Båglängdskalkylator

Ett förstklassigt matematiskt verktyg för att beräkna exakta båglängder av cirklar, kurvor och parametriska ekvationer med live visuell feedback.

Gratis att använda ·Ingen registrering ·Körs i din webbläsare

Formel för båglängd
L=r⋅θL = r \cdot \theta
0°360°
Diagramvisning
◯
Cirkelverktyg

Radie och vinkel, med sektorarea och korda.
∫
Parametrisk

Kurvorna x(t) och y(t) över valfritt intervall.
ρ
Polärt verktyg

Kurvor givna som r(θ) i polär form.
ƒ
Fullständiga steg

Kartesisk båglängd med varje steg visat.
◊
3D-rymd

Rumskurvor x(t), y(t) och z(t).
Σ
Simpsons regel

Numerisk integration med Simpsons regel.
△
Trapetsregeln

Numerisk integration, trapetsregeln.
⋯
Från punkter

Väglängd genom koordinatpunkter.
Ellipsbåge

Båglängd för varje ellips utifrån dess axlar och vinklar.
Parabelbåge

Båglängd för varje parabel utifrån dess ekvation.
Halvcirkelbåge

Båglängd för varje halvcirkel utifrån radie eller diameter.
Sektorbåge

Båglängd för en cirkelsektor utifrån radie och vinkel.
Mittpunktsregeln

Båglängd med mittpunktsregeln, med rektanglar och felkontroll.
Snabbnavigering Beräkna onlineMetoderFormelguideRäknade exempelGrader mot radianerMisstagTillämpningarVanliga frågor
Metoder

Båglängdsräknarens metoder

Räknaren ovan har sju lägen. Varje läge motsvarar ett standardformat för indata från analysen. Välj det läge vars indata liknar ditt problem.

LägeIndata som krävsNär används
CirkelRadie r, medelpunktsvinkel θCirklar, sektorer, hjul, bågar
KartesiskFunktion y = f(x), intervall [a, b]Funktionsgrafer
Parametriskx(t), y(t), intervall [a, b]Rörelsebanor, öglor, vertikala kurvor
Polärr(θ), vinkelintervall [α, β]Spiraler, kardioider, polära grafer
Numeriskf(x), intervall, indelningar nIntegraler utan sluten form
PunkterLista med (x, y) koordinaterGPS-spår, sampeldata
3Dx(t), y(t), z(t), intervall [a, b]Rymdkurvor, helices

Cirkelbåglängd

Mata in radien r och centralvinkeln θ. Verktyget beräknar båglängden med L = rθ och rapporterar även sektorarean och kordans längd från samma två indata. Växla mellan grader och radianer med DEG/RAD-växlaren.

\( L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians}) \)

Kartesiska kurvor

Mata in en funktion y = f(x) plus start- och slutvärdena a och b för x. Räknaren deriverar funktionen, bygger integranden och beräknar den bestämda integralen numeriskt med alla steg visade. För den fullständiga härledningen, prova båglängdsräknaren med steg.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
Kartesisk kurva y = f(x) med båglängdssegmentet mellan a och b markerat och differentialelementet ds visat

Parametriska kurvor

Mata in x(t) och y(t) med parameterintervallet. Detta läge passar banor som beskrivs av rörelse över tid, där ingen av koordinaterna är en direkt funktion av den andra. För ett särskilt verktyg, se den parametriska båglängdsräknaren.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Polära kurvor

Mata in r som en funktion av θ med vinkelintervallet. Perfekt för spiraler, kardioider och andra kurvor som mest naturligt skrivs i polär form. En fristående polär båglängdsräknare finns också.

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

Numerisk integration

Mata in f(x), intervallet och antalet delintervall n och välj sedan Simpsons regel eller trapetsregeln. Detta läge är användbart när båglängdsintegralen saknar elementär primitiv funktion eller när du vill jämföra numeriska metoder. De särskilda räknarna för Simpsons regel och trapetsregeln visar hela uträkningen.

Koordinatpunkter

Klistra in eller skriv en lista med punkter (x, y). Räknaren summerar de räta avstånden mellan på varandra följande punkter, vilket approximerar väglängden genom samplade data som GPS-spår. Se även det särskilda verktyget båglängd från punkter.

\( L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_{i})^{2} + (\Delta y_{i})^{2}} \)

3D-kurvor

Mata in x(t), y(t) och z(t) med parameterintervallet för att mäta längden av en rumskurva, till exempel en helix eller en 3D-bana. Den särskilda 3D-båglängdsräknaren erbjuder samma beräkning på sin egen sida.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
Formelguide

Båglängdsformeln

Varje båglängdsformel nedan mäter samma idé: summera pyttesmå raka segment längs kurvan. Rätt formel beror på hur kurvan beskrivs.

Cirkel med markerad båge som visar radien r, centralvinkeln theta och båglängden L, och illustrerar formeln L = r gånger theta

Cirkel: L = rθ

\( L = r\theta \)

Här är r radien och θ centralvinkeln i radianer. Båglängden bär samma enhet som r: en radie i meter ger en båglängd i meter. Detta är det enklaste fallet eftersom en cirkel har konstant krökning.

Kartesisk: integralen av √(1 + (dy/dx)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)

Använd när kurvan är y = f(x) mellan x = a och x = b. Termen dy/dx är lutningen; där kurvan är brant bidrar varje dx med mer längd. Gränserna a och b är x-värden, inte bågpositioner.

Parametrisk: integralen av √((dx/dt)² + (dy/dt)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Använd när x och y båda är funktioner av en parameter t, med t från a till b. Detta hanterar kurvor som slingrar sig eller går vertikalt, där y inte kan skrivas som en funktion av x.

Polär: integralen av √(r² + (dr/dθ)²)

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

Använd när kurvan är r = r(θ) med θ från α till β. Termen r² står för den cirkulära svepningen medan (dr/dθ)² står för den radiella förändringen.

3D: integralen av √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Den naturliga utvidgningen av den parametriska formeln till tre dimensioner: lägg till den kvadrerade z-hastigheten under roten.

Cirkel som jämför den böjda båglängden L med den raka kordans längd c mellan samma två ändpunkter

Båglängden L följer kurvan; kordans längd c skär rakt över. Bågen är alltid längre, utom i gränsfallet med en nollvinkel.

Instruktioner

Så använder du båglängdsräknaren

  1. 01Välj läget som passar din indata: Cirkel, Kartesisk, Parametrisk, Polär, Numerisk, Punkter eller 3D.
  2. 02Mata in värdena. För en cirkel skriver du radien och centralvinkeln. För kurvor skriver du funktionen och intervallgränserna.
  3. 03Ställ in vinkelenheten (cirkelläge): välj DEG för grader eller RAD för radianer med växlaren ovanför räknaren.
  4. 04Läs resultatet. Båglängden visas med stegvis uträkning. Cirkelläget visar även sektorarea och kordans längd.
  5. 05Prova ett exempel med knappen "Try Example" i valfritt läge för att se korrekt formaterad indata innan du skriver din egen.
Räknade exempel

Räknade exempel på båglängd

Varje exempel nedan är fullständigt uträknat så att du kan kontrollera varje steg.

Exempel 1: Cirkelbåge från radie och grader

Givet: radie r = 5 cm, centralvinkel θ = 60°.

Formel: L = rθ, med θ i radianer.

\( \theta = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \)

Insättning: L = 5 × 1.0472.

Svar: L ≈ 5.236 cm.

Exempel 2: Cirkelbåge från radie och radianer

Givet: radie r = 10 m, centralvinkel θ = 1.5 rad.

Formel: L = rθ.

Insättning: L = 10 × 1.5 = 15.

Svar: L = 15 m. Ingen omvandling behövs eftersom vinkeln redan är i radianer.

Exempel 3: Kartesisk kurva y = x² från 0 till 1

Givet: y = x², intervall [0, 1].

Formel: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.

\( \frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx \)
\( L = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|2x + \sqrt{1+4x^{2}}\right| \right]_{0}^{1} \)

Beräkning: vid x = 1 är parentesen lika med (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789; vid x = 0 är den 0.

Svar: L ≈ 1.4789 enheter.

Exempel 4: Parametrisk kvartscirkel

Givet: x = 3cos t, y = 3sin t, t från 0 till π/2.

Formel: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

\( \frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t \)
\( \sqrt{9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{\pi/2} 3\,dt = \frac{3\pi}{2} \)

Svar: L = 3π/2 ≈ 4.7124 enheter, vilket stämmer med den kända kvartsomkretsen av en cirkel med radien 3.

Vinkelenheter

Grader mot radianer

Grader delar ett helt varv i 360 delar; radianer mäter vinkel som båglängd på enhetscirkeln, med ett helt varv lika med 2π radianer (cirka 6.2832). De två enheterna beskriver samma vinklar: 180° är lika med π radianer, 90° är lika med π/2 radianer, och 1 radian är cirka 57.2958°.

Enheten spelar roll eftersom cirkelformeln L = rθ bara är korrekt när θ är i radianer. Att mata in 90 grader som 90 radianer skulle överdriva bågen med en faktor på cirka 57.3. Räknarens DEG/RAD-växlare konverterar åt dig, men dubbelkolla alltid vilken enhet ditt problem använder innan du litar på svaret.

Halvcirklar sida vid sida som jämför gradmarkeringar (0, 90, 180 grader) med radianmarkeringar (0, pi över 2, pi) och visar att 180 grader är lika med pi radianer
Noggrannhetstips

Vanliga båglängdsmisstag

De flesta felaktiga svar beror på fel i upplägget, inte på själva formeln. Gå igenom den här listan innan du litar på ett resultat.

Att använda grader i L = rθ

Cirkelformeln kräver radianer. Att mata in 90 i stället för π/2 blåser upp svaret cirka 57 gånger. Använd DEG/RAD-växlaren eller konvertera först.

Att mata in diameter i stället för radie

L = rθ använder radien. Om ditt problem ger diametern, halvera den först, annars blir ditt svar exakt dubbelt så stort som det korrekta värdet.

Felaktiga integrationsgränser

För y = f(x) är gränserna x-värden; i parametriskt läge är de t-värden; i polärt läge är de vinklar. Att blanda ihop dem mäter fel segment.

Fel formel för kurvtypen

En polär kurva behöver den polära formeln med dess r²-term, och en parametrisk kurva behöver båda derivatorna. Välj det läge som stämmer med hur din kurva är skriven.

För få numeriska delintervall

Simpsons och trapetsregeln förbättras när n växer. Om två körningar med olika n tydligt inte stämmer överens, öka n tills resultatet stabiliseras.

Att behandla approximationer som exakta

Numerisk integration och punkt-till-punkt-summering är approximationer. De konvergerar mot den sanna längden men är inte exakta identiteter som L = rθ för cirklar.

Verkliga användningsfall

Tillämpningar av båglängd

Geometri

Hitta omkretsar av cirkelsektorer, längder av böjda gränser och avstånd längs bågar i byggplaner.

Ingenjörskonst

Uppskatta kabel- och remlängder runt remskivor, rörböjningsmån och material som behövs för böjda delar.

Fysik

Beräkna tillryggalagda sträckor längs böjda banor och koppla bågposition till vinkelrörelse.

Arkitektur

Mät böjda fasader, välvda öppningar och slingrande gångvägsavstånd från ritningar.

Robotik

Beräkna en robotarms spets färdsträcka längs en programmerad böjd bana för att planera tid och energianvändning.

Analys

Öva på att ställa upp och beräkna båglängdsintegraler, den klassiska tillämpningen av integration på geometri.

Datorgrafik

Parametrisera kurvor med båglängd för animation med konstant hastighet och jämnt fördelad sampling längs banor.

Vanliga frågor

Vanliga frågor om båglängd

Vad är en båglängdsräknare?

En båglängdsräknare mäter avståndet längs en kurva mellan två punkter. Du matar in kurvdefinitionen (till exempel radie och vinkel, eller en funktion med intervallgränser) och den returnerar längden, oftast med stegvis uträkning.

Hur beräknar jag båglängd?

För en cirkel multiplicerar du radien med centralvinkeln i radianer (L = rθ). För andra kurvor använder du den matchande integralformeln, eller matar in funktionen i räknaren ovan och väljer rätt läge.

Vilken är formeln för båglängd?

Cirkelformeln är L = rθ. Kartesiska kurvor använder L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, parametriska kurvor L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, polära kurvor L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, och 3D-kurvor lägger till z-termen under roten.

Kan jag beräkna båglängd utan radien?

För cirklar behöver du radien (eller diametern, som är dubbla radien). För allmänna kurvor behöver du ingen radie alls: lägena kartesisk, parametrisk, polär och punkter arbetar från funktioner eller koordinater i stället.

Ska jag använda grader eller radianer?

Använd radianer i formeln L = rθ. Om din vinkel är i grader, konvertera först (radianer = grader × π/180) eller använd räknarens DEG/RAD-växlare, som sköter konverteringen automatiskt.

Vad är skillnaden mellan båglängd och kordalängd?

Båglängden följer kurvan; kordalängden är den raka linjen mellan bågens ändpunkter. Kordan är alltid kortare (c = 2r·sin(θ/2) för en cirkel). Se jämförelsediagrammet i formelavsnittet ovan.

Hur beräknar jag båglängden av en parametrisk kurva?

Mata in x(t) och y(t) med parameterintervallet i läget Parametrisk. Räknaren beräknar ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt över ditt intervall och visar stegen.

Kan båglängd beräknas i 3D?

Ja. Mata in x(t), y(t) och z(t) i 3D-läget. Formeln utvidgar den parametriska versionen med z-derivatan: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.

Vilken enhet använder svaret?

Resultatet använder samma längdenhet som din indata. Om radien är i centimeter är båglängden i centimeter. Vinklarna själva är enhetslösa när de väl konverterats till radianer.

Varför skiljer sig mitt numeriska resultat lite från det exakta värdet?

Numeriska metoder (Simpsons, trapets) approximerar integralen. Öka antalet delintervall n för ett närmare resultat, och jämför mot ett känt fall för att bekräfta ditt upplägg.