 5 Einheiten, und der Radius, die Sehne und die beiden Radien bilden ein gleichseitiges Dreieck. Dies ist eine praktische Kontrolle und ein Liebling der Prüfungsaufgabenersteller.

Warum das wichtig ist. Wenn Sie ein gekrümmtes Rohr schneiden, brauchen Sie die Bogenlänge. Wenn Sie den geraden Abstand zwischen zwei Punkten auf einem kreisförmigen Teil messen, brauchen Sie die Sehne. Die beiden zu verwechseln, ist einer der häufigsten Kreisfehler, und der Rechner zeigt beide Werte zusammen, sodass der Unterschied immer sichtbar ist.

Bogenlänge und Sektorfläche klingen ähnlich, aber sie messen unterschiedliche Dinge. Die Bogenlänge ist eine eindimensionale gekrümmte Entfernung, gemessen in einfachen Einheiten. Die Sektorfläche ist eine zweidimensionale Region, der Keil des Kreises, der von zwei Radien und dem Bogen ausgeschnitten wird, gemessen in Quadrateinheiten.

Die Formeln sehen ähnlich aus, was genau der Grund ist, warum sie verwechselt werden:

Die Sektorfläche ist die Bogenlänge multipliziert mit dem halben Radius: A = ½ × r × L. Diese Beziehung ist eine nützliche Kontrolle. Bei einem Radius von 5 Einheiten und 60° beträgt der Bogen 5.2359877560 Einheiten, und die Sektorfläche beträgt ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 Quadrateinheiten.

Die Einheiten sind der Hinweis. Wenn Ihre Antwort eine Länge sein soll, lautet die Einheit cm, m oder Zoll. Wenn sie eine Fläche sein soll, lautet die Einheit cm², m² oder Quadratzoll. Eine Bogenlängen-Antwort in Quadrateinheiten oder eine Sektorflächen-Antwort in einfachen Einheiten ist sicher falsch. Der Rechner hält die beiden getrennt und beschriftet die Einheiten klar.

Eine Vollkreis-Kontrolle. Bei 360° ist der Sektor der ganze Kreis, sodass die Sektorfläche πr² entsprechen muss. Bei r = 6 ist π × 36 = 113.0973355292 Quadrateinheiten. Der Bogen ist zur selben Zeit der volle Umfang, 37.6991118431 Einheiten. Beide stammen aus demselben Radius und Winkel, aber sie beantworten unterschiedliche Fragen.

Ein Kreissegment ist die Region, die von einem Bogen und seiner Sehne eingeschlossen wird. Stellen Sie sich ein Stück des Kreises vor, das durch eine gerade Linie abgeschnitten wird: Die gekrümmte Kante ist der Bogen, die gerade Kante ist die Sehne, und die Fläche dazwischen ist das Segment. Es ist kleiner als der Sektor, weil der Sektor auch das Dreieck enthält, das von den beiden Radien und der Sehne gebildet wird.

Die Segmentfläche ist die Sektorfläche minus die Dreiecksfläche zwischen den beiden Radien und der Sehne:

Hier ist θ der zentrale Sweep in Radiant, zwischen 0 und 2π. Die Formel behandelt sowohl kleine als auch große Segmente korrekt: Bei einem kleinen Bogen ergibt sie die kleine Kappe, und bei einem großen Bogen ergibt sie die große Region, die den größten Teil des Kreises abdeckt.

Durchgerechnete Beispiele. Bei r = 5 Einheiten und 60° beträgt die Sektorfläche 13.0899693900 Quadrateinheiten und die Segmentfläche ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 Quadrateinheiten. Das Segment ist viel kleiner als der Sektor, weil das Dreieck den größten Teil des Keils einnimmt. Bei r = 5 und 90° beträgt das Segment 7.1349540849 Quadrateinheiten. Bei r = 8 und 90° beträgt das Segment 18.2654824574 Quadrateinheiten.

Sonderfälle. Bei 180° ist sin θ = 0, sodass die Segmentfläche der Sektorfläche entspricht: ½ πr². Bei r = 5 betragen beide 39.2699081699 Quadrateinheiten, was genau der Hälfte des Kreises entspricht. Bei 270° ist sin θ = -1, sodass das Segment größer ist als der Sektor: Bei r = 5 beträgt der Sektor 58.9048622548 Quadrateinheiten und das Segment 71.4048622548 Quadrateinheiten. Bei 360° verschwindet die Sehne und das Segment ist der ganze Kreis, πr².

Segment und Sektor in einem Satz. Der Sektor ist der Keil vom Mittelpunkt aus. Das Segment ist die Kappe jenseits der Sehne. Wenn Ihre Aufgabe den Mittelpunkt betrifft, brauchen Sie den Sektor. Wenn sie nur den Bogen und seine Sehne betrifft, brauchen Sie das Segment.

Grad und Radiant sind zwei Einheiten für dieselbe Sache, den Winkel. Grad teilen eine volle Drehung in 360 gleiche Teile. Radiant messen einen Winkel anhand des Bogens, den er abschneidet, in Einheiten des Radius. Die beiden sind durch eine einzige Umrechnung verbunden: π Radiant entsprechen 180°.

Die Umrechnungsformeln lauten:

Durchgerechnete Umrechnungen. 120° in Radiant sind 120 × π / 180 = 2.0943951024 Radiant. 45° sind 45 × π / 180 = 0.7853981634 Radiant. In die andere Richtung ist 1 Radiant 1 × 180 / π = 57.2957795131°, und 2 Radiant sind 114.5915590262°. Dieser letzte Wert ist nützlich: Ein Bogen wird genau dann länger als der Durchmesser, wenn der Winkel 2 Radiant überschreitet.

Welche Einheit sollten Sie verwenden? Verwenden Sie Grad, wenn die Aufgabe Grad angibt, und Radiant, wenn sie Radiant angibt. Der Rechner akzeptiert beides, und der DEG/RAD-Umschalter wandelt Ihren Winkel um, ohne den Bogen zu verändern. Für die Handrechnung eignen sich Grad für die Bruchform L = πrθ / 180, während Radiant für die saubere Form L = rθ geeignet sind. In jedem Fall mischen Sie die beiden niemals in einer Formel.

Manchmal sind weder der Radius noch der Durchmesser gegeben. Der Rechner arbeitet von vier anderen Messungen rückwärts, indem er zuerst den Radius herleitet und dann wie üblich L = rθ anwendet. Alle sechs Methoden ergeben für denselben Kreis denselben Radius und dieselbe Bogenlänge, sodass Sie die Messung verwenden können, die Sie tatsächlich haben.

Aus dem vollständigen Kreisumfang. Der vollständige Umfang ist C = 2πr, also r = C / (2π). Bei C = 31.4159265359 Einheiten ist r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 Einheiten. Dann ist ein Bogen von 60° L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 Einheiten. Beachten Sie die Abkürzung: Ein Bogen von 60° ist ein Sechstel des Umfangs, und 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 Einheiten.

Aus der Sehnenlänge. Die Sehnenformel lautet c = 2r sin(θ / 2), also r = c / [2 sin(θ / 2)]. Bei einer Sehne von 5 Einheiten mit einem Winkel von 60° ist r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 Einheiten. Dann ist L = 5.2359877560 Einheiten. Die Sehneneingabe funktioniert nur, wenn der Winkel strikt zwischen 0° und 360° liegt: Bei 0° oder 360° ist die Sehne null und es kann kein Radius wiederhergestellt werden, sodass der Rechner diese Winkel für diese Methode ablehnt.

Aus der vollständigen Kreisfläche. Die Fläche eines vollständigen Kreises ist A = πr², also r = √(A / π). Bei A = 78.5398163397 Quadrateinheiten ist r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 Einheiten. Dann ist ein Bogen von 60° L = 5.2359877560 Einheiten. Sie können den Radius überprüfen, indem Sie ihn wieder in die Flächenformel einsetzen: π × 25 = 78.5398163397 Quadrateinheiten.

Aus der Sektorfläche. Die Sektorfläche ist A = ½r²θ, also r = √(2A / θ) mit θ in Radiant. Bei einer Sektorfläche von 13.0899693900 Quadrateinheiten mit einem Winkel von 60° ist θ = 1.0471975512 Radiant, also r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 Einheiten. Dann ist L = 5.2359877560 Einheiten. Diese Methode braucht den Winkel ebenso wie die Fläche, weil dieselbe Sektorfläche aus vielen Radius- und Winkelkombinationen entstehen kann.

Welche Eingabe verwenden. Verwenden Sie die Messung, die Sie tatsächlich haben. Wenn zwei verschiedene Messungen unterschiedliche Radien ergeben, ist eine der Messungen falsch, und diese Abweichung ist es wert, untersucht zu werden, bevor Sie einer der beiden Antworten vertrauen.

Die Bogenlänge ist keine abstrakte Schulaufgabe. Überall dort, wo eine gekrümmte Entfernung auf einem Kreis gemessen, geschnitten, gebaut oder zurückgelegt werden muss, gilt dieselbe Formel.

Technik und Fertigung. Das Rohrbiegen beginnt mit der Bogenlänge: Ein Rohr, das um 90° mit einem Biegeradius von 8 Einheiten gebogen wird, braucht allein für die Biegung 12.5663706144 Einheiten Rohr. Blech, das zu einem gekrümmten Panel gerollt wird, ein Zahnradzahnprofil und eine Nockenform brauchen alle die gekrümmte Länge, bevor das Material geschnitten wird. Ein Fehler hier verschwendet Material oder lässt ein Teil zu kurz geraten.

Architektur und Bauwesen. Bogentüren, runde Fenster, Kuppeln und gewendelte Treppen werden nach ihren Bögen bemessen. Ein halbkreisförmiger Bogen mit einem Radius von 10 Einheiten braucht 31.4159265359 Einheiten Verkleidung entlang der Kurve. Eine Einfassung für ein rundes Gartenbeet braucht den Bogen für die gekrümmte Seite und den Durchmesser für die gerade Seite, was unterschiedliche Zahlen sind.

Straßen und Bahnen. Eine kreisförmige Straßenkurve, eine Laufbahnkurve oder eine Eisenbahnkurve wird nach Radius und Zentriwinkel angelegt. Die Länge der Kurve bestimmt die Asphaltmenge, die Schienenlänge und die Entfernung, die ein Fahrzeug durch die Kurve zurücklegt. Eine Kurve von 120° mit einem Radius von 7 Einheiten ist 14.6607657168 Einheiten lang.

Uhren, Räder und Robotik. Ein Uhrzeiger überstreicht im Laufe der Zeit einen Bogen. Ein Rad, das über den Boden rollt, legt eine Entfernung zurück, die dem Bogen entspricht, durch den es sich dreht. Ein Roboterarm, der sich um ein Gelenk dreht, bewegt seinen Greifer entlang eines Kreisbogens, und die Entfernung, die er zurücklegt, ist rθ, weshalb Radiant die natürliche Einheit in der Robotik sind.

Computergrafik und CAD. Kurven in CAD-Modellen, Schriftarten und Animationen werden aus Kreisbögen aufgebaut. Die Länge eines Bogens bestimmt, wie ein Werkzeugweg unterteilt wird, wie eine Kurve gerendert wird und wie weit sich ein Objekt entlang eines Kreispfads in einer Animation bewegt.

Ein Hinweis zu echten Formen. Nicht jede gekrümmte Struktur ist ein perfekter Kreis. Echte Bögen können elliptisch oder parabolisch sein, und echte Straßen verwenden Klothoidenübergänge. Die Kreisformeln auf dieser Seite gelten genau, wenn die Kurve ein echter Kreisbogen ist, und sie sind nur dann eine gute Näherung, wenn die Kurve nahe an einem Kreis liegt. Bestätigen Sie immer die Form, bevor Sie die Formel anwenden.

Die meisten falschen Antworten bei der Kreisbogenlänge stammen aus einer kleinen Liste von Fehlern. Die Prüfung auf jeden einzelnen dauert Sekunden und erspart die meisten Fehler.

1. Durchmesser statt Radius verwenden. Die Formel braucht r, nicht d. Die Verwendung von d = 14 als Radius verdoppelt die Antwort: 29.3215314336 statt 14.6607657168 bei einem Bogen von 120°. Halbieren Sie zuerst den Durchmesser.
2. Vergessen, Grad in Radiant umzurechnen. L = rθ braucht Radiant. Das direkte Einsetzen von 60° ergibt 5 × 60 = 300 statt 5.2359877560. Rechnen Sie zuerst um, oder verwenden Sie L = πrθ / 180.
3. Zentriwinkel mit Peripheriewinkel verwechseln. Ein Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Zentriwinkel, der denselben Bogen einschließt. Wenn eine Aufgabe einen Peripheriewinkel φ angibt, ist der Zentriwinkel θ = 2φ, und der Bogen ist L = r × 2φ. Die direkte Verwendung von φ halbiert die Antwort.
4. Große und kleine Bögen verwechseln. Ein Winkel von 270° ergibt einen großen Bogen von 18.8495559215 Einheiten bei r = 4. Die Verwendung des kleineren Winkels 90° ergibt stattdessen 6.2831853072 Einheiten, den kleinen Bogen. Prüfen Sie, nach welchem Bogen die Aufgabe fragt.
5. Bogenlänge mit Sehnenlänge verwechseln. Die Sehne ist die gerade Linie, immer kürzer als der Bogen. Bei r = 5 und 180° beträgt die Sehne 10 Einheiten und der Bogen 15.7079632679 Einheiten. Sie sind nur im Grenzfall eines Bogens der Länge null gleich.
6. Sektorfläche mit Bogenlänge verwechseln. Die Sektorfläche ist eine zweidimensionale Region in Quadrateinheiten. Die Bogenlänge ist eine eindimensionale Entfernung in einfachen Einheiten. Bei r = 5 und 60° beträgt die Sektorfläche 13.0899693900 Quadrateinheiten und der Bogen 5.2359877560 Einheiten. Unterschiedliche Größen, unterschiedliche Einheiten.
7. Falsche Maßeinheiten verwenden. Ein Radius in cm und ein Winkel in Grad sind in Ordnung, aber die Antwort kommt in cm heraus. Das Mischen von cm und Zoll in einer Berechnung oder das Vergessen, die Ausgabeeinheit umzurechnen, ergibt eine Zahl mit der falschen Größe. Rechnen Sie zuerst um, dann berechnen Sie.
8. π zu früh runden. Das Ersetzen von π durch 3.14 vor dem Multiplizieren führt einen Fehler ein, der mit dem Radius wächst. Behalten Sie π in voller Genauigkeit während der Berechnung bei und runden Sie erst das endgültig angezeigte Ergebnis.
9. Vergessen, dass ein voller Kreis 360° entspricht. Ein Winkel von 360° ist der vollständige Umfang, 2πr, nicht null. Ein Winkel von 0° ist der Bogen der Länge null. Die beiden sehen auf einem Diagramm ähnlich aus, weil die Endpunkte zusammenfallen, aber ihre Bogenlängen sind so unterschiedlich wie möglich.
10. Falsches Winkelintervall verwenden. Bogenlängenformeln für einen Kreis setzen voraus, dass der Sweep zwischen 0° und 360° liegt. Ein Winkel von 450° ist kein gültiger einzelner Sweep auf einem Kreis: Er ist eine volle Drehung plus 90°, und der Bogen für einen Kreis ist der 90°-Rest, 12.5663706144 Einheiten bei r = 8.

Eine abschließende Prüfung, die die meisten dieser Fehler aufdeckt. Prüfen Sie das Ergebnis gegen den Umfang. Der Bogen muss zwischen 0 und 2πr liegen, er muss länger sein als die Sehne, und der kleine plus der große Bogen müssen genau 2πr ergeben. Wenn eine dieser Prüfungen fehlschlägt, ist einer der zehn Fehler oben die Ursache.

Diese sechs Beispiele decken die wichtigsten Eingabemethoden und Bogentypen des Rechners ab. Jedes wurde von derselben Engine berechnet, die das Tool antreibt, und jedes Ergebnis wurde unabhängig verifiziert.

Beispiel 1: Kleiner Bogen mit Radius 5 und 60°. Gegeben r = 5 Einheiten, θ = 60° = π / 3 Radiant. Bogenlänge L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 Einheiten. Durchmesser d = 10 Einheiten. Sehne c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 Einheiten. Sektorfläche A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 Quadrateinheiten. Vollständiger Umfang C = 31.4159265359 Einheiten.

Beispiel 2: Viertelkreisbogen mit Radius 8 und 90°. Gegeben r = 8 Einheiten, θ = 90° = π / 2 Radiant. Bogenlänge L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 Einheiten. Sehne c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 Einheiten. Sektorfläche A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 Quadrateinheiten. Der Bogen ist genau ein Viertel des Umfangs 50.2654824574 Einheiten.

Beispiel 3: Großer Bogen mit Radius 4 und 270°. Gegeben r = 4 Einheiten, θ = 270° = 3π / 2 Radiant. Bogenlänge L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 Einheiten. Sehne c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 Einheiten. Sektorfläche A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 Quadrateinheiten. Der komplementäre kleine Bogen mit 90° ist 6.2831853072 Einheiten. Die beiden Bögen ergeben zusammen 25.1327412287 Einheiten, den vollen Umfang.

Beispiel 4: Bogen aus Durchmesser 14 und 120°. Gegeben d = 14 Einheiten, θ = 120° = 2π / 3 Radiant. Radius r = 14 / 2 = 7 Einheiten. Bogenlänge L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 Einheiten. Sehne c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 Einheiten. Sektorfläche A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 Quadrateinheiten. Die Segmentfläche beträgt 30.0950576159 Quadrateinheiten.

Beispiel 5: Halbkreis mit Radius 10 und 180°. Gegeben r = 10 Einheiten, θ = 180° = π Radiant. Bogenlänge L = 10 × π = 31.4159265359 Einheiten. Sehne c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 Einheiten, der Durchmesser. Sektorfläche A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 Quadrateinheiten, genau die Hälfte der vollen Kreisfläche. Der Bogen ist π / 2 mal der Durchmesser, etwa 57.08% länger als die gerade Linie quer hindurch.

Beispiel 6: Vollständiger Kreis mit Radius 6 und 360°. Gegeben r = 6 Einheiten, θ = 360° = 2π Radiant. Bogenlänge L = 6 × 2π = 37.6991118431 Einheiten, was der vollständige Umfang ist. Sehne c = 0, weil die Endpunkte zusammenfallen. Sektorfläche A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 Quadrateinheiten, die volle Kreisfläche. Der Bogenprozentsatz beträgt 100%.

Klicken Sie auf eine Voreinstellungs-Schaltfläche im Rechner, um eines dieser Beispiele zu laden und die vollständige schrittweise Lösung, das Live-Diagramm und alle sekundären Ergebnisse für diese Eingabe zu sehen.