Kalkulator Panjang Arka

Alat matematik premium untuk mengira panjang lengkok yang tepat bagi bulatan, lengkung dan persamaan parametrik dengan maklum balas visual langsung.

Percuma digunakan ·Tiada pendaftaran ·Berjalan dalam pelayar anda

Formula Panjang Arka
L=r⋅θL = r \cdot \theta
0°360°
Paparan rajah
◯
Alat Bulatan

Jejari dan sudut, dengan luas sektor dan perentas.
∫
Parametrik

Lengkung x(t) dan y(t) pada sebarang selang.
ρ
Alat Kutub

Lengkung dalam bentuk r(θ) secara kutub.
ƒ
Langkah Penuh

Panjang lengkok Cartes dengan setiap langkah ditunjukkan.
◊
Ruang 3D

Lengkung ruang x(t), y(t), dan z(t).
Σ
Petua Simpson

Pengamiran berangka dengan petua Simpson.
△
Petua Trapezium

Pengamiran berangka, petua trapezium.
⋯
Dari Titik

Panjang laluan melalui titik-titik koordinat.
Arka Elips

Panjang arka sebarang elips daripada paksi dan sudutnya.
Arka Parabola

Panjang arka sebarang parabola daripada persamaannya.
Arka Semibulatan

Panjang lengkok sebarang semibulatan daripada jejari atau diameter.
Arka Sektor

Panjang lengkok sektor bulatan daripada jejari dan sudut.
Peraturan Titik Tengah

Panjang lengkok dengan peraturan titik tengah, berserta segi empat tepat dan semakan ralat.
Navigasi Pantas Kira Dalam TalianKaedahPanduan FormulaContoh KerjaDarjah lawan RadianKesilapanAplikasiSoalan Lazim
Kaedah

Kaedah Kalkulator Panjang Lengkok

Kalkulator di atas mempunyai tujuh mod. Setiap satunya sepadan dengan format input piawai daripada kalkulus. Pilih mod yang inputnya menyerupai masalah anda.

ModInput diperlukanBila digunakan
BulatanJejari r, sudut pusat θBulatan, sektor, roda, lengkok
CartesianFungsi y = f(x), selang [a, b]Graf fungsi
Parametrikx(t), y(t), selang [a, b]Lintasan gerakan, gelung, lengkung menegak
Kutubr(θ), selang sudut [α, β]Spiral, kardioid, graf kutub
Berangkaf(x), selang, subbahagian nKamiran tanpa bentuk tertutup
TitikSenarai koordinat (x, y)Jejak GPS, data sampel
3Dx(t), y(t), z(t), selang [a, b]Lengkung ruang, heliks

Panjang Lengkok Bulatan

Masukkan jejari r dan sudut pusat θ. Alat ini mengira panjang lengkok dengan L = rθ, dan turut melaporkan luas sektor serta panjang perentas daripada dua input yang sama. Tukar antara darjah dan radian dengan togol DEG/RAD.

\( L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians}) \)

Lengkung Cartes

Masukkan fungsi y = f(x) serta nilai x mula dan akhir a dan b. Kalkulator menerbitkan fungsi itu, membina pengamiran, dan menilai kamiran tentu secara berangka dengan langkah penuh ditunjukkan. Untuk penerbitan lengkap, cuba kalkulator panjang lengkok dengan langkah.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
Lengkung Cartes y = f(x) dengan segmen panjang lengkok antara a dan b diserlahkan, dan unsur kebezaan ds ditunjukkan

Lengkung Parametrik

Masukkan x(t) dan y(t) dengan selang parameternya. Mod ini sesuai untuk laluan yang digambarkan oleh gerakan terhadap masa, di mana tiada satu koordinat pun merupakan fungsi langsung bagi koordinat yang satu lagi. Untuk alat khusus, lihat kalkulator panjang lengkok parametrik.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Lengkung Kutub

Masukkan r sebagai fungsi θ dengan selang sudutnya. Sesuai untuk lingkaran, kardioid, dan lengkung lain yang paling wajar ditulis dalam bentuk kutub. kalkulator panjang lengkok kutub yang berdiri sendiri juga tersedia.

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

Pengamiran Berangka

Masukkan f(x), selang, dan bilangan subinterval n, kemudian pilih petua Simpson atau petua trapezium. Mod ini berguna apabila kamiran panjang lengkok tiada antiterbitan asas atau apabila anda ingin membandingkan kaedah berangka. Kalkulator petua Simpson dan petua trapezium khusus menunjukkan kerja penuh.

Titik Koordinat

Tampal atau taip senarai titik (x, y). Kalkulator menjumlahkan jarak garis lurus antara titik-titik berturutan, yang menghampiri panjang laluan melalui data sampel seperti trek GPS. Lihat juga alat panjang lengkok dari titik khusus.

\( L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_{i})^{2} + (\Delta y_{i})^{2}} \)

Lengkung 3D

Masukkan x(t), y(t), dan z(t) dengan selang parameter untuk mengukur panjang lengkung ruang, contohnya heliks atau trajektori 3D. kalkulator panjang lengkok 3D khusus menawarkan pengiraan yang sama di halamannya sendiri.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
Panduan Formula

Formula Panjang Lengkok

Setiap formula panjang lengkok di bawah mengukur idea yang sama: menjumlahkan segmen-segmen lurus yang sangat kecil sepanjang lengkung. Formula yang betul bergantung pada cara lengkung itu digambarkan.

Bulatan dengan lengkok diserlahkan yang menunjukkan jejari r, sudut pusat theta, dan panjang lengkok L, menggambarkan formula L = r darab theta

Bulatan: L = rθ

\( L = r\theta \)

Di sini r ialah jejari dan θ ialah sudut pusat dalam radian. Panjang lengkok membawa unit yang sama seperti r: jejari dalam meter memberikan panjang lengkok dalam meter. Ini kes paling mudah kerana bulatan mempunyai kelengkungan yang malar.

Cartes: kamiran bagi √(1 + (dy/dx)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)

Gunakan apabila lengkungnya y = f(x) antara x = a dan x = b. Sebutan dy/dx ialah kecerunan; di bahagian lengkung yang curam, setiap dx menyumbang lebih panjang. Had a dan b ialah nilai x, bukan kedudukan lengkok.

Parametrik: kamiran bagi √((dx/dt)² + (dy/dt)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Gunakan apabila x dan y kedua-duanya fungsi bagi parameter t, dengan t berjalan dari a ke b. Ini mengendalikan lengkung yang bergelung atau menegak, di mana y tidak boleh ditulis sebagai fungsi bagi x.

Kutub: kamiran bagi √(r² + (dr/dθ)²)

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

Gunakan apabila lengkungnya r = r(θ) dengan θ dari α ke β. Sebutan r² mengambil kira sapuan membulat manakala (dr/dθ)² mengambil kira perubahan jejarian.

3D: kamiran bagi √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Sambungan wajar formula parametrik ke tiga dimensi: tambahkan halaju z yang dikuasa duakan di bawah punca.

Bulatan yang membandingkan panjang lengkok melengkung L dengan panjang perentas lurus c antara dua titik hujung yang sama

Panjang lengkok L mengikut lengkung; panjang perentas c memotong terus. Lengkok sentiasa lebih panjang, kecuali dalam kes had sudut sifar.

Arahan

Cara Menggunakan Kalkulator Panjang Lengkok

  1. 01Pilih mod yang sepadan dengan input anda: Bulatan, Cartes, Parametrik, Kutub, Berangka, Titik, atau 3D.
  2. 02Masukkan nilainya. Untuk bulatan, taip jejari dan sudut pusat. Untuk lengkung, taip fungsi dan had selang.
  3. 03Tetapkan unit sudut (mod bulatan): pilih DEG untuk darjah atau RAD untuk radian dengan togol di atas kalkulator.
  4. 04Baca hasilnya. Panjang lengkok muncul dengan kerja langkah demi langkah. Mod bulatan turut menunjukkan luas sektor dan panjang perentas.
  5. 05Cuba contoh dengan butang "Try Example" dalam mana-mana mod untuk melihat format input yang betul sebelum menaip sendiri.
Contoh Kerja

Contoh Pengiraan Panjang Lengkok

Setiap contoh di bawah dikerjakan sepenuhnya supaya anda boleh mengesahkan setiap langkah.

Contoh 1: Lengkok bulatan daripada jejari dan darjah

Diberi: jejari r = 5 cm, sudut pusat θ = 60°.

Formula: L = rθ, dengan θ dalam radian.

\( \theta = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \)

Penggantian: L = 5 × 1.0472.

Jawapan: L ≈ 5.236 cm.

Contoh 2: Lengkok bulatan daripada jejari dan radian

Diberi: jejari r = 10 m, sudut pusat θ = 1.5 rad.

Formula: L = rθ.

Penggantian: L = 10 × 1.5 = 15.

Jawapan: L = 15 m. Tiada penukaran diperlukan kerana sudutnya sudah dalam radian.

Contoh 3: Lengkung Cartes y = x² dari 0 hingga 1

Diberi: y = x², selang [0, 1].

Formula: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.

\( \frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx \)
\( L = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|2x + \sqrt{1+4x^{2}}\right| \right]_{0}^{1} \)

Pengiraan: pada x = 1 nilai kurungannya ialah (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789; pada x = 0 nilainya 0.

Jawapan: L ≈ 1.4789 unit.

Contoh 4: Suku bulatan parametrik

Diberi: x = 3cos t, y = 3sin t, t dari 0 hingga π/2.

Formula: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

\( \frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t \)
\( \sqrt{9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{\pi/2} 3\,dt = \frac{3\pi}{2} \)

Jawapan: L = 3π/2 ≈ 4.7124 unit, yang sepadan dengan suku lilitan bulatan berjejari 3 yang diketahui.

Unit Sudut

Darjah lawan Radian

Darjah membahagikan satu pusingan penuh kepada 360 bahagian; radian mengukur sudut mengikut panjang lengkok pada bulatan unit, dengan satu pusingan penuh bersamaan 2π radian (kira-kira 6.2832). Kedua-dua unit menggambarkan sudut yang sama: 180° bersamaan π radian, 90° bersamaan π/2 radian, dan 1 radian kira-kira 57.2958°.

Unit ini penting kerana formula bulatan L = rθ hanya betul apabila θ dalam radian. Memasukkan 90 darjah sebagai 90 radian akan melebihkan lengkok kira-kira 57.3 kali ganda. Togol DEG/RAD kalkulator menukarkannya untuk anda, tetapi sentiasa semak semula unit yang digunakan masalah anda sebelum mempercayai output.

Dua semibulatan bersebelahan yang membandingkan tanda darjah (0, 90, 180 darjah) dengan tanda radian (0, pi per 2, pi), menunjukkan 180 darjah bersamaan pi radian
Tip Ketepatan

Kesilapan Lazim Panjang Lengkok

Kebanyakan jawapan salah berpunca daripada kesilapan persediaan, bukan daripada formulanya sendiri. Semak senarai ini sebelum mempercayai sesuatu hasil.

Menggunakan darjah dalam L = rθ

Formula bulatan memerlukan radian. Memasukkan 90 dan bukan π/2 membesarkan jawapan kira-kira 57 kali ganda. Gunakan togol DEG/RAD atau tukar dahulu.

Memasukkan diameter dan bukan jejari

L = rθ menggunakan jejari. Jika masalah anda memberi diameter, bahagikan dua dahulu atau jawapan anda akan tepat dua kali ganda nilai yang betul.

Had pengamiran yang salah

Untuk y = f(x) hadnya ialah nilai x; untuk mod parametrik hadnya nilai t; untuk kutub hadnya sudut. Mencampurkannya akan mengukur segmen yang salah.

Formula salah untuk jenis lengkung

Lengkung kutub memerlukan formula kutub dengan sebutan r²nya, dan lengkung parametrik memerlukan kedua-dua terbitan. Pilih mod yang sepadan dengan cara lengkung anda ditulis.

Subinterval berangka terlalu sedikit

Petua Simpson dan trapezium bertambah baik apabila n bertambah. Jika dua larian dengan n berbeza jelas tidak sepadan, naikkan n sehingga hasilnya stabil.

Menganggap penghampiran sebagai tepat

Pengamiran berangka dan penjumlahan titik ke titik ialah penghampiran. Kedua-duanya menumpu kepada panjang sebenar tetapi bukan identiti tepat seperti L = rθ untuk bulatan.

Kes Penggunaan Sebenar

Aplikasi Panjang Lengkok

Geometri

Mencari perimeter sektor bulatan, panjang sempadan melengkung, dan jarak sepanjang lengkok dalam susun atur pembinaan.

Kejuruteraan

Menganggar panjang kabel dan tali sawat di sekeliling takal, elaun bengkokan paip, dan bahan yang diperlukan untuk komponen melengkung.

Fizik

Mengira jarak yang dilalui sepanjang trajektori melengkung dan mengaitkan kedudukan lengkok dengan gerakan sudut.

Seni Bina

Mengukur fasad melengkung, bukaan berkubah, dan jarak laluan pejalan kaki yang berliku daripada lukisan pelan.

Robotik

Mengira jarak perjalanan hujung lengan robot sepanjang laluan melengkung yang diprogramkan untuk merancang masa dan penggunaan tenaga.

Kalkulus

Berlatih menyediakan dan menilai kamiran panjang lengkok, aplikasi klasik pengamiran kepada geometri.

Grafik Komputer

Memparameterkan lengkung mengikut panjang lengkok untuk animasi berkelajuan malar dan pensampelan sekata sepanjang laluan.

Soalan Lazim

Soalan Lazim Tentang Panjang Lengkok

Apakah kalkulator panjang lengkok?

Kalkulator panjang lengkok mengukur jarak sepanjang sesuatu lengkung antara dua titik. Anda memasukkan takrifan lengkung (contohnya jejari dan sudut, atau fungsi dengan had selang) dan ia mengembalikan panjangnya, biasanya dengan kerja langkah demi langkah.

Bagaimanakah saya mengira panjang lengkok?

Untuk bulatan, darabkan jejari dengan sudut pusat dalam radian (L = rθ). Untuk lengkung lain, gunakan formula kamiran yang sepadan, atau masukkan fungsi ke dalam kalkulator di atas dan pilih mod yang betul.

Apakah formula untuk panjang lengkok?

Formula bulatan ialah L = rθ. Lengkung Cartes menggunakan L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, lengkung parametrik menggunakan L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, lengkung kutub menggunakan L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, dan lengkung 3D menambah sebutan z di bawah punca.

Bolehkah saya mengira panjang lengkok tanpa jejari?

Untuk bulatan anda memerlukan jejari (atau diameter, iaitu dua kali jejari). Untuk lengkung umum anda langsung tidak memerlukan jejari: mod Cartes, parametrik, kutub, dan titik berfungsi daripada fungsi atau koordinat.

Patutkah saya menggunakan darjah atau radian?

Gunakan radian dalam formula L = rθ. Jika sudut anda dalam darjah, tukar dahulu (radian = darjah × π/180) atau gunakan togol DEG/RAD kalkulator, yang mengendalikan penukaran secara automatik.

Apakah perbezaan antara panjang lengkok dengan panjang perentas?

Panjang lengkok mengikut lengkung; panjang perentas ialah garis lurus antara titik-titik hujung lengkok. Perentas sentiasa lebih pendek (c = 2r·sin(θ/2) untuk bulatan). Lihat rajah perbandingan dalam bahagian formula di atas.

Bagaimanakah saya mengira panjang lengkok lengkung parametrik?

Masukkan x(t) dan y(t) dengan selang parameter ke dalam mod Parametrik. Kalkulator menilai ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt pada selang anda dan menunjukkan langkah-langkahnya.

Bolehkah panjang lengkok dikira dalam 3D?

Ya. Masukkan x(t), y(t), dan z(t) ke dalam mod 3D. Formulanya melanjutkan versi parametrik dengan terbitan z: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.

Unit apakah yang digunakan jawapannya?

Hasil menggunakan unit panjang yang sama seperti input anda. Jika jejari dalam sentimeter, panjang lengkok dalam sentimeter. Sudut sendiri tidak berunit setelah ditukar kepada radian.

Mengapakah hasil berangka saya sedikit berbeza daripada nilai tepatnya?

Kaedah berangka (Simpson, trapezium) menghampiri kamiran. Naikkan bilangan subinterval n untuk hasil yang lebih hampir, dan bandingkan dengan kes yang diketahui untuk mengesahkan persediaan anda.