Lunghezza dell'arco dal calcolatore dei punti

Il calcolatore di lunghezza d'arco dai punti misura un percorso sommando le distanze in linea retta tra punti di coordinate consecutivi. Funziona nella modalità Somma delle distanze del calcolatore qui sopra. Segui questi passaggi per ottenere un totale corretto in meno di un minuto.

1. Seleziona la modalità basata sui punti. La pagina si apre con il pannello Somma delle distanze attivo, che mostra la formula L = ∑_i=1ⁿ⁻¹ √((Δx_i)² + (Δy_i)²). Non serve nessun'altra modalità per questo calcolo.
2. Inserisci le coppie di coordinate. Digita un punto per riga nell'area di testo, due numeri separati da uno spazio. L'input di esempio è così:
   0 0
3 4
6 4
10 1
3. Controlla l'ordine dei punti. Il calcolatore segue esattamente la sequenza che digiti. Assicurati che le righe seguano l'ordine di percorrenza lungo il percorso previsto, non l'ordine crescente di x o di y.
4. Fai clic su Calcola ora. Il calcolatore misura ogni coppia consecutiva con la formula della distanza euclidea e somma tutte le lunghezze dei segmenti.
5. Leggi il risultato. Il valore riportato è la lunghezza totale della polilinea. La sua unità corrisponde all'unità delle coordinate: coordinate in metri danno un risultato in metri.
6. Copia o ripristina. Usa Copia risultato per mettere la risposta negli appunti, oppure Ripristina per cancellare i punti e iniziare un nuovo percorso.

Suggerimenti importanti. Usa unità coerenti per ogni punto. Inserisci almeno due punti, perché un solo punto non ha segmenti. Mantieni l'ordine previsto lungo il percorso. Per misurare un percorso chiuso, aggiungi di nuovo il primo punto alla fine dell'elenco. Per percorsi con curve strette, includi punti aggiuntivi vicino a ogni svolta, così i segmenti seguono le curve da vicino.

La lunghezza d'arco dai punti è la distanza totale lungo un percorso definito da un elenco di coordinate invece che da un'equazione matematica. Ogni coordinata è un campione discreto di un tragitto: una lettura GPS, una misura di rilievo, un vertice CAD o un punto posizionato su un grafico. Collegare i punti in ordine crea una polilinea, una catena di segmenti rettilinei, e la lunghezza d'arco di quella polilinea è la somma delle lunghezze dei segmenti.

Considera tre punti: A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (6, 0). Il segmento da A a B misura 5 unità, e il segmento da B a C misura anch'esso 5 unità. La lunghezza totale del percorso è quindi 10 unità. Questo numero è esatto per la polilinea A → B → C. Se i tre punti fossero campioni di una curva liscia, 10 sarebbe solo un'approssimazione della vera lunghezza della curva, perché i segmenti rettilinei tagliano gli angoli che la curva non taglia.

La lunghezza d'arco basata sui punti è lo strumento naturale ogni volta che i dati arrivano come coordinate. Un sentiero registrato da un orologio sportivo, un confine tracciato su una mappa o un contorno estratto da un'immagine condividono tutti la stessa struttura: un elenco ordinato di coppie (x, y) con un percorso che le attraversa in quell'ordine.

Ogni segmento del percorso viene misurato con la formula della distanza euclidea:

La formula deriva direttamente dal teorema di Pitagora. La variazione orizzontale x₂ − x₁ e la variazione verticale y₂ − y₁ formano i cateti di un triangolo rettangolo, e la distanza d è l'ipotenusa. Elevare al quadrato ciascun cateto elimina l'effetto dei segni negativi, e la radice quadrata riconverte la lunghezza al quadrato nelle unità ordinarie.

Ecco un esempio con A = (1, 2) e B = (5, 5):

1. Variazione orizzontale. 5 − 1 = 4.
2. Variazione verticale. 5 − 2 = 3.
3. Eleva al quadrato ciascuna variazione. 4² = 16 e 3² = 9.
4. Somma i quadrati. 16 + 9 = 25.
5. Estrai la radice quadrata. √25 = 5, quindi d = 5 unità.

Poiché i cateti vengono elevati al quadrato prima di essere sommati, l'ordine della sottrazione non conta mai: (x₁ − x₂)² è uguale a (x₂ − x₁)². La formula fornisce quindi la stessa distanza indipendentemente da quale estremo chiami per primo.

Quando un percorso contiene N punti ordinati, la lunghezza totale è la somma delle lunghezze dei singoli segmenti, in numero di N − 1:

Il simbolo di sommatoria ∑ significa "somma". A partire da i = 1, la formula calcola la distanza tra il punto 1 e il punto 2, poi tra il punto 2 e il punto 3, e continua fino alla distanza tra il punto N − 1 e il punto N. L'ultimo indice è N − 1 perché un percorso aperto con N punti ha esattamente N − 1 segmenti: ogni nuovo punto dopo il primo aggiunge un segmento di collegamento.

Ad esempio, con quattro punti la formula produce tre distanze, d₁, d₂ e d₃, e la lunghezza totale è L = d₁ + d₂ + d₃. La prossima sezione sviluppa questo caso in pieno dettaglio per i punti (0, 0), (3, 4), (6, 4) e (10, 1).

Usa i punti P₁ = (0, 0), P₂ = (3, 4), P₃ = (6, 4) e P₄ = (10, 1). Calcola la distanza di ciascun segmento, poi somma le tre distanze.

Ora somma le lunghezze dei segmenti:

La risposta 13 è esatta per questa polilinea. Nota come d₃ usa una variazione verticale negativa di −3; elevandola al quadrato diventa +9 prima della somma, ed è per questo che un segmento in discesa aggiunge comunque una lunghezza positiva. Il calcolatore in questa pagina ripete esattamente questi passaggi per ogni coppia consecutiva del tuo elenco.

L'ordine dei punti definisce il percorso. Il calcolatore collega il primo punto al secondo, il secondo al terzo e così via, quindi riordinare i punti riorganizza i segmenti e di solito cambia la lunghezza totale.

Prendi gli stessi quattro punti dell'esempio precedente in due sequenze diverse:

Ordine A: (0, 0) → (3, 4) → (6, 4) → (10, 1). I segmenti misurano 5, 3 e 5, dando L = 13 unità.

Ordine B: (0, 0) → (6, 4) → (3, 4) → (10, 1). I segmenti misurano √52 ≈ 7.211103, 3 e √58 ≈ 7.615773, dando L ≈ 17.826876 unità.

Lo stesso insieme di coordinate ha prodotto due percorsi diversi con due lunghezze diverse, perché i due punti centrali sono stati scambiati e i segmenti di collegamento sono cambiati. Un caso speciale importante si comporta diversamente: invertire l'intera sequenza, (10, 1) → (6, 4) → (3, 4) → (0, 0), percorre gli stessi segmenti all'indietro, quindi il totale resta esattamente 13. L'inversione conserva la lunghezza; un riordinamento arbitrario no.

Ecco perché ordinare i punti per coordinata x non è sempre corretto. L'ordine crescente può essere comodo, ma un percorso reale, come un sentiero tortuoso o una lettera scritta a mano tracciata da un sensore, deve mantenere la sua sequenza di percorrenza.

Un percorso aperto inizia in un punto e termina in un punto diverso. Un percorso chiuso ritorna al punto di partenza, formando un anello la cui lunghezza include il segmento di chiusura.

Usa un quadrato con vertici (0, 0), (4, 0), (4, 4) e (0, 4):

Percorso aperto. Inserisci i quattro vertici in ordine. I tre segmenti misurano 4, 4 e 4, quindi L = 12 unità. Alla figura manca il quarto lato.

Percorso chiuso. Inserisci (0, 0) → (4, 0) → (4, 4) → (0, 4) → (0, 0). Ripetere il punto di partenza aggiunge il segmento di chiusura da (0, 4) di nuovo a (0, 0), che misura 4. Ora L = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 unità, il perimetro del quadrato.

Il calcolatore non aggiunge mai da solo un segmento di chiusura. Se il tuo percorso è un anello, devi digitare di nuovo il primo punto alla fine dell'elenco. Nota che la lunghezza di un percorso chiuso è un perimetro, non un'area: questo calcolatore misura le distanze attorno a una figura, mai la regione al suo interno.

Le coordinate negative funzionano esattamente come quelle positive. La formula della distanza eleva al quadrato ciascuna differenza di coordinate, quindi i segni negativi nell'input o nelle differenze non riducono mai il risultato.

Per A = (−3, −2) e B = (1, 1):

1. Variazione orizzontale. 1 − (−3) = 4.
2. Variazione verticale. 1 − (−2) = 3.
3. Eleva al quadrato ciascuna variazione. 4² = 16 e 3² = 9.
4. Somma ed estrai la radice. √(16 + 9) = √25 = 5 unità.

Le coordinate negative compaiono naturalmente ogni volta che l'origine si trova dentro l'area misurata: grafici di anomalie di temperatura, profili altimetrici con letture sotto il livello del mare o disegni CAD centrati in (0, 0). La distanza dipende solo dalla separazione tra i punti, mai dal quadrante che occupano.

Le coordinate non devono essere numeri interi. La stessa formula gestisce i decimali e i passaggi restano invariati.

Per A = (0.5, 1.5) e B = (3.5, 5.5):

1. Variazione orizzontale. 3.5 − 0.5 = 3.
2. Variazione verticale. 5.5 − 1.5 = 4.
3. Eleva al quadrato, somma ed estrai la radice. √(3² + 4²) = √25 = 5 unità.

I dati misurati arrivano quasi sempre come decimali: tracce GPS, registri di sensori e strumenti di rilievo riportano le posizioni con diverse cifre decimali. Inserisci i valori così come sono e lascia che il calcolatore faccia l'aritmetica. Evita di arrotondare ogni segmento a un numero intero prima di sommare, perché un arrotondamento anticipato può spostare il totale più di quanto la precisione finale visualizzata suggerirebbe. Arrotonda solo il risultato finito, e solo se l'applicazione lo richiede.

Quando due punti consecutivi sono identici, la distanza tra loro è zero, quindi il punto ripetuto non aggiunge nulla alla lunghezza totale.

Per (0, 0) → (3, 4) → (3, 4) → (6, 8), i segmenti sono:

• d₁ = 5
• d₂ = 0, perché i due punti centrali coincidono
• d₃ = 5

Il totale è L = 5 + 0 + 5 = 10 unità, lo stesso che se il duplicato fosse stato eliminato.

Le letture duplicate sono comuni nei dati registrati: un ricevitore GPS che registra due volte la stessa posizione, o un sensore che campiona mentre è fermo. Per quanto innocui siano per la lunghezza, possono distorcere altre analisi, quindi eliminarli è buona pratica. Un'avvertenza: ripetere un punto più avanti nell'elenco è diverso. Tornare a una posizione precedente dopo aver visitato altri punti crea un vero percorso di ritorno, e quel percorso aggiunge distanza reale.

Quando i punti sono campioni di una curva liscia sottostante, il numero di campioni controlla quanto da vicino la polilinea segue la curva. Un campionamento rado taglia attraverso la curvatura, producendo corde rettilinee più corte delle porzioni curve che sostituiscono. La lunghezza misurata tende quindi a sottostimare la vera lunghezza della curva.

Un quarto di cerchio di raggio 1 ha lunghezza d'arco esatta π/2 ≈ 1.570796. Collegare m punti equidistanti lungo l'arco dà la somma delle corde L_m = 2m · sin(π/(4m)):

Ogni raddoppio del numero di campioni riduce l'errore all'incirca di un fattore quattro, una caratteristica delle curve lisce convesse. Con 16 corde la polilinea è già entro 0.000631 dalla lunghezza esatta.

Un campionamento più fitto non è una cura per tutto. Se le coordinate stesse contengono rumore di misura, i punti aggiuntivi introducono piccole deviazioni casuali che gonfiano la lunghezza misurata. L'accuratezza dipende quindi sia dalla densità dei campioni sia dalla qualità dei dati: campiona generosamente dove la curva piega bruscamente, e preferisci misure pulite e ben calibrate al semplice raccogliere più campioni rumorosi.

Due domande diverse si nascondono dentro un unico elenco di punti. La lunghezza della polilinea segue ogni punto intermedio; la distanza in linea retta ignora tutto tranne il primo e l'ultimo punto.

Per A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (6, 0):

• AB = 5 e BC = 5, quindi la lunghezza del percorso è L = 5 + 5 = 10 unità.
• La distanza diretta da A a C è √((6 − 0)² + (0 − 0)²) = 6 unità.

La lunghezza del percorso risponde a "quanta strada ho fatto passando per B", mentre la distanza diretta risponde a "quanto distano A e C". Entrambe sono risposte corrette a domande diverse. La disuguaglianza triangolare garantisce che la lunghezza della polilinea non possa mai essere minore della distanza diretta tra gli estremi: la deviazione passando per B può solo allungare il viaggio, mai accorciarlo.

Il diagramma qui sotto rende visibile la distinzione: una curva liscia, i punti campione presi da essa e le corde rettilinee che li collegano. Ogni corda taglia attraverso la curvatura, ed è per questo che la polilinea misura sempre un po’ meno della curva che approssima.

Confondere le due è un errore frequente. Un percorso di consegna che si snoda attraverso diverse tappe è più lungo della linea retta tra la prima e l'ultima tappa, e il calcolatore riporta sempre il percorso tortuoso, perché è il percorso che i punti descrivono.

Ogni esempio qui sotto mostra l'input delle coordinate, l'aritmetica segmento per segmento e il risultato finale, esattamente come li esegue il calcolatore.

Esempio 1: distanza tra due punti. Input: (0, 0), (3, 4). Un segmento: d = √(3² + 4²) = √25 = 5 unità. Due punti sono l'input minimo sensato, e la risposta è semplicemente la distanza tra loro.

Esempio 2: percorso di tre punti. Input: (0, 0), (3, 4), (6, 0). Segmenti: AB = 5, BC = 5. Totale: L = 5 + 5 = 10 unità. Confronta con la distanza diretta AC = 6, che ignora il punto intermedio.

Esempio 3: percorso di quattro punti. Input: (0, 0), (3, 4), (6, 4), (10, 1). Segmenti: d₁ = 5, d₂ = 3, d₃ = 5. Totale: L = 13 unità, come nell'esempio svolto sopra.

Esempio 4: quadrato chiuso. Input: (0, 0), (4, 0), (4, 4), (0, 4), (0, 0). Quattro segmenti da 4 ciascuno. Totale: L = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 unità. Il punto di partenza ripetuto chiude l'anello e fornisce il quarto lato.

Esempio 5: coordinate negative. Input: (−3, −2), (1, 1). Differenze: 4 e 3. Risultato: d = √(16 + 9) = 5 unità. I segni negativi svaniscono quando le differenze vengono elevate al quadrato.

Esempio 6: coordinate decimali. Input: (0.5, 1.5), (3.5, 5.5). Differenze: 3 e 4. Risultato: d = √(9 + 16) = 5 unità. I decimali non richiedono alcun trattamento speciale.

Esempio 7: punti consecutivi ripetuti. Input: (0, 0), (3, 4), (3, 4), (6, 8). Segmenti: 5, 0, 5. Totale: L = 5 + 0 + 5 = 10 unità. Il duplicato contribuisce zero.

Esempio 8: percorso rettangolare. Input: (0, 0), (8, 0), (8, 3), (0, 3), (0, 0). Segmenti: 8, 3, 8, 3. Totale: L = 8 + 3 + 8 + 3 = 22 unità, il perimetro del rettangolo 8 per 3.

Esempio 9: percorso a zigzag. Input: (0, 0), (1, 6), (2, 0). Ogni segmento misura √(1 + 36) = √37 ≈ 6.082763. Totale: L ≈ 12.165525 unità. La distanza diretta da (0, 0) a (2, 0) è solo 2, il che mostra quanto un percorso tortuoso aggiunga rispetto alla linea retta.

Il calcolo infinitesimale definisce la lunghezza d'arco per una curva liscia y = f(x) tra x = a e x = b con l'integrale:

Questa formula usa una funzione continua e la sua derivata. Il metodo basato sui punti usa una sequenza di coordinate e la formula della distanza. I due approcci rispondono alla stessa domanda di fondo, la lunghezza di una curva, a partire da tipi di input diversi.

I metodi convergono al migliorare del campionamento. Campiona i punti lungo una curva liscia nell'ordine di percorrenza, collegali con segmenti rettilinei, e la lunghezza della polilinea si avvicina all'integrale man mano che i punti si infittiscono. Questa relazione al limite è la stessa idea alla base dell'integrazione numerica.

In pratica, scegli il metodo che corrisponde ai tuoi dati. Quando hai una formula come y = x², usa il calcolatore di lunghezza d'arco con passaggi. Quando hai un elenco di coordinate misurate senza alcuna formula dietro, il metodo basato sui punti è quello corretto e non richiede affatto derivate.

Entrambi i metodi stimano la lunghezza della curva, ma partono da input diversi e approssimano in modi diversi.

Poiché gli input differiscono, i due metodi possono discordare sulla stessa curva fisica. Il metodo dei punti misura esattamente la polilinea, mentre la regola del trapezio approssima la curva liscia attraverso il suo integrale. Nessuno dei due è universalmente migliore: le coordinate misurate richiedono il metodo dei punti, e un'equazione nota richiede il calcolatore della regola del trapezio o il calcolatore della regola di Simpson.

Il calcolatore calcola esattamente la lunghezza della polilinea, quindi "accuratezza" significa in realtà quanto fedelmente la polilinea rappresenta il vero percorso. Queste dodici pratiche mantengono la misura fedele.

1. Aggiungi punti sui tratti curvi. Le corde rettilinee tagliano gli angoli; più campioni permettono alla polilinea di aderire alla curva.
2. Mantieni il corretto ordine del percorso. I punti devono seguire la sequenza di percorrenza, perché riordinarli cambia i segmenti.
3. Campiona fitto vicino alle svolte brusche. Un tornante descritto da due punti diventa un'unica corda lunga; i punti intermedi tracciano la svolta.
4. Usa unità di coordinate coerenti. Mescolare metri e chilometri in un unico elenco corrompe silenziosamente il totale.
5. Controlla i punti mancanti. Un punto di passaggio saltato fa sì che il calcolatore colmi il vuoto con una linea retta.
6. Individua le coordinate errate. Un solo refuso può aggiungere un lungo picco al percorso.
7. Esamina i salti inattesi. Scorri le lunghezze dei segmenti; un segmento molto più lungo dei vicini merita una seconda occhiata.
8. Evita arrotondamenti non necessari. Mantieni la massima precisione per tutta la somma e arrotonda solo il risultato finale.
9. Tieni conto del rumore di misura. Le posizioni rumorose aggiungono piccole deviazioni casuali. Liscia o filtra i dati prima di misurare se la precisione lo consente.
10. Usa un sistema di riferimento delle coordinate appropriato. Le formule piane richiedono coordinate proiettate, non gradi grezzi di latitudine e longitudine.
11. Verifica se il percorso è aperto o chiuso. Un punto di chiusura mancante fa perdere un intero lato di un anello.
12. Confronta i risultati a diverse densità di campionamento. Se raddoppiare i campioni cambia appena il totale, la misura è convergente.

Un'avvertenza conta più di tutte le altre: aggiungere punti non migliora automaticamente l'accuratezza nel mondo reale. Campioni rumorosi più fitti accumulano deviazioni casuali e gonfiano il totale. La densità aiuta quando i punti sottostanti sono esatti; il rumore va pulito, non solo superato in numero.

La misura della lunghezza basata sui punti compare ovunque un percorso venga registrato come coordinate piuttosto che derivato da una formula.

GPS e cartografia. Un orologio sportivo o un telefono registra le posizioni ogni pochi secondi, e la lunghezza totale del percorso è la somma delle distanze tra rilevazioni consecutive. Per un vero lavoro geografico, le posizioni devono essere proiettate in coordinate piane (metri a est e a nord), perché la formula qui tratta i gradi come normali numeri cartesiani. Le curve definite da equazioni in angoli richiedono invece il calcolatore di lunghezza d'arco polare.

Rilievi topografici. Le stazioni totali e i ricevitori GNSS producono coordinate piane di confini, strade e linee di servizi. Sommare le distanze tra punti rilevati consecutivi dà la lunghezza misurata di un confine o dell'asse di una strada.

CAD e ingegneria. I disegni di progettazione memorizzano le polilinee come elenchi ordinati di vertici. Il perimetro del contorno di un pezzo lavorato, la lunghezza di un percorso di cavi o la lunghezza di taglio di un profilo sono tutte lunghezze d'arco basate sui punti.

Robotica. Un percorso pianificato è una sequenza di punti di passaggio, e la distanza totale di viaggio è la somma dei segmenti da un punto all'altro. I pianificatori di percorso confrontano le liste candidate di punti di passaggio proprio con questa somma.

Grafica al computer. Contorni, sagome e tratti disegnati a mano sono memorizzati come punti campionati. La lunghezza del tratto, il perimetro della sagoma e i calcoli dei motivi tratteggiati si riducono tutti a sommare le distanze dei segmenti.

Misure scientifiche. Le tracce di particelle in un rivelatore, i percorsi di movimento degli animali dalla telemetria e le linee mediane dei fiumi digitalizzate sono traiettorie campionate le cui lunghezze vengono misurate punto per punto.

Geometria in classe. Gli studenti che verificano problemi di distanza a più segmenti possono controllare ogni segmento e il totale in modo indipendente, il che rende il metodo un ottimo strumento didattico per la formula della distanza stessa.

Nessuna di queste applicazioni richiede che il calcolatore importi file o si colleghi a dispositivi. I valori vengono digitati o incollati nell'elenco dei punti, e la stessa somma delle distanze fa il resto. Per le curve spaziali con tre coordinate, vedi il calcolatore di lunghezza d'arco 3D; per i percorsi parametrizzati nel tempo, vedi il calcolatore di lunghezza d'arco parametrica.

Questi diciotto errori spiegano quasi ogni lunghezza sbagliata basata sui punti. Ognuno include la correzione.

1. Inserire i punti nell'ordine sbagliato. Il percorso segue la tua sequenza, non la forma che immaginavi. Disponi i punti nell'ordine di percorrenza.
2. Mescolare i valori di x e y. Le colonne scambiate ruotano e distorcono la geometria. Mantieni un formato coerente "prima x poi y".
3. Dimenticare un punto intermedio. Un punto saltato viene sostituito da un ponte rettilineo attraverso il vuoto. Includi ogni punto di passaggio.
4. Sommare le distanze dall'origine. La lunghezza si misura tra punti consecutivi, non da (0, 0) a ciascun punto. Somma solo le coppie adiacenti.
5. Dimenticare la radice quadrata. Sommare (dx)² + (dy)² senza la radice dà distanze al quadrato, non lunghezze.
6. Sommare le differenze di coordinate senza elevarle al quadrato. La semplice |dx| + |dy| misura una metrica diversa (distanza di Manhattan), non la distanza in linea retta.
7. Mescolare le unità. Metri e piedi in un unico elenco producono un totale senza senso. Converti tutto prima.
8. Dare per scontato che il risultato sia automaticamente in metri. Il risultato eredita l'unità delle tue coordinate. I gradi danno gradi, i pixel danno pixel.
9. Inserire latitudine e longitudine grezze come x e y piane. Un grado di longitudine non è un numero fisso di metri. Proietta prima le coordinate.
10. Dimenticare di chiudere un anello. Senza il punto di partenza ripetuto, il lato di chiusura manca dal perimetro.
11. Aggiungere un segmento di chiusura quando il percorso dovrebbe restare aperto. Ripetere il punto di partenza su un percorso aperto aggiunge un finto tratto di ritorno.
12. Usare troppo pochi punti su un percorso curvo. I campioni radi tagliano gli angoli e sottostimano la vera lunghezza.
13. Dare per scontato che campioni rumorosi più fitti migliorino sempre l'accuratezza. Il rumore aggiunge deviazioni; più punti rumorosi possono gonfiare il totale.
14. Arrotondare ogni segmento troppo presto. Arrotonda solo il totale finale, così gli errori di arrotondamento non si accumulano tra i segmenti.
15. Confondere la lunghezza della polilinea con la distanza diretta tra gli estremi. Il percorso tortuoso attraverso tutti i punti è più lungo della linea diretta dall'inizio alla fine.
16. Confondere la lunghezza del percorso con l'area racchiusa. Un perimetro di 16 unità non dice nulla sull'area dentro l'anello.
17. Trattare i punti ripetuti come distanza positiva aggiuntiva. Un duplicato consecutivo contribuisce esattamente zero, non un'altra lunghezza di segmento.
18. Dare per scontato che un calcolo 2D tenga conto dell'altitudine. Le variazioni di quota richiedono una terza coordinata; x e y piane da sole ignorano colline e pendii.

Svolgi ogni esercizio a mano, poi controlla la soluzione. Tutte le soluzioni usano la formula della distanza euclidea su punti consecutivi.

Esercizio 1: distanza tra due punti. Trova la distanza tra (0, 0) e (5, 12).
Soluzione: dx = 5, dy = 12, d = √(25 + 144) = √169 = 13 unità.

Esercizio 2: percorso di tre punti. Trova la lunghezza del percorso attraverso (1, 2) → (5, 6) → (9, 2).
Soluzione: d₁ = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.656854; d₂ = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.656854. Totale: L ≈ 11.313708 unità.

Esercizio 3: coordinate negative. Trova la distanza tra (−6, −8) e (0, 0).
Soluzione: dx = 6, dy = 8, d = √(36 + 64) = √100 = 10 unità.

Esercizio 4: coordinate decimali. Trova la distanza tra (1.25, 2.5) e (4.25, 6.5).
Soluzione: dx = 3, dy = 4, d = √(9 + 16) = 5 unità.

Esercizio 5: triangolo chiuso. Trova il perimetro del triangolo (0, 0) → (4, 0) → (0, 3) → (0, 0).
Soluzione: 4, poi √(16 + 9) = 5, poi 3. Perimetro: 4 + 5 + 3 = 12 unità.

Esercizio 6: rettangolo chiuso. Trova il perimetro del rettangolo (0, 0) → (9, 0) → (9, 4) → (0, 4) → (0, 0).
Soluzione: 9 + 4 + 9 + 4 = 26 unità.

Esercizio 7: punto ripetuto. Trova la lunghezza del percorso attraverso (1, 1) → (4, 5) → (4, 5) → (7, 1).
Soluzione: d₁ = √(9 + 16) = 5, d₂ = 0, d₃ = √(9 + 16) = 5. Totale: L = 5 + 0 + 5 = 10 unità.

Esercizio 8: distanza diretta contro lunghezza totale del percorso. Per (0, 0) → (1, 6) → (2, 0), trova sia la lunghezza del percorso sia la distanza diretta tra gli estremi.
Soluzione: Ogni segmento è √(1 + 36) = √37 ≈ 6.082763, quindi la lunghezza del percorso è L ≈ 12.165525 unità. La distanza diretta da (0, 0) a (2, 0) è 2 unità. Il percorso tortuoso è più di sei volte la linea retta.

Descrizioni diverse di curve richiedono calcolatori diversi. Ognuno di questi gestisce un caso che il metodo basato sui punti non copre:

• Lunghezza d'arco con passaggi: inserisci una funzione y = f(x) e vedi il calcolo basato sul calcolo infinitesimale svolto passo per passo.
• Calcolatore di lunghezza d'arco parametrica: misura le curve date come x(t) e y(t).
• Calcolatore di lunghezza d'arco polare: misura le curve date come r(θ).
• Calcolatore di lunghezza d'arco 3D: misura le curve spaziali con x(t), y(t) e z(t).
• Calcolatore della regola del trapezio: stima la lunghezza d'arco numericamente da una funzione e dalla sua derivata.
• Calcolatore della regola di Simpson: stima la lunghezza d'arco con la regola numerica più accurata di Simpson.