Calcolatore della regola trapezoidale

Il calcolatore della regola dei trapezi stima la lunghezza d'arco in modo numerico. Applica la regola composita dei trapezi all'integrale di lunghezza d'arco della funzione inserita. Segui questi passaggi per ottenere una prima stima in meno di un minuto.

1. Inserisci la funzione. Digita f(x) nel campo della funzione, ad esempio x^2, sin(x) oppure ln(x+1). Usa ^ per le potenze e i nomi standard delle funzioni come sin, cos, exp e ln.
2. Inserisci il valore iniziale. Imposta a, l'estremo inferiore di integrazione. Per il tratto di curva da x = 0 a x = 1, inserisci 0.
3. Inserisci il valore finale. Imposta b, l'estremo superiore di integrazione. Il calcolatore richiede b > a.
4. Scegli le suddivisioni. Inserisci n, il numero di sottointervalli uguali. Una prima prova con n = 10 funziona bene per le curve lisce.
5. Seleziona il metodo dei trapezi. Nell'interfaccia di integrazione numerica, scegli la regola dei trapezi in modo che la formula a pannelli seguente sia quella applicata.
6. Fai clic su Calcola. Lo strumento valuta l'integranda di lunghezza d'arco in n + 1 punti campione, applica i pesi degli estremi e mostra l'approssimazione.
7. Interpreta il risultato. Il numero mostrato è una stima della lunghezza della curva tra x = a e x = b, nelle stesse unità di lunghezza dei valori di x.
8. Migliora l'accuratezza. Raddoppia n e ricalcola. Quando due stime successive cambiano appena, il risultato è convergente ai fini pratici.

Ecco cosa controlla ciascun input:

Inserendo f(x) = x², a = 0, b = 1 e n = 10 si ottiene una stima della lunghezza d'arco vicina a 1.479, prossima al valore esatto 1.478943. Il resto di questa guida spiega esattamente cosa calcola il calcolatore e come giudicare la qualità della sua risposta.

La regola dei trapezi è un metodo di integrazione numerica. Approssima un integrale definito sostituendo l'area sotto una curva con l'area di trapezi disegnati sotto l'integranda. Ciascun trapezio è costruito a partire da due punti campione adiacenti, e la somma delle aree di tutti i trapezi stima l'integrale.

Il nome deriva dalla geometria. Tra due punti campione x_i e x_i+1, l'integranda g(x) è sostituita da una retta. La regione sotto quella retta è un trapezio: due lati verticali paralleli di altezze g(x_i) e g(x_i+1), e una larghezza orizzontale h = x_i+1 - x_i.

Un singolo trapezio ha area h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]. Sommando le aree di tutti gli n trapezi si ottiene l'approssimazione composita dei trapezi dell'integrale. La parola "composita" significa che l'intervallo è diviso in più pannelli invece che in uno solo.

Questa regola appartiene alla famiglia dei metodi di quadratura numerica. È apprezzata per la sua trasparenza: ogni passaggio ha un chiaro significato geometrico, e l'unico parametro è il numero di suddivisioni n. L'idea principale è facile da enunciare: pannelli più stretti e rettilinei seguono l'integranda più da vicino, quindi la stima migliora al crescere di n.

Per la lunghezza d'arco, l'integranda non è la funzione originale f(x). È l'integranda di lunghezza d'arco g(x) = √(1 + (f'(x))²), che misura quanto rapidamente la lunghezza si accumula lungo la curva. Tenere chiara questa distinzione previene il fraintendimento più comune del metodo.

La formula della regola dei trapezi ha due forme: una versione a pannello singolo e la versione composita usata nella pratica. Entrambe derivano dalla stessa geometria del trapezio.

Formula a pannello singolo. Con un unico trapezio che copre l'intero intervallo:

La larghezza (b - a) è moltiplicata per la media delle due altezze agli estremi. Questa è esattamente l'area di un trapezio.

Formula composita. Dividi [a, b] in n sottointervalli uguali di larghezza h = (b - a)/n, con punti campione x₀ = a, x₁ = a + h, ..., x_n = b:

Ogni simbolo ha un significato preciso:

• T_n è l'approssimazione numerica con n pannelli.
• h è la larghezza del sottointervallo, (b - a)/n.
• a e b sono gli estremi inferiore e superiore di integrazione.
• n è il numero di sottointervalli, un intero positivo.
• x_i sono i punti campione, distanziati di h.
• g(x_i) sono i valori dell'integranda in quei punti.

Gli estremi ricevono mezzo peso perché ogni punto campione interno è condiviso da due trapezi vicini, mentre ciascun estremo appartiene a un solo trapezio. Algebricamente, i termini adiacenti h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)] si combinano in modo che i valori interni contino per intero e i due valori esterni contino metà.

Un breve calcolo svolto. Approssima ∫₀¹ x² dx con n = 2. Allora h = 0.5, x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1, e T₂ = 0.5 · [0/2 + 0.25 + 1/2] = 0.5 · 0.75 = 0.375. L'integrale esatto è 1/3 ≈ 0.333, quindi la stima grossolana a due pannelli è nell'intorno giusto, con margine di miglioramento.

La lunghezza d'arco è un integrale, quindi la regola dei trapezi si applica direttamente. La curva y = f(x) ha lunghezza d'arco da x = a a x = b data da:

Il calcolatore forma l'integranda di lunghezza d'arco g(x) = √(1 + (f'(x))²) e la passa alla formula composita dei trapezi. La procedura completa è:

1. Parti da y = f(x). Verifica che la funzione sia derivabile su [a, b].
2. Trova la derivata f'(x). Lo strumento deriva internamente l'espressione inserita.
3. Eleva al quadrato la derivata. Forma (f'(x))². L'elevamento al quadrato elimina l'informazione sul segno perché la lunghezza si accumula indipendentemente dalla direzione della pendenza.
4. Aggiungi 1. L'integranda è 1 + (f'(x))², che non è mai minore di 1.
5. Estrai la radice quadrata. Questo dà g(x), il tasso locale con cui la lunghezza si accumula per unità di x.
6. Dividi l'intervallo. Scegli n e calcola h = (b - a)/n.
7. Valuta l'integranda. Calcola g(x₀), ..., g(x_n) nei punti campione.
8. Applica la regola composita. Combina i valori con mezzi pesi agli estremi.
9. Interpreta il risultato. La somma è la lunghezza approssimata del tratto di curva.

La derivata è elevata al quadrato e poi posta sotto una radice quadrata per una ragione geometrica: un minuscolo segmento di curva largo dx e alto dy ha lunghezza √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx per il teorema di Pitagora. Integrare quella lunghezza locale su [a, b] dà la lunghezza totale, e la regola dei trapezi approssima l'integrale.

L'integranda è sempre non negativa perché 1 + (f'(x))² è almeno 1. Il suo valore minimo è 1, raggiunto dove la curva è piatta. Pendenze più ripide rendono g(x) più grande, ed è esattamente per questo che le curve ripide sono più lunghe di quelle poco inclinate sullo stesso intervallo di x.

Questo esempio completamente svolto mostra ogni numero che la regola dei trapezi produce. Usa f(x) = x² su [0, 1] con n = 4.

1. Derivata. f'(x) = 2x.

2. Integranda. g(x) = √(1 + (2x)²) = √(1 + 4x²).

3. Passo. h = (1 - 0)/4 = 0.25.

4. Punti campione. 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

5. Valori dell'integranda e pesi.

6. Somma pesata. 1.000000/2 + 1.118034 + 1.414214 + 1.802776 + 2.236068/2 = 5.953057.

7. Moltiplica per h.

8. Confronta con il valore esatto. La lunghezza d'arco esatta è L = √5/2 + asinh(2)/4 ≈ 1.478943. La stima con n = 4, 1.488264, la supera di 0.009321, un errore di circa lo 0.63%. Ripetendo con n = 8 si ottiene 1.481272, già entro 0.002330 dal valore esatto.

Nota che la stima è maggiore del valore esatto. Per questa integranda convessa, le corde rettilinee stanno sopra la curva, quindi la regola dei trapezi sovrastima. Questo comportamento sistematico è normale, e la sovrastima si riduce al crescere di n.

Il numero di suddivisioni n e il passo h sono legati da h = (b - a)/n. Insieme controllano quanto finemente è campionata l'integranda e quanto accurata è la stima.

Cosa rappresenta n. È il numero di pannelli trapezoidali, un intero positivo. Il numero di punti campione è sempre n + 1 perché pannelli consecutivi condividono i loro punti di confine.

Perché n = 1 è la regola a pannello singolo. Con n = 1, h = b - a e T₁ = h/2 · [g(a) + g(b)]. Questa è la forma più grossolana del metodo e raramente abbastanza accurata.

Larghezze dei pannelli su [0, 1]. La tabella seguente mostra come h si riduce al crescere di n:

Pannelli più piccoli seguono l'integranda più da vicino, quindi l'approssimazione rettilinea all'interno di ciascun pannello devia meno dalla vera curva. È per questo che aumentare n di solito migliora l'accuratezza. Il compromesso è computazionale: ogni nuovo pannello richiede un'ulteriore valutazione di funzione.

Più suddivisioni non garantiscono un risultato strettamente migliore per ogni integranda. Integrande non lisce o oscillanti possono mostrare un comportamento irregolare dell'errore, e l'arrotondamento in virgola mobile alla fine limita i guadagni per n molto grandi. Per curve lisce come quelle di questa guida, tuttavia, il miglioramento è costante e prevedibile.

Una strategia pratica: inizia con n = 10 o n = 20, poi raddoppia n finché la stima smette di cambiare alla precisione che ti serve. Questo controllo di convergenza è più affidabile che fidarsi di un singolo valore di n.

Sei esempi coprono la gamma dai casi esatti alle funzioni le cui lunghezze d'arco non hanno una forma chiusa elementare. Ciascuno mostra la derivata, l'integranda, la sostituzione e il risultato numerico.

Esempio 1: retta, f(x) = 2x su [0, 3]. La derivata è f'(x) = 2, una costante, quindi l'integranda è g(x) = √(1 + 4) = √5, anch'essa costante. Un singolo pannello è esatto perché l'integranda non si piega mai: T₁ = 3 · √5 ≈ 6.708204. La lunghezza esatta 3√5 coincide. Questo conferma la regola: la regola dei trapezi è esatta ogni volta che l'integranda è lineare o costante.

Esempio 2: quadratica, f(x) = x² su [0, 1], n = 4. Con f'(x) = 2x e g(x) = √(1 + 4x²), il calcolo completo nella sezione precedente dà L ≈ 1.488264, contro il valore esatto 1.478943. Il piccolo divario deriva dall'integranda convessa; le corde disegnate sopra la curva aggiungono area extra.

Esempio 3: quadratica più lunga, f(x) = x² su [0, 2], n = 8. Qui h = 0.25 di nuovo, ma l'intervallo è lungo il doppio e l'integranda più ripida. La stima è T₈ = 4.656890. Un calcolo ad alta risoluzione dà 4.646784, quindi l'errore è di circa 0.010106. Estendere l'intervallo non scala semplicemente la risposta: l'integranda cresce con x, quindi la lunghezza d'arco cresce più velocemente della lunghezza dell'intervallo.

Esempio 4: curva sinusoidale, f(x) = sin x su [0, π]. La derivata è f'(x) = cos x, che dà g(x) = √(1 + cos²x). Con n = 8, la stima è 3.820198; con n = 16 è 3.820198, invariata a sei cifre decimali. L'integranda simmetrica converge rapidamente perché la sua curvatura è dolce e distribuita uniformemente. (Inserisci gli angoli in radianti; i gradi produrrebbero una curva diversa.)

Esempio 5: logaritmo, f(x) = ln(x + 1) su [0, 2], n = 10. La derivata è f'(x) = 1/(x + 1), quindi g(x) = √(1 + 1/(x + 1)²). Il dominio richiede x > -1, condizione che l'intervallo soddisfa. La stima è T₁₀ = 2.304215, mentre un calcolo raffinato dà 2.301988, un errore di circa 0.002227. Vicino a x = 0 la pendenza è massima, quindi la maggior parte della lunghezza si accumula all'inizio dell'intervallo.

Esempio 6: cubica, f(x) = x³ su [0, 1], n = 10. Qui f'(x) = 3x² e g(x) = √(1 + 9x⁴). Questa lunghezza d'arco non ha primitiva elementare, ed è proprio allora che l'integrazione numerica guadagna il suo posto. La stima è T₁₀ = 1.552609 contro un valore raffinato di 1.547866, un errore di circa 0.004743. Senza un metodo numerico, questa lunghezza sarebbe molto difficile da ottenere.

Ogni risultato sopra è stato calcolato direttamente dalla formula composita, arrotondato a sei cifre decimali. Ripetendo uno qualsiasi di questi nel calcolatore con lo stesso n si riproducono le stesse cifre.

Convergenza significa che le approssimazioni si assestano verso il valore vero al crescere di n. La tabella seguente segue f(x) = x² su [0, 1], la cui lunghezza esatta è 1.478943:

Ogni volta che n raddoppia, l'errore cala di circa un fattore quattro: 0.037181 a 0.009321 a 0.002330 a 0.000582 a 0.000146 a 0.000036. Questa è la convergenza del secondo ordine, la firma della regola composita dei trapezi su integrande lisce. Dimezzare h riduce il termine d'errore principale a circa un quarto.

La colonna "variazione rispetto al precedente" è il controllo pratico di convergenza che il flusso di lavoro del calcolatore raccomanda. Quando raddoppiare n cambia la risposta di meno della precisione richiesta, la stima è stabile. Per questa curva, n = 16 fissa già la lunghezza entro 0.000582 dal valore vero.

L'errore della regola composita dei trapezi ha una forma matematica precisa. Per un'integranda g sufficientemente liscia su [a, b]:

per qualche ξ in [a, b]. Il segno è importante: quando g'' è positiva (integranda convessa), l'errore è negativo, il che significa che T_n sovrastima l'integrale. Questo corrisponde all'esempio x², dove ogni stima ha superato l'esatto 1.478943.

Un limite garantito segue sostituendo g''(ξ) con la sua massima ampiezza M = max|g''(x)| su [a, b]:

Termini chiave. L'errore assoluto è |I - T_n|, la distanza tra valore vero e stima. L'errore relativo lo divide per |I|. L'errore di troncamento è l'errore derivante dall'approssimare l'integrale con una somma finita, in contrasto con l'errore di arrotondamento dovuto all'aritmetica a precisione finita. La derivata seconda g'' misura la curvatura dell'integranda, che è ciò che i pannelli rettilinei non riescono a catturare.

Limite concreto per l'esempio x². Su [0, 1], g''(x) = 4/(1 + 4x²)^3/2, massima in x = 0 con M = 4. Il limite dà |I - T₄| ≤ 4/(12 · 16) = 0.020833. L'errore effettivo 0.009321 rientra comodamente. I limiti sono conservativi per progettazione; promettono un tetto massimo, non un errore esatto.

Due avvertenze. Primo, g è l'integranda di lunghezza d'arco, non la f originale. Derivare due volte attraverso la radice quadrata è ciò che descrive M. Secondo, i limiti d'errore possono essere faticosi da calcolare per funzioni complicate perché M stesso potrebbe richiedere una massimizzazione. In pratica, il controllo di convergenza del raddoppio di n è lo strumento più utile, e il calcolatore non mostra un limite d'errore automatico.

La regola di Simpson è il parente più stretto della regola dei trapezi. Entrambe dividono [a, b] in sottointervalli uguali, ma Simpson adatta una parabola attraverso tre punti consecutivi, mentre la regola dei trapezi traccia un'unica corda rettilinea attraverso due.

Su integrande lisce, la convergenza del quarto ordine di Simpson di solito vince: raddoppiare n riduce il suo errore di circa sedici volte, contro quattro della regola dei trapezi. Ma Simpson non è universalmente migliore. Per integrande ruvide o discontinue, entrambi i metodi degradano, e l'ordine di accuratezza extra potrebbe non materializzarsi. La regola dei trapezi accetta anche n dispari, il che è comodo per controlli rapidi.

Un buon flusso di lavoro usa entrambe: la stima dei trapezi come riferimento trasparente, e la regola di Simpson per una precisione maggiore. Quando le due concordano sulle cifre richieste, la fiducia è alta. Quando discordano, aumenta n prima di fidarti di una delle due.

Due diverse idee "simili al trapezio" sono facili da confondere. Producono numeri diversi per la stessa curva, quindi la distinzione conta.

Metodo 1: integrazione trapezoidale dell'integranda di lunghezza d'arco. Questo è ciò che fa il calcolatore. Integra g(x) = √(1 + (f'(x))²) con pannelli trapezoidali disegnati sotto la curva integranda:

Metodo 2: approssimazione poligonale (somma delle corde) della curva originale. Questo collega punti adiacenti sulla curva stessa con segmenti rettilinei e somma le loro lunghezze:

Una somma delle corde unisce i punti (x_i, f(x_i)) sulla curva originale. Un pannello trapezoidale invece approssima l'area sotto l'integranda g(x). I pannelli non rappresentano segmenti rettilinei della curva originale, anche se entrambe le immagini coinvolgono rette.

Entrambi i metodi convergono alla vera lunghezza al crescere di n, ed entrambi sono strumenti numerici legittimi. Il calcolatore di questa pagina implementa il Metodo 1. Se ti servono somme delle corde da dati di coordinate, lo strumento lunghezza d'arco dai punti segue invece il Metodo 2.

La regola dei trapezi è la scelta giusta quando la semplicità e la trasparenza contano più che spremere le ultime cifre di accuratezza.

• Imparare l'integrazione numerica. Ogni passaggio ha un significato geometrico visibile, il che la rende il primo metodo standard nei corsi di analisi.
• Stimare rapidamente lunghezze di curve. Una manciata di pannelli spesso dà due o tre cifre corrette per curve lisce.
• Verificare soluzioni analitiche. Confronta una lunghezza d'arco ricavata a mano con una stima numerica indipendente.
• Modelli di ingegneria e fisica. Stime di lunghezza per cavi, archi e traiettorie dove i valori approssimati alimentano calcoli più ampi.
• Confrontare metodi numerici. È il riferimento con cui si giudicano la regola di Simpson e i metodi di ordine superiore.
• Funzioni campionate lisce. Quando f è liscia e n può essere moderato, il metodo è affidabile.
• Verifica didattica. Il suo comportamento prevedibile O(h²) rende facili da interpretare i controlli di convergenza.

Ricorri a un metodo diverso quando l'integranda cambia rapidamente, ha spigoli o discontinuità, o quando serve alta precisione a basso costo. Per curve lisce, la regola di Simpson di solito fornisce più cifre per pannello. Per curve parametriche, polari o spaziali, usa i calcolatori dedicati parametriche, polari o lunghezza d'arco 3D, che applicano le stesse idee numeriche nel giusto sistema di coordinate.

Questi sono gli errori che compaiono più spesso nei lavori degli studenti e nelle domande di assistenza. Ciascuno è facile da evitare una volta che sai che esiste.

1. Inserire estremi di integrazione errati. Il segmento [0, 2] non è la stessa porzione di curva di [2, 0]. Verifica sempre che a < b e che gli estremi corrispondano al problema.
2. Usare la funzione sbagliata. Un refuso come x^3 invece di x^2 cambia la derivata e ogni valore successivo.
3. Dimenticare la derivata nella formula della lunghezza d'arco. La lunghezza d'arco integra √(1 + (f')²), mai la f stessa.
4. Applicare la regola direttamente a f(x) per la lunghezza d'arco. I pannelli devono stare sotto g(x). Integrare f(x) calcola l'area con segno, non la lunghezza.
5. Scegliere troppo poche suddivisioni. n = 2 su un'integranda curva può sbagliare di diversi punti percentuali; l'esempio x² aveva un errore del 2.5% con n = 2.
6. Usare zero suddivisioni. n = 0 significa h = (b - a)/0, che è indefinito. n deve essere un intero positivo.
7. Inserire un numero di suddivisioni non intero. n = 2.5 non ha senso per il conteggio dei pannelli; arrotonda a un numero intero.
8. Confondere n con il numero di punti campione. n pannelli richiedono n + 1 punti campione. Con n = 4 ci sono 5 punti, non 4.
9. Dimenticare i mezzi pesi degli estremi. Dare a g(x₀) e g(x_n) peso pieno gonfia la stima di h/2 · (g(x₀) + g(x_n)).
10. Usare il passo sbagliato. h = (b - a)/n, non b - a e non 1/n. Su [0, 2] con n = 8, h = 0.25.
11. Mescolare gradi e radianti. sin(x) con x in gradi è una curva diversa da sin(x) in radianti; le lunghezze d'arco differiscono di conseguenza.
12. Ignorare le restrizioni del dominio della funzione. ln(x + 1) richiede x > -1. Valutare fuori dal dominio produce valori privi di senso.
13. Confondere l'approssimazione con l'integrazione esatta. T_n si avvicina a L; è uguale a L solo per integrande speciali come le costanti.
14. Supporre che più pannelli garantiscano sempre maggiore accuratezza. Vero nel regime asintotico per integrande lisce, ma l'errore di arrotondamento e la non regolarità possono rompere lo schema agli estremi.
15. Ignorare i controlli di convergenza. Una stima è un'ipotesi; due stime con n e 2n che concordano sono una prova.
16. Confondere la regola di Simpson con la regola dei trapezi. Simpson usa pesi 1-4-2-4-...-1 e richiede n pari; la regola dei trapezi usa 1/2-1-...-1-1/2 e qualsiasi n positivo.
17. Confondere l'integrazione trapezoidale con la somma delle corde. I pannelli sotto l'integranda non sono corde sulla curva; i due metodi danno numeri diversi.
18. Riportare un'eccessiva precisione decimale. Se l'errore è intorno a 0.002, scrivere sei cifre decimali sovrastima ciò che si conosce. Arrotonda in base all'accuratezza verificata.

La stessa aritmetica a pannelli alla base della lunghezza d'arco compare ovunque una quantità liscia debba essere accumulata numericamente.

• Stima ingegneristica delle lunghezze delle curve. Le lunghezze di cavi, curve di sospensione e curve dei tubi sono calcolate dalle funzioni di progetto prima della fabbricazione.
• Progettazione meccanica. I profili delle camme e le curve dei denti degli ingranaggi richiedono stime accurate del perimetro per la pianificazione dei materiali.
• Geometria di strade e percorsi. Le curve di allineamento di strade e ferrovie sono misurate lungo le loro linee centrali, che raramente sono funzioni elementari.
• Progettazione assistita dal computer. I kernel CAD stimano le lunghezze delle curve per il rendering, la generazione dei percorsi utensile e la quotatura.
• Simulazioni di fisica. Le traiettorie delle particelle e le lunghezze delle linee di campo sono accumulate da modelli numerici.
• Modellazione numerica. Qualsiasi integrale senza forma chiusa, dalle densità di probabilità all'energia del segnale, può iniziare con pannelli trapezoidali.
• Educazione matematica. La regola è la porta standard verso l'analisi numerica perché il suo comportamento d'errore è facile da dimostrare.
• Misurazione e verifica delle curve. Le misurazioni fisiche di curve irregolari sono verificate incrociandole con previsioni numeriche.

Per la geometria specializzata, il metodo si adatta: la stessa regola composita integra la velocità parametrica √((x')² + (y')²) e le integrande polari. Il calcolatore qui gestisce il caso cartesiano; strumenti correlati coprono gli altri sistemi di coordinate. Non elabora direttamente file CAD o dataset di rilevamento; questi devono prima essere ridotti a una funzione e agli estremi.

Risolvi questi a mano, poi verifica con il calcolatore. Ogni soluzione mostra la sostituzione così puoi trovare i tuoi errori aritmetici.

Problema 1. Usa la regola dei trapezi con n = 1 per approssimare ∫₀² 3 dx, e stabilisci se il risultato è esatto.
Soluzione. h = 2, T₁ = 2/2 · [3 + 3] = 6. L'integranda è costante, quindi il singolo trapezio coincide esattamente con il rettangolo. L'integrale esatto è anch'esso 6, quindi il risultato è esatto.

Problema 2. Trova la lunghezza d'arco di f(x) = x su [0, 1] usando la regola dei trapezi con n = 1.
Soluzione. f'(x) = 1, quindi g(x) = √2, una costante. T₁ = 1 · √2 ≈ 1.414214, che è esatto perché l'integranda è costante. Geometricamente questa è la diagonale di un quadrato unitario.

Problema 3. Approssima la lunghezza d'arco di f(x) = x² su [0, 1] con n = 2.
Soluzione. h = 0.5; g(0) = 1, g(0.5) = 1.414214, g(1) = 2.236068. T₂ = 0.5 · [1/2 + 1.414214 + 2.236068/2] = 0.5 · 3.032249 = 1.516124. Il valore esatto è 1.478943, quindi l'errore è 0.037181.

Problema 4. Approssima la lunghezza d'arco di f(x) = sin x su [0, π] con n = 4.
Soluzione. g(x) = √(1 + cos²x), h = π/4. Valutando in 0, π/4, π/2, 3π/4, π e applicando i pesi si ottiene T₄ ≈ 3.819944. Con n = 8 il valore è 3.820198, quindi il risultato con n = 4 è già entro 0.000254 dal valore convergente.

Problema 5. Calcola il passo per a = 2, b = 5, n = 6.
Soluzione. h = (5 - 2)/6 = 3/6 = 0.5. I punti campione sono 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5: sette punti per sei pannelli.

Problema 6. Per n = 10, quanti punti campione ci sono e quali sono i loro pesi?
Soluzione. Ci sono n + 1 = 11 punti campione. Gli estremi x₀ e x₁₀ hanno peso 1/2; i nove punti interni da x₁ a x₉ hanno peso 1.

Problema 7. Per f(x) = x² su [0, 1], confronta T₂ e T₄ e indica la variazione.
Soluzione. T₂ = 1.516124 e T₄ = 1.488264, una variazione di 0.027860. Il valore esatto è 1.478943, quindi raddoppiare n ha ridotto l'errore da 0.037181 a 0.009321, un fattore di circa quattro, come prevede la convergenza del secondo ordine.

Problema 8. T₈ = 1.481272 per f(x) = x² su [0, 1]. Riporta l'errore assoluto e relativo rispetto all'esatto 1.478943.
Soluzione. Errore assoluto = |1.481272 - 1.478943| = 0.002330. Errore relativo = 0.002330 / 1.478943 ≈ 0.001576, circa lo 0.16%. Sia la stima sia l'errore dovrebbero essere citati qui a tre cifre decimali; le cifre extra in 1.481272 non sono ancora affidabili.