Calculadora de regla trapezoidal

La calculadora de la regla del trapecio estima la longitud de arco de forma numérica. Aplica la regla del trapecio compuesta a la integral de longitud de arco de la función que usted ingresa. Siga estos pasos para obtener una primera estimación en menos de un minuto.

1. Ingrese la función. Escriba f(x) en el campo de función, por ejemplo x^2, sin(x) o ln(x+1). Use ^ para las potencias y los nombres estándar de funciones como sin, cos, exp y ln.
2. Ingrese el valor inicial. Defina a, el límite inferior de integración. Para el tramo de curva desde x = 0 hasta x = 1, ingrese 0.
3. Ingrese el valor final. Defina b, el límite superior de integración. La calculadora requiere b > a.
4. Elija las subdivisiones. Ingrese n, el número de subintervalos iguales. Una primera ejecución con n = 10 funciona bien para curvas suaves.
5. Seleccione el método del trapecio. En la interfaz de integración numérica, elija la regla del trapecio para que la fórmula del panel de abajo sea la que se aplique.
6. Haga clic en Calcular. La herramienta evalúa el integrando de longitud de arco en n + 1 puntos muestrales, aplica los pesos de los extremos y muestra la aproximación.
7. Interprete el resultado. El número mostrado es una estimación de la longitud de la curva entre x = a y x = b, en las mismas unidades de longitud que sus valores de x.
8. Mejore la precisión. Duplique n y vuelva a calcular. Cuando dos estimaciones sucesivas apenas cambien, el resultado ha convergido para fines prácticos.

Esto es lo que controla cada entrada:

Al ingresar f(x) = x², a = 0, b = 1 y n = 10 se obtiene una estimación de longitud de arco cercana a 1.479, muy próxima al valor exacto 1.478943. El resto de esta guía explica exactamente qué calcula la calculadora y cómo juzgar la calidad de su respuesta.

La regla del trapecio es un método de integración numérica. Aproxima una integral definida reemplazando el área bajo una curva por el área de trapecios dibujados bajo el integrando. Cada trapecio se construye a partir de dos puntos muestrales adyacentes, y la suma de las áreas de todos los trapecios estima la integral.

El nombre proviene de la geometría. Entre dos puntos muestrales x_i y x_i+1, el integrando g(x) se reemplaza por una línea recta. La región bajo esa línea recta es un trapecio: dos lados verticales paralelos de alturas g(x_i) y g(x_i+1), y un ancho horizontal h = x_i+1 - x_i.

Un solo trapecio tiene área h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]. Sumar las áreas de los n trapecios da la aproximación trapezoidal compuesta de la integral. La palabra "compuesta" significa que el intervalo se divide en varios paneles en lugar de uno solo.

Esta regla pertenece a la familia de los métodos de cuadratura numérica. Se valora por su transparencia: cada paso tiene un significado geométrico claro, y el único parámetro es el número de subdivisiones n. La idea principal es fácil de enunciar: los paneles más estrechos y rectos siguen al integrando más de cerca, por lo que la estimación mejora a medida que n crece.

Para la longitud de arco, el integrando no es la función original f(x). Es el integrando de longitud de arco g(x) = √(1 + (f'(x))²), que mide qué tan rápido se acumula la longitud a lo largo de la curva. Mantener clara esta distinción evita el malentendido más común sobre el método.

La fórmula de la regla del trapecio tiene dos formas: una versión de un solo panel y la versión compuesta que se usa en la práctica. Ambas provienen de la misma geometría del trapecio.

Fórmula de un solo panel. Con un trapecio que cubre todo el intervalo:

El ancho (b - a) se multiplica por el promedio de las dos alturas de los extremos. Esto es exactamente el área de un trapecio.

Fórmula compuesta. Divida [a, b] en n subintervalos iguales de ancho h = (b - a)/n, con puntos muestrales x₀ = a, x₁ = a + h, ..., x_n = b:

Cada símbolo tiene un significado fijo:

• T_n es la aproximación numérica con n paneles.
• h es el ancho del subintervalo, (b - a)/n.
• a y b son los límites de integración inferior y superior.
• n es el número de subintervalos, un entero positivo.
• x_i son los puntos muestrales, separados por h.
• g(x_i) son los valores del integrando en esos puntos.

Los extremos reciben medio peso porque cada punto muestral interior lo comparten dos trapecios vecinos, mientras que cada extremo pertenece a uno solo. Algebraicamente, los términos adyacentes h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)] se combinan de modo que los valores interiores cuentan completos y los dos valores exteriores cuentan la mitad.

Un cálculo breve resuelto. Aproxime ∫₀¹ x² dx con n = 2. Entonces h = 0.5, x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1, y T₂ = 0.5 · [0/2 + 0.25 + 1/2] = 0.5 · 0.75 = 0.375. La integral exacta es 1/3 ≈ 0.333, por lo que la estimación gruesa de dos paneles está en el vecindario correcto, con margen para refinarse.

La longitud de arco es una integral, por lo que la regla del trapecio se aplica directamente. La curva y = f(x) tiene una longitud de arco desde x = a hasta x = b dada por:

La calculadora forma el integrando de longitud de arco g(x) = √(1 + (f'(x))²) y lo introduce en la fórmula trapezoidal compuesta. El procedimiento completo es:

1. Comience con y = f(x). Confirme que la función es diferenciable en [a, b].
2. Encuentre la derivada f'(x). La herramienta deriva internamente la expresión ingresada.
3. Eleve la derivada al cuadrado. Forme (f'(x))². Elevar al cuadrado elimina la información del signo porque la longitud se acumula sin importar la dirección de la pendiente.
4. Sume 1. El integrando es 1 + (f'(x))², que nunca es menor que 1.
5. Extraiga la raíz cuadrada. Esto da g(x), la tasa local a la que se acumula la longitud por unidad de x.
6. Divida el intervalo. Elija n y calcule h = (b - a)/n.
7. Evalúe el integrando. Calcule g(x₀), ..., g(x_n) en los puntos muestrales.
8. Aplique la regla compuesta. Combine los valores con medio peso en los extremos.
9. Interprete el resultado. La suma es la longitud aproximada del tramo de curva.

La derivada se eleva al cuadrado y luego se coloca bajo una raíz cuadrada por una razón geométrica: un segmento diminuto de curva de dx de ancho y dy de alto tiene longitud √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx por el teorema de Pitágoras. Integrar esa longitud local sobre [a, b] da la longitud total, y la regla del trapecio aproxima la integral.

El integrando siempre es no negativo porque 1 + (f'(x))² es al menos 1. Su valor mínimo es 1, alcanzado donde la curva es plana. Las pendientes más pronunciadas hacen que g(x) sea mayor, que es exactamente por qué las curvas empinadas son más largas que las suaves sobre el mismo intervalo de x.

Este ejemplo totalmente resuelto muestra cada número que produce la regla del trapecio. Use f(x) = x² en [0, 1] con n = 4.

1. Derivada. f'(x) = 2x.

2. Integrando. g(x) = √(1 + (2x)²) = √(1 + 4x²).

3. Tamaño de paso. h = (1 - 0)/4 = 0.25.

4. Puntos muestrales. 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

5. Valores del integrando y pesos.

6. Suma ponderada. 1.000000/2 + 1.118034 + 1.414214 + 1.802776 + 2.236068/2 = 5.953057.

7. Multiplique por h.

8. Compare con el valor exacto. La longitud de arco exacta es L = √5/2 + asinh(2)/4 ≈ 1.478943. La estimación con n = 4, 1.488264, la supera en 0.009321, un error de aproximadamente 0.63%. Repetir con n = 8 da 1.481272, ya dentro de 0.002330 del valor exacto.

Observe que la estimación es mayor que el valor exacto. Para este integrando convexo, las cuerdas rectilíneas quedan por encima de la curva, por lo que la regla del trapecio sobreestima. Ese comportamiento sistemático es normal, y la sobreestimación se reduce a medida que n crece.

El número de subdivisiones n y el tamaño de paso h están ligados por h = (b - a)/n. Juntos controlan qué tan finamente se muestrea el integrando y qué tan precisa es la estimación.

Qué representa n. Es el número de paneles trapezoidales, un entero positivo. El número de puntos muestrales siempre es n + 1 porque los paneles consecutivos comparten sus puntos de frontera.

Por qué n = 1 es la regla de un solo panel. Con n = 1, h = b - a y T₁ = h/2 · [g(a) + g(b)]. Esta es la forma más burda del método y rara vez es lo suficientemente precisa.

Anchos de panel en [0, 1]. La siguiente tabla muestra cómo h se reduce a medida que n crece:

Los paneles más pequeños siguen al integrando más de cerca, por lo que la aproximación rectilínea dentro de cada panel se desvía menos de la curva verdadera. Por eso aumentar n suele mejorar la precisión. La contrapartida es computacional: cada panel nuevo necesita una evaluación más de la función.

Más subdivisiones no garantizan un resultado estrictamente mejor para cada integrando. Los integrandos no suaves u oscilatorios pueden mostrar un comportamiento de error irregular, y el redondeo de punto flotante eventualmente limita las ganancias con n muy grande. Sin embargo, para curvas suaves como las de esta guía, la mejora es constante y predecible.

Una estrategia práctica: comience con n = 10 o n = 20, luego duplique n hasta que la estimación deje de cambiar en la precisión que necesita. Esta comprobación de convergencia es más confiable que confiar en un solo valor de n.

Seis ejemplos cubren el rango desde casos exactos hasta funciones cuyas longitudes de arco no tienen forma cerrada elemental. Cada uno muestra la derivada, el integrando, la sustitución y el resultado numérico.

Ejemplo 1: Línea recta, f(x) = 2x en [0, 3]. La derivada es f'(x) = 2, una constante, por lo que el integrando es g(x) = √(1 + 4) = √5, también constante. Un solo panel es exacto porque el integrando nunca se curva: T₁ = 3 · √5 ≈ 6.708204. La longitud exacta 3√5 coincide. Esto confirma la regla: la regla del trapecio es exacta siempre que el integrando sea lineal o constante.

Ejemplo 2: Cuadrática, f(x) = x² en [0, 1], n = 4. Con f'(x) = 2x y g(x) = √(1 + 4x²), el cálculo completo de la sección anterior da L ≈ 1.488264, frente al valor exacto 1.478943. La pequeña brecha proviene del integrando convexo; las cuerdas dibujadas por encima de la curva agregan área extra.

Ejemplo 3: Cuadrática más larga, f(x) = x² en [0, 2], n = 8. Aquí h = 0.25 de nuevo, pero el intervalo es el doble de largo y el integrando más empinado. La estimación es T₈ = 4.656890. Un cálculo de alta resolución da 4.646784, por lo que el error es de aproximadamente 0.010106. Extender el intervalo no solo escala la respuesta: el integrando crece con x, por lo que la longitud de arco crece más rápido que la longitud del intervalo.

Ejemplo 4: Curva seno, f(x) = sin x en [0, π]. La derivada es f'(x) = cos x, dando g(x) = √(1 + cos²x). Con n = 8, la estimación es 3.820198; con n = 16, es 3.820198, sin cambios en seis decimales. El integrando simétrico converge rápidamente porque su curvatura es suave y está distribuida uniformemente. (Ingrese los ángulos en radianes; los grados producirían una curva diferente.)

Ejemplo 5: Logaritmo, f(x) = ln(x + 1) en [0, 2], n = 10. La derivada es f'(x) = 1/(x + 1), por lo que g(x) = √(1 + 1/(x + 1)²). El dominio requiere x > -1, que el intervalo satisface. La estimación es T₁₀ = 2.304215, mientras que un cálculo refinado da 2.301988, un error de aproximadamente 0.002227. Cerca de x = 0 la pendiente es más pronunciada, por lo que la mayor parte de la longitud se acumula al inicio del intervalo.

Ejemplo 6: Cúbica, f(x) = x³ en [0, 1], n = 10. Aquí f'(x) = 3x² y g(x) = √(1 + 9x⁴). Esta longitud de arco no tiene antiderivada elemental, que es exactamente cuando la integración numérica se gana su lugar. La estimación es T₁₀ = 1.552609 frente a un valor refinado de 1.547866, un error de aproximadamente 0.004743. Sin un método numérico, esta longitud sería muy difícil de obtener.

Cada resultado anterior se calculó directamente de la fórmula compuesta, redondeado a seis decimales. Repetir cualquiera de estos en la calculadora con el mismo n reproduce los mismos dígitos.

Convergencia significa que las aproximaciones se asientan hacia el valor verdadero a medida que n crece. La siguiente tabla sigue a f(x) = x² en [0, 1], cuya longitud exacta es 1.478943:

Cada vez que n se duplica, el error cae aproximadamente por un factor de cuatro: 0.037181 a 0.009321 a 0.002330 a 0.000582 a 0.000146 a 0.000036. Esto es convergencia de segundo orden, la firma de la regla del trapecio compuesta en integrandos suaves. Reducir h a la mitad corta el término de error principal a aproximadamente una cuarta parte.

La columna de "cambio respecto al anterior" es la comprobación práctica de convergencia que recomienda el flujo de trabajo de la calculadora. Cuando duplicar n cambia la respuesta menos que la precisión requerida, la estimación es estable. Para esta curva, n = 16 ya fija la longitud dentro de 0.000582 de la verdad.

El error de la regla del trapecio compuesta tiene una forma matemática precisa. Para un integrando g suficientemente suave en [a, b]:

para algún ξ en [a, b]. El signo es importante: cuando g'' es positiva (integrando convexo), el error es negativo, lo que significa que T_n sobreestima la integral. Eso coincide con el ejemplo de x², donde cada estimación superó el valor exacto 1.478943.

Una cota garantizada se obtiene reemplazando g''(ξ) por su magnitud máxima M = max|g''(x)| en [a, b]:

Términos clave. El error absoluto es |I - T_n|, la distancia entre la verdad y la estimación. El error relativo divide eso entre |I|. El error de truncamiento es el error de aproximar la integral por una suma finita, a diferencia del error de redondeo de la aritmética de precisión finita. La segunda derivada g'' mide la curvatura del integrando, que es lo que los paneles rectilíneos no logran capturar.

Cota concreta para el ejemplo de x². En [0, 1], g''(x) = 4/(1 + 4x²)^3/2, mayor en x = 0 con M = 4. La cota da |I - T₄| ≤ 4/(12 · 16) = 0.020833. El error real 0.009321 está cómodamente dentro. Las cotas son conservadoras por diseño; prometen un techo, no un error exacto.

Dos advertencias. Primera, g es el integrando de longitud de arco, no la f original. Derivar dos veces a través de la raíz cuadrada es lo que describe M. Segunda, las cotas de error pueden ser difíciles de calcular para funciones complicadas porque la propia M puede necesitar maximización. En la práctica, la comprobación de convergencia de duplicar n es la herramienta más útil, y la calculadora no muestra una cota de error automática.

La regla de Simpson es el pariente más cercano de la regla del trapecio. Ambas dividen [a, b] en subintervalos iguales, pero Simpson ajusta una parábola a través de tres puntos consecutivos donde la regla del trapecio dibuja una cuerda recta a través de dos.

En integrandos suaves, la convergencia de cuarto orden de Simpson suele ganar: duplicar n reduce su error aproximadamente por dieciséis, frente a cuatro para la regla del trapecio. Pero Simpson no es universalmente mejor. Para integrandos ásperos o discontinuos, ambos métodos se degradan, y el orden extra de precisión puede no materializarse. La regla del trapecio también acepta n impar, lo cual es conveniente para comprobaciones rápidas.

Un flujo de trabajo sólido usa ambas: la estimación trapezoidal como línea base transparente, y la regla de Simpson para mayor precisión. Cuando las dos coinciden en los dígitos requeridos, la confianza es alta. Cuando discrepan, aumente n antes de confiar en cualquiera.

Dos ideas diferentes "tipo trapecio" son fáciles de confundir. Producen números diferentes para la misma curva, por lo que la distinción importa.

Método 1: Integración trapezoidal del integrando de longitud de arco. Esto es lo que hace la calculadora. Integra g(x) = √(1 + (f'(x))²) con paneles trapezoidales dibujados bajo la curva del integrando:

Método 2: Aproximación poligonal (suma de cuerdas) de la curva original. Esto conecta puntos adyacentes de la propia curva con segmentos rectos y suma sus longitudes:

Una suma de cuerdas une los puntos (x_i, f(x_i)) de la curva original. Un panel trapezoidal, en cambio, aproxima el área bajo el integrando g(x). Los paneles no representan segmentos rectos de la curva original, aunque ambos dibujos involucren líneas rectas.

Ambos métodos convergen a la longitud verdadera a medida que n crece, y ambos son herramientas numéricas legítimas. La calculadora de esta página implementa el Método 1. Si necesita sumas de cuerdas a partir de datos de coordenadas, la herramienta de longitud de arco desde puntos sigue el Método 2.

La regla del trapecio es la elección correcta cuando la simplicidad y la transparencia importan más que exprimir los últimos dígitos de precisión.

• Aprender integración numérica. Cada paso tiene un significado geométrico visible, lo que la convierte en el primer método estándar en los cursos de cálculo.
• Estimar longitudes de curva rápidamente. Un puñado de paneles suele dar dos o tres dígitos correctos para curvas suaves.
• Comprobar soluciones analíticas. Compare una longitud de arco derivada a mano con una estimación numérica independiente.
• Modelos de ingeniería y física. Estimaciones de longitud para cables, arcos y trayectorias donde los valores aproximados alimentan cálculos más grandes.
• Comparar métodos numéricos. Es la línea base contra la que se juzgan la regla de Simpson y los métodos de orden superior.
• Funciones muestreadas suaves. Cuando f es suave y n puede ser moderado, el método es confiable.
• Verificación educativa. Su comportamiento predecible O(h²) hace que las comprobaciones de convergencia sean fáciles de interpretar.

Recurra a un método diferente cuando el integrando cambie rápidamente, tenga quiebres o discontinuidades, o cuando se requiera alta precisión a bajo costo. Para curvas suaves, la regla de Simpson suele entregar más dígitos por panel. Para curvas paramétricas, polares o espaciales, use las calculadoras dedicadas de longitud de arco paramétrica, longitud de arco polar o longitud de arco 3D, que aplican las mismas ideas numéricas en el sistema de coordenadas correcto.

Estos son los errores que aparecen con más frecuencia en trabajos de estudiantes y en preguntas de soporte. Cada uno es fácil de evitar una vez que sabe que existe.

1. Ingresar límites de integración incorrectos. El tramo [0, 2] no es la misma porción de curva que [2, 0]. Siempre confirme a < b y que los límites coincidan con el problema.
2. Usar la función equivocada. Un error tipográfico como x^3 en lugar de x^2 cambia la derivada y cada valor posterior.
3. Olvidar la derivada en la fórmula de longitud de arco. La longitud de arco integra √(1 + (f')²), nunca la propia f.
4. Aplicar la regla directamente a f(x) para la longitud de arco. Los paneles deben quedar bajo g(x). Integrar f(x) calcula área con signo, no longitud.
5. Elegir muy pocas subdivisiones. n = 2 en un integrando curvo puede errar por varios por ciento; el ejemplo de x² tuvo 2.5% de error con n = 2.
6. Usar cero subdivisiones. n = 0 significa h = (b - a)/0, que es indefinido. n debe ser un entero positivo.
7. Ingresar un número de subdivisiones no entero. n = 2.5 no tiene significado para contar paneles; redondee a un número entero.
8. Confundir n con el número de puntos muestrales. n paneles necesitan n + 1 puntos muestrales. Con n = 4 hay 5 puntos, no 4.
9. Olvidar los medio pesos de los extremos. Dar a g(x₀) y g(x_n) peso completo infla la estimación en h/2 · (g(x₀) + g(x_n)).
10. Usar el tamaño de paso equivocado. h = (b - a)/n, no b - a ni 1/n. En [0, 2] con n = 8, h = 0.25.
11. Mezclar grados y radianes. sin(x) con x en grados es una curva diferente que sin(x) en radianes; las longitudes de arco difieren en consecuencia.
12. Ignorar las restricciones del dominio de la función. ln(x + 1) requiere x > -1. Evaluar fuera del dominio produce valores sin sentido.
13. Confundir la aproximación con la integración exacta. T_n se acerca a L; solo es igual a L para integrandos especiales como las constantes.
14. Suponer que más paneles siempre garantizan mejor precisión. Cierto en el régimen asintótico para integrandos suaves, pero el error de redondeo y la falta de suavidad pueden romper el patrón en los extremos.
15. Ignorar las comprobaciones de convergencia. Una estimación es una conjetura; dos estimaciones con n y 2n que coinciden son evidencia.
16. Confundir la regla de Simpson con la regla del trapecio. Simpson usa pesos 1-4-2-4-...-1 y necesita n par; la regla del trapecio usa 1/2-1-...-1-1/2 y cualquier n positivo.
17. Confundir la integración trapezoidal con la suma de cuerdas. Los paneles bajo el integrando no son cuerdas en la curva; los dos métodos dan números diferentes.
18. Reportar precisión decimal excesiva. Si el error ronda 0.002, escribir seis decimales exagera lo que se sabe. Redondee para que coincida con la precisión verificada.

La misma aritmética de paneles detrás de la longitud de arco aparece dondequiera que una cantidad suave deba acumularse numéricamente.

• Estimación de longitudes de curva en ingeniería. Las longitudes de cables, curvas de suspensión y codos de tuberías se calculan a partir de funciones de diseño antes de la fabricación.
• Diseño mecánico. Los perfiles de levas y las curvas de dientes de engranajes necesitan estimaciones precisas de perímetro para planificar materiales.
• Geometría de carreteras y caminos. Las curvas de alineación de carreteras y vías férreas se miden a lo largo de sus líneas centrales, que rara vez son funciones elementales.
• Diseño asistido por computadora. Los núcleos CAD estiman longitudes de curva para renderizado, generación de trayectorias de herramienta y acotación.
• Simulaciones físicas. Las trayectorias de partículas y las longitudes de líneas de campo se acumulan a partir de modelos numéricos.
• Modelado numérico. Cualquier integral sin forma cerrada, desde densidades de probabilidad hasta energía de señales, puede comenzar con paneles trapezoidales.
• Educación matemática. La regla es la puerta de entrada estándar al análisis numérico porque su comportamiento de error es fácil de demostrar.
• Medición y verificación de curvas. Las mediciones físicas de curvas irregulares se contrastan con predicciones numéricas.

Para geometría especializada, el método se adapta: la misma regla compuesta integra la velocidad paramétrica √((x')² + (y')²) y los integrandos polares. La calculadora aquí maneja el caso cartesiano; las herramientas relacionadas cubren los otros sistemas de coordenadas. No procesa archivos CAD ni conjuntos de datos topográficos directamente; primero deben reducirse a una función y unos límites.

Resuélvalos a mano, luego compruebe con la calculadora. Cada solución muestra la sustitución para que pueda encontrar sus propios errores aritméticos.

Problema 1. Use la regla del trapecio con n = 1 para aproximar ∫₀² 3 dx, e indique si el resultado es exacto.
Solución. h = 2, T₁ = 2/2 · [3 + 3] = 6. El integrando es constante, por lo que el único trapecio coincide exactamente con el rectángulo. La integral exacta también es 6, por lo que el resultado es exacto.

Problema 2. Encuentre la longitud de arco de f(x) = x en [0, 1] usando la regla del trapecio con n = 1.
Solución. f'(x) = 1, por lo que g(x) = √2, una constante. T₁ = 1 · √2 ≈ 1.414214, que es exacto porque el integrando es constante. Geométricamente esto es la diagonal de un cuadrado unitario.

Problema 3. Aproxime la longitud de arco de f(x) = x² en [0, 1] con n = 2.
Solución. h = 0.5; g(0) = 1, g(0.5) = 1.414214, g(1) = 2.236068. T₂ = 0.5 · [1/2 + 1.414214 + 2.236068/2] = 0.5 · 3.032249 = 1.516124. El valor exacto es 1.478943, por lo que el error es 0.037181.

Problema 4. Aproxime la longitud de arco de f(x) = sin x en [0, π] con n = 4.
Solución. g(x) = √(1 + cos²x), h = π/4. Evaluar en 0, π/4, π/2, 3π/4, π y aplicar los pesos da T₄ ≈ 3.819944. Con n = 8 el valor es 3.820198, por lo que el resultado con n = 4 ya está dentro de 0.000254 del valor convergido.

Problema 5. Calcule el tamaño de paso para a = 2, b = 5, n = 6.
Solución. h = (5 - 2)/6 = 3/6 = 0.5. Los puntos muestrales son 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5: siete puntos para seis paneles.

Problema 6. Para n = 10, ¿cuántos puntos muestrales hay y cuáles son sus pesos?
Solución. Hay n + 1 = 11 puntos muestrales. Los extremos x₀ y x₁₀ llevan peso 1/2; los nueve puntos interiores x₁ a x₉ llevan peso 1.

Problema 7. Para f(x) = x² en [0, 1], compare T₂ y T₄ e indique el cambio.
Solución. T₂ = 1.516124 y T₄ = 1.488264, un cambio de 0.027860. El valor exacto es 1.478943, por lo que duplicar n redujo el error de 0.037181 a 0.009321, un factor de aproximadamente cuatro, como predice la convergencia de segundo orden.

Problema 8. T₈ = 1.481272 para f(x) = x² en [0, 1]. Reporte el error absoluto y relativo frente al valor exacto 1.478943.
Solución. Error absoluto = |1.481272 - 1.478943| = 0.002330. Error relativo = 0.002330 / 1.478943 ≈ 0.001576, aproximadamente 0.16%. Tanto la estimación como el error deben citarse con tres decimales aquí; los dígitos extra de 1.481272 aún no son confiables.