Calculadora de longitud de arco de círculo

La calculadora de longitud de arco de círculo mide la distancia curva a lo largo de cualquier parte de un círculo, desde una pequeña porción hasta la circunferencia completa. Acepta seis medidas iniciales diferentes, así que puedes usar el valor que ya tengas. Sigue estos pasos para obtener una respuesta correcta en menos de un minuto.

1. Elige el método de entrada. Elige Radio, Diámetro, Circunferencia del círculo completo, Longitud de la cuerda, Área del círculo completo o Área del sector. El campo de entrada, su etiqueta y su lista de unidades cambian según el método que elijas.
2. Introduce tu medida. Escribe el valor en el cuadro de entrada. Para los métodos de área, usa la lista de unidades al cuadrado (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Introduce el ángulo central. Escribe el ángulo en grados o radianes con el interruptor DEG/RAD, o arrastra el control deslizante de ángulo de 0° a 360°. El diagrama en vivo y el resultado se actualizan mientras lo mueves.
4. Configura los ángulos inicial y final si los necesitas. El barrido predeterminado comienza en 0° y avanza en sentido contrario a las agujas del reloj. Cambia el ángulo inicial, el ángulo final o la dirección para medir un arco en cualquier parte del círculo. El barrido, no la posición, decide la longitud del arco.
5. Elige las unidades de entrada y de salida. La calculadora convierte tu entrada a una unidad interna coherente, calcula y luego convierte la respuesta a tu unidad de salida. El número cambia con la unidad; la longitud no.
6. Elige una precisión. Elige 2, 4, 6 u 8 decimales. El valor predeterminado es 4. La calculadora siempre usa el valor completo de π internamente y redondea solo el resultado mostrado.
7. Haz clic en Calcular ahora. El resultado principal es la longitud del arco seleccionado, con su clasificación: arco de longitud cero, arco menor, semicírculo, arco mayor o círculo completo. Debajo obtienes el radio, el diámetro, la circunferencia completa, el arco complementario, la longitud de la cuerda, el área del sector, el área del segmento circular, el porcentaje del arco, ambas formas del ángulo y la relación arco-cuerda.
8. Explora el diagrama. El diagrama en vivo del círculo dibuja el círculo completo, resalta el arco seleccionado en dorado y marca el centro O, las líneas de radio, la cuerda y los extremos. Usa los interruptores para mostrar u ocultar el radio, el diámetro, la cuerda, el punto central, el marcador de ángulo y los arcos menor y mayor.
9. Copia, imprime o restablece. Usa Copiar resultado para colocar la respuesta en tu portapapeles, Imprimir resumen para un informe sencillo o Restablecer para limpiar el panel. Los botones de ejemplos cargan ejemplos verificados al instante.

Prueba un ejemplo. Un radio de 5 con un ángulo de 60° da un arco de 5.2359877560 unidades. Un radio de 8 con 90° da 12.5663706144 unidades. Un radio de 4 con 270° da un arco mayor de 18.8495559215 unidades. Un diámetro de 14 con 120° da 14.6607657168 unidades. Un radio de 10 con 180° da el arco del semicírculo, 31.4159265359 unidades, y un radio de 6 con 360° da la circunferencia completa, 37.6991118431 unidades.

Consejos importantes. Mantén la unidad del ángulo coherente: 60° y 1.0471975512 radianes son el mismo ángulo, pero 60 radianes no son 60°. La longitud del arco es solo la distancia curva; la cuerda es una medida diferente y siempre es más corta, excepto en un arco de longitud cero. Si introduces un diámetro, la calculadora lo divide entre dos para hallar primero el radio. Una medida cero o negativa no es un círculo válido, así que la calculadora la rechaza en lugar de mostrar una respuesta engañosa.

Un círculo es el conjunto de todos los puntos a una distancia fija, el radio, de un punto central O. Un arco es una parte continua del círculo entre dos puntos sobre él. La longitud del arco es la distancia que recorrerías si caminaras a lo largo de la curva de un extremo al otro, manteniéndote sobre el círculo todo el camino.

Imagina una pista circular de atletismo. La longitud del arco es la distancia a lo largo del carril entre dos puertas. La línea recta que cruza el interior entre las mismas dos puertas es la cuerda, y es más corta. La diferencia importa: un corredor sigue la curva, así que la distancia curva es la que cuenta.

Cada círculo tiene las mismas partes, escaladas por su radio. El centro O es el punto fijo. El radio r va desde O hasta cualquier punto del círculo. El diámetro d va de un lado al otro pasando por O, y siempre es el doble del radio. La circunferencia C es la distancia alrededor de todo el círculo, C = 2πr. El ángulo central θ es el ángulo en O entre los dos radios que llegan a los extremos del arco, y decide qué fracción de la circunferencia cubre el arco.

Dos puntos de un círculo siempre crean dos arcos: el más corto, el arco menor, y el más largo, el arco mayor. Juntos forman la circunferencia completa. Cuál quieres depende de tu problema, y la calculadora muestra ambos, así que nunca tienes que adivinar.

La longitud del arco es una medida unidimensional, una longitud, así que se expresa en unidades simples como cm, m o pulgadas. No es un área ni un ángulo. Mantener separadas esas tres cantidades es el primer paso para que todos tus cálculos con círculos salgan bien.

La longitud del arco de un círculo procede directamente de la circunferencia de un círculo completo. La circunferencia de un círculo completo es:

Un ángulo central representa una fracción de una rotación completa de 360°. Un arco con ángulo central θ cubre la fracción θ / 360 de todo el círculo, así que:

Al simplificar se obtiene la forma en grados de la fórmula:

Cuando el ángulo se mide en radianes, la fórmula es aún más sencilla, porque un radián se define a partir del propio radio:

Cada símbolo de las fórmulas tiene un significado preciso:

Ambas formas dan la misma respuesta. Usa L = πrθ / 180 cuando tu ángulo esté en grados, y L = rθ cuando esté en radianes. La calculadora convierte primero los grados a radianes y luego usa L = rθ internamente, por eso los dos modos siempre coinciden.

Usar el diámetro en lugar del radio da una segunda forma de la misma fórmula. Como d = 2r, entonces r = d / 2, y al sustituir se obtiene L = dθ / 2 en radianes, o L = πdθ / 360 en grados.

El radio más el ángulo central es la forma más directa de hallar la longitud de un arco. El ejemplo resuelto siguiente usa un radio de 5 unidades y un ángulo central de 60°.

1. Identifica el radio. r = 5 unidades.
2. Identifica el ángulo central. θ = 60°.
3. Convierte los grados a radianes. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radianes.
4. Escribe la fórmula de la longitud del arco. L = rθ.
5. Sustituye los valores. L = 5 × π / 3.
6. Calcula. L = 5.2359877560 unidades.
7. Redondea según necesites. Con dos decimales, L = 5.24 unidades.

Los mismos pasos sirven para cualquier radio y ángulo. Un radio de 8 unidades con 90° da L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unidades. Un radio de 3 unidades con 60° da L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 unidades. Un radio de 1 unidad con 60° da L = 1.0471975512 unidades, que es exactamente π / 3, una comprobación útil: para r = 1, la longitud del arco es igual al ángulo en radianes.

Regla de redondeo. Redondea solo al final. Si sustituyes π por 3.14 antes de multiplicar, un radio de 5 con 60° da 5.2333333333 en lugar de 5.2359877560, un error de 0.0026544227. Ese error crece con el radio, así que mantén la precisión completa durante el cálculo y redondea solo el resultado final mostrado.

Cuando conoces el diámetro en lugar del radio, divídelo primero entre dos y luego aplica la misma fórmula. El ejemplo resuelto siguiente usa un diámetro de 14 unidades y un ángulo central de 120°.

1. Identifica el diámetro. d = 14 unidades.
2. Halla el radio. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 unidades.
3. Identifica el ángulo central. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radianes.
4. Escribe la fórmula. L = rθ, o directamente L = πdθ / 360.
5. Sustituye. L = 7 × 2.0943951024, o L = π × 14 × 120 / 360.
6. Calcula. L = 14.6607657168 unidades.
7. Redondea según necesites. Con dos decimales, L = 14.66 unidades.

Ambas rutas coinciden exactamente, lo que es una buena autocomprobación. La ruta del radio da 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. La ruta del diámetro da π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Si las dos no coinciden, el diámetro no se dividió entre dos correctamente.

Otro ejemplo: un diámetro de 20 unidades con 180° da r = 10 unidades, así que L = π × 10 = 31.4159265359 unidades, el arco del semicírculo. Un diámetro de 10 unidades con 60° da r = 5 unidades, así que L = 5.2359877560 unidades. El error más común en este cálculo es olvidar la división entre dos y usar el diámetro como si fuera el radio, lo que duplica la respuesta. Para d = 14, ese error da 29.3215314336 en lugar de 14.6607657168.

Consejo de medición. Los diámetros suelen ser más fáciles de medir en la vida real que los radios, porque puedes medir en línea recta a través del círculo. Por eso la calculadora acepta directamente la entrada del diámetro: mide a través, introdúcelo, y la calculadora lo divide entre dos por ti.

Los grados son la unidad cotidiana para los ángulos. Un círculo completo contiene 360°, así que un ángulo central en grados te dice directamente qué fracción del círculo completo cubre tu arco. Un ángulo de 90° cubre un cuarto del círculo, 180° cubre la mitad, y 270° cubre tres cuartos.

La fórmula en grados es L = πrθ / 180, donde θ está en grados. Procede de la idea de la fracción: θ / 360 de la circunferencia 2πr, simplificada.

Ejemplo resuelto. Radio de 8 unidades, ángulo de 90°.

1. Identifica los valores. r = 8 unidades, θ = 90°.
2. Halla la fracción del círculo. 90 / 360 = 1 / 4, un cuarto de círculo.
3. Escribe la fórmula. L = πrθ / 180.
4. Sustituye. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Calcula. L = 12.5663706144 unidades.
6. Comprueba con la circunferencia. La circunferencia completa es 2π × 8 = 50.2654824574 unidades, y un cuarto de ella es 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 unidades. Ambas coinciden.

Más ejemplos en grados con un radio de 5 unidades: 30° da L = 2.6179938780 unidades, 45° da L = 3.9269908170 unidades, 120° da L = 10.4719755120 unidades, y 270° da L = 23.5619449019 unidades. Observa que duplicar el ángulo duplica la longitud del arco para el mismo radio, porque la longitud del arco es directamente proporcional al ángulo central.

Error común con los grados. Poner un valor en grados directamente en L = rθ sin convertir da una respuesta muy equivocada. Para r = 5 y 60°, el cálculo sin convertir da 5 × 60 = 300, pero la respuesta correcta es 5.2359877560. La fórmula L = rθ necesita radianes, así que convierte primero o usa la forma en grados L = πrθ / 180.

Un radián es el ángulo que se obtiene cuando la longitud del arco es igual al radio. Si enrollas una cuerda de longitud igual al radio alrededor del círculo, el ángulo que subtiende en el centro es exactamente 1 radián. Un círculo completo contiene 2π radianes, unos 6.2831853072 radianes, porque la circunferencia completa es 2πr y al dividir entre r queda 2π.

La fórmula en radianes es L = rθ, la fórmula de longitud de arco más sencilla que existe. No tiene π en ella, porque el π ya está dentro de la medida en radianes del ángulo.

Ejemplo resuelto. Radio de 5 unidades, ángulo de π / 3 radianes (que es 60°).

1. Identifica los valores. r = 5 unidades, θ = π / 3 = 1.0471975512 radianes.
2. Escribe la fórmula. L = rθ.
3. Sustituye. L = 5 × 1.0471975512.
4. Calcula. L = 5.2359877560 unidades.
5. Comprueba con los grados. π / 3 radianes son 60°, y la fórmula en grados da L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 unidades. Ambas coinciden exactamente.

Más ejemplos en radianes: un radio de 4 unidades con θ = π / 2 radianes da L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 unidades. Un radio de 6 unidades con θ = π / 4 radianes da L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 unidades. Un radio de 10 unidades con θ = π radianes da L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 unidades, el arco del semicírculo.

Por qué se prefieren los radianes en matemáticas. Las fórmulas de cálculo para la longitud del arco, y las fórmulas de la cuerda, el sector y el área del segmento de esta página, usan todas radianes. Los grados son cómodos para la medición cotidiana, pero los radianes hacen que las matemáticas sean limpias, por eso la calculadora convierte cada ángulo a radianes antes de calcular.

Dos puntos de un círculo lo dividen en dos arcos. El más corto es el arco menor, y el más largo es el arco mayor. Comparten los mismos extremos, y juntos forman la circunferencia completa.

El ángulo central decide cuál es cuál. Un ángulo central menor de 180° da un arco menor. Un ángulo central mayor de 180° da un arco mayor. Exactamente 180° da un semicírculo, que no es ni menor ni mayor: ambos arcos son iguales.

El menor y el mayor son complementarios. Para un ángulo central menor θ, el arco menor es Lmenor = rθ y el arco mayor es Lmayor = r(2π - θ). Su suma es siempre la circunferencia completa:

Ejemplo resuelto. Radio de 5 unidades, ángulo menor de 60°. El arco menor es L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unidades. El arco mayor usa el ángulo reflejo 360° - 60° = 300°, así que L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 unidades. La suma es 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 unidades, que es exactamente la circunferencia 2π × 5. El arco menor es el 16.67% del círculo y el arco mayor es el 83.33%.

Otro ejemplo. Radio de 4 unidades, ángulo de 270°. Este ya es el arco mayor: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 unidades. Su arco menor complementario usa 90°: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 unidades. La suma es 25.1327412287 unidades, la circunferencia completa 2π × 4.

No confundas los dos ángulos. El error más común entre menor y mayor es usar el ángulo menor cuando el problema pide el arco mayor, o al revés. Comprueba siempre si el ángulo que te dieron es el menor o el reflejo, y recuerda que la calculadora muestra ambos arcos lado a lado para que puedas elegir el que necesita tu problema.

La longitud del arco y la longitud de la cuerda conectan los mismos dos puntos de un círculo, pero siguen caminos diferentes. El arco sigue la curva. La cuerda cruza en línea recta. El arco es casi siempre más largo.

Las fórmulas muestran la diferencia claramente:

La cuerda depende del seno de la mitad del ángulo, que crece más despacio que el propio ángulo, así que la brecha entre el arco y la cuerda se ensancha a medida que crece el ángulo.

Tres datos de la tabla merecen recordarse. A 30°, el arco es solo alrededor de un 1.15% más largo que la cuerda, así que para ángulos pequeños ambos están cerca. A 180°, la cuerda es el diámetro, 10 unidades, mientras que el arco es πr = 15.7079632679 unidades. A 270°, la cuerda se reduce de nuevo a 7.0710678119 unidades, lo mismo que a 90°, porque la cuerda depende del ángulo menor entre los extremos, mientras que el arco sigue creciendo con el barrido.

Caso especial. A 60°, la cuerda es exactamente igual al radio: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Para r = 5, la cuerda es de 5 unidades, y el radio, la cuerda y los dos radios forman un triángulo equilátero. Es una comprobación útil y una de las favoritas de quienes ponen exámenes.

Por qué importa. Si estás cortando un tubo curvo, necesitas la longitud del arco. Si estás midiendo el hueco recto entre dos puntos de una pieza circular, necesitas la cuerda. Confundirlas es uno de los errores más comunes con los círculos, y la calculadora muestra ambos valores juntos para que la diferencia siempre sea visible.

La longitud del arco y el área del sector suenan parecidas, pero miden cosas diferentes. La longitud del arco es una distancia curva unidimensional, medida en unidades simples. El área del sector es una región bidimensional, la porción del círculo recortada por dos radios y el arco, medida en unidades cuadradas.

Las fórmulas se parecen, y es exactamente por eso que se confunden:

El área del sector es la longitud del arco multiplicada por la mitad del radio: A = ½ × r × L. Esa relación es una comprobación útil. Para un radio de 5 unidades y 60°, el arco es de 5.2359877560 unidades, y el área del sector es ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 unidades cuadradas.

Las unidades son la pista. Si tu respuesta debe ser una longitud, la unidad es cm, m o pulgadas. Si debe ser un área, la unidad es cm², m² o pulgadas cuadradas. Una respuesta de longitud de arco en unidades cuadradas, o una respuesta de área del sector en unidades simples, es sin duda incorrecta. La calculadora mantiene ambas separadas y etiqueta las unidades claramente.

Una comprobación con el círculo completo. A 360°, el sector es todo el círculo, así que el área del sector debe ser igual a πr². Para r = 6, π × 36 = 113.0973355292 unidades cuadradas. El arco al mismo tiempo es la circunferencia completa, 37.6991118431 unidades. Ambos proceden del mismo radio y ángulo, pero responden a preguntas diferentes.

Un segmento circular es la región encerrada por un arco y su cuerda. Imagina una porción del círculo cortada por una línea recta: el borde curvo es el arco, el borde recto es la cuerda, y el área entre ellos es el segmento. Es más pequeño que el sector, porque el sector también incluye el triángulo formado por los dos radios y la cuerda.

El área del segmento es el área del sector menos el área triangular entre los dos radios y la cuerda:

Aquí θ es el barrido central en radianes, entre 0 y 2π. La fórmula trata correctamente tanto los segmentos menores como los mayores: para un arco menor da el casquete pequeño, y para un arco mayor da la región grande que cubre la mayor parte del círculo.

Ejemplos resueltos. Para r = 5 unidades y 60°, el área del sector es 13.0899693900 unidades cuadradas y el área del segmento es ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 unidades cuadradas. El segmento es mucho más pequeño que el sector, porque el triángulo ocupa la mayor parte de la cuña. Para r = 5 y 90°, el segmento es de 7.1349540849 unidades cuadradas. Para r = 8 y 90°, el segmento es de 18.2654824574 unidades cuadradas.

Casos especiales. A 180°, sin θ = 0, así que el área del segmento es igual al área del sector: ½ πr². Para r = 5, ambas son 39.2699081699 unidades cuadradas, que es exactamente la mitad del círculo. A 270°, sin θ = -1, así que el segmento es mayor que el sector: para r = 5, el sector es de 58.9048622548 unidades cuadradas y el segmento es de 71.4048622548 unidades cuadradas. A 360°, la cuerda desaparece y el segmento es todo el círculo, πr².

Segmento frente a sector, en una línea. El sector es la cuña desde el centro. El segmento es el casquete más allá de la cuerda. Si tu problema implica el centro, quieres el sector. Si implica solo el arco y su cuerda, quieres el segmento.

Los grados y los radianes son dos unidades para lo mismo, el ángulo. Los grados dividen una vuelta completa en 360 partes iguales. Los radianes miden un ángulo por el arco que recorta, en unidades del radio. Ambos están vinculados por una sola conversión: π radianes equivalen a 180°.

Las fórmulas de conversión son:

Conversiones resueltas. 120° en radianes son 120 × π / 180 = 2.0943951024 radianes. 45° son 45 × π / 180 = 0.7853981634 radianes. En sentido contrario, 1 radián es 1 × 180 / π = 57.2957795131°, y 2 radianes son 114.5915590262°. Ese último valor es útil: un arco se vuelve más largo que el diámetro exactamente cuando el ángulo supera los 2 radianes.

¿Qué unidad debes usar? Usa grados cuando el problema dé grados, y radianes cuando dé radianes. La calculadora acepta ambas, y el interruptor DEG/RAD convierte tu ángulo sin cambiar el arco. Para el cálculo a mano, los grados convienen a la forma fraccionaria L = πrθ / 180, mientras que los radianes convienen a la forma limpia L = rθ. En cualquier caso, nunca mezcles ambas en una misma fórmula.

A veces no se dan ni el radio ni el diámetro. La calculadora trabaja hacia atrás a partir de otras cuatro medidas derivando primero el radio, y luego aplica L = rθ como siempre. Los seis métodos dan el mismo radio y la misma longitud de arco para el mismo círculo, así que puedes usar la medida que realmente tengas.

A partir de la circunferencia del círculo completo. La circunferencia completa es C = 2πr, así que r = C / (2π). Para C = 31.4159265359 unidades, r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 unidades. Entonces un arco de 60° es L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unidades. Observa el atajo: un arco de 60° es un sexto de la circunferencia, y 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 unidades.

A partir de la longitud de la cuerda. La fórmula de la cuerda es c = 2r sin(θ / 2), así que r = c / [2 sin(θ / 2)]. Para una cuerda de 5 unidades con un ángulo de 60°, r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 unidades. Entonces L = 5.2359877560 unidades. La entrada por cuerda solo funciona cuando el ángulo está estrictamente entre 0° y 360°: a 0° o 360° la cuerda es cero y no se puede recuperar ningún radio, así que la calculadora rechaza esos ángulos para este método.

A partir del área del círculo completo. El área de un círculo completo es A = πr², así que r = √(A / π). Para A = 78.5398163397 unidades cuadradas, r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 unidades. Entonces un arco de 60° es L = 5.2359877560 unidades. Puedes verificar el radio volviéndolo a poner en la fórmula del área: π × 25 = 78.5398163397 unidades cuadradas.

A partir del área del sector. El área del sector es A = ½r²θ, así que r = √(2A / θ) con θ en radianes. Para un área de sector de 13.0899693900 unidades cuadradas con un ángulo de 60°, θ = 1.0471975512 radianes, así que r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 unidades. Entonces L = 5.2359877560 unidades. Este método necesita el ángulo además del área, porque la misma área de sector puede proceder de muchas combinaciones de radio y ángulo.

Qué entrada usar. Usa la medida que realmente tengas. Si dos medidas diferentes dan radios diferentes, una de las medidas está mal, y esa discrepancia merece investigarse antes de confiar en cualquiera de las dos respuestas.

La longitud del arco no es un ejercicio abstracto de clase. En cualquier lugar donde haya que medir, cortar, construir o recorrer una distancia curva sobre un círculo, se aplica la misma fórmula.

Ingeniería y fabricación. El doblado de tubos empieza con la longitud del arco: un tubo doblado 90° con un radio de curvatura de 8 unidades necesita 12.5663706144 unidades de tubo solo para la curva. La chapa enrollada en un panel curvo, el perfil de un diente de engranaje y la forma de una leva necesitan todos la longitud curva antes de cortar el material. Equivocarse desperdicia material o deja una pieza corta.

Arquitectura y construcción. Las puertas en arco, las ventanas circulares, las cúpulas y las escaleras curvas se dimensionan por sus arcos. Un arco semicircular con un radio de 10 unidades necesita 31.4159265359 unidades de moldura a lo largo de la curva. Un pedido de bordillo para un parterre circular necesita el arco para el lado curvo y el diámetro para el lado recto, que son números diferentes.

Carreteras y pistas. Una curva circular de carretera, una curva de una pista de atletismo o una curva de ferrocarril se traza por radio y ángulo central. La longitud de la curva decide la cantidad de asfalto, la longitud del raíl y la distancia que recorre un vehículo por la curva. Una curva de 120° con un radio de 7 unidades mide 14.6607657168 unidades de largo.

Relojes, ruedas y robótica. Una manecilla de reloj barre un arco a medida que pasa el tiempo. Una rueda que rueda por el suelo cubre una distancia igual al arco por el que gira. Un brazo de robot que gira sobre una articulación mueve su pinza a lo largo de un arco circular, y la distancia que recorre es rθ, por eso los radianes son la unidad natural en robótica.

Gráficos por ordenador y CAD. Las curvas de los modelos CAD, las fuentes tipográficas y las animaciones se construyen a partir de arcos circulares. La longitud de un arco decide cómo se divide una trayectoria de herramienta, cómo se representa una curva y qué distancia recorre un objeto a lo largo de una trayectoria circular en una animación.

Una nota sobre las formas reales. No toda estructura curva es un círculo perfecto. Los arcos reales pueden ser elípticos o parabólicos, y las carreteras reales usan transiciones clotoides. Las fórmulas de círculo de esta página se aplican exactamente cuando la curva es un verdadero arco circular, y son una buena aproximación solo cuando la curva es casi circular. Confirma siempre la forma antes de aplicar la fórmula.

La mayoría de las respuestas incorrectas en la longitud del arco de un círculo proceden de una pequeña lista de errores. Comprobar cada uno lleva segundos y evita la mayoría de los fallos.

1. Usar el diámetro en lugar del radio. La fórmula necesita r, no d. Usar d = 14 como radio duplica la respuesta: 29.3215314336 en lugar de 14.6607657168 para un arco de 120°. Divide primero el diámetro entre dos.
2. Olvidar convertir los grados a radianes. L = rθ necesita radianes. Poner 60° directamente da 5 × 60 = 300 en lugar de 5.2359877560. Convierte primero, o usa L = πrθ / 180.
3. Confundir el ángulo central con un ángulo inscrito. Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco. Si un problema da un ángulo inscrito φ, el ángulo central es θ = 2φ, y el arco es L = r × 2φ. Usar φ directamente reduce la respuesta a la mitad.
4. Mezclar los arcos mayor y menor. Un ángulo de 270° da un arco mayor de 18.8495559215 unidades para r = 4. Usar el ángulo menor de 90° en su lugar da 6.2831853072 unidades, el arco menor. Comprueba qué arco pide el problema.
5. Confundir la longitud del arco con la longitud de la cuerda. La cuerda es la línea recta, siempre más corta que el arco. Para r = 5 y 180°, la cuerda es de 10 unidades y el arco es de 15.7079632679 unidades. Solo son iguales en el caso límite de longitud cero.
6. Confundir el área del sector con la longitud del arco. El área del sector es una región bidimensional en unidades cuadradas. La longitud del arco es una distancia unidimensional en unidades simples. Para r = 5 y 60°, el área del sector es de 13.0899693900 unidades cuadradas y el arco es de 5.2359877560 unidades. Cantidades diferentes, unidades diferentes.
7. Usar las unidades de medida equivocadas. Un radio en cm y un ángulo en grados está bien, pero la respuesta sale en cm. Mezclar cm y pulgadas en un mismo cálculo, u olvidar convertir la unidad de salida, da un número con el tamaño equivocado. Convierte primero, calcula después.
8. Redondear π demasiado pronto. Sustituir π por 3.14 antes de multiplicar introduce un error que crece con el radio. Mantén el valor completo de π durante el cálculo y redondea solo el resultado final mostrado.
9. Olvidar que un círculo completo representa 360°. Un ángulo de 360° es la circunferencia completa, 2πr, no cero. Un ángulo de 0° es el arco de longitud cero. Ambos se parecen en un diagrama, porque los extremos coinciden, pero sus longitudes de arco son lo más diferentes posible.
10. Usar el intervalo de ángulo equivocado. Las fórmulas de longitud de arco para un círculo suponen que el barrido está entre 0° y 360°. Un ángulo de 450° no es un barrido único válido en un círculo: es una vuelta completa más 90°, y el arco para un círculo es el resto de 90°, 12.5663706144 unidades para r = 8.

Una comprobación final que detecta la mayoría de estos errores. Verifica el resultado con la circunferencia. El arco debe estar entre 0 y 2πr, debe ser más largo que la cuerda, y los arcos menor y mayor deben sumar exactamente 2πr. Si alguna de esas comprobaciones falla, uno de los diez errores anteriores es la causa.

Estos seis ejemplos cubren los principales métodos de entrada de la calculadora y los tipos de arco. Cada uno se calcula con el mismo motor que impulsa la herramienta, y cada resultado ha sido verificado de forma independiente.

Ejemplo 1: Arco menor con radio 5 y 60°. Dados r = 5 unidades, θ = 60° = π / 3 radianes. Longitud del arco L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unidades. Diámetro d = 10 unidades. Cuerda c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 unidades. Área del sector A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 unidades cuadradas. Circunferencia completa C = 31.4159265359 unidades.

Ejemplo 2: Arco de cuarto de círculo con radio 8 y 90°. Dados r = 8 unidades, θ = 90° = π / 2 radianes. Longitud del arco L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unidades. Cuerda c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 unidades. Área del sector A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 unidades cuadradas. El arco es exactamente un cuarto de la circunferencia, 50.2654824574 unidades.

Ejemplo 3: Arco mayor con radio 4 y 270°. Dados r = 4 unidades, θ = 270° = 3π / 2 radianes. Longitud del arco L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 unidades. Cuerda c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 unidades. Área del sector A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 unidades cuadradas. El arco menor complementario, con 90°, es de 6.2831853072 unidades. Los dos arcos suman 25.1327412287 unidades, la circunferencia completa.

Ejemplo 4: Arco a partir del diámetro 14 y 120°. Dados d = 14 unidades, θ = 120° = 2π / 3 radianes. Radio r = 14 / 2 = 7 unidades. Longitud del arco L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 unidades. Cuerda c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 unidades. Área del sector A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 unidades cuadradas. El área del segmento es de 30.0950576159 unidades cuadradas.

Ejemplo 5: Semicírculo con radio 10 y 180°. Dados r = 10 unidades, θ = 180° = π radianes. Longitud del arco L = 10 × π = 31.4159265359 unidades. Cuerda c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 unidades, el diámetro. Área del sector A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 unidades cuadradas, exactamente la mitad del área del círculo completo. El arco es π / 2 veces el diámetro, alrededor de un 57.08% más largo que la línea recta que lo cruza.

Ejemplo 6: Círculo completo con radio 6 y 360°. Dados r = 6 unidades, θ = 360° = 2π radianes. Longitud del arco L = 6 × 2π = 37.6991118431 unidades, que es la circunferencia completa. Cuerda c = 0, porque los extremos coinciden. Área del sector A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 unidades cuadradas, el área del círculo completo. El porcentaje del arco es del 100%.

Haz clic en cualquier botón de ejemplo de la calculadora para cargar uno de estos ejemplos y ver la solución completa paso a paso, el diagrama en vivo y todos los resultados secundarios de esa entrada.