Calculateur de longueur d'arc à partir de points

Le calculateur de longueur d'arc a partir de points mesure un trajet en additionnant les distances en ligne droite entre des points de coordonnees consecutifs. Il fonctionne en mode Sommation des distances sur le calculateur ci-dessus. Suivez ces etapes pour obtenir un total correct en moins d'une minute.

1. Selectionnez le mode base sur les points. La page s'ouvre avec le panneau Sommation des distances actif, affichant la formule L = ∑_i=1ⁿ⁻¹ √((Δx_i)² + (Δy_i)²). Aucun autre mode n'est necessaire pour ce calcul.
2. Entrez les paires de coordonnees. Tapez un point par ligne dans la zone de texte, deux nombres separes par un espace. L'exemple d'entree ressemble a ceci :
   0 0
3 4
6 4
10 1
3. Verifiez l'ordre des points. Le calculateur suit l'ordre exact que vous tapez. Assurez-vous que les lignes se succedent dans l'ordre de parcours le long du trajet prevu, et non triees par valeur de x ou de y.
4. Cliquez sur Calculer maintenant. Le calculateur mesure chaque paire consecutive avec la formule de la distance euclidienne et additionne toutes les longueurs de segments.
5. Lisez le resultat. La valeur affichee est la longueur totale de la ligne brisee. Son unite correspond a votre unite de coordonnees : des coordonnees en metres donnent un resultat en metres.
6. Copiez ou reinitialisez. Utilisez Copier le resultat pour placer la reponse dans votre presse-papiers, ou Reinitialiser pour effacer les points et commencer un nouveau trajet.

Conseils importants. Utilisez des unites coherentes pour chaque point. Entrez au moins deux points, car un seul point n'a aucun segment. Conservez l'ordre prevu le long du trajet. Pour mesurer une boucle fermee, ajoutez a nouveau le premier point a la fin de la liste. Pour les trajets avec des virages serres, ajoutez des points supplementaires pres de chaque virage afin que les segments suivent les virages de pres.

La longueur d'arc a partir de points est la distance totale le long d'un trajet defini par une liste de coordonnees au lieu d'une equation mathematique. Chaque coordonnee est un echantillon discret d'un itineraire : une mesure GPS, un releve de terrain, un sommet CAO, ou un point que vous avez place sur un graphique. Relier les points dans l'ordre cree une ligne brisee, une chaine de segments droits, et la longueur d'arc de cette ligne brisee est la somme des longueurs des segments.

Considerons trois points : A = (0, 0), B = (3, 4) et C = (6, 0). Le segment de A a B mesure 5 unites, et le segment de B a C mesure egalement 5 unites. La longueur totale du trajet est donc de 10 unites. Ce nombre est exact pour la ligne brisee A → B → C. Si les trois points etaient des echantillons d'une courbe lisse, 10 ne serait qu'une approximation de la longueur reelle de la courbe, car les segments droits coupent des coins que la courbe ne coupe pas.

La longueur d'arc a partir de points est l'outil naturel chaque fois que vos donnees arrivent sous forme de coordonnees. Un sentier enregistre par une montre de sport, une limite tracee sur une carte, ou un contour extrait d'une image partagent tous la meme structure : une liste ordonnee de paires (x, y) avec un trajet qui les traverse dans cet ordre.

Chaque segment du trajet est mesure avec la formule de la distance euclidienne :

La formule decoule directement du theoreme de Pythagore. La variation horizontale x₂ − x₁ et la variation verticale y₂ − y₁ forment les cotes d'un triangle rectangle, et la distance d est l'hypotenuse. Elever chaque cote au carre elimine l'effet des signes negatifs, et la racine carree reconvertit la longueur au carre en unites ordinaires.

Prenons un exemple avec A = (1, 2) et B = (5, 5) :

1. Variation horizontale. 5 − 1 = 4.
2. Variation verticale. 5 − 2 = 3.
3. Elevez chaque variation au carre. 4² = 16 et 3² = 9.
4. Additionnez les carres. 16 + 9 = 25.
5. Prenez la racine carree. √25 = 5, donc d = 5 unites.

Comme les cotes sont eleves au carre avant d'etre additionnes, l'ordre de la soustraction n'a jamais d'importance : (x₁ − x₂)² est egal a (x₂ − x₁)². La formule donne donc la meme distance quel que soit l'extremite que vous appelez en premier.

Quand un trajet contient N points ordonnes, la longueur totale est la somme des N − 1 longueurs de segments individuelles :

Le symbole de sommation ∑ signifie « additionner ». En commencant a i = 1, la formule calcule la distance entre le point 1 et le point 2, puis entre le point 2 et le point 3, et continue jusqu'a la distance entre le point N − 1 et le point N. Le dernier indice est N − 1 car un trajet ouvert avec N points a exactement N − 1 segments : chaque nouveau point apres le premier ajoute un segment de liaison.

Par exemple, avec quatre points, la formule produit trois distances, d₁, d₂ et d₃, et la longueur totale est L = d₁ + d₂ + d₃. La section suivante detaille ce calcul pour les points (0, 0), (3, 4), (6, 4) et (10, 1).

Utilisez les points P₁ = (0, 0), P₂ = (3, 4), P₃ = (6, 4) et P₄ = (10, 1). Calculez chaque distance de segment, puis additionnez les trois distances.

Additionnez maintenant les longueurs des segments :

La reponse 13 est exacte pour cette ligne brisee. Remarquez comment d₃ utilise une variation verticale negative de −3 ; l'elever au carre la transforme en +9 avant l'addition, c'est pourquoi un segment descendant ajoute toujours une longueur positive. Le calculateur de cette page repete exactement ces etapes pour chaque paire consecutive de votre liste.

L'ordre des points definit le trajet. Le calculateur relie le premier point au deuxieme, le deuxieme au troisieme, et ainsi de suite, donc rearranger les points rearranges les segments et change generalement la longueur totale.

Prenez les memes quatre points de l'exemple precedent dans deux sequences differentes :

Ordre A : (0, 0) → (3, 4) → (6, 4) → (10, 1). Les segments mesurent 5, 3 et 5, ce qui donne L = 13 unites.

Ordre B : (0, 0) → (6, 4) → (3, 4) → (10, 1). Les segments mesurent √52 ≈ 7.211103, 3 et √58 ≈ 7.615773, ce qui donne L ≈ 17.826876 unites.

Le meme ensemble de coordonnees a produit deux trajets differents avec deux longueurs differentes, car les deux points du milieu ont ete permutes et les segments de liaison ont change. Un cas particulier important se comporte differemment : inverser toute la sequence, (10, 1) → (6, 4) → (3, 4) → (0, 0), parcourt les memes segments en sens inverse, donc le total reste exactement 13. L'inversion preserve la longueur ; le reordonnancement arbitraire ne la preserve pas.

C'est pourquoi trier les points par coordonnee x n'est pas toujours correct. L'ordre trie peut etre pratique, mais un vrai trajet, comme un sentier sinueux ou une lettre manuscrite tracee par un capteur, doit conserver sa sequence de parcours.

Un trajet ouvert commence a un point et se termine a un point different. Un trajet ferme revient a son point de depart, formant une boucle dont la longueur inclut le segment de fermeture.

Utilisez un carre avec les coins (0, 0), (4, 0), (4, 4) et (0, 4) :

Trajet ouvert. Entrez les quatre coins dans l'ordre. Les trois segments mesurent 4, 4 et 4, donc L = 12 unites. Il manque le quatrieme cote de la forme.

Trajet ferme. Entrez (0, 0) → (4, 0) → (4, 4) → (0, 4) → (0, 0). Repeter le point de depart ajoute le segment de fermeture de (0, 4) a (0, 0), qui mesure 4. Maintenant L = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 unites, le perimetre du carre.

Le calculateur n'ajoute jamais de segment de fermeture de lui-meme. Si votre trajet est une boucle, vous devez retaper le premier point a la fin de la liste. Notez que la longueur d'un trajet ferme est un perimetre, pas une aire : ce calculateur mesure des distances autour d'une forme, jamais la region a l'interieur.

Les coordonnees negatives fonctionnent exactement comme les positives. La formule de la distance eleve chaque difference de coordonnees au carre, donc les signes negatifs dans l'entree ou dans les differences ne reduisent jamais le resultat.

Pour A = (−3, −2) et B = (1, 1) :

1. Variation horizontale. 1 − (−3) = 4.
2. Variation verticale. 1 − (−2) = 3.
3. Elevez chaque variation au carre. 4² = 16 et 3² = 9.
4. Additionnez et prenez la racine. √(16 + 9) = √25 = 5 unites.

Les coordonnees negatives apparaissent naturellement chaque fois que l'origine se trouve a l'interieur de la zone mesuree : graphiques d'anomalies de temperature, profils d'altitude avec des mesures sous le niveau de la mer, ou dessins CAO centres en (0, 0). La distance depend uniquement de la separation entre les points, jamais du quadrant qu'ils occupent.

Les coordonnees ne doivent pas etre des entiers. La meme formule traite les decimales, et les etapes sont inchangees.

Pour A = (0.5, 1.5) et B = (3.5, 5.5) :

1. Variation horizontale. 3.5 − 0.5 = 3.
2. Variation verticale. 5.5 − 1.5 = 4.
3. Elevez au carre, additionnez et prenez la racine. √(3² + 4²) = √25 = 5 unites.

Les donnees mesurees arrivent presque toujours sous forme de decimales : les traces GPS, les journaux de capteurs et les instruments de mesure rapportent des positions avec plusieurs decimales. Entrez les valeurs telles quelles et laissez le calculateur faire l'arithmetique. Evitez d'arrondir chaque segment a un nombre entier avant d'additionner, car un arrondi premature peut deplacer le total de plus que la precision finale affichee ne le suggere. N'arrondissez que le resultat final, et seulement si l'application l'exige.

Quand deux points consecutifs sont identiques, la distance entre eux est zero, donc le point repete n'ajoute rien a la longueur totale.

Pour (0, 0) → (3, 4) → (3, 4) → (6, 8), les segments sont :

• d₁ = 5
• d₂ = 0, car les deux points du milieu coincident
• d₃ = 5

Le total est L = 5 + 0 + 5 = 10 unites, comme si le doublon avait ete supprime.

Les mesures dupliquees sont frequentes dans les donnees enregistrees : un recepteur GPS qui enregistre deux fois la meme position, ou un capteur qui echantillonne a l'arret. Aussi inoffensifs soient-ils pour la longueur, ils peuvent fausser d'autres analyses, donc les nettoyer est une bonne pratique. Une mise en garde : repeter un point plus tard dans la liste est different. Revenir a une position anterieure apres avoir visite d'autres points cree un veritable trajet de retour, et ce trajet ajoute une distance reelle.

Quand les points sont des echantillons d'une courbe lisse sous-jacente, le nombre d'echantillons determine a quel point la ligne brisee suit la courbe de pres. Un echantillonnage clairseme coupe a travers la courbure, produisant des cordes droites qui sont plus courtes que les portions courbes qu'elles remplacent. La longueur mesuree tend donc a sous-estimer la longueur reelle de la courbe.

Un quart de cercle de rayon 1 a une longueur d'arc exacte de π/2 ≈ 1.570796. Relier m points regulierement espaces le long de l'arc donne la somme des cordes L_m = 2m · sin(π/(4m)) :

Chaque doublement du nombre d'echantillons reduit l'erreur d'un facteur d'environ quatre, une caracteristique des courbes convexes lisses. Avec 16 cordes, la ligne brisee est deja a 0.000631 pres de la longueur exacte.

Un echantillonnage plus dense n'est pas un remede universel. Si les coordonnees elles-memes contiennent du bruit de mesure, les points supplementaires ajoutent de petits detours aleatoires qui gonflent la longueur mesuree. La precision depend donc a la fois de la densite d'echantillonnage et de la qualite des donnees : echantillonnez genereusement la ou la courbe tourne fortement, et preferez des mesures propres et bien calibrees a la simple collecte d'un plus grand nombre de mesures bruitees.

Deux questions differentes se cachent dans une meme liste de points. La longueur de la ligne brisee suit chaque point intermediaire ; la distance en ligne droite ignore tout sauf le premier et le dernier point.

Pour A = (0, 0), B = (3, 4) et C = (6, 0) :

• AB = 5 et BC = 5, donc la longueur du trajet est L = 5 + 5 = 10 unites.
• La distance directe de A a C est √((6 − 0)² + (0 − 0)²) = 6 unites.

La longueur du trajet repond a « combien ai-je parcouru en passant par B », tandis que la distance directe repond a « a quelle distance se trouvent A et C ». Ce sont deux bonnes reponses a des questions differentes. L'inegalite triangulaire garantit que la longueur de la ligne brisee ne peut jamais etre inferieure a la distance directe entre les extremites : le detour par B ne peut qu'allonger le voyage, jamais le raccourcir.

Le diagramme ci-dessous rend la distinction visible : une courbe lisse, les points echantillonnes qui en sont tires, et les cordes droites qui les relient. Chaque corde coupe a travers la courbure, c'est pourquoi la ligne brisee mesure toujours un peu moins que la courbe qu'elle approxime.

Confondre les deux est une erreur frequente. Un itineraire de livraison qui serpente entre plusieurs arrets est plus long que la ligne droite entre le premier et le dernier arret, et le calculateur affiche toujours l'itineraire sinueux, car c'est le trajet que les points decrivent.

Chaque exemple ci-dessous montre l'entree des coordonnees, le calcul segment par segment et le resultat final, exactement comme le calculateur les effectue.

Exemple 1 : distance entre deux points. Entree : (0, 0), (3, 4). Un segment : d = √(3² + 4²) = √25 = 5 unites. Deux points sont l'entree minimale significative, et la reponse est simplement la distance entre eux.

Exemple 2 : trajet a trois points. Entree : (0, 0), (3, 4), (6, 0). Segments : AB = 5, BC = 5. Total : L = 5 + 5 = 10 unites. Comparez avec la distance directe AC = 6, qui ignore le point du milieu.

Exemple 3 : trajet a quatre points. Entree : (0, 0), (3, 4), (6, 4), (10, 1). Segments : d₁ = 5, d₂ = 3, d₃ = 5. Total : L = 13 unites, conforme a l'exemple detaille ci-dessus.

Exemple 4 : carre ferme. Entree : (0, 0), (4, 0), (4, 4), (0, 4), (0, 0). Quatre segments de 4 chacun. Total : L = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 unites. Le point de depart repete ferme la boucle et fournit le quatrieme cote.

Exemple 5 : coordonnees negatives. Entree : (−3, −2), (1, 1). Differences : 4 et 3. Resultat : d = √(16 + 9) = 5 unites. Les signes negatifs disparaissent quand les differences sont elevees au carre.

Exemple 6 : coordonnees decimales. Entree : (0.5, 1.5), (3.5, 5.5). Differences : 3 et 4. Resultat : d = √(9 + 16) = 5 unites. Les decimales ne necessitent aucun traitement particulier.

Exemple 7 : points consecutifs repetes. Entree : (0, 0), (3, 4), (3, 4), (6, 8). Segments : 5, 0, 5. Total : L = 5 + 0 + 5 = 10 unites. Le doublon apporte zero.

Exemple 8 : itineraire rectangulaire. Entree : (0, 0), (8, 0), (8, 3), (0, 3), (0, 0). Segments : 8, 3, 8, 3. Total : L = 8 + 3 + 8 + 3 = 22 unites, le perimetre du rectangle 8 sur 3.

Exemple 9 : trajet en zigzag. Entree : (0, 0), (1, 6), (2, 0). Chaque segment mesure √(1 + 36) = √37 ≈ 6.082763. Total : L ≈ 12.165525 unites. La distance directe de (0, 0) a (2, 0) n'est que de 2, ce qui montre combien un itineraire sinueux ajoute par rapport a la ligne droite.

Le calcul integral definit la longueur d'arc pour une courbe lisse y = f(x) entre x = a et x = b avec l'integrale :

Cette formule utilise une fonction continue et sa derivee. La methode basee sur les points utilise une sequence de coordonnees et la formule de la distance. Les deux approches repondent a la meme question sous-jacente, la longueur d'une courbe, a partir de types d'entree differents.

Les methodes convergent a mesure que l'echantillonnage s'ameliore. Echantillonnez des points le long d'une courbe lisse dans l'ordre de parcours, reliez-les par des segments droits, et la longueur de la ligne brisee s'approche de l'integrale a mesure que les points se densifient. Cette relation de limite est la meme idee que celle de l'integration numerique.

En pratique, choisissez la methode qui correspond a vos donnees. Quand vous avez une formule comme y = x², utilisez le calculateur de longueur d'arc avec etapes base sur le calcul integral. Quand vous avez une liste de coordonnees mesurees sans aucune formule derriere, la methode basee sur les points est la bonne, et elle ne necessite aucune derivee.

Les deux methodes estiment la longueur d'une courbe, mais elles partent d'entrees differentes et approximent de facons differentes.

Comme les entrees different, les deux methodes peuvent etre en desaccord sur la meme courbe physique. La methode par points mesure la ligne brisee exactement, tandis que la methode des trapezes approxime la courbe lisse par son integrale. Aucune n'est universellement meilleure : des coordonnees mesurees appellent la methode par points, et une equation connue appelle le calculateur de la methode des trapezes ou le calculateur de la methode de Simpson.

Le calculateur calcule la longueur de la ligne brisee exactement, donc « precision » signifie en realite a quel point la ligne brisee represente fidelement le vrai trajet. Ces douze pratiques gardent la mesure fidele.

1. Ajoutez des points sur les sections courbees. Les cordes droites coupent les coins ; plus d'echantillons permettent a la ligne brisee d'epouser la courbe.
2. Conservez l'ordre correct du trajet. Les points doivent suivre la sequence de parcours, car le reordonnancement change les segments.
3. Echantillonnez densement pres des virages serres. Un virage en epingle decrit par deux points devient une seule longue corde ; des points intermediaires tracent le virage.
4. Utilisez des unites de coordonnees coherentes. Melanger metres et kilometres dans une meme liste corrompt silencieusement le total.
5. Verifiez les points manquants. Un point de passage saute fait combler l'ecart par le calculateur avec une ligne droite.
6. Identifiez les coordonnees incorrectes. Une seule faute de frappe peut ajouter un long pic au trajet.
7. Examinez les sauts inattendus. Balayez les longueurs de segments ; un segment bien plus long que ses voisins merite un second regard.
8. Evitez les arrondis inutiles. Gardez toute la precision pendant la somme et n'arrondissez que le resultat final.
9. Tenez compte du bruit de mesure. Les positions bruitees ajoutent de petits detours aleatoires. Lissez ou filtrez les donnees avant de mesurer si la precision le permet.
10. Utilisez un systeme de reference de coordonnees approprie. Les formules planes ont besoin de coordonnees projetees, pas de degres bruts de latitude et longitude.
11. Verifiez si le trajet est ouvert ou ferme. Un point de fermeture manquant fait perdre tout un cote d'une boucle.
12. Comparez les resultats a differentes densites d'echantillonnage. Si doubler les echantillons change a peine le total, la mesure a converge.

Un avertissement compte plus que les autres : ajouter des points n'ameliore pas automatiquement la precision dans le monde reel. Des echantillons bruites plus denses accumulent des detours aleatoires et gonflent le total. La densite aide quand les points sous-jacents sont exacts ; le bruit doit etre nettoye, pas simplement noye sous le nombre.

La mesure de longueur a partir de points apparait partout ou un trajet est enregistre sous forme de coordonnees plutot que derive d'une formule.

GPS et cartographie. Une montre de sport ou un telephone enregistre des positions toutes les quelques secondes, et la longueur totale de l'itineraire est la somme des distances entre les positions consecutives. Pour un vrai travail geographique, les positions doivent etre projetees en coordonnees planes (metres est et nord), car la formule ici traite les degres comme des nombres cartesiens ordinaires. Les courbes definies par des equations d'angles necessitent plutot le calculateur de longueur d'arc polaire.

Topographie. Les stations totales et les recepteurs GNSS produisent des coordonnees planes de limites, de routes et de lignes de services. Sommer les distances entre les points consecutifs releves donne la longueur mesuree d'une limite ou de l'axe d'une route.

CAO et ingenierie. Les dessins de conception stockent les lignes brisees sous forme de listes ordonnees de sommets. Le perimetre du contour d'une piece usinee, la longueur d'un chemin de cable, ou la longueur de decoupe d'un profil sont tous des longueurs d'arc a partir de points.

Robotique. Un itineraire planifie est une sequence de points de passage, et la distance totale de deplacement est la somme des segments entre points de passage. Les planificateurs d'itineraire comparent les listes de points de passage candidates par exactement cette somme.

Infographie. Les contours, silhouettes et traits dessines a la main sont stockes sous forme de points echantillonnes. La longueur d'un trait, le perimetre d'un contour et les calculs de motifs en pointilles se reduisent tous a sommer les distances des segments.

Mesures scientifiques. Les traces de particules dans un detecteur, les trajets d'animaux issus de la telemetrie et les axes de rivieres numerises sont des trajectoires echantillonnees dont les longueurs sont mesurees point par point.

Geometrie en classe. Les eleves qui verifient des problemes de distance a plusieurs segments peuvent controler chaque segment et le total independamment, ce qui fait de la methode un excellent outil pedagogique pour la formule de la distance elle-meme.

Aucune de ces applications n'exige que le calculateur importe des fichiers ou se connecte a des appareils. Les valeurs sont tapees ou collees dans la liste de points, et la meme sommation des distances fait le reste. Pour les courbes spatiales avec trois coordonnees, voir le calculateur de longueur d'arc 3D ; pour les trajets parametres par le temps, voir le calculateur de longueur d'arc parametrique.

Ces dix-huit erreurs expliquent presque toutes les longueurs a partir de points incorrectes. Chacune inclut la correction.

1. Entrer les points dans le mauvais ordre. Le trajet suit votre sequence, pas la forme que vous imaginiez. Disposez les points dans l'ordre de parcours.
2. Melanger les valeurs de x et de y. Des colonnes permutees tournent et deforment la geometrie. Gardez un format coherent « x puis y ».
3. Oublier un point intermediaire. Un point saute est remplace par un pont droit a travers l'ecart. Incluez chaque point de passage.
4. Ajouter des distances a partir de l'origine. La longueur se mesure entre des points consecutifs, pas de (0, 0) a chaque point. Sommez uniquement les paires adjacentes.
5. Oublier la racine carree. Additionner (dx)² + (dy)² sans la racine donne des distances au carre, pas des longueurs.
6. Ajouter des differences de coordonnees sans les elever au carre. La simple somme |dx| + |dy| mesure une metrique differente (la distance de Manhattan), pas la distance en ligne droite.
7. Melanger les unites. Des metres et des pieds dans une meme liste produisent un total sans signification. Convertissez tout d'abord.
8. Supposer que le resultat est automatiquement en metres. Le resultat herite de votre unite de coordonnees. Les degres donnent des degres, les pixels donnent des pixels.
9. Entrer la latitude et la longitude brutes comme x et y plans. Un degre de longitude n'est pas un nombre fixe de metres. Projetez d'abord les coordonnees.
10. Oublier de fermer une boucle. Sans le point de depart repete, le cote de fermeture manque au perimetre.
11. Ajouter un segment de fermeture quand le trajet devrait rester ouvert. Repeter le point de depart sur un itineraire ouvert ajoute un faux troncon de retour.
12. Utiliser trop peu de points sur un trajet courbe. Les echantillons clairsemes coupent les coins et sous-estiment la longueur reelle.
13. Supposer que des echantillons bruites plus denses ameliorent toujours la precision. Le bruit ajoute des detours ; plus de points bruites peuvent gonfler le total.
14. Arrondir chaque segment trop tot. N'arrondissez que le total final, afin que les erreurs d'arrondi ne s'accumulent pas sur les segments.
15. Confondre la longueur de la ligne brisee avec la distance directe entre les extremites. L'itineraire sinueux qui passe par tous les points est plus long que la ligne directe du debut a la fin.
16. Confondre la longueur du trajet avec l'aire enfermee. Un perimetre de 16 unites ne dit rien de l'aire a l'interieur de la boucle.
17. Traiter les points repetes comme une distance positive supplementaire. Un doublon consecutif apporte exactement zero, pas une autre longueur de segment.
18. Supposer qu'un calcul 2D tient compte de l'altitude. Les variations de hauteur ont besoin d'une troisieme coordonnee ; les x et y plans seuls ignorent les collines et les pentes.

Resolvez chaque probleme a la main, puis verifiez la solution. Toutes les solutions utilisent la formule de la distance euclidienne sur des points consecutifs.

Probleme 1 : distance entre deux points. Trouvez la distance entre (0, 0) et (5, 12).
Solution : dx = 5, dy = 12, d = √(25 + 144) = √169 = 13 unites.

Probleme 2 : trajet a trois points. Trouvez la longueur du trajet passant par (1, 2) → (5, 6) → (9, 2).
Solution : d₁ = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.656854 ; d₂ = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.656854. Total : L ≈ 11.313708 unites.

Probleme 3 : coordonnees negatives. Trouvez la distance entre (−6, −8) et (0, 0).
Solution : dx = 6, dy = 8, d = √(36 + 64) = √100 = 10 unites.

Probleme 4 : coordonnees decimales. Trouvez la distance entre (1.25, 2.5) et (4.25, 6.5).
Solution : dx = 3, dy = 4, d = √(9 + 16) = 5 unites.

Probleme 5 : triangle ferme. Trouvez le perimetre du triangle (0, 0) → (4, 0) → (0, 3) → (0, 0).
Solution : 4, puis √(16 + 9) = 5, puis 3. Perimetre : 4 + 5 + 3 = 12 unites.

Probleme 6 : rectangle ferme. Trouvez le perimetre du rectangle (0, 0) → (9, 0) → (9, 4) → (0, 4) → (0, 0).
Solution : 9 + 4 + 9 + 4 = 26 unites.

Probleme 7 : point repete. Trouvez la longueur du trajet passant par (1, 1) → (4, 5) → (4, 5) → (7, 1).
Solution : d₁ = √(9 + 16) = 5, d₂ = 0, d₃ = √(9 + 16) = 5. Total : L = 5 + 0 + 5 = 10 unites.

Probleme 8 : distance directe contre longueur totale du trajet. Pour (0, 0) → (1, 6) → (2, 0), trouvez a la fois la longueur du trajet et la distance directe entre les extremites.
Solution : Chaque segment vaut √(1 + 36) = √37 ≈ 6.082763, donc la longueur du trajet est L ≈ 12.165525 unites. La distance directe de (0, 0) a (2, 0) est de 2 unites. Le trajet sinueux fait plus de six fois la ligne droite.

Differentes descriptions de courbes appellent differents calculateurs. Chacun d'eux traite un cas que la methode a partir de points ne couvre pas :

• Longueur d'arc avec etapes : entrez une fonction y = f(x) et voyez le calcul base sur le calcul integral detaille etape par etape.
• Calculateur de longueur d'arc parametrique : mesurez les courbes donnees sous la forme x(t) et y(t).
• Calculateur de longueur d'arc polaire : mesurez les courbes donnees sous la forme r(θ).
• Calculateur de longueur d'arc 3D : mesurez les courbes spatiales avec x(t), y(t) et z(t).
• Calculateur de la methode des trapezes : estimez la longueur d'arc numeriquement a partir d'une fonction et de sa derivee.
• Calculateur de la methode de Simpson : estimez la longueur d'arc avec la regle numerique plus precise de Simpson.