Calculadora de longitud de arco a partir de puntos

La Calculadora de Longitud de Arco a partir de Puntos mide una trayectoria sumando las distancias en línea recta entre puntos de coordenadas consecutivos. Funciona en el modo Distance Summation en la calculadora de arriba. Siga estos pasos para obtener un total correcto en menos de un minuto.

1. Seleccione el modo basado en puntos. La página se abre con el panel Distance Summation activo, que muestra la fórmula L = ∑_i=1ⁿ⁻¹ √((Δx_i)² + (Δy_i)²). No se necesita ningún otro modo para este cálculo.
2. Ingrese pares de coordenadas. Escriba un punto por línea en el área de texto, dos números separados por un espacio. El ejemplo de entrada se ve así:
   0 0
3 4
6 4
10 1
3. Compruebe el orden de los puntos. La calculadora sigue la secuencia exacta que escriba. Asegúrese de que las líneas estén en el orden de recorrido a lo largo de la trayectoria prevista, no ordenadas por el valor de x o y.
4. Haga clic en Calculate Now. La calculadora mide cada par consecutivo con la fórmula de distancia euclidiana y suma todas las longitudes de los segmentos.
5. Lea el resultado. El valor informado es la longitud total de la polilínea. Su unidad coincide con la unidad de sus coordenadas: las coordenadas en metros dan un resultado en metros.
6. Copie o restablezca. Use Copy Result para colocar la respuesta en su portapapeles, o Reset para borrar los puntos y comenzar una nueva trayectoria.

Consejos importantes. Use unidades consistentes para cada punto. Ingrese al menos dos puntos, ya que un punto no tiene segmentos. Conserve el orden previsto a lo largo de la trayectoria. Para medir un bucle cerrado, agregue el primer punto nuevamente al final de la lista. Para trayectorias con curvas pronunciadas, incluya puntos adicionales cerca de cada giro para que los segmentos sigan de cerca las curvas.

La longitud de arco a partir de puntos es la distancia total a lo largo de una trayectoria definida por una lista de coordenadas en lugar de una ecuación matemática. Cada coordenada es una muestra discreta de una ruta: una lectura de GPS, una medición topográfica, un vértice de CAD o un punto que usted colocó en una gráfica. Conectar los puntos en orden crea una polilínea, una cadena de segmentos rectos, y la longitud de arco de esa polilínea es la suma de las longitudes de los segmentos.

Considere tres puntos: A = (0, 0), B = (3, 4) y C = (6, 0). El segmento de A a B mide 5 unidades, y el segmento de B a C también mide 5 unidades. Por lo tanto, la longitud total de la trayectoria es 10 unidades. Ese número es exacto para la polilínea A → B → C. Si los tres puntos fueran muestras de una curva suave, 10 solo aproximaría la longitud real de la curva, porque los segmentos rectos cortan esquinas que la curva no tiene.

La longitud de arco basada en puntos es la herramienta natural siempre que sus datos lleguen como coordenadas. Un sendero registrado por un reloj de actividad física, un límite trazado en un mapa o un contorno extraído de una imagen comparten la misma estructura: una lista ordenada de pares (x, y) con una trayectoria que los recorre en ese orden.

Cada segmento de la trayectoria se mide con la fórmula de distancia euclidiana:

La fórmula proviene directamente del teorema de Pitágoras. El cambio horizontal x₂ − x₁ y el cambio vertical y₂ − y₁ forman los catetos de un triángulo rectángulo, y la distancia d es la hipotenusa. Elevar al cuadrado cada cateto elimina el efecto de los signos negativos, y la raíz cuadrada convierte la longitud al cuadrado de nuevo en unidades ordinarias.

Recorramos un ejemplo con A = (1, 2) y B = (5, 5):

1. Cambio horizontal. 5 − 1 = 4.
2. Cambio vertical. 5 − 2 = 3.
3. Eleve al cuadrado cada cambio. 4² = 16 y 3² = 9.
4. Sume los cuadrados. 16 + 9 = 25.
5. Calcule la raíz cuadrada. √25 = 5, por lo que d = 5 unidades.

Debido a que los catetos se elevan al cuadrado antes de sumarse, el orden de la resta nunca importa: (x₁ − x₂)² es igual a (x₂ − x₁)². Por lo tanto, la fórmula da la misma distancia sin importar cuál extremo llame primero.

Cuando una trayectoria contiene N puntos ordenados, la longitud total es la suma de las longitudes de los N − 1 segmentos individuales:

El símbolo de sumatoria ∑ significa "sumar". Comenzando en i = 1, la fórmula calcula la distancia entre el punto 1 y el punto 2, luego entre el punto 2 y el punto 3, y continúa hasta la distancia entre el punto N − 1 y el punto N. El último índice es N − 1 porque una trayectoria abierta con N puntos tiene exactamente N − 1 segmentos: cada nuevo punto después del primero agrega un segmento de conexión.

Por ejemplo, con cuatro puntos la fórmula produce tres distancias, d₁, d₂ y d₃, y la longitud total es L = d₁ + d₂ + d₃. La siguiente sección desarrolla esto con todo detalle para los puntos (0, 0), (3, 4), (6, 4) y (10, 1).

Use los puntos P₁ = (0, 0), P₂ = (3, 4), P₃ = (6, 4) y P₄ = (10, 1). Calcule la distancia de cada segmento y luego sume las tres distancias.

Ahora sume las longitudes de los segmentos:

La respuesta 13 es exacta para esta polilínea. Observe cómo d₃ usa un cambio vertical negativo de −3; elevar al cuadrado lo convierte en +9 antes de la suma, por eso un segmento descendente aún agrega una longitud positiva. La calculadora de esta página repite exactamente estos pasos para cada par consecutivo de su lista.

El orden de los puntos define la trayectoria. La calculadora conecta el primer punto con el segundo, el segundo con el tercero, y así sucesivamente, por lo que reordenar los puntos reordena los segmentos y normalmente cambia la longitud total.

Tome los mismos cuatro puntos del ejemplo anterior en dos secuencias diferentes:

Orden A: (0, 0) → (3, 4) → (6, 4) → (10, 1). Los segmentos miden 5, 3 y 5, lo que da L = 13 unidades.

Orden B: (0, 0) → (6, 4) → (3, 4) → (10, 1). Los segmentos miden √52 ≈ 7.211103, 3 y √58 ≈ 7.615773, lo que da L ≈ 17.826876 unidades.

El mismo conjunto de coordenadas produjo dos trayectorias diferentes con dos longitudes diferentes, porque los dos puntos intermedios se intercambiaron y los segmentos de conexión cambiaron. Un caso especial importante se comporta de manera diferente: invertir toda la secuencia, (10, 1) → (6, 4) → (3, 4) → (0, 0), recorre los mismos segmentos hacia atrás, por lo que el total sigue siendo exactamente 13. La inversión conserva la longitud; el reordenamiento arbitrario no.

Por eso ordenar los puntos por la coordenada x no siempre es correcto. El orden clasificado puede ser conveniente, pero una trayectoria real, como un sendero sinuoso o una letra manuscrita trazada por un sensor, debe conservar su secuencia de recorrido.

Una trayectoria abierta comienza en un punto y termina en un punto diferente. Una trayectoria cerrada regresa a su punto inicial, formando un bucle cuya longitud incluye el segmento de cierre.

Use un cuadrado con esquinas (0, 0), (4, 0), (4, 4) y (0, 4):

Trayectoria abierta. Ingrese las cuatro esquinas en orden. Los tres segmentos miden 4, 4 y 4, por lo que L = 12 unidades. A la figura le falta su cuarto lado.

Trayectoria cerrada. Ingrese (0, 0) → (4, 0) → (4, 4) → (0, 4) → (0, 0). Repetir el punto inicial agrega el segmento de cierre de (0, 4) de vuelta a (0, 0), que mide 4. Ahora L = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 unidades, el perímetro del cuadrado.

La calculadora nunca agrega un segmento de cierre por sí sola. Si su trayectoria es un bucle, debe escribir el primer punto nuevamente al final de la lista. Tenga en cuenta que la longitud de una trayectoria cerrada es un perímetro, no un área: esta calculadora mide distancias alrededor de una figura, nunca la región interior.

Las coordenadas negativas funcionan exactamente igual que las positivas. La fórmula de distancia eleva al cuadrado cada diferencia de coordenadas, por lo que los signos negativos en la entrada o en las diferencias nunca reducen el resultado.

Para A = (−3, −2) y B = (1, 1):

1. Cambio horizontal. 1 − (−3) = 4.
2. Cambio vertical. 1 − (−2) = 3.
3. Eleve al cuadrado cada cambio. 4² = 16 y 3² = 9.
4. Sume y calcule la raíz. √(16 + 9) = √25 = 5 unidades.

Las coordenadas negativas aparecen de forma natural siempre que el origen se encuentre dentro del área que se mide: gráficas de anomalías de temperatura, perfiles de elevación con lecturas bajo el nivel del mar o dibujos de CAD centrados en (0, 0). La distancia depende solo de la separación entre los puntos, nunca del cuadrante que ocupen.

Las coordenadas no tienen que ser números enteros. La misma fórmula maneja decimales, y los pasos no cambian.

Para A = (0.5, 1.5) y B = (3.5, 5.5):

1. Cambio horizontal. 3.5 − 0.5 = 3.
2. Cambio vertical. 5.5 − 1.5 = 4.
3. Eleve al cuadrado, sume y calcule la raíz. √(3² + 4²) = √25 = 5 unidades.

Los datos medidos casi siempre llegan como decimales: los rastros de GPS, los registros de sensores y los instrumentos topográficos reportan posiciones con varios decimales. Ingrese los valores tal como están y deje que la calculadora haga la aritmética. Evite redondear cada segmento a un número entero antes de sumar, porque el redondeo anticipado puede alterar el total más de lo que la precisión final mostrada sugeriría. Redondee solo el resultado final, y solo si la aplicación lo requiere.

Cuando dos puntos consecutivos son idénticos, la distancia entre ellos es cero, por lo que el punto repetido no agrega nada a la longitud total.

Para (0, 0) → (3, 4) → (3, 4) → (6, 8), los segmentos son:

• d₁ = 5
• d₂ = 0, porque los dos puntos intermedios coinciden
• d₃ = 5

El total es L = 5 + 0 + 5 = 10 unidades, lo mismo que si se hubiera eliminado el duplicado.

Las lecturas duplicadas son comunes en los datos registrados: un receptor GPS que registra la misma posición dos veces, o un sensor que muestrea mientras está detenido. Por inofensivas que sean para la longitud, pueden distorsionar otros análisis, por lo que eliminarlas es una buena práctica. Una advertencia: repetir un punto más adelante en la lista es diferente. Regresar a una posición anterior después de visitar otros puntos crea una trayectoria de regreso genuina, y esa trayectoria agrega distancia real.

Cuando los puntos son muestras de una curva suave subyacente, el número de muestras controla qué tan de cerca sigue la polilínea a la curva. El muestreo escaso corta la curvatura, produciendo cuerdas rectas que son más cortas que las porciones curvas que reemplazan. Por lo tanto, la longitud medida tiende a subestimar la longitud real de la curva.

Un cuarto de círculo de radio 1 tiene una longitud de arco exacta de π/2 ≈ 1.570796. Conectar m puntos igualmente espaciados a lo largo del arco da la suma de cuerdas L_m = 2m · sin(π/(4m)):

Cada duplicación del número de muestras reduce el error aproximadamente por un factor de cuatro, una característica de las curvas convexas suaves. Con 16 cuerdas, la polilínea ya está a 0.000631 de la longitud exacta.

Un muestreo más denso no es una cura para todo. Si las coordenadas mismas contienen ruido de medición, los puntos adicionales agregan pequeños desvíos aleatorios que inflan la longitud medida. Por lo tanto, la precisión depende tanto de la densidad de muestreo como de la calidad de los datos: muestree generosamente donde la curva se doble bruscamente y prefiera mediciones limpias y bien calibradas en lugar de simplemente recolectar más muestras ruidosas.

Dos preguntas diferentes se esconden dentro de una lista de puntos. La longitud de la polilínea sigue cada punto intermedio; la distancia en línea recta ignora todo excepto el primer y el último punto.

Para A = (0, 0), B = (3, 4) y C = (6, 0):

• AB = 5 y BC = 5, por lo que la longitud de la trayectoria es L = 5 + 5 = 10 unidades.
• La distancia directa de A a C es √((6 − 0)² + (0 − 0)²) = 6 unidades.

La longitud de la trayectoria responde "qué tan lejos viajé pasando por B", mientras que la distancia directa responde "qué tan separados están A y C". Ambas son respuestas correctas a preguntas diferentes. La desigualdad triangular garantiza que la longitud de la polilínea nunca puede ser menor que la distancia directa entre los extremos: tomar el desvío por B solo puede alargar el viaje, nunca acortarlo.

El siguiente diagrama hace visible la distinción: una curva suave, los puntos de muestreo tomados de ella y las cuerdas rectas que los conectan. Cada cuerda corta la curvatura, por eso la polilínea siempre mide un poco menos que la curva que aproxima.

Confundir las dos es un error frecuente. Una ruta de entrega que serpentea por varias paradas es más larga que la línea recta entre la primera y la última parada, y la calculadora siempre informa la ruta sinuosa, porque esa es la trayectoria que describen los puntos.

Cada ejemplo a continuación muestra la entrada de coordenadas, la aritmética segmento por segmento y el resultado final, exactamente como lo realiza la calculadora.

Ejemplo 1: Distancia entre dos puntos. Entrada: (0, 0), (3, 4). Un segmento: d = √(3² + 4²) = √25 = 5 unidades. Dos puntos son la entrada mínima con sentido, y la respuesta es simplemente la distancia entre ellos.

Ejemplo 2: Trayectoria de tres puntos. Entrada: (0, 0), (3, 4), (6, 0). Segmentos: AB = 5, BC = 5. Total: L = 5 + 5 = 10 unidades. Compárese con la distancia directa AC = 6, que ignora el punto intermedio.

Ejemplo 3: Trayectoria de cuatro puntos. Entrada: (0, 0), (3, 4), (6, 4), (10, 1). Segmentos: d₁ = 5, d₂ = 3, d₃ = 5. Total: L = 13 unidades, coincidiendo con el ejemplo desarrollado arriba.

Ejemplo 4: Cuadrado cerrado. Entrada: (0, 0), (4, 0), (4, 4), (0, 4), (0, 0). Cuatro segmentos de 4 cada uno. Total: L = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 unidades. El punto inicial repetido cierra el bucle y aporta el cuarto lado.

Ejemplo 5: Coordenadas negativas. Entrada: (−3, −2), (1, 1). Diferencias: 4 y 3. Resultado: d = √(16 + 9) = 5 unidades. Los signos negativos desaparecen cuando las diferencias se elevan al cuadrado.

Ejemplo 6: Coordenadas decimales. Entrada: (0.5, 1.5), (3.5, 5.5). Diferencias: 3 y 4. Resultado: d = √(9 + 16) = 5 unidades. Los decimales no necesitan un tratamiento especial.

Ejemplo 7: Puntos consecutivos repetidos. Entrada: (0, 0), (3, 4), (3, 4), (6, 8). Segmentos: 5, 0, 5. Total: L = 5 + 0 + 5 = 10 unidades. El duplicado aporta cero.

Ejemplo 8: Ruta rectangular. Entrada: (0, 0), (8, 0), (8, 3), (0, 3), (0, 0). Segmentos: 8, 3, 8, 3. Total: L = 8 + 3 + 8 + 3 = 22 unidades, el perímetro del rectángulo de 8 por 3.

Ejemplo 9: Trayectoria en zigzag. Entrada: (0, 0), (1, 6), (2, 0). Cada segmento mide √(1 + 36) = √37 ≈ 6.082763. Total: L ≈ 12.165525 unidades. La distancia directa de (0, 0) a (2, 0) es solo 2, lo que muestra cuánto agrega una ruta sinuosa en comparación con la línea recta.

El cálculo define la longitud de arco para una curva suave y = f(x) entre x = a y x = b con la integral:

Esta fórmula usa una función continua y su derivada. El método basado en puntos usa una secuencia de coordenadas y la fórmula de distancia. Los dos enfoques responden a la misma pregunta subyacente, la longitud de una curva, a partir de diferentes tipos de entrada.

Los métodos convergen a medida que mejora el muestreo. Muestree puntos a lo largo de una curva suave en orden de recorrido, conéctelos con segmentos rectos y la longitud de la polilínea se aproxima a la integral a medida que los puntos se vuelven más densos. Esta relación límite es la misma idea detrás de la integración numérica.

En la práctica, elija el método que coincida con sus datos. Cuando tiene una fórmula como y = x², use la calculadora de longitud de arco con pasos. Cuando tiene una lista de coordenadas medidas sin ninguna fórmula detrás, el método basado en puntos es el correcto y no requiere derivadas en absoluto.

Ambos métodos estiman la longitud de curva, pero parten de diferentes entradas y aproximan de diferentes maneras.

Dado que las entradas difieren, los dos métodos pueden discrepar en la misma curva física. El método de puntos mide la polilínea con exactitud, mientras que la regla trapezoidal aproxima la curva suave a través de su integral. Ninguno es universalmente mejor: las coordenadas medidas requieren el método de puntos, y una ecuación conocida requiere la calculadora de la Regla Trapezoidal o la calculadora de la Regla de Simpson.

La calculadora calcula la longitud de la polilínea con exactitud, por lo que "precisión" realmente significa qué tan fielmente representa la polilínea la trayectoria real. Estas doce prácticas mantienen la medición fiel.

1. Agregue puntos en las secciones curvas. Las cuerdas rectas cortan esquinas; más muestras permiten que la polilínea se adhiera a la curva.
2. Conserve el orden correcto de la trayectoria. Los puntos deben seguir la secuencia de recorrido, ya que reordenarlos cambia los segmentos.
3. Muestree densamente cerca de giros pronunciados. Una curva cerrada descrita por dos puntos se convierte en una sola cuerda larga; los puntos intermedios trazan el giro.
4. Use unidades de coordenadas consistentes. Mezclar metros y kilómetros en una lista corrompe silenciosamente el total.
5. Compruebe si faltan puntos. Un punto de referencia omitido hace que la calculadora salve el vacío con una línea recta.
6. Identifique coordenadas incorrectas. Un error de escritura puede agregar un pico largo a la trayectoria.
7. Revise saltos inesperados. Examine las longitudes de los segmentos; un segmento mucho más largo que sus vecinos merece una segunda mirada.
8. Evite el redondeo innecesario. Mantenga la precisión completa durante la suma y redondee solo el resultado final.
9. Tenga en cuenta el ruido de medición. Las posiciones ruidosas agregan pequeños desvíos aleatorios. Suavice o filtre los datos antes de medir si la precisión lo permite.
10. Use un sistema de referencia de coordenadas apropiado. Las fórmulas planas necesitan coordenadas proyectadas, no grados de latitud y longitud sin procesar.
11. Verifique si la trayectoria es abierta o cerrada. Un punto de cierre faltante elimina un lado completo de un bucle.
12. Compare resultados con diferentes densidades de muestreo. Si duplicar las muestras apenas cambia el total, la medición ha convergido.

Una advertencia importa más que las demás: agregar puntos no mejora automáticamente la precisión en el mundo real. Las muestras ruidosas más densas acumulan desvíos aleatorios e inflan el total. La densidad ayuda cuando los puntos subyacentes son exactos; el ruido debe limpiarse, no simplemente superarse en número.

La medición de longitud basada en puntos aparece en cualquier lugar donde una trayectoria se registre como coordenadas en lugar de derivarse de una fórmula.

GPS y cartografía. Un reloj de actividad física o un teléfono registra posiciones cada pocos segundos, y la longitud total de la ruta es la suma de las distancias entre posiciones consecutivas. Para el trabajo geográfico real, las posiciones deben proyectarse a coordenadas planas (metros al este y al norte), porque la fórmula aquí trata los grados como números cartesianos ordinarios. Las curvas definidas por ecuaciones de ángulo necesitan en cambio la calculadora de longitud de arco polar.

Topografía. Las estaciones totales y los receptores GNSS producen coordenadas planas de límites, carreteras y líneas de servicios públicos. Sumar las distancias entre puntos topográficos consecutivos da la longitud medida de un límite o la línea central de una carretera.

CAD e ingeniería. Los dibujos de diseño almacenan polilíneas como listas ordenadas de vértices. El perímetro del contorno de una pieza mecanizada, la longitud de una ruta de cable o la longitud de corte de un perfil son todas longitudes de arco basadas en puntos.

Robótica. Una ruta planificada es una secuencia de puntos de referencia, y la distancia total de viaje es la suma de los segmentos entre puntos de referencia. Los planificadores de rutas comparan listas candidatas de puntos de referencia con exactamente esta suma.

Gráficos por computadora. Los contornos, esquemas y trazos dibujados a mano se almacenan como puntos muestreados. La longitud de trazo, el perímetro de contorno y los cálculos de patrones de líneas punteadas se reducen a sumar distancias de segmentos.

Mediciones científicas. Las trayectorias de partículas en un detector, las rutas de movimiento animal por telemetría y las líneas centrales de ríos digitalizadas son trayectorias muestreadas cuyas longitudes se miden punto por punto.

Geometría en el aula. Los estudiantes que verifican problemas de distancia de múltiples segmentos pueden comprobar cada segmento y el total de forma independiente, lo que hace que el método sea una excelente herramienta didáctica para la propia fórmula de distancia.

Ninguna de estas aplicaciones requiere que la calculadora importe archivos o se conecte a dispositivos. Los valores se escriben o pegan en la lista de puntos, y la misma suma de distancias hace el resto. Para curvas espaciales con tres coordenadas, consulte la calculadora de longitud de arco 3D; para trayectorias parametrizadas por tiempo, consulte la calculadora de longitud de arco paramétrica.

Estos dieciocho errores representan casi todas las longitudes basadas en puntos incorrectas. Cada uno incluye la solución.

1. Ingresar los puntos en el orden incorrecto. La trayectoria sigue su secuencia, no la forma que imaginó. Organice los puntos en orden de recorrido.
2. Mezclar los valores de x e y. Las columnas intercambiadas rotan y distorsionan la geometría. Mantenga un formato consistente de "primero x, luego y".
3. Olvidar un punto intermedio. Un punto omitido se reemplaza por un puente recto a través del vacío. Incluya cada punto de referencia.
4. Sumar distancias desde el origen. La longitud se mide entre puntos consecutivos, no desde (0, 0) hasta cada punto. Sume solo pares adyacentes.
5. Olvidar la raíz cuadrada. Sumar (dx)² + (dy)² sin la raíz da distancias al cuadrado, no longitudes.
6. Sumar diferencias de coordenadas sin elevar al cuadrado. La simple |dx| + |dy| mide una métrica diferente (distancia Manhattan), no la distancia en línea recta.
7. Mezclar unidades. Metros y pies en una lista producen un total sin sentido. Convierta todo primero.
8. Suponer que el resultado está automáticamente en metros. El resultado hereda su unidad de coordenadas. Los grados dan grados, los píxeles dan píxeles.
9. Ingresar latitud y longitud sin procesar como x e y planas. Un grado de longitud no es un número fijo de metros. Proyecte primero las coordenadas.
10. Olvidar cerrar un bucle. Sin el punto inicial repetido, el lado de cierre falta en el perímetro.
11. Agregar un segmento de cierre cuando la trayectoria debería permanecer abierta. Repetir el punto inicial en una ruta abierta agrega una pierna de regreso espuria.
12. Usar muy pocos puntos en una trayectoria curva. Las muestras escasas cortan esquinas y subestiman la longitud real.
13. Suponer que muestras ruidosas más densas siempre mejoran la precisión. El ruido agrega desvíos; más puntos ruidosos pueden inflar el total.
14. Redondear cada segmento demasiado pronto. Redondee solo el total final, para que los errores de redondeo no se acumulen entre segmentos.
15. Confundir la longitud de la polilínea con la distancia directa entre extremos. La ruta sinuosa que pasa por todos los puntos es más larga que la línea directa desde el inicio hasta el final.
16. Confundir la longitud de la trayectoria con el área encerrada. Un perímetro de 16 unidades no dice nada sobre el área dentro del bucle.
17. Tratar los puntos repetidos como distancia positiva adicional. Un duplicado consecutivo aporta exactamente cero, no otra longitud de segmento.
18. Suponer que un cálculo 2D tiene en cuenta la elevación. Los cambios de altura necesitan una tercera coordenada; x e y planas por sí solas ignoran colinas y pendientes.

Resuelva cada problema a mano y luego compruebe la solución. Todas las soluciones usan la fórmula de distancia euclidiana en puntos consecutivos.

Problema 1: Distancia entre dos puntos. Halle la distancia entre (0, 0) y (5, 12).
Solución: dx = 5, dy = 12, d = √(25 + 144) = √169 = 13 unidades.

Problema 2: Trayectoria de tres puntos. Halle la longitud de la trayectoria que pasa por (1, 2) → (5, 6) → (9, 2).
Solución: d₁ = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.656854; d₂ = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.656854. Total: L ≈ 11.313708 unidades.

Problema 3: Coordenadas negativas. Halle la distancia entre (−6, −8) y (0, 0).
Solución: dx = 6, dy = 8, d = √(36 + 64) = √100 = 10 unidades.

Problema 4: Coordenadas decimales. Halle la distancia entre (1.25, 2.5) y (4.25, 6.5).
Solución: dx = 3, dy = 4, d = √(9 + 16) = 5 unidades.

Problema 5: Triángulo cerrado. Halle el perímetro del triángulo (0, 0) → (4, 0) → (0, 3) → (0, 0).
Solución: 4, luego √(16 + 9) = 5, luego 3. Perímetro: 4 + 5 + 3 = 12 unidades.

Problema 6: Rectángulo cerrado. Halle el perímetro del rectángulo (0, 0) → (9, 0) → (9, 4) → (0, 4) → (0, 0).
Solución: 9 + 4 + 9 + 4 = 26 unidades.

Problema 7: Punto repetido. Halle la longitud de la trayectoria que pasa por (1, 1) → (4, 5) → (4, 5) → (7, 1).
Solución: d₁ = √(9 + 16) = 5, d₂ = 0, d₃ = √(9 + 16) = 5. Total: L = 5 + 0 + 5 = 10 unidades.

Problema 8: Distancia directa vs distancia total de la trayectoria. Para (0, 0) → (1, 6) → (2, 0), halle tanto la longitud de la trayectoria como la distancia directa entre los extremos.
Solución: Cada segmento es √(1 + 36) = √37 ≈ 6.082763, por lo que la longitud de la trayectoria es L ≈ 12.165525 unidades. La distancia directa de (0, 0) a (2, 0) es 2 unidades. La trayectoria sinuosa es más de seis veces la línea recta.

Diferentes descripciones de curvas requieren diferentes calculadoras. Cada una de estas maneja un caso que el método basado en puntos no cubre:

• Longitud de arco con pasos: ingrese una función y = f(x) y vea el cálculo basado en cálculo resuelto paso a paso.
• Calculadora de longitud de arco paramétrica: mida curvas dadas como x(t) e y(t).
• Calculadora de longitud de arco polar: mida curvas dadas como r(θ).
• Calculadora de longitud de arco 3D: mida curvas espaciales con x(t), y(t) y z(t).
• Calculadora de la regla trapezoidal: estime la longitud de arco numéricamente a partir de una función y su derivada.
• Calculadora de la regla de Simpson: estime la longitud de arco con la regla numérica de mayor precisión de Simpson.