Calculadora de comprimento de arco a partir de pontos

A Calculadora de Comprimento de Arco a partir de Pontos mede um trajeto somando as distâncias em linha reta entre pontos de coordenadas consecutivos. Ela roda no modo Distance Summation da calculadora acima. Siga estes passos para obter o total correto em menos de um minuto.

1. Selecione o modo baseado em pontos. A página abre com o painel Distance Summation ativo, mostrando a fórmula L = ∑_i=1ⁿ⁻¹ √((Δx_i)² + (Δy_i)²). Nenhum outro modo é necessário para este cálculo.
2. Digite os pares de coordenadas. Digite um ponto por linha na área de texto, dois números separados por um espaço. A entrada de exemplo se parece com isto:
   0 0
3 4
6 4
10 1
3. Verifique a ordem dos pontos. A calculadora segue exatamente a sequência digitada. Certifique-se de que as linhas corram na ordem de percurso ao longo do trajeto pretendido, não ordenadas pelo valor de x ou y.
4. Clique em Calculate Now. A calculadora mede cada par consecutivo com a fórmula da distância euclidiana e soma todos os comprimentos dos segmentos.
5. Leia o resultado. O valor exibido é o comprimento total da polilinha. A unidade corresponde à unidade das coordenadas: coordenadas em metros dão um resultado em metros.
6. Copie ou redefina. Use Copy Result para colocar a resposta na área de transferência, ou Reset para limpar os pontos e começar um novo trajeto.

Dicas importantes. Use unidades consistentes para todos os pontos. Digite pelo menos dois pontos, pois um ponto não tem segmentos. Preserve a ordem pretendida ao longo do trajeto. Para medir um circuito fechado, adicione o primeiro ponto novamente no final da lista. Para trajetos com curvas fechadas, inclua pontos extras perto de cada virada para que os segmentos acompanhem as curvas de perto.

O comprimento de arco a partir de pontos é a distância total ao longo de um trajeto definido por uma lista de coordenadas em vez de uma equação matemática. Cada coordenada é uma amostra discreta de uma rota: uma leitura de GPS, uma medição topográfica, um vértice de CAD ou um ponto colocado em um gráfico. Ligar os pontos em ordem cria uma polilinha, uma cadeia de segmentos retos, e o comprimento de arco dessa polilinha é a soma dos comprimentos dos segmentos.

Considere três pontos: A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (6, 0). O segmento de A até B mede 5 unidades, e o segmento de B até C também mede 5 unidades. O comprimento total do trajeto é, portanto, 10 unidades. Esse número é exato para a polilinha A → B → C. Se os três pontos fossem amostras de uma curva suave, 10 apenas aproximaria o comprimento verdadeiro da curva, porque os segmentos retos cortam cantos que a curva não corta.

O comprimento de arco baseado em pontos é a ferramenta natural sempre que seus dados chegam como coordenadas. Uma trilha registrada por um relógio fitness, um limite traçado em um mapa ou um contorno extraído de uma imagem têm a mesma estrutura: uma lista ordenada de pares (x, y) com um trajeto passando por eles nessa ordem.

Cada segmento do trajeto é medido com a fórmula da distância euclidiana:

A fórmula vem diretamente do teorema de Pitágoras. A variação horizontal x₂ − x₁ e a variação vertical y₂ − y₁ formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância d é a hipotenusa. Elevar cada cateto ao quadrado remove o efeito dos sinais negativos, e a raiz quadrada converte o comprimento ao quadrado de volta às unidades ordinárias.

Percorra um exemplo com A = (1, 2) e B = (5, 5):

1. Variação horizontal. 5 − 1 = 4.
2. Variação vertical. 5 − 2 = 3.
3. Eleve cada variação ao quadrado. 4² = 16 e 3² = 9.
4. Some os quadrados. 16 + 9 = 25.
5. Tire a raiz quadrada. √25 = 5, logo d = 5 unidades.

Como os catetos são elevados ao quadrado antes de serem somados, a ordem da subtração nunca importa: (x₁ − x₂)² é igual a (x₂ − x₁)². A fórmula, portanto, dá a mesma distância independentemente de qual extremidade você chamar primeiro.

Quando um trajeto contém N pontos ordenados, o comprimento total é a soma dos N − 1 comprimentos individuais dos segmentos:

O símbolo de somatório ∑ significa "some". Começando em i = 1, a fórmula calcula a distância entre o ponto 1 e o ponto 2, depois entre o ponto 2 e o ponto 3, e continua até a distância entre o ponto N − 1 e o ponto N. O último índice é N − 1 porque um trajeto aberto com N pontos tem exatamente N − 1 segmentos: cada novo ponto depois do primeiro adiciona um segmento de ligação.

Por exemplo, com quatro pontos a fórmula produz três distâncias, d₁, d₂ e d₃, e o comprimento total é L = d₁ + d₂ + d₃. A próxima seção detalha tudo isso para os pontos (0, 0), (3, 4), (6, 4) e (10, 1).

Use os pontos P₁ = (0, 0), P₂ = (3, 4), P₃ = (6, 4) e P₄ = (10, 1). Calcule a distância de cada segmento e depois some as três distâncias.

Agora some os comprimentos dos segmentos:

A resposta 13 é exata para esta polilinha. Observe como d₃ usa uma variação vertical negativa de −3; elevar ao quadrado a transforma em +9 antes da soma, e é por isso que um segmento descendente ainda adiciona um comprimento positivo. A calculadora desta página repete exatamente estes passos para cada par consecutivo da sua lista.

A ordem dos pontos define o trajeto. A calculadora liga o primeiro ponto ao segundo, o segundo ao terceiro e assim por diante, então reorganizar os pontos reorganiza os segmentos e geralmente muda o comprimento total.

Pegue os mesmos quatro pontos do exemplo anterior em duas sequências diferentes:

Ordem A: (0, 0) → (3, 4) → (6, 4) → (10, 1). Os segmentos medem 5, 3 e 5, dando L = 13 unidades.

Ordem B: (0, 0) → (6, 4) → (3, 4) → (10, 1). Os segmentos medem √52 ≈ 7.211103, 3 e √58 ≈ 7.615773, dando L ≈ 17.826876 unidades.

O conjunto idêntico de coordenadas produziu dois trajetos diferentes com dois comprimentos diferentes, porque os dois pontos do meio foram trocados e os segmentos de ligação mudaram. Um caso especial importante se comporta de outra forma: inverter toda a sequência, (10, 1) → (6, 4) → (3, 4) → (0, 0), percorre os mesmos segmentos ao contrário, de modo que o total permanece exatamente 13. A inversão preserva o comprimento; a reorganização arbitrária não.

É por isso que ordenar os pontos pela coordenada x nem sempre está correto. A ordem crescente pode ser conveniente, mas um trajeto real, como uma trilha sinuosa ou uma letra manuscrita registrada por um sensor, precisa manter sua sequência de percurso.

Um trajeto aberto começa em um ponto e termina em um ponto diferente. Um trajeto fechado retorna ao ponto inicial, formando um circuito cujo comprimento inclui o segmento de fechamento.

Use um quadrado com vértices (0, 0), (4, 0), (4, 4) e (0, 4):

Trajeto aberto. Digite os quatro vértices em ordem. Os três segmentos medem 4, 4 e 4, logo L = 12 unidades. A forma fica sem o seu quarto lado.

Trajeto fechado. Digite (0, 0) → (4, 0) → (4, 4) → (0, 4) → (0, 0). Repetir o ponto inicial adiciona o segmento de fechamento de (0, 4) de volta a (0, 0), que mede 4. Agora L = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 unidades, o perímetro do quadrado.

A calculadora nunca adiciona um segmento de fechamento por conta própria. Se seu trajeto for um circuito, você precisa digitar o primeiro ponto novamente no final da lista. Note que o comprimento de um trajeto fechado é um perímetro, não uma área: esta calculadora mede distâncias ao redor de uma forma, nunca a região dentro dela.

Coordenadas negativas funcionam exatamente como as positivas. A fórmula da distância eleva cada diferença de coordenadas ao quadrado, então os sinais negativos na entrada ou nas diferenças nunca reduzem o resultado.

Para A = (−3, −2) e B = (1, 1):

1. Variação horizontal. 1 − (−3) = 4.
2. Variação vertical. 1 − (−2) = 3.
3. Eleve cada variação ao quadrado. 4² = 16 e 3² = 9.
4. Some e tire a raiz. √(16 + 9) = √25 = 5 unidades.

Coordenadas negativas aparecem naturalmente sempre que a origem fica dentro da área medida: gráficos de anomalia de temperatura, perfis de elevação com leituras abaixo do nível do mar ou desenhos CAD centrados em (0, 0). A distância depende apenas da separação entre os pontos, nunca do quadrante em que eles estão.

As coordenadas não precisam ser inteiras. A mesma fórmula lida com decimais, e os passos não mudam.

Para A = (0.5, 1.5) e B = (3.5, 5.5):

1. Variação horizontal. 3.5 − 0.5 = 3.
2. Variação vertical. 5.5 − 1.5 = 4.
3. Eleve ao quadrado, some e tire a raiz. √(3² + 4²) = √25 = 5 unidades.

Dados medidos quase sempre chegam como decimais: trilhas de GPS, registros de sensores e instrumentos topográficos informam posições com várias casas decimais. Digite os valores como estão e deixe a calculadora fazer a aritmética. Evite arredondar cada segmento para um número inteiro antes de somar, porque o arredondamento prematuro pode deslocar o total mais do que a precisão exibida no final sugeriria. Arredonde apenas o resultado final, e somente se a aplicação pedir.

Quando dois pontos consecutivos são idênticos, a distância entre eles é zero, então o ponto repetido não adiciona nada ao comprimento total.

Para (0, 0) → (3, 4) → (3, 4) → (6, 8), os segmentos são:

• d₁ = 5
• d₂ = 0, porque os dois pontos do meio coincidem
• d₃ = 5

O total é L = 5 + 0 + 5 = 10 unidades, o mesmo que se a duplicata tivesse sido excluída.

Leituras duplicadas são comuns em dados registrados: um receptor GPS que registra a mesma posição duas vezes, ou um sensor que faz amostragem enquanto está parado. Por mais inofensivas que sejam para o comprimento, elas podem distorcer outras análises, então limpá-las é uma boa prática. Um cuidado: repetir um ponto mais adiante na lista é diferente. Retornar a uma posição anterior depois de visitar outros pontos cria um verdadeiro caminho de retorno, e esse caminho adiciona distância real.

Quando os pontos são amostras de uma curva suave subjacente, o número de amostras controla quão de perto a polilinha acompanha a curva. A amostragem esparsa corta a curvatura, produzindo cordas retas que são mais curtas que as porções curvas que substituem. O comprimento medido, portanto, tende a subestimar o comprimento verdadeiro da curva.

Um quarto de círculo de raio 1 tem comprimento de arco exato π/2 ≈ 1.570796. Ligar m pontos igualmente espaçados ao longo do arco dá a soma de cordas L_m = 2m · sin(π/(4m)):

Cada duplicação da contagem de amostras reduz o erro em aproximadamente um fator de quatro, característica das curvas suaves convexas. Com 16 cordas, a polilinha já está a 0.000631 do comprimento exato.

Amostragem mais densa não é cura para tudo. Se as próprias coordenadas contêm ruído de medição, os pontos extras adicionam pequenos desvios aleatórios que inflacionam o comprimento medido. A precisão, portanto, depende tanto da densidade de amostragem quanto da qualidade dos dados: faça amostragem generosa onde a curva dobra com força e prefira medições limpas e bem calibradas a simplesmente coletar mais amostras ruidosas.

Duas perguntas diferentes se escondem dentro de uma lista de pontos. O comprimento da polilinha acompanha cada ponto intermediário; a distância em linha reta ignora tudo, exceto o primeiro e o último ponto.

Para A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (6, 0):

• AB = 5 e BC = 5, então o comprimento do trajeto é L = 5 + 5 = 10 unidades.
• A distância direta de A até C é √((6 − 0)² + (0 − 0)²) = 6 unidades.

O comprimento do trajeto responde "quão longe viajei passando por B", enquanto a distância direta responde "quão distantes estão A e C". Ambas são respostas corretas para perguntas diferentes. A desigualdade triangular garante que o comprimento da polilinha nunca pode ser menor que a distância direta entre os extremos: fazer o desvio passando por B só pode alongar a jornada, nunca encurtá-la.

O diagrama abaixo torna a distinção visível: uma curva suave, os pontos amostrados dela e as cordas retas que os ligam. Cada corda corta a curvatura, e é por isso que a polilinha sempre mede um pouco menos que a curva que ela aproxima.

Confundir os dois é um erro frequente. Uma rota de entrega que passa por várias paradas é mais longa que a linha reta entre a primeira e a última parada, e a calculadora sempre informa a rota sinuosa, porque esse é o trajeto que os pontos descrevem.

Cada exemplo abaixo mostra a entrada de coordenadas, a aritmética segmento por segmento e o resultado final, exatamente como a calculadora executa.

Exemplo 1: Distância entre dois pontos. Entrada: (0, 0), (3, 4). Um segmento: d = √(3² + 4²) = √25 = 5 unidades. Dois pontos são a entrada mínima com sentido, e a resposta é simplesmente a distância entre eles.

Exemplo 2: Trajeto de três pontos. Entrada: (0, 0), (3, 4), (6, 0). Segmentos: AB = 5, BC = 5. Total: L = 5 + 5 = 10 unidades. Compare com a distância direta AC = 6, que ignora o ponto do meio.

Exemplo 3: Trajeto de quatro pontos. Entrada: (0, 0), (3, 4), (6, 4), (10, 1). Segmentos: d₁ = 5, d₂ = 3, d₃ = 5. Total: L = 13 unidades, igual ao exemplo detalhado acima.

Exemplo 4: Quadrado fechado. Entrada: (0, 0), (4, 0), (4, 4), (0, 4), (0, 0). Quatro segmentos de 4 cada. Total: L = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 unidades. O ponto inicial repetido fecha o circuito e contribui com o quarto lado.

Exemplo 5: Coordenadas negativas. Entrada: (−3, −2), (1, 1). Diferenças: 4 e 3. Resultado: d = √(16 + 9) = 5 unidades. Os sinais negativos desaparecem quando as diferenças são elevadas ao quadrado.

Exemplo 6: Coordenadas decimais. Entrada: (0.5, 1.5), (3.5, 5.5). Diferenças: 3 e 4. Resultado: d = √(9 + 16) = 5 unidades. Decimais não precisam de tratamento especial.

Exemplo 7: Pontos consecutivos repetidos. Entrada: (0, 0), (3, 4), (3, 4), (6, 8). Segmentos: 5, 0, 5. Total: L = 5 + 0 + 5 = 10 unidades. A duplicata contribui com zero.

Exemplo 8: Rota retangular. Entrada: (0, 0), (8, 0), (8, 3), (0, 3), (0, 0). Segmentos: 8, 3, 8, 3. Total: L = 8 + 3 + 8 + 3 = 22 unidades, o perímetro do retângulo de 8 por 3.

Exemplo 9: Trajeto em zigue-zague. Entrada: (0, 0), (1, 6), (2, 0). Cada segmento mede √(1 + 36) = √37 ≈ 6.082763. Total: L ≈ 12.165525 unidades. A distância direta de (0, 0) até (2, 0) é apenas 2, o que mostra quanto uma rota sinuosa adiciona em comparação com a linha reta.

O cálculo define o comprimento de arco para uma curva suave y = f(x) entre x = a e x = b com a integral:

Esta fórmula usa uma função contínua e sua derivada. O método baseado em pontos usa uma sequência de coordenadas e a fórmula da distância. As duas abordagens respondem à mesma pergunta subjacente, o comprimento de uma curva, a partir de tipos diferentes de entrada.

Os métodos convergem à medida que a amostragem melhora. Faça a amostragem de pontos ao longo de uma curva suave na ordem de percurso, ligue-os com segmentos retos, e o comprimento da polilinha se aproxima da integral à medida que os pontos ficam mais densos. Essa relação de limite é a mesma ideia por trás da integração numérica.

Na prática, escolha o método que combina com seus dados. Quando você tem uma fórmula como y = x², use a calculadora comprimento de arco com passos baseada em cálculo. Quando você tem uma lista de coordenadas medidas sem nenhuma fórmula por trás, o método baseado em pontos é o correto, e ele não exige derivadas.

Ambos os métodos estimam o comprimento da curva, mas partem de entradas diferentes e aproximam de formas diferentes.

Como as entradas diferem, os dois métodos podem discordar sobre a mesma curva física. O método de pontos mede a polilinha exatamente, enquanto a regra do trapézio aproxima a curva suave por meio de sua integral. Nenhum é universalmente melhor: coordenadas medidas pedem o método de pontos, e uma equação conhecida pede a calculadora da Regra do Trapézio ou a calculadora da Regra de Simpson.

A calculadora computa o comprimento da polilinha exatamente, então "precisão" significa na verdade quão fielmente a polilinha representa o trajeto verdadeiro. Estas doze práticas mantêm a medição fiel.

1. Adicione pontos nas seções curvas. Cordas retas cortam cantos; mais amostras deixam a polilinha colada à curva.
2. Preserve a ordem correta do trajeto. Os pontos devem seguir a sequência de percurso, pois a reordenação muda os segmentos.
3. Faça amostragem densa perto de viradas fechadas. Uma curva em grampo descrita por dois pontos vira uma única corda longa; pontos intermediários traçam a virada.
4. Use unidades de coordenadas consistentes. Misturar metros e quilômetros em uma lista corrompe o total silenciosamente.
5. Verifique pontos faltantes. Um waypoint pulado faz a calculadora ligar a lacuna com uma linha reta.
6. Identifique coordenadas incorretas. Um erro de digitação pode adicionar um pico longo ao trajeto.
7. Revise saltos inesperados. Examine os comprimentos dos segmentos; um segmento muito mais longo que os vizinhos merece uma segunda olhada.
8. Evite arredondamentos desnecessários. Mantenha a precisão total ao longo da soma e arredonde apenas o resultado final.
9. Considere o ruído de medição. Posições ruidosas adicionam pequenos desvios aleatórios. Suavize ou filtre os dados antes de medir se a precisão permitir.
10. Use um sistema de referência de coordenadas apropriado. Fórmulas planas precisam de coordenadas projetadas, não de graus brutos de latitude e longitude.
11. Verifique se o trajeto é aberto ou fechado. Um ponto de fechamento faltante elimina um lado inteiro de um circuito.
12. Compare resultados em diferentes densidades de amostragem. Se dobrar as amostras quase não muda o total, a medição convergiu.

Um aviso importa acima de todos: adicionar pontos não melhora automaticamente a precisão no mundo real. Amostras ruidosas mais densas acumulam desvios aleatórios e inflacionam o total. A densidade ajuda quando os pontos subjacentes são exatos; o ruído precisa ser limpo, não apenas superado em número.

A medição de comprimento baseada em pontos aparece em qualquer lugar onde um trajeto é registrado como coordenadas em vez de derivado de uma fórmula.

GPS e mapeamento. Um relógio fitness ou telefone registra posições a cada poucos segundos, e o comprimento total da rota é a soma das distâncias entre correções consecutivas. Para trabalho geográfico real, as posições precisam ser projetadas em coordenadas planas (metros leste e norte), porque a fórmula aqui trata graus como números cartesianos ordinários. Curvas definidas por equações angulares, em vez disso, precisam da calculadora de comprimento de arco polar.

Topografia. Estações totais e receptores GNSS produzem coordenadas planas de limites, estradas e linhas de utilidades. Somar as distâncias entre pontos topográficos consecutivos dá o comprimento medido de um limite ou da linha central de uma estrada.

CAD e engenharia. Desenhos de projeto armazenam polilinhas como listas ordenadas de vértices. O perímetro do contorno de uma peça usinada, o comprimento de uma rota de cabo ou o comprimento de corte de um perfil são todos comprimentos de arco baseados em pontos.

Robótica. Uma rota planejada é uma sequência de waypoints, e a distância total de deslocamento é a soma dos segmentos de waypoint a waypoint. Planejadores de rota comparam listas candidatas de waypoints exatamente por essa soma.

Computação gráfica. Contornos, esboços e traços desenhados à mão são armazenados como pontos amostrados. Comprimento de traço, perímetro de contorno e cálculos de padrão de tracejado se reduzem a somar distâncias de segmentos.

Medições científicas. Trajetórias de partículas em um detector, trajetos de movimento de animais por telemetria e linhas centrais de rios digitalizadas são trajetórias amostradas cujos comprimentos são medidos ponto a ponto.

Geometria em sala de aula. Estudantes verificando problemas de distância com múltiplos segmentos podem checar cada segmento e o total independentemente, o que torna o método uma excelente ferramenta de ensino para a própria fórmula da distância.

Nenhuma dessas aplicações exige que a calculadora importe arquivos ou se conecte a dispositivos. Os valores são digitados ou colados na lista de pontos, e a mesma soma de distâncias faz o resto. Para curvas espaciais com três coordenadas, veja a calculadora de comprimento de arco 3D; para trajetos parametrizados no tempo, veja a calculadora de comprimento de arco paramétrico.

Estes dezoito erros respondem por quase todo comprimento baseado em pontos errado. Cada um inclui a correção.

1. Digitar os pontos na ordem errada. O trajeto segue sua sequência, não a forma que você imaginou. Organize os pontos na ordem de percurso.
2. Misturar os valores de x e y. Colunas trocadas giram e distorcem a geometria. Mantenha um formato consistente de "x depois y".
3. Esquecer um ponto intermediário. Um ponto pulado é substituído por uma ponte reta sobre a lacuna. Inclua todos os waypoints.
4. Somar distâncias a partir da origem. O comprimento é medido entre pontos consecutivos, não de (0, 0) até cada ponto. Some apenas pares adjacentes.
5. Esquecer a raiz quadrada. Somar (dx)² + (dy)² sem a raiz dá distâncias ao quadrado, não comprimentos.
6. Somar diferenças de coordenadas sem elevar ao quadrado. O simples |dx| + |dy| mede uma métrica diferente (distância de Manhattan), não a distância em linha reta.
7. Misturar unidades. Metros e pés em uma lista produzem um total sem sentido. Converta tudo primeiro.
8. Assumir que o resultado é automaticamente em metros. O resultado herda sua unidade de coordenadas. Graus dão graus, pixels dão pixels.
9. Digitar latitude e longitude brutas como x e y planos. Um grau de longitude não é um número fixo de metros. Projete as coordenadas primeiro.
10. Esquecer de fechar um circuito. Sem o ponto inicial repetido, o lado de fechamento fica faltando no perímetro.
11. Adicionar um segmento de fechamento quando o trajeto deveria ficar aberto. Repetir o ponto inicial em uma rota aberta adiciona um trecho de retorno espúrio.
12. Usar poucos pontos em um trajeto curvo. Amostras esparsas cortam cantos e subestimam o comprimento verdadeiro.
13. Assumir que amostras ruidosas mais densas sempre melhoram a precisão. O ruído adiciona desvios; mais pontos ruidosos podem inflacionar o total.
14. Arredondar cada segmento cedo demais. Arredonde apenas o total final, para que os erros de arredondamento não se acumulem entre os segmentos.
15. Confundir o comprimento da polilinha com a distância direta entre os extremos. A rota sinuosa por todos os pontos é mais longa que a linha direta do início ao fim.
16. Confundir o comprimento do trajeto com a área fechada. Um perímetro de 16 unidades nada diz sobre a área dentro do circuito.
17. Tratar pontos repetidos como distância positiva adicional. Uma duplicata consecutiva contribui com exatamente zero, não com outro comprimento de segmento.
18. Assumir que um cálculo 2D considera a elevação. Mudanças de altura precisam de uma terceira coordenada; x e y planos sozinhos ignoram colinas e ladeiras.

Resolva cada problema à mão e depois confira a solução. Todas as soluções usam a fórmula da distância euclidiana em pontos consecutivos.

Problema 1: Distância entre dois pontos. Encontre a distância entre (0, 0) e (5, 12).
Solução: dx = 5, dy = 12, d = √(25 + 144) = √169 = 13 unidades.

Problema 2: Trajeto de três pontos. Encontre o comprimento do trajeto por (1, 2) → (5, 6) → (9, 2).
Solução: d₁ = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.656854; d₂ = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.656854. Total: L ≈ 11.313708 unidades.

Problema 3: Coordenadas negativas. Encontre a distância entre (−6, −8) e (0, 0).
Solução: dx = 6, dy = 8, d = √(36 + 64) = √100 = 10 unidades.

Problema 4: Coordenadas decimais. Encontre a distância entre (1.25, 2.5) e (4.25, 6.5).
Solução: dx = 3, dy = 4, d = √(9 + 16) = 5 unidades.

Problema 5: Triângulo fechado. Encontre o perímetro do triângulo (0, 0) → (4, 0) → (0, 3) → (0, 0).
Solução: 4, depois √(16 + 9) = 5, depois 3. Perímetro: 4 + 5 + 3 = 12 unidades.

Problema 6: Retângulo fechado. Encontre o perímetro do retângulo (0, 0) → (9, 0) → (9, 4) → (0, 4) → (0, 0).
Solução: 9 + 4 + 9 + 4 = 26 unidades.

Problema 7: Ponto repetido. Encontre o comprimento do trajeto por (1, 1) → (4, 5) → (4, 5) → (7, 1).
Solução: d₁ = √(9 + 16) = 5, d₂ = 0, d₃ = √(9 + 16) = 5. Total: L = 5 + 0 + 5 = 10 unidades.

Problema 8: Distância direta vs comprimento total do trajeto. Para (0, 0) → (1, 6) → (2, 0), encontre tanto o comprimento do trajeto quanto a distância direta entre os extremos.
Solução: Cada segmento é √(1 + 36) = √37 ≈ 6.082763, então o comprimento do trajeto é L ≈ 12.165525 unidades. A distância direta de (0, 0) até (2, 0) é 2 unidades. O trajeto sinuoso é mais de seis vezes a linha reta.

Descrições de curva diferentes pedem calculadoras diferentes. Cada uma destas trata de um caso que o método baseado em pontos não cobre:

• Comprimento de Arco com Passos: digite uma função y = f(x) e veja o cálculo baseado em cálculo resolvido passo a passo.
• Calculadora de Comprimento de Arco Paramétrico: meça curvas dadas como x(t) e y(t).
• Calculadora de Comprimento de Arco Polar: meça curvas dadas como r(θ).
• Calculadora de Comprimento de Arco 3D: meça curvas espaciais com x(t), y(t) e z(t).
• Calculadora da Regra do Trapézio: estime o comprimento de arco numericamente a partir de uma função e sua derivada.
• Calculadora da Regra de Simpson: estime o comprimento de arco com a regra numérica de maior precisão de Simpson.