원호 길이 계산기

원호 길이 계산기는 작은 조각부터 전체 원주까지, 원의 어느 부분에 대한 곡선 거리도 측정합니다. 서로 다른 여섯 가지 시작 측정값을 받아들이므로, 이미 알고 있는 값을 그대로 사용할 수 있습니다. 다음 단계를 따르면 일 분 안에 정확한 답을 얻을 수 있습니다.

1. 입력 방식을 선택합니다. 반지름, 지름, 전체 원의 원주, 현의 길이, 전체 원의 넓이, 부채꼴 넓이 중 하나를 고릅니다. 선택한 방식에 따라 입력란과 그 레이블, 단위 목록이 바뀝니다.
2. 측정값을 입력합니다. 입력란에 값을 입력합니다. 넓이 방식에서는 제곱 단위 목록(mm², cm², m², km², in², ft², yd²)을 사용합니다.
3. 중심각을 입력합니다. DEG/RAD 토글을 이용해 도 또는 라디안 단위로 각도를 입력하거나, 각도 슬라이더를 0°에서 360°까지 드래그합니다. 슬라이더를 움직이면 실시간 도표와 결과가 함께 업데이트됩니다.
4. 필요하면 시작 각도와 종료 각도를 설정합니다. 기본 회전은 0°에서 시작해 반시계 방향으로 진행합니다. 시작 각도, 종료 각도 또는 방향을 바꾸면 원의 어느 위치에 있는 호든 측정할 수 있습니다. 호의 길이를 결정하는 것은 위치가 아니라 회전한 각도입니다.
5. 입력 단위와 출력 단위를 선택합니다. 계산기는 입력값을 일관된 내부 단위로 변환한 뒤 계산하고, 답을 출력 단위로 변환합니다. 단위가 바뀌면 숫자만 바뀌고, 길이는 바뀌지 않습니다.
6. 정밀도를 선택합니다. 소수 2자리, 4자리, 6자리, 8자리 중 하나를 고릅니다. 기본값은 4자리입니다. 계산기는 내부적으로 항상 정밀한 π 값을 사용하고, 표시되는 결과만 반올림합니다.
7. 지금 계산하세요를 클릭합니다. 주요 결과는 선택한 호의 길이이며, 분류(길이가 없는 호, 열호, 반원, 우호, 완전한 원)와 함께 표시됩니다. 그 아래에는 반지름, 지름, 전체 원주, 여호, 현의 길이, 부채꼴 넓이, 활꼴 넓이, 호의 비율, 두 가지 각도 표시, 호 대 현 비율이 표시됩니다.
8. 도표를 살펴봅니다. 실시간 원 도표는 전체 원을 그리고, 선택한 호를 금색으로 강조하며, 중심 O, 반지름 선, 현, 끝점을 표시합니다. 토글을 이용해 반지름, 지름, 현, 중심점, 각도 표시, 열호와 우호를 표시하거나 숨길 수 있습니다.
9. 복사, 인쇄 또는 초기화합니다. 결과 복사를 이용해 답을 클립보드에 복사하고, 요약 인쇄로 간단한 보고서를 출력하며, 초기화로 패널을 지웁니다. 프리셋 버튼을 누르면 검증된 예제를 즉시 불러올 수 있습니다.

예제를 시도해 보세요. 반지름 5에 60° 각도를 적용하면 호는 5.2359877560 단위가 됩니다. 반지름 8에 90°를 적용하면 12.5663706144 단위가 됩니다. 반지름 4에 270°를 적용하면 우호는 18.8495559215 단위가 됩니다. 지름 14에 120°를 적용하면 14.6607657168 단위가 됩니다. 반지름 10에 180°를 적용하면 반원 호는 31.4159265359 단위가 되며, 반지름 6에 360°를 적용하면 전체 원주 37.6991118431 단위가 됩니다.

중요한 팁. 각도 단위를 일관되게 유지하세요. 60°와 1.0471975512 라디안은 같은 각도이지만, 60 라디안은 60°가 아닙니다. 호의 길이는 곡선 거리만을 의미합니다. 현은 다른 측정값이며 길이가 없는 호를 제외하고는 항상 더 짧습니다. 지름을 입력하면 계산기는 먼저 지름을 절반으로 나누어 반지름을 구합니다. 영이나 음수인 측정값은 유효한 원이 아니므로, 계산기는 오해의 소지가 있는 답을 보여 주는 대신 이를 거부합니다.

원은 중심점 O로부터 일정한 거리, 즉 반지름만큼 떨어진 모든 점의 집합입니다. 호는 원 위의 두 점 사이에 있는 원의 연속된 부분입니다. 호의 길이는 한 끝점에서 다른 끝점까지 원 위를 따라 걸었을 때 이동하는 거리입니다.

원형 육상 트랙을 상상해 보세요. 호의 길이는 두 게이트 사이의 레인을 따라가는 거리입니다. 같은 두 게이트 사이를 안쪽을 가로질러 직선으로 잇는 선은 현이며, 더 짧습니다. 이 차이는 중요합니다. 주자는 곡선을 따라 달리므로, 곡선 거리가 실제 거리가 됩니다.

모든 원은 반지름에 따라 크기가 달라질 뿐, 같은 부분을 가지고 있습니다. 중심 O는 고정된 점입니다. 반지름 r은 O에서 원 위의 임의의 점까지 이어집니다. 지름 d는 O를 지나 한쪽에서 다른 쪽까지 이어지며, 항상 반지름의 두 배입니다. 원주 C는 원을 한 바퀴 도는 거리로, C = 2πr입니다. 중심각 θ는 호의 양 끝점으로 이어지는 두 반지름이 O에서 이루는 각이며, 호가 원주의 몇 분의 몇을 차지하는지를 결정합니다.

원 위의 두 점은 항상 두 개의 호를 만듭니다. 짧은 쪽이 열호, 긴 쪽이 우호입니다. 두 호를 합하면 완전한 원주가 됩니다. 어느 쪽이 필요한지는 문제에 따라 다르며, 계산기는 두 호를 모두 보여 주므로 추측할 필요가 없습니다.

호의 길이는 일차원 측정값, 즉 길이이므로 cm, m, 인치 같은 일반 단위로 나타냅니다. 넓이가 아니며 각도도 아닙니다. 이 세 가지 양을 구분하는 것이 모든 원 계산을 정확히 하는 첫걸음입니다.

원의 호의 길이는 완전한 원의 원주에서 바로 나옵니다. 완전한 원의 원주는 다음과 같습니다.

중심각은 완전한 360° 회전 중 일부를 나타냅니다. 중심각이 θ인 호는 전체 원의 θ / 360만큼을 차지하므로, 다음과 같습니다.

이를 정리하면 도 단위 공식이 됩니다.

각도를 라디안으로 측정하면 공식은 더 간단해집니다. 라디안은 반지름 자체로 정의되기 때문입니다.

공식의 각 기호는 정확한 의미를 가집니다.

두 형태 모두 같은 답을 냅니다. 각도가 도 단위이면 L = πrθ / 180을, 라디안 단위이면 L = rθ를 사용합니다. 계산기는 먼저 도를 라디안으로 변환한 뒤 내부적으로 L = rθ를 사용하므로, 두 모드는 항상 일치합니다.

반지름 대신 지름을 사용하면 같은 공식의 두 번째 형태를 얻습니다. d = 2r이므로 r = d / 2이고, 이를 대입하면 라디안 단위에서는 L = dθ / 2, 도 단위에서는 L = πdθ / 360이 됩니다.

반지름과 중심각을 알면 호의 길이를 가장 직접적으로 구할 수 있습니다. 아래 풀이 예제는 반지름 5 단위, 중심각 60°를 사용합니다.

1. 반지름을 확인합니다. r = 5 단위입니다.
2. 중심각을 확인합니다. θ = 60°입니다.
3. 도를 라디안으로 변환합니다. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 라디안입니다.
4. 호의 길이 공식을 씁니다. L = rθ입니다.
5. 값을 대입합니다. L = 5 × π / 3입니다.
6. 계산합니다. L = 5.2359877560 단위입니다.
7. 필요하면 반올림합니다. 소수 둘째 자리까지 반올림하면 L = 5.24 단위입니다.

같은 단계는 모든 반지름과 각도에 적용됩니다. 반지름 8 단위에 90°를 적용하면 L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 단위가 됩니다. 반지름 3 단위에 60°를 적용하면 L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 단위가 됩니다. 반지름 1 단위에 60°를 적용하면 L = 1.0471975512 단위가 되는데, 이는 정확히 π / 3와 같습니다. 유용한 확인 방법입니다. r = 1이면 호의 길이는 라디안 단위의 각도와 같습니다.

반올림 규칙. 반올림은 마지막에만 합니다. 곱하기 전에 π를 3.14로 바꾸면, 반지름 5에 60°를 적용한 결과가 5.2359877560이 아니라 5.2333333333이 되어 0.0026544227의 오차가 생깁니다. 이 오차는 반지름이 커질수록 커지므로, 계산 과정에서는 정밀한 값을 그대로 유지하고 마지막에 표시되는 결과만 반올림합니다.

반지름 대신 지름을 알면, 먼저 지름을 절반으로 나눈 뒤 같은 공식을 적용합니다. 아래 풀이 예제는 지름 14 단위, 중심각 120°를 사용합니다.

1. 지름을 확인합니다. d = 14 단위입니다.
2. 반지름을 구합니다. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 단위입니다.
3. 중심각을 확인합니다. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 라디안입니다.
4. 공식을 씁니다. L = rθ이며, 직접 계산하면 L = πdθ / 360입니다.
5. 대입합니다. L = 7 × 2.0943951024이며, 또는 L = π × 14 × 120 / 360입니다.
6. 계산합니다. L = 14.6607657168 단위입니다.
7. 필요하면 반올림합니다. 소수 둘째 자리까지 반올림하면 L = 14.66 단위입니다.

두 경로 모두 정확히 일치하므로 좋은 자기 점검이 됩니다. 반지름 경로는 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168을, 지름 경로는 π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168을 줍니다. 두 값이 다르면 지름을 절반으로 나누는 과정에서 잘못된 것입니다.

또 다른 예제입니다. 지름 20 단위에 180°를 적용하면 r = 10 단위이므로 L = π × 10 = 31.4159265359 단위가 되어 반원 호가 됩니다. 지름 10 단위에 60°를 적용하면 r = 5 단위이므로 L = 5.2359877560 단위가 됩니다. 이 계산에서 가장 흔한 실수는 둘로 나누는 것을 잊고 지름을 반지름인 것처럼 사용하는 것으로, 답이 두 배가 됩니다. d = 14인 경우 그 실수는 14.6607657168이 아니라 29.3215314336을 만듭니다.

측정 팁. 지름은 반지름보다 실제로 측정하기 쉬운 경우가 많습니다. 원을 가로질러 곧게 재면 되기 때문입니다. 그래서 계산기는 지름 입력을 직접 받습니다. 가로질러 재서 입력하면 계산기가 절반으로 나누어 줍니다.

도는 각도의 일상적인 단위입니다. 완전한 원은 360°를 포함하므로, 도 단위의 중심각은 호가 전체 원의 몇 분의 몇을 차지하는지 직접 알려 줍니다. 90° 각도는 원의 사분의 일, 180°는 절반, 270°는 사분의 삼을 차지합니다.

도 단위 공식은 L = πrθ / 180이며, 여기서 θ는 도 단위입니다. 이 공식은 비율 개념에서 나옵니다. 원주 2πr의 θ / 360만큼을 차지한다는 것을 정리한 것입니다.

풀이 예제. 반지름 8 단위, 각도 90°입니다.

1. 값을 확인합니다. r = 8 단위, θ = 90°입니다.
2. 원이 차지하는 비율을 구합니다. 90 / 360 = 1 / 4, 즉 사분원입니다.
3. 공식을 씁니다. L = πrθ / 180입니다.
4. 대입합니다. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2입니다.
5. 계산합니다. L = 12.5663706144 단위입니다.
6. 원주와 비교해 확인합니다. 전체 원주는 2π × 8 = 50.2654824574 단위이며, 그 사분의 일은 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 단위입니다. 두 값이 일치합니다.

반지름 5 단위를 사용한 도 단위 예제를 더 살펴보겠습니다. 30°는 L = 2.6179938780 단위, 45°는 L = 3.9269908170 단위, 120°는 L = 10.4719755120 단위, 270°는 L = 23.5619449019 단위를 줍니다. 같은 반지름에서 각도가 두 배가 되면 호의 길이도 두 배가 됩니다. 호의 길이는 중심각에 정비례하기 때문입니다.

흔한 도 단위 실수. L = rθ에 도 값을 변환하지 않고 그대로 넣으면 크게 틀린 답이 나옵니다. r = 5, 60°인 경우 변환하지 않은 계산은 5 × 60 = 300을 주지만, 정답은 5.2359877560입니다. L = rθ 공식에는 라디안이 필요하므로, 먼저 변환하거나 도 단위 공식 L = πrθ / 180을 사용하세요.

라디안은 호의 길이가 반지름과 같아질 때 생기는 각도입니다. 반지름과 같은 길이의 실을 원 둘레에 감으면, 중심에서 이루는 각도가 정확히 1 라디안입니다. 완전한 원은 약 6.2831853072 라디안인 2π 라디안을 포함합니다. 전체 원주가 2πr이고 이를 r로 나누면 2π가 남기 때문입니다.

라디안 단위 공식은 L = rθ로, 가장 간단한 호의 길이 공식입니다. π가 들어 있지 않은데, 이는 π가 이미 각도의 라디안 측정값 안에 들어 있기 때문입니다.

풀이 예제. 반지름 5 단위, 각도 π / 3 라디안(즉 60°)입니다.

1. 값을 확인합니다. r = 5 단위, θ = π / 3 = 1.0471975512 라디안입니다.
2. 공식을 씁니다. L = rθ입니다.
3. 대입합니다. L = 5 × 1.0471975512입니다.
4. 계산합니다. L = 5.2359877560 단위입니다.
5. 도 단위 결과와 비교해 확인합니다. π / 3 라디안은 60°이며, 도 단위 공식은 L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 단위를 줍니다. 두 값이 정확히 일치합니다.

라디안 단위 예제를 더 살펴보겠습니다. 반지름 4 단위에 θ = π / 2 라디안을 적용하면 L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 단위가 됩니다. 반지름 6 단위에 θ = π / 4 라디안을 적용하면 L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 단위가 됩니다. 반지름 10 단위에 θ = π 라디안을 적용하면 L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 단위가 되어 반원 호가 됩니다.

수학에서 라디안을 선호하는 이유. 호의 길이, 현, 부채꼴, 활꼴 넓이에 대한 미적분 공식은 모두 라디안을 사용합니다. 도는 일상적인 측정에 편리하지만, 라디안은 수학을 깔끔하게 만듭니다. 그래서 계산기는 계산하기 전에 모든 각도를 라디안으로 변환합니다.

원 위의 두 점은 원을 두 개의 호로 나눕니다. 짧은 쪽이 열호이고, 긴 쪽이 우호입니다. 두 호는 같은 끝점을 공유하며, 합하면 완전한 원주가 됩니다.

중심각이 어느 쪽인지 결정합니다. 180°보다 작은 중심각은 열호를 만듭니다. 180°보다 큰 중심각은 우호를 만듭니다. 정확히 180°이면 반원이 되며, 열호도 우호도 아닙니다. 두 호가 같습니다.

열호와 우호는 서로 여호 관계입니다. 작은 중심각을 θ라 하면, 열호는 Lminor = rθ이고 우호는 Lmajor = r(2π - θ)입니다. 두 호의 합은 항상 완전한 원주가 됩니다.

풀이 예제. 반지름 5 단위, 작은 각도 60°입니다. 열호는 L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 단위입니다. 우호는 우각 360° - 60° = 300°를 사용하므로 L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 단위입니다. 합은 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 단위로, 정확히 원주 2π × 5와 같습니다. 열호는 원의 16.67%, 우호는 83.33%입니다.

또 다른 예제. 반지름 4 단위, 각도 270°입니다. 이는 이미 우호입니다. L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 단위입니다. 여호인 열호는 90°를 사용합니다. L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 단위입니다. 합은 25.1327412287 단위로, 전체 원주 2π × 4와 같습니다.

두 각도를 혼동하지 마세요. 가장 흔한 열호/우호 실수는 문제에서 우호를 묻는데 작은 각도를 사용하거나 그 반대인 경우입니다. 주어진 각도가 작은 각도인지 우각인지 항상 확인하고, 계산기는 두 호를 나란히 보여 주므로 문제에 필요한 쪽을 선택할 수 있다는 점을 기억하세요.

호의 길이와 현의 길이는 모두 원 위의 같은 두 점을 연결하지만, 경로가 다릅니다. 호는 곡선을 따릅니다. 현은 곧게 가로지릅니다. 호가 거의 항상 더 깁니다.

공식을 보면 차이가 분명합니다.

현은 각도 절반의 사인에 따라 달라지며, 이는 각도 자체보다 느리게 증가하므로, 각도가 커질수록 호와 현 사이의 격차가 넓어집니다.

표에서 기억할 만한 사실은 세 가지입니다. 30°에서는 호가 현보다 약 1.15% 길 뿐이므로, 작은 각도에서는 두 값이 가깝습니다. 180°에서는 현이 지름인 10 단위가 되고, 호는 πr = 15.7079632679 단위가 됩니다. 270°에서는 현이 7.0710678119 단위로 다시 줄어들어 90°일 때와 같아집니다. 현은 끝점 사이의 작은 각도에 따라 달라지는 반면, 호는 회전 각도와 함께 계속 커지기 때문입니다.

특수한 경우. 60°에서는 현이 정확히 반지름과 같습니다. c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r입니다. r = 5인 경우 현은 5 단위이며, 반지름, 현, 두 반지름이 정삼각형을 이룹니다. 이는 편리한 확인 방법이자 시험 출제자가 즐겨 쓰는 내용입니다.

중요한 이유. 곡선 파이프를 자른다면 호의 길이가 필요합니다. 원형 부품 위의 두 점 사이 직선 간격을 잰다면 현이 필요합니다. 둘을 혼동하는 것은 가장 흔한 원 실수 중 하나이며, 계산기는 두 값을 함께 보여 주므로 그 차이가 항상 보입니다.

호의 길이와 부채꼴 넓이는 비슷하게 들리지만, 측정하는 대상이 다릅니다. 호의 길이는 일차원 곡선 거리로, 일반 단위로 측정합니다. 부채꼴 넓이는 이차원 영역으로, 두 반지름과 호가 잘라내는 원의 쐐기이며, 제곱 단위로 측정합니다.

공식이 비슷하게 보이는 것이 바로 두 개념이 혼동되는 이유입니다.

부채꼴 넓이는 호의 길이에 반지름의 절반을 곱한 값입니다. A = ½ × r × L. 이 관계는 유용한 확인 방법입니다. 반지름 5 단위, 60°인 경우 호는 5.2359877560 단위이고, 부채꼴 넓이는 ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 제곱 단위입니다.

단위가 단서입니다. 답이 길이라면 단위는 cm, m 또는 인치입니다. 답이 넓이라면 단위는 cm², m² 또는 제곱인치입니다. 제곱 단위로 나온 호의 길이 답이나 일반 단위로 나온 부채꼴 넓이 답은 확실히 틀렸습니다. 계산기는 두 값을 분리하고 단위를 명확히 표시합니다.

원 전체 확인. 360°에서는 부채꼴이 원 전체가 되므로, 부채꼴 넓이는 πr²과 같아야 합니다. r = 6인 경우 π × 36 = 113.0973355292 제곱 단위입니다. 같은 경우 호는 전체 원주인 37.6991118431 단위입니다. 둘 다 같은 반지름과 각도에서 나오지만, 답하는 질문이 다릅니다.

활꼴은 호와 그 현으로 둘러싸인 영역입니다. 직선으로 잘라낸 원의 조각을 상상해 보세요. 곡선 가장자리는 호, 직선 가장자리는 현이며, 그 사이의 넓이가 활꼴입니다. 부채꼴보다 작습니다. 부채꼴은 두 반지름과 현이 만드는 삼각형도 포함하기 때문입니다.

활꼴 넓이는 부채꼴 넓이에서 두 반지름과 현 사이의 삼각형 넓이를 뺀 값입니다.

여기서 θ는 0에서 2π 사이의 중심 회전 각도를 라디안 단위로 나타낸 값입니다. 이 공식은 열호 활꼴과 우호 활꼴을 모두 정확히 처리합니다. 열호인 경우 작은 활꼴을, 우호인 경우 원의 대부분을 차지하는 큰 영역을 줍니다.

풀이 예제. r = 5 단위, 60°인 경우 부채꼴 넓이는 13.0899693900 제곱 단위이고, 활꼴 넓이는 ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 제곱 단위입니다. 활꼴이 부채꼴보다 훨씬 작은데, 이는 삼각형이 쐐기의 대부분을 차지하기 때문입니다. r = 5, 90°인 경우 활꼴은 7.1349540849 제곱 단위입니다. r = 8, 90°인 경우 활꼴은 18.2654824574 제곱 단위입니다.

특수한 경우. 180°에서는 sin θ = 0이므로, 활꼴 넓이는 부채꼴 넓이와 같습니다. ½ πr²입니다. r = 5인 경우 둘 다 39.2699081699 제곱 단위로, 정확히 원의 절반입니다. 270°에서는 sin θ = -1이므로, 활꼴이 부채꼴보다 큽니다. r = 5인 경우 부채꼴은 58.9048622548 제곱 단위이고 활꼴은 71.4048622548 제곱 단위입니다. 360°에서는 현이 사라지고 활꼴은 원 전체, πr²이 됩니다.

부채꼴과 활꼴을 한 줄로 정리하면 다음과 같습니다. 부채꼴은 중심에서 시작하는 쐐기입니다. 활꼴은 현 너머의 활 모양 부분입니다. 문제에 중심이 관여한다면 부채꼴을, 호와 현만 관여한다면 활꼴을 구해야 합니다.

도와 라디안은 각도라는 같은 대상을 재는 두 단위입니다. 도는 한 바퀴를 360등분합니다. 라디안은 각도가 잘라내는 호를 반지름 단위로 측정합니다. 두 단위는 하나의 변환으로 연결됩니다. π 라디안은 180°와 같습니다.

변환 공식은 다음과 같습니다.

변환 풀이 예제. 120°를 라디안으로 바꾸면 120 × π / 180 = 2.0943951024 라디안입니다. 45°는 45 × π / 180 = 0.7853981634 라디안입니다. 반대로 바꾸면, 1 라디안은 1 × 180 / π = 57.2957795131°이고, 2 라디안은 114.5915590262°입니다. 마지막 값은 유용합니다. 호가 지름보다 길어지는 것은 각도가 정확히 2 라디안을 넘어설 때입니다.

어느 단위를 써야 할까요? 문제에서 도를 주면 도를, 라디안을 주면 라디안을 사용하세요. 계산기는 두 단위를 모두 받아들이며, DEG/RAD 토글이 호를 바꾸지 않고 각도를 변환합니다. 손으로 계산할 때는 도가 L = πrθ / 180 비율 형태에 잘 맞고, 라디안은 깔끔한 형태 L = rθ에 잘 맞습니다. 어느 쪽이든 하나의 공식 안에 두 단위를 섞지 마세요.

반지름도 지름도 주어지지 않을 때가 있습니다. 계산기는 다른 네 가지 측정값으로부터 거꾸로 계산하는데, 먼저 반지름을 구한 뒤 평소처럼 L = rθ를 적용합니다. 여섯 가지 방법 모두 같은 원에 대해 같은 반지름과 같은 호의 길이를 주므로, 실제로 가진 측정값을 사용하면 됩니다.

전체 원의 원주로부터. 전체 원주는 C = 2πr이므로 r = C / (2π)입니다. C = 31.4159265359 단위인 경우 r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 단위입니다. 그러면 60° 호는 L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 단위입니다. 지름길도 있습니다. 60° 호는 원주의 육분의 일이며, 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 단위입니다.

현의 길이로부터. 현의 공식은 c = 2r sin(θ / 2)이므로 r = c / [2 sin(θ / 2)]입니다. 현이 5 단위이고 각도가 60°인 경우 r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 단위입니다. 그러면 L = 5.2359877560 단위입니다. 현 입력은 각도가 0°와 360° 사이일 때만 작동합니다. 0°나 360°에서는 현이 영이 되어 반지름을 복원할 수 없으므로, 계산기는 이 방법에 대해 해당 각도를 거부합니다.

전체 원의 넓이로부터. 전체 원의 넓이는 A = πr²이므로 r = √(A / π)입니다. A = 78.5398163397 제곱 단위인 경우 r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 단위입니다. 그러면 60° 호는 L = 5.2359877560 단위입니다. 반지름을 넓이 공식에 다시 넣어 확인할 수 있습니다. π × 25 = 78.5398163397 제곱 단위입니다.

부채꼴 넓이로부터. 부채꼴 넓이는 A = ½r²θ이므로 r = √(2A / θ)이며, 여기서 θ는 라디안 단위입니다. 부채꼴 넓이가 13.0899693900 제곱 단위이고 각도가 60°인 경우 θ = 1.0471975512 라디안이므로 r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 단위입니다. 그러면 L = 5.2359877560 단위입니다. 이 방법에는 넓이뿐 아니라 각도도 필요합니다. 같은 부채꼴 넓이는 여러 반지름과 각도 조합에서 나올 수 있기 때문입니다.

어느 입력을 사용할까요. 실제로 가진 측정값을 사용하세요. 두 가지 다른 측정값이 서로 다른 반지름을 주면, 측정값 중 하나가 틀린 것이며, 어느 쪽 답을 믿기 전에 그 불일치를 살펴볼 가치가 있습니다.

호의 길이는 추상적인 교실 연습 문제가 아닙니다. 원 위의 곡선 거리를 측정하거나, 자르거나, 만들거나, 이동해야 하는 곳이라면 어디든 같은 공식이 적용됩니다.

공학과 제조. 파이프 굽힘은 호의 길이에서 시작합니다. 굽힘 반지름이 8 단위인 파이프를 90°로 구부리면 굽힘 부분만으로 12.5663706144 단위의 파이프가 필요합니다. 곡면 패널로 말리는 판금, 기어 이의 윤곽, 캠 형상은 모두 재료를 자르기 전에 곡선 길이가 필요합니다. 잘못 구하면 재료를 낭비하거나 부품이 짧아집니다.

건축과 건설. 아치형 출입문, 원형 창문, 돔, 곡선 계단은 호를 기준으로 치수가 정해집니다. 반지름 10 단위인 반원 아치는 곡선을 따라 31.4159265359 단위의 몰딩이 필요합니다. 원형 화단 가장자리 주문에는 곡선 쪽의 호와 직선 쪽의 지름이 필요하며, 이는 서로 다른 숫자입니다.

도로와 트랙. 원형 도로 곡선, 육상 트랙의 굽이, 철도 곡선은 반지름과 중심각으로 설계됩니다. 곡선의 길이가 아스팔트 양, 레일 길이, 차량이 굽이를 통과하며 이동하는 거리를 결정합니다. 반지름 7 단위, 120°인 곡선은 14.6607657168 단위 길이입니다.

시계, 바퀴, 로봇공학. 시계 바늘은 시간이 지나며 호를 그립니다. 땅 위를 구르는 바퀴는 회전한 호와 같은 거리를 이동합니다. 관절을 중심으로 회전하는 로봇 팔은 그리퍼를 원호를 따라 움직이며, 이동 거리는 rθ입니다. 그래서 라디안이 로봇공학에서 자연스러운 단위입니다.

컴퓨터 그래픽스와 CAD. CAD 모델, 글꼴, 애니메이션의 곡선은 원호로 만들어집니다. 호의 길이는 공구 경로를 어떻게 나눌지, 곡선을 어떻게 렌더링할지, 애니메이션에서 물체가 원형 경로를 따라 얼마나 이동할지를 결정합니다.

실제 형태에 대한 참고. 모든 곡선 구조가 완전한 원은 아닙니다. 실제 아치는 타원형이나 포물선형일 수 있고, 실제 도로에는 클로소이드 전이 곡선이 쓰입니다. 이 페이지의 원 공식은 곡선이 진정한 원호일 때 정확히 적용되며, 곡선이 원에 가까울 때만 좋은 근사가 됩니다. 공식을 적용하기 전에 항상 형태를 확인하세요.

원호 길이에서 틀린 답의 대부분은 몇 가지 작은 실수에서 나옵니다. 각 항목을 확인하는 데는 몇 초밖에 걸리지 않지만, 대부분의 실수를 막을 수 있습니다.

1. 지름을 반지름 대신 사용하기. 공식에는 r이 필요하지 d가 아닙니다. d = 14를 반지름으로 사용하면 답이 두 배가 됩니다. 120° 호에 대해 14.6607657168이 아니라 29.3215314336이 됩니다. 먼저 지름을 절반으로 나누세요.
2. 도를 라디안으로 변환하는 것을 잊기. L = rθ에는 라디안이 필요합니다. 60°를 그대로 넣으면 5 × 60 = 300이 되어 5.2359877560이 아닙니다. 먼저 변환하거나 L = πrθ / 180을 사용하세요.
3. 중심각과 원주각을 혼동하기. 원주각은 같은 호를 마주보는 중심각의 절반입니다. 문제에서 원주각 φ를 주었다면 중심각은 θ = 2φ이고, 호는 L = r × 2φ입니다. φ를 직접 사용하면 답이 절반이 됩니다.
4. 우호와 열호를 섞기. 270° 각도는 r = 4인 경우 18.8495559215 단위의 우호를 만듭니다. 대신 작은 각도 90°를 사용하면 6.2831853072 단위의 열호가 됩니다. 문제에서 어느 호를 묻는지 확인하세요.
5. 호의 길이와 현의 길이를 혼동하기. 현은 직선이며, 항상 호보다 짧습니다. r = 5, 180°인 경우 현은 10 단위이고 호는 15.7079632679 단위입니다. 두 값은 길이가 없는 극한 경우에만 같습니다.
6. 부채꼴 넓이와 호의 길이를 혼동하기. 부채꼴 넓이는 제곱 단위로 나타내는 이차원 영역입니다. 호의 길이는 일반 단위로 나타내는 일차원 거리입니다. r = 5, 60°인 경우 부채꼴 넓이는 13.0899693900 제곱 단위이고 호는 5.2359877560 단위입니다. 다른 양, 다른 단위입니다.
7. 잘못된 측정 단위를 사용하기. cm 단위의 반지름과 도 단위의 각도는 괜찮지만, 답은 cm 단위로 나옵니다. 하나의 계산에 cm와 인치를 섞거나 출력 단위 변환을 잊으면 크기가 잘못된 숫자가 나옵니다. 먼저 변환하고, 그다음 계산하세요.
8. π를 너무 일찍 반올림하기. 곱하기 전에 π를 3.14로 바꾸면 반지름이 커질수록 커지는 오차가 생깁니다. 계산 과정에서는 정밀한 π 값을 유지하고 마지막에 표시되는 결과만 반올림하세요.
9. 완전한 원이 360°라는 것을 잊기. 360° 각도는 완전한 원주 2πr이지 영이 아닙니다. 0° 각도는 길이가 없는 호입니다. 두 경우 도표에서는 끝점이 일치해 비슷해 보이지만, 호의 길이는 가능한 한 다릅니다.
10. 잘못된 각도 구간을 사용하기. 원의 호의 길이 공식은 회전이 0°에서 360° 사이라고 가정합니다. 450° 각도는 하나의 원에서 유효한 단일 회전이 아닙니다. 한 바퀴에 90°를 더한 것이며, 하나의 원에 대한 호는 90°에 해당하는 나머지, r = 8인 경우 12.5663706144 단위입니다.

대부분의 실수를 잡아내는 마지막 확인. 원주와 비교해 결과를 검증하세요. 호는 0과 2πr 사이에 있어야 하고, 현보다 길어야 하며, 열호와 우호의 합은 정확히 2πr이 되어야 합니다. 이 중 하나라도 어긋나면 위 열 가지 실수 중 하나가 원인입니다.

이 여섯 가지 예제는 계산기의 주요 입력 방식과 호의 종류를 다룹니다. 각 예제는 도구를 구동하는 것과 같은 엔진으로 계산되었으며, 각 결과는 독립적으로 검증되었습니다.

예제 1: 반지름 5, 60°인 열호. 조건은 r = 5 단위, θ = 60° = π / 3 라디안입니다. 호의 길이 L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 단위입니다. 지름 d = 10 단위입니다. 현 c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 단위입니다. 부채꼴 넓이 A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 제곱 단위입니다. 전체 원주 C = 31.4159265359 단위입니다.

예제 2: 반지름 8, 90°인 사분원 호. 조건은 r = 8 단위, θ = 90° = π / 2 라디안입니다. 호의 길이 L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 단위입니다. 현 c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 단위입니다. 부채꼴 넓이 A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 제곱 단위입니다. 이 호는 원주 50.2654824574 단위의 정확히 사분의 일입니다.

예제 3: 반지름 4, 270°인 우호. 조건은 r = 4 단위, θ = 270° = 3π / 2 라디안입니다. 호의 길이 L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 단위입니다. 현 c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 단위입니다. 부채꼴 넓이 A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 제곱 단위입니다. 90°를 사용한 여호인 열호는 6.2831853072 단위입니다. 두 호의 합은 25.1327412287 단위로, 전체 원주와 같습니다.

예제 4: 지름 14, 120°인 호. 조건은 d = 14 단위, θ = 120° = 2π / 3 라디안입니다. 반지름 r = 14 / 2 = 7 단위입니다. 호의 길이 L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 단위입니다. 현 c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 단위입니다. 부채꼴 넓이 A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 제곱 단위입니다. 활꼴 넓이는 30.0950576159 제곱 단위입니다.

예제 5: 반지름 10, 180°인 반원. 조건은 r = 10 단위, θ = 180° = π 라디안입니다. 호의 길이 L = 10 × π = 31.4159265359 단위입니다. 현 c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 단위로, 지름과 같습니다. 부채꼴 넓이 A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 제곱 단위이며, 정확히 전체 원 넓이의 절반입니다. 이 호는 지름의 π / 2배로, 가로지르는 직선보다 약 57.08% 깁니다.

예제 6: 반지름 6, 360°인 완전한 원. 조건은 r = 6 단위, θ = 360° = 2π 라디안입니다. 호의 길이 L = 6 × 2π = 37.6991118431 단위로, 완전한 원주와 같습니다. 현 c = 0인데, 끝점이 일치하기 때문입니다. 부채꼴 넓이 A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 제곱 단위이며, 전체 원의 넓이와 같습니다. 호의 비율은 100%입니다.

계산기에서 프리셋 버튼을 클릭하면 이 예제 중 하나를 불러와 전체 단계별 풀이, 실시간 도표, 해당 입력에 대한 모든 보조 결과를 확인할 수 있습니다.