حاسبة طول قوس الدائرة

تقيس حاسبة طول قوس الدائرة المسافة المنحنية على أي جزء من الدائرة، من شريحة صغيرة إلى المحيط الكامل. وهي تقبل ستة قياسات بداية مختلفة، لتستخدم أي قيمة لديك. اتبع هذه الخطوات للحصول على إجابة صحيحة في أقل من دقيقة.

1. اختر طريقة الإدخال. اختر نصف القطر، أو القطر، أو محيط الدائرة الكاملة، أو طول الوتر، أو مساحة الدائرة الكاملة، أو مساحة القطاع. يتغير حقل الإدخال وتسميته وقائمة وحداته بما يناسب الطريقة التي تختارها.
2. أدخل قياسك. اكتب القيمة في مربع الإدخال. وعند استخدام طرق المساحة، استخدم قائمة الوحدات المربعة (mm²، cm²، m²، km²، in²، ft²، yd²).
3. أدخل الزاوية المركزية. اكتب الزاوية بالدرجات أو الراديان باستخدام مفتاح DEG/RAD، أو اسحب منزلق الزاوية من 0° إلى 360°. ويتحدث المخطط المباشر والنتيجة مع تحريكه.
4. حدد زاويتي البداية والنهاية إذا احتجت إليهما. يبدأ الامتداد الافتراضي من 0° ويسير عكس اتجاه عقارب الساعة. غيّر زاوية البداية أو زاوية النهاية أو الاتجاه لقياس قوس في أي مكان على الدائرة. فالامتداد، لا الموضع، هو الذي يحدد طول القوس.
5. اختر وحدتي الإدخال والإخراج. تحول الحاسبة مدخلاتك إلى وحدة داخلية موحدة، ثم تحسب، ثم تحول الإجابة إلى وحدة الإخراج. ويتغير الرقم مع الوحدة، أما الطول فلا يتغير.
6. اختر الدقة. اختر 2 أو 4 أو 6 أو 8 منازل عشرية. والافتراضي هو 4. وتستخدم الحاسبة دائما قيمة π الكاملة الدقة داخليا، وتقرب النتيجة المعروضة فقط.
7. انقر على Calculate Now. النتيجة الرئيسية هي طول القوس المحدد، مع تصنيفه: قوس صفري الطول، أو قوس أصغر، أو نصف دائرة، أو قوس أكبر، أو دائرة كاملة. وتحته تحصل على نصف القطر والقطر والمحيط الكامل والقوس المكمل وطول الوتر ومساحة القطاع ومساحة القطعة الدائرية والنسبة المئوية للقوس وكلا شكلي الزاوية ونسبة القوس إلى الوتر.
8. استكشف المخطط. يرسم مخطط الدائرة المباشر الدائرة الكاملة، ويبرز القوس المحدد باللون الذهبي، ويحدد المركز O وخطي نصف القطر والوتر ونقطتي الطرفين. استخدم مفاتيح التبديل لإظهار نصف القطر أو القطر أو الوتر أو نقطة المركز أو علامة الزاوية أو القوسين الأصغر والأكبر أو إخفائها.
9. انسخ أو اطبع أو أعد التعيين. استخدم Copy Result لوضع الإجابة في الحافظة، وPrint Summary لتقرير بسيط، وReset لمسح اللوحة. وتحمّل أزرار الأمثلة الجاهزة أمثلة موثقة فورا.

جرّب مثالا. نصف قطر 5 مع زاوية 60° يعطي قوسا طوله 5.2359877560 وحدة. ونصف قطر 8 مع 90° يعطي 12.5663706144 وحدة. ونصف قطر 4 مع 270° يعطي قوسا أكبر طوله 18.8495559215 وحدة. وقطر 14 مع 120° يعطي 14.6607657168 وحدة. ونصف قطر 10 مع 180° يعطي قوس نصف الدائرة 31.4159265359 وحدة، ونصف قطر 6 مع 360° يعطي المحيط الكامل 37.6991118431 وحدة.

نصائح مهمة. حافظ على اتساق وحدة الزاوية: 60° و1.0471975512 راديان هما الزاوية نفسها، لكن 60 راديان ليست 60°. وطول القوس هو المسافة المنحنية فقط، أما الوتر فهو قياس مختلف وهو أقصر دائما، إلا في حالة القوس صفري الطول. وإذا أدخلت قطرا، تقسمه الحاسبة إلى نصفين لتجد نصف القطر أولا. والقياس الصفري أو السالب ليس دائرة صالحة، لذا ترفضه الحاسبة بدلا من عرض إجابة مضللة.

الدائرة هي مجموعة كل النقاط الواقعة على مسافة ثابتة، هي نصف القطر، من نقطة مركز O. والقوس هو جزء متصل من الدائرة بين نقطتين عليها. وطول القوس هو المسافة التي تقطعها إذا مشيت على المنحنى من أحد الطرفين إلى الآخر، مع البقاء على الدائرة طوال الطريق.

تخيل مضمار جري دائريا. طول القوس هو المسافة على طول المسار بين بوابتين. أما الخط المستقيم الذي يقطع الملعب الداخلي بين البوابتين نفسهما فهو الوتر، وهو أقصر. والفرق مهم: فالعداء يتبع المنحنى، لذا فإن المسافة المنحنية هي التي تحسب.

لكل دائرة الأجزاء نفسها، بمقياس نصف قطرها. فالمركز O هو النقطة الثابتة. ونصف القطر r يمتد من O إلى أي نقطة على الدائرة. والقطر d يمتد من جانب إلى آخر عبر O، وهو دائما ضعف نصف القطر. والمحيط C هو المسافة حول الدائرة كلها، C = 2πr. والزاوية المركزية θ هي الزاوية عند O بين نصفي القطر المتجهين إلى طرفي القوس، وهي التي تحدد أي جزء من المحيط يغطيه القوس.

توجد نقطتان على الدائرة دائما قوسين: الأقصر، وهو القوس الأصغر، والأطول، وهو القوس الأكبر. وهما معا يكوّنان المحيط الكامل. وأيهما تريد يعتمد على مسألتك، وتعرض الحاسبة كليهما، فلا تضطر إلى التخمين أبدا.

طول القوس قياس أحادي البعد، أي طول، لذا يذكر بوحدات عادية مثل cm أو m أو البوصة. وهو ليس مساحة وليس زاوية. والفصل بين هذه الكميات الثلاث هو الخطوة الأولى لإتقان كل حسابات الدائرة.

يأتي طول قوس الدائرة مباشرة من محيط الدائرة الكاملة. فمحيط الدائرة الكاملة هو:

تمثل الزاوية المركزية جزءا من دورة كاملة مقدارها 360°. فالقوس ذو الزاوية المركزية θ يغطي الجزء θ / 360 من الدائرة كلها، لذا:

وبالتبسيط نحصل على صيغة الدرجات:

وعندما تقاس الزاوية بالراديان، تصبح الصيغة أبسط، لأن الراديان معرّف بنصف القطر نفسه:

لكل رمز في الصيغ معنى دقيق:

تعطي الصيغتان الإجابة نفسها. استخدم L = πrθ / 180 عندما تكون زاويتك بالدرجات، وL = rθ عندما تكون بالراديان. وتحول الحاسبة الدرجات إلى راديان أولا ثم تستخدم L = rθ داخليا، ولهذا يتفق الوضعان دائما.

ويعطي استخدام القطر بدلا من نصف القطر صيغة ثانية للصيغة نفسها. فبما أن d = 2r، فإن r = d / 2، وبالتعويض نحصل على L = dθ / 2 بالراديان، أو L = πdθ / 360 بالدرجات.

نصف القطر مع الزاوية المركزية هما الطريقة الأكثر مباشرة لإيجاد طول القوس. ويستخدم المثال المحلول أدناه نصف قطر 5 وحدات وزاوية مركزية 60°.

1. حدد نصف القطر. r = 5 وحدات.
2. حدد الزاوية المركزية. θ = 60°.
3. حوّل الدرجات إلى راديان. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 راديان.
4. اكتب صيغة طول القوس. L = rθ.
5. عوّض بالقيم. L = 5 × π / 3.
6. احسب. L = 5.2359877560 وحدة.
7. قرّب حسب الحاجة. إلى منزلتين عشريتين، L = 5.24 وحدة.

تعمل الخطوات نفسها مع أي نصف قطر وزاوية. فنصف قطر 8 وحدات مع 90° يعطي L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 وحدة. ونصف قطر 3 وحدات مع 60° يعطي L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 وحدة. ونصف قطر 1 وحدة مع 60° يعطي L = 1.0471975512 وحدة، وهو بالضبط π / 3، وهو تحقق مفيد: فعند r = 1، يساوي طول القوس الزاوية بالراديان.

قاعدة التقريب. قرّب في النهاية فقط. فإذا استبدلت π بـ 3.14 قبل الضرب، فإن نصف قطر 5 مع 60° يعطي 5.2333333333 بدلا من 5.2359877560، أي خطأ مقداره 0.0026544227. ويكبر هذا الخطأ مع نصف القطر، لذا حافظ على الدقة الكاملة خلال الحساب وقرّب النتيجة النهائية المعروضة فقط.

عندما تعرف القطر بدلا من نصف القطر، اقسمه إلى نصفين أولا، ثم طبق الصيغة نفسها. ويستخدم المثال المحلول أدناه قطرا مقداره 14 وحدة وزاوية مركزية 120°.

1. حدد القطر. d = 14 وحدة.
2. جد نصف القطر. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 وحدات.
3. حدد الزاوية المركزية. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 راديان.
4. اكتب الصيغة. L = rθ، أو مباشرة L = πdθ / 360.
5. عوّض. L = 7 × 2.0943951024، أو L = π × 14 × 120 / 360.
6. احسب. L = 14.6607657168 وحدة.
7. قرّب حسب الحاجة. إلى منزلتين عشريتين، L = 14.66 وحدة.

يتفق المساران تماما، وهذا تحقق ذاتي جيد. فمسار نصف القطر يعطي 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. ومسار القطر يعطي π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. وإذا اختلفا، فإن القطر لم يقسم إلى نصفين بصورة صحيحة.

مثال آخر: قطر 20 وحدة مع 180° يعطي r = 10 وحدات، لذا L = π × 10 = 31.4159265359 وحدة، وهو قوس نصف الدائرة. وقطر 10 وحدات مع 60° يعطي r = 5 وحدات، لذا L = 5.2359877560 وحدة. والخطأ الأكثر شيوعا في هذا الحساب هو نسيان القسمة على اثنين واستخدام القطر كما لو كان نصف القطر، مما يضاعف الإجابة. فعند d = 14، يعطي هذا الخطأ 29.3215314336 بدلا من 14.6607657168.

نصيحة للقياس. غالبا ما يكون قياس الأقطار في الحياة الواقعية أسهل من قياس أنصاف الأقطار، لأنه يمكنك القياس مباشرة عبر الدائرة. ولهذا تقبل الحاسبة إدخال القطر مباشرة: قس عبر الدائرة، وأدخل القيمة، وستقسمها الحاسبة إلى نصفين نيابة عنك.

الدرجات هي الوحدة اليومية للزوايا. وتحتوي الدائرة الكاملة على 360°، لذا تخبرك الزاوية المركزية بالدرجات مباشرة بأي جزء من الدائرة الكاملة يغطيه قوسك. فزاوية 90° تغطي ربع الدائرة، و180° تغطي نصفها، و270° تغطي ثلاثة أرباعها.

صيغة الدرجات هي L = πrθ / 180، حيث θ بالدرجات. وهي تأتي من فكرة الجزء: θ / 360 من المحيط 2πr، بعد التبسيط.

مثال محلول. نصف قطر 8 وحدات، وزاوية 90°.

1. حدد القيم. r = 8 وحدات، θ = 90°.
2. جد جزء الدائرة. 90 / 360 = 1 / 4، أي ربع دائرة.
3. اكتب الصيغة. L = πrθ / 180.
4. عوّض. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. احسب. L = 12.5663706144 وحدة.
6. تحقق من المحيط. المحيط الكامل هو 2π × 8 = 50.2654824574 وحدة، وربعه هو 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 وحدة. وهما متفقان.

أمثلة أخرى بالدرجات مع نصف قطر 5 وحدات: 30° تعطي L = 2.6179938780 وحدة، و45° تعطي L = 3.9269908170 وحدة، و120° تعطي L = 10.4719755120 وحدة، و270° تعطي L = 23.5619449019 وحدة. ولاحظ أن مضاعفة الزاوية تضاعف طول القوس عند ثبات نصف القطر، لأن طول القوس يتناسب طرديا مع الزاوية المركزية.

خطأ شائع في الدرجات. إن وضع قيمة بالدرجات مباشرة في L = rθ دون تحويل يعطي إجابة خاطئة بشدة. فعند r = 5 و60°، يعطي الحساب دون تحويل 5 × 60 = 300، لكن الإجابة الصحيحة هي 5.2359877560. فالصيغة L = rθ تحتاج إلى الراديان، لذا حوّل أولا أو استخدم صيغة الدرجات L = πrθ / 180.

الراديان هو الزاوية التي تحصل عليها عندما يساوي طول القوس نصف القطر. فإذا لففت خيطا طوله يساوي نصف القطر حول الدائرة، فإن الزاوية التي يحصرها عند المركز تساوي 1 راديان بالضبط. وتحتوي الدائرة الكاملة على 2π راديان، أي نحو 6.2831853072 راديان، لأن المحيط الكامل هو 2πr، وبقسمته على r يبقى 2π.

صيغة الراديان هي L = rθ، وهي أبسط صيغة لطول القوس. ولا يوجد فيها π، لأن π موجودة أصلا داخل قياس الزاوية بالراديان.

مثال محلول. نصف قطر 5 وحدات، وزاوية π / 3 راديان (أي 60°).

1. حدد القيم. r = 5 وحدات، θ = π / 3 = 1.0471975512 راديان.
2. اكتب الصيغة. L = rθ.
3. عوّض. L = 5 × 1.0471975512.
4. احسب. L = 5.2359877560 وحدة.
5. تحقق بالدرجات. π / 3 راديان تساوي 60°، وتعطي صيغة الدرجات L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 وحدة. وهما متفقتان تماما.

أمثلة أخرى بالراديان: نصف قطر 4 وحدات مع θ = π / 2 راديان يعطي L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 وحدة. ونصف قطر 6 وحدات مع θ = π / 4 راديان يعطي L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 وحدة. ونصف قطر 10 وحدات مع θ = π راديان يعطي L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 وحدة، وهو قوس نصف الدائرة.

لماذا يفضل الراديان في الرياضيات. تستخدم صيغ التفاضل والتكامل لطول القوس، وصيغ الوتر والقطاع والقطعة الدائرية في هذه الصفحة، الراديان كلها. والدرجات مريحة للقياس اليومي، لكن الراديان يجعل الرياضيات نظيفة، ولهذا تحول الحاسبة كل زاوية إلى راديان قبل الحساب.

تقسم نقطتان على الدائرة إلى قوسين. فالأقصر هو القوس الأصغر، والأطول هو القوس الأكبر. ويشتركان في الطرفين نفسهما، ويكوّنان معا المحيط الكامل.

تحدد الزاوية المركزية أيهما أي. فالزاوية المركزية الأقل من 180° تعطي قوسا أصغر. والزاوية المركزية الأكبر من 180° تعطي قوسا أكبر. أما 180° بالضبط فتعطي نصف دائرة، وهو ليس أصغر ولا أكبر: فالقوسان متساويان.

الأصغر والأكبر مكملان. فعند زاوية مركزية أصغر θ، يكون القوس الأصغر Lminor = rθ والقوس الأكبر Lmajor = r(2π - θ). ومجموعهما دائما هو المحيط الكامل:

مثال محلول. نصف قطر 5 وحدات، وزاوية أصغر 60°. القوس الأصغر هو L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 وحدة. أما القوس الأكبر فيستخدم الزاوية المنعكسة 360° - 60° = 300°، لذا L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 وحدة. والمجموع هو 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 وحدة، وهو بالضبط المحيط 2π × 5. والقوس الأصغر هو 16.67% من الدائرة والقوس الأكبر هو 83.33%.

مثال آخر. نصف قطر 4 وحدات، وزاوية 270°. وهذا هو القوس الأكبر أصلا: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 وحدة. أما قوسه الأصغر المكمل فيستخدم 90°: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 وحدة. والمجموع هو 25.1327412287 وحدة، وهو المحيط الكامل 2π × 4.

لا تخلط بين الزاويتين. الخطأ الأكثر شيوعا بين الأصغر والأكبر هو استخدام الزاوية الأصغر عندما تطلب المسألة القوس الأكبر، أو العكس. تحقق دائما مما إذا كانت الزاوية المعطاة هي الأصغر أم المنعكسة، وتذكر أن الحاسبة تعرض القوسين جنبا إلى جنب لتختار القوس الذي تحتاجه مسألتك.

يربط طول القوس وطول الوتر النقطتين نفسهما على الدائرة، لكنهما يسلكان مسارين مختلفين. فالقوس يتبع المنحنى. أما الوتر فيقطع مباشرة عبر الدائرة. والقوس أطول دائما تقريبا.

توضح الصيغتان الفرق بوضوح:

يعتمد الوتر على جيب نصف الزاوية، الذي ينمو ببطء أكبر من الزاوية نفسها، لذا تتسع الفجوة بين القوس والوتر مع نمو الزاوية.

ثلاث حقائق من الجدول تستحق التذكر. فعند 30°، يكون القوس أطول من الوتر بنحو 1.15% فقط، لذا يكون الاثنان متقاربين عند الزوايا الصغيرة. وعند 180°، يكون الوتر هو القطر، 10 وحدات، بينما القوس هو πr = 15.7079632679 وحدة. وعند 270°، ينكمش الوتر عائدا إلى 7.0710678119 وحدة، وهي القيمة نفسها عند 90°، لأن الوتر يعتمد على الزاوية الأصغر بين الطرفين، بينما يستمر القوس في النمو مع الامتداد.

حالة خاصة. عند 60°، يساوي الوتر نصف القطر تماما: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. فعند r = 5، يكون الوتر 5 وحدات، ويشكل نصف القطر والوتر ونصفا القطر مثلثا متساوي الأضلاع. وهذا تحقق مفيد ومفضل لدى واضعي الامتحانات.

لماذا يهم هذا. إذا كنت تقطع أنبوبا منحنيا، فأنت تحتاج إلى طول القوس. وإذا كنت تقيس الفجوة المستقيمة بين نقطتين على جزء دائري، فأنت تحتاج إلى الوتر. وخلطهما من أكثر أخطاء الدائرة شيوعا، وتعرض الحاسبة القيمتين معا ليكون الفرق ظاهرا دائما.

يبدو طول القوس ومساحة القطاع متشابهين، لكنهما يقيسان شيئين مختلفين. فطول القوس مسافة منحنية أحادية البعد، تقاس بوحدات عادية. أما مساحة القطاع فهي منطقة ثنائية البعد، وهي إسفين الدائرة الذي يقطعه نصفا قطر والقوس، وتقاس بوحدات مربعة.

تبدو الصيغتان متشابهتين، وهذا بالضبط سبب الخلط بينهما:

مساحة القطاع هي طول القوس مضروبا في نصف نصف القطر: A = ½ × r × L. وهذه العلاقة تحقق مفيد. فعند نصف قطر 5 وحدات و60°، يكون القوس 5.2359877560 وحدة، ومساحة القطاع هي ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 وحدة مربعة.

الوحدات هي الدليل. إذا كان جوابك طولا، فالوحدة هي cm أو m أو البوصة. وإذا كان مساحة، فالوحدة هي cm² أو m² أو البوصة المربعة. فإجابة طول قوس بوحدات مربعة، أو إجابة مساحة قطاع بوحدات عادية، خاطئة حتما. وتفصل الحاسبة بين الاثنين وتسمي الوحدات بوضوح.

تحقق الدائرة الكاملة. عند 360°، يكون القطاع هو الدائرة كلها، لذا يجب أن تساوي مساحة القطاع πr². فعند r = 6، تكون π × 36 = 113.0973355292 وحدة مربعة. ويكون القوس في الوقت نفسه هو المحيط الكامل، 37.6991118431 وحدة. وكلاهما يأتي من نصف القطر والزاوية نفسيهما، لكنهما يجيبان عن سؤالين مختلفين.

القطعة الدائرية هي المنطقة المحصورة بين قوس ووتره. تخيل شريحة من الدائرة قطعها خط مستقيم: فالحافة المنحنية هي القوس، والحافة المستقيمة هي الوتر، والمساحة بينهما هي القطعة. وهي أصغر من القطاع، لأن القطاع يشمل أيضا المثلث الذي يشكله نصفا القطر والوتر.

مساحة القطعة هي مساحة القطاع ناقص مساحة المثلث بين نصفي القطر والوتر:

وهنا θ هي الامتداد المركزي بالراديان، بين 0 و2π. وتتعامل الصيغة مع القطعتين الصغرى والكبرى بصورة صحيحة: فعند قوس أصغر تعطي الغطاء الصغير، وعند قوس أكبر تعطي المنطقة الكبيرة التي تغطي معظم الدائرة.

أمثلة محلولة. عند r = 5 وحدات و60°، تكون مساحة القطاع 13.0899693900 وحدة مربعة ومساحة القطعة هي ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 وحدة مربعة. والقطعة أصغر بكثير من القطاع، لأن المثلث يشغل معظم الإسفين. وعند r = 5 و90°، تكون القطعة 7.1349540849 وحدة مربعة. وعند r = 8 و90°، تكون القطعة 18.2654824574 وحدة مربعة.

حالات خاصة. عند 180°، يكون sin θ = 0، لذا تساوي مساحة القطعة مساحة القطاع: ½ πr². فعند r = 5، تكون كلتاهما 39.2699081699 وحدة مربعة، أي نصف الدائرة بالضبط. وعند 270°، يكون sin θ = -1، لذا تكون القطعة أكبر من القطاع: فعند r = 5، يكون القطاع 58.9048622548 وحدة مربعة والقطعة 71.4048622548 وحدة مربعة. وعند 360°، يختفي الوتر وتصبح القطعة هي الدائرة كلها، πr².

القطعة مقابل القطاع، في سطر واحد. القطاع هو الإسفين المنطلق من المركز. والقطعة هي الغطاء الواقع بعد الوتر. فإذا كانت مسألتك تتضمن المركز، فأنت تريد القطاع. وإذا كانت تتضمن القوس ووتره فقط، فأنت تريد القطعة.

الدرجات والراديان وحدتان للشيء نفسه، وهو الزاوية. فالدرجات تقسم الدورة الكاملة إلى 360 جزءا متساويا. أما الراديان فيقيس الزاوية بالقوس الذي يقطعه، بوحدات نصف القطر. ويربط بينهما تحويل واحد: π راديان تساوي 180°.

صيغتا التحويل هما:

تحويلات محلولة. 120° بالراديان هي 120 × π / 180 = 2.0943951024 راديان. و45° هي 45 × π / 180 = 0.7853981634 راديان. وبالعكس، 1 راديان هو 1 × 180 / π = 57.2957795131°، و2 راديان هما 114.5915590262°. وهذه القيمة الأخيرة مفيدة: إذ يصبح القوس أطول من القطر بالضبط عندما تتجاوز الزاوية 2 راديان.

أي وحدة تستخدم؟ استخدم الدرجات عندما تعطي المسألة الدرجات، والراديان عندما تعطي الراديان. وتقبل الحاسبة كليهما، ويحوّل مفتاح DEG/RAD زاويتك دون تغيير القوس. وفي الحساب اليدوي، تناسب الدرجات صيغة الجزء L = πrθ / 180، بينما يناسب الراديان الصيغة النظيفة L = rθ. وفي كلتا الحالتين، لا تخلط بينهما في صيغة واحدة أبدا.

أحيانا لا يعطى نصف القطر ولا القطر. وتعمل الحاسبة عكسيا من أربعة قياسات أخرى باستنتاج نصف القطر أولا، ثم تطبيق L = rθ كالمعتاد. وتعطي الطرق الست كلها نصف القطر نفسه وطول القوس نفسه للدائرة نفسها، لتستخدم أي قياس لديك فعلا.

من محيط الدائرة الكاملة. المحيط الكامل هو C = 2πr، لذا r = C / (2π). فعند C = 31.4159265359 وحدة، يكون r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 وحدات. ثم يكون قوس 60° هو L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 وحدة. ولاحظ الاختصار: فقوس 60° هو سدس المحيط، و31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 وحدة.

من طول الوتر. صيغة الوتر هي c = 2r sin(θ / 2)، لذا r = c / [2 sin(θ / 2)]. فعند وتر 5 وحدات مع زاوية 60°، يكون r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 وحدات. ثم L = 5.2359877560 وحدة. ويعمل إدخال الوتر فقط عندما تكون الزاوية بين 0° و360° تماما: فعند 0° أو 360° يكون الوتر صفرا ولا يمكن استعادة نصف قطر، لذا ترفض الحاسبة هاتين الزاويتين لهذه الطريقة.

من مساحة الدائرة الكاملة. مساحة الدائرة الكاملة هي A = πr²، لذا r = √(A / π). فعند A = 78.5398163397 وحدة مربعة، يكون r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 وحدات. ثم يكون قوس 60° هو L = 5.2359877560 وحدة. ويمكنك التحقق من نصف القطر بإعادته إلى صيغة المساحة: π × 25 = 78.5398163397 وحدة مربعة.

من مساحة القطاع. مساحة القطاع هي A = ½r²θ، لذا r = √(2A / θ) حيث θ بالراديان. فعند مساحة قطاع 13.0899693900 وحدة مربعة مع زاوية 60°، تكون θ = 1.0471975512 راديان، لذا r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 وحدات. ثم L = 5.2359877560 وحدة. وتحتاج هذه الطريقة إلى الزاوية إضافة إلى المساحة، لأن مساحة القطاع نفسها يمكن أن تأتي من توليفات كثيرة لنصف القطر والزاوية.

أي مدخل تستخدم. استخدم أي قياس لديك فعلا. وإذا أعطى قياسان مختلفان نصفَي قطر مختلفين، فإن أحد القياسين خاطئ، ويستحق هذا الاختلاف التحقيق قبل الوثوق بأي من الإجابتين.

طول القوس ليس تمرينا صفيا مجردا. ففي أي مكان يجب فيه قياس مسافة منحنية على دائرة أو قطعها أو بناؤها أو السفر عليها، تنطبق الصيغة نفسها.

الهندسة والتصنيع. يبدأ ثني الأنابيب بطول القوس: فالأنبوب المثني بزاوية 90° ونصف قطر انحناء 8 وحدات يحتاج إلى 12.5663706144 وحدة من الأنبوب للانحناء وحده. وتحتاج الصفائح المعدنية الملفوفة إلى لوح منحني، وسن الترس، وشكل الكامة، كلها إلى الطول المنحني قبل قطع المادة. والخطأ فيه يهدر المادة أو يترك القطعة قصيرة.

العمارة والبناء. تقاس المداخل المقوسة والنوافذ الدائرية والقباب والسلالم المنحنية بأقواسها. فالقوس نصف الدائري ذو نصف القطر 10 وحدات يحتاج إلى 31.4159265359 وحدة من الزخرفة على طول المنحنى. ويحتاج طلب حواف حوض حديقة دائري إلى القوس للجانب المنحني والقطر للجانب المستقيم، وهما رقمان مختلفان.

الطرق والمضامير. يخطط لمنحنى طريق دائري أو منعطف مضمار جري أو منحنى سكة حديد بنصف القطر والزاوية المركزية. ويحدد طول المنحنى كمية الأسفلت وطول السكة والمسافة التي تقطعها المركبة عبر المنعطف. فمنحنى 120° بنصف قطر 7 وحدات طوله 14.6607657168 وحدة.

الساعات والعجلات والروبوتات. يمسح عقرب الساعة قوسا مع مرور الوقت. وتغطي العجلة المتدحرجة على الأرض مسافة تساوي القوس الذي تدور عبره. ويحرك ذراع الروبوت الدوار حول مفصل قبضته على طول قوس دائري، والمسافة التي يقطعها هي rθ، ولهذا يكون الراديان هو الوحدة الطبيعية في علم الروبوتات.

رسوميات الحاسوب والتصميم بمساعدة الحاسوب. تبنى المنحنيات في نماذج التصميم بمساعدة الحاسوب والخطوط والرسوم المتحركة من أقواس دائرية. ويحدد طول القوس كيفية تقسيم مسار الأداة وكيفية عرض المنحنى ومدى تحرك جسم على طول مسار دائري في رسم متحرك.

ملاحظة عن الأشكال الحقيقية. ليس كل بناء منحني دائرة كاملة. فالأقواس الحقيقية قد تكون إهليلجية أو مكافئة، والطرق الحقيقية تستخدم انتقالات كلوثويدية. وتنطبق صيغ الدائرة في هذه الصفحة تماما عندما يكون المنحنى قوسا دائريا حقيقيا، وهي تقريب جيد فقط عندما يكون المنحنى قريبا من الدائري. تحقق دائما من الشكل قبل تطبيق الصيغة.

تأتي معظم الإجابات الخاطئة في طول قوس الدائرة من قائمة صغيرة من الأخطاء. ويستغرق التحقق من كل منها ثواني ويوفر معظم الأخطاء.

1. استخدام القطر بدلا من نصف القطر. تحتاج الصيغة إلى r لا d. فاستخدام d = 14 كنصف قطر يضاعف الإجابة: 29.3215314336 بدلا من 14.6607657168 لقوس 120°. اقسم القطر إلى نصفين أولا.
2. نسيان تحويل الدرجات إلى راديان. تحتاج L = rθ إلى الراديان. فوضع 60° مباشرة يعطي 5 × 60 = 300 بدلا من 5.2359877560. حوّل أولا، أو استخدم L = πrθ / 180.
3. الخلط بين الزاوية المركزية والزاوية المحيطية. الزاوية المحيطية هي نصف الزاوية المركزية التي تحصر القوس نفسه. فإذا أعطت المسألة زاوية محيطية φ، فإن الزاوية المركزية هي θ = 2φ، والقوس هو L = r × 2φ. واستخدام φ مباشرة ينصّف الإجابة.
4. خلط القوسين الأكبر والأصغر. زاوية 270° تعطي قوسا أكبر طوله 18.8495559215 وحدة عند r = 4. أما استخدام الزاوية الأصغر 90° بدلا منها فيعطي 6.2831853072 وحدة، وهي القوس الأصغر. تحقق من القوس الذي تطلبه المسألة.
5. الخلط بين طول القوس وطول الوتر. الوتر هو الخط المستقيم، وهو أقصر من القوس دائما. فعند r = 5 و180°، يكون الوتر 10 وحدات والقوس 15.7079632679 وحدة. وهما متساويان فقط في حالة الحد الصفري الطول.
6. الخلط بين مساحة القطاع وطول القوس. مساحة القطاع منطقة ثنائية البعد بوحدات مربعة. أما طول القوس فهو مسافة أحادية البعد بوحدات عادية. فعند r = 5 و60°، تكون مساحة القطاع 13.0899693900 وحدة مربعة والقوس 5.2359877560 وحدة. كميتان مختلفتان ووحدتان مختلفتان.
7. استخدام وحدات قياس خاطئة. نصف قطر بالسنتيمتر وزاوية بالدرجات أمر جيد، لكن الإجابة تخرج بالسنتيمتر. وخلط السنتيمتر والبوصة في حساب واحد، أو نسيان تحويل وحدة الإخراج، يعطي رقما بالحجم الخاطئ. حوّل أولا ثم احسب ثانيا.
8. تقريب π مبكرا جدا. استبدال π بـ 3.14 قبل الضرب يحدث خطأ يكبر مع نصف القطر. حافظ على قيمة π الكاملة الدقة خلال الحساب وقرّب النتيجة النهائية المعروضة فقط.
9. نسيان أن الدائرة الكاملة تمثل 360°. زاوية 360° هي المحيط الكامل، 2πr، وليست صفرا. وزاوية 0° هي القوس صفري الطول. ويبدو الاثنان متشابهين على المخطط، لأن الطرفين يتطابقان، لكن طولي قوسيهما مختلفان أقصى اختلاف ممكن.
10. استخدام فترة الزاوية الخاطئة. تفترض صيغ طول قوس الدائرة أن الامتداد بين 0° و360°. فزاوية 450° ليست مسحا واحدا صالحا على دائرة واحدة: بل هي دورة كاملة زائد 90°، والقوس لدائرة واحدة هو باقي 90°، أي 12.5663706144 وحدة عند r = 8.

تحقق أخير يلتقط معظم هذه الأخطاء. تحقق من النتيجة مقابل المحيط. فيجب أن يكون القوس بين 0 و2πr، وأن يكون أطول من الوتر، وأن يجمع القوسان الأصغر والأكبر إلى 2πr تماما. وإذا فشل أي من هذه التحققات، فإن أحد الأخطاء العشرة أعلاه هو السبب.

تغطي هذه الأمثلة الست طرق الإدخال الرئيسية للحاسبة وأنواع الأقواس. ويحسب كل منها المحرك نفسه الذي يشغّل الأداة، وقد تم التحقق من كل نتيجة بصورة مستقلة.

المثال 1: قوس أصغر بنصف قطر 5 و60°. المعطى r = 5 وحدات، θ = 60° = π / 3 راديان. طول القوس L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 وحدة. القطر d = 10 وحدات. الوتر c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 وحدات. مساحة القطاع A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 وحدة مربعة. المحيط الكامل C = 31.4159265359 وحدة.

المثال 2: قوس ربع دائرة بنصف قطر 8 و90°. المعطى r = 8 وحدات، θ = 90° = π / 2 راديان. طول القوس L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 وحدة. الوتر c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 وحدة. مساحة القطاع A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 وحدة مربعة. والقوس هو بالضبط ربع المحيط 50.2654824574 وحدة.

المثال 3: قوس أكبر بنصف قطر 4 و270°. المعطى r = 4 وحدات، θ = 270° = 3π / 2 راديان. طول القوس L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 وحدة. الوتر c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 وحدة. مساحة القطاع A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 وحدة مربعة. والقوس الأصغر المكمل، باستخدام 90°، هو 6.2831853072 وحدة. ويجمع القوسان إلى 25.1327412287 وحدة، وهي المحيط الكامل.

المثال 4: قوس من قطر 14 و120°. المعطى d = 14 وحدة، θ = 120° = 2π / 3 راديان. نصف القطر r = 14 / 2 = 7 وحدات. طول القوس L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 وحدة. الوتر c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 وحدة. مساحة القطاع A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 وحدة مربعة. ومساحة القطعة هي 30.0950576159 وحدة مربعة.

المثال 5: نصف دائرة بنصف قطر 10 و180°. المعطى r = 10 وحدات، θ = 180° = π راديان. طول القوس L = 10 × π = 31.4159265359 وحدة. الوتر c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 وحدة، وهو القطر. مساحة القطاع A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 وحدة مربعة، أي نصف مساحة الدائرة الكاملة بالضبط. والقوس يساوي π / 2 ضعف القطر، أي أطول من الخط المستقيم عبر الدائرة بنحو 57.08%.

المثال 6: دائرة كاملة بنصف قطر 6 و360°. المعطى r = 6 وحدات، θ = 360° = 2π راديان. طول القوس L = 6 × 2π = 37.6991118431 وحدة، وهو المحيط الكامل. الوتر c = 0، لأن الطرفين يتطابقان. مساحة القطاع A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 وحدة مربعة، وهي مساحة الدائرة الكاملة. والنسبة المئوية للقوس هي 100%.

انقر على أي زر مثال جاهز في الحاسبة لتحميل أحد هذه الأمثلة ورؤية الحل الكامل خطوة بخطوة والمخطط المباشر وكل النتائج الثانوية لذلك الإدخال.