Kalkulator Peraturan Trapezoid

Kalkulator Peraturan Trapezoid menganggarkan panjang lengkung secara berangka. Ia menggunakan peraturan trapezoid komposit pada kamiran panjang lengkung fungsi yang anda masukkan. Ikuti langkah-langkah ini untuk mendapatkan anggaran pertama dalam masa kurang seminit.

1. Masukkan fungsi. Taip f(x) dalam medan fungsi, contohnya x^2, sin(x), atau ln(x+1). Gunakan ^ untuk kuasa dan nama fungsi piawai seperti sin, cos, exp, dan ln.
2. Masukkan nilai permulaan. Tetapkan a, batas bawah pengamiran. Untuk segmen lengkung dari x = 0 hingga x = 1, masukkan 0.
3. Masukkan nilai akhir. Tetapkan b, batas atas pengamiran. Kalkulator memerlukan b > a.
4. Pilih subbahagian. Masukkan n, bilangan subselang yang sama. Percubaan pertama dengan n = 10 sesuai untuk lengkung licin.
5. Pilih kaedah trapezoid. Dalam antara muka pengamiran berangka, pilih peraturan trapezoid supaya formula panel di bawah adalah yang digunakan.
6. Klik Kira. Alat ini menilai kamiran panjang lengkung pada n + 1 titik sampel, menggunakan pemberat titik hujung, dan memaparkan penghampiran.
7. Tafsir hasilnya. Nombor yang dipaparkan ialah anggaran panjang lengkung antara x = a dan x = b, dalam unit panjang yang sama dengan nilai x anda.
8. Tingkatkan ketepatan. Gandakan n dan kira semula. Apabila dua anggaran berturutan hampir tidak berubah, hasilnya telah menumpu untuk tujuan praktikal.

Berikut ialah kawalan setiap input:

Memasukkan f(x) = x², a = 0, b = 1, dan n = 10 menghasilkan anggaran panjang lengkung hampir 1.479, yang dekat dengan nilai tepat 1.478943. Selebihnya panduan ini menerangkan dengan tepat apa yang dikira oleh kalkulator dan cara menilai kualiti jawapannya.

Peraturan trapezoid ialah kaedah pengamiran berangka. Ia menganggarkan kamiran tentu dengan menggantikan luas di bawah lengkung dengan luas trapezoid yang dilukis di bawah kamiran. Setiap trapezoid dibina daripada dua titik sampel bersebelahan, dan jumlah semua luas trapezoid menganggarkan kamiran itu.

Namanya berasal daripada geometri. Antara dua titik sampel x_i dan x_i+1, kamiran g(x) digantikan dengan garis lurus. Kawasan di bawah garis lurus itu ialah trapezoid: dua sisi menegak selari dengan ketinggian g(x_i) dan g(x_i+1), dan lebar mengufuk h = x_i+1 - x_i.

Satu trapezoid mempunyai luas h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]. Menambah luas semua n trapezoid memberikan penghampiran trapezoid komposit bagi kamiran itu. Perkataan "komposit" bermaksud selang itu dibahagikan kepada beberapa panel, bukan satu sahaja.

Peraturan ini tergolong dalam keluarga kaedah kuadratur berangka. Ia dihargai kerana ketelusannya: setiap langkah mempunyai makna geometri yang jelas, dan satu-satunya parameter ialah bilangan subbahagian n. Idea utamanya mudah dinyatakan: panel yang lebih sempit dan lurus mengikuti kamiran dengan lebih rapat, jadi anggaran bertambah baik apabila n bertambah.

Untuk panjang lengkung, kamirannya bukan fungsi asal f(x). Ia ialah kamiran panjang lengkung g(x) = √(1 + (f'(x))²), yang mengukur seberapa cepat panjang terkumpul sepanjang lengkung. Membezakan kedua-duanya dengan jelas mengelakkan salah faham paling biasa tentang kaedah ini.

Formula peraturan trapezoid mempunyai dua bentuk: versi satu panel dan versi komposit yang digunakan dalam amalan. Kedua-duanya berasal daripada geometri trapezoid yang sama.

Formula satu panel. Dengan satu trapezoid meliputi seluruh selang:

Lebar (b - a) didarab dengan purata dua ketinggian titik hujung. Ini tepat sekali luas satu trapezoid.

Formula komposit. Bahagikan [a, b] kepada n subselang sama dengan lebar h = (b - a)/n, dengan titik sampel x₀ = a, x₁ = a + h, ..., x_n = b:

Setiap simbol mempunyai makna yang tetap:

• T_n ialah penghampiran berangka dengan n panel.
• h ialah lebar subselang, (b - a)/n.
• a dan b ialah batas bawah dan atas pengamiran.
• n ialah bilangan subselang, integer positif.
• x_i ialah titik sampel, berjarak h antara satu sama lain.
• g(x_i) ialah nilai kamiran pada titik-titik tersebut.

Titik hujung menerima separuh pemberat kerana setiap titik sampel dalaman dikongsi oleh dua trapezoid bersebelahan, manakala setiap titik hujung hanya dimiliki oleh satu trapezoid. Secara algebra, sebutan bersebelahan h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)] bergabung supaya nilai dalaman dikira penuh dan dua nilai luar dikira separuh.

Pengiraan kerja yang ringkas. Anggarkan ∫₀¹ x² dx dengan n = 2. Maka h = 0.5, x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1, dan T₂ = 0.5 · [0/2 + 0.25 + 1/2] = 0.5 · 0.75 = 0.375. Kamiran tepat ialah 1/3 ≈ 0.333, jadi anggaran kasar dua panel berada dalam lingkungan yang betul, dengan ruang untuk penambahbaikan.

Panjang lengkung ialah kamiran, jadi peraturan trapezoid digunakan terus padanya. Lengkung y = f(x) mempunyai panjang lengkung dari x = a hingga x = b yang diberikan oleh:

Kalkulator membentuk kamiran panjang lengkung g(x) = √(1 + (f'(x))²) dan memasukkannya ke dalam formula trapezoid komposit. Prosedur lengkapnya ialah:

1. Mulakan dengan y = f(x). Pastikan fungsi boleh diterbitkan pada [a, b].
2. Cari terbitan f'(x). Alat ini menerbitkan ungkapan yang dimasukkan secara dalaman.
3. Kuasa duakan terbitan. Bentuk (f'(x))². Mengkuasa dua menghilangkan maklumat tanda kerana panjang terkumpul tanpa mengira arah kecerunan.
4. Tambah 1. Kamirannya ialah 1 + (f'(x))², yang tidak pernah lebih kecil daripada 1.
5. Ambil punca kuasa dua. Ini memberikan g(x), kadar setempat panjang terkumpul per unit x.
6. Bahagikan selang. Pilih n dan kira h = (b - a)/n.
7. Nilai kamiran. Kira g(x₀), ..., g(x_n) pada titik sampel.
8. Gunakan peraturan komposit. Gabungkan nilai-nilai itu dengan separuh pemberat pada titik hujung.
9. Tafsir hasilnya. Jumlah itu ialah anggaran panjang segmen lengkung.

Terbitan dikuasa dua kemudian diletakkan di bawah punca kuasa dua atas sebab geometri: segmen lengkung kecil selebar dx dan setinggi dy mempunyai panjang √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx menurut teorem Pythagoras. Mengamirkan panjang setempat itu pada [a, b] memberikan jumlah panjang, dan peraturan trapezoid menganggarkan kamiran itu.

Kamiran itu sentiasa bukan negatif kerana 1 + (f'(x))² sekurang-kurangnya 1. Nilai minimumnya ialah 1, dicapai di mana-mana lengkung itu rata. Kecerunan yang lebih curam menjadikan g(x) lebih besar, dan inilah sebabnya lengkung curam lebih panjang daripada lengkung landai pada selang x yang sama.

Contoh kerja penuh ini menunjukkan setiap nombor yang dihasilkan oleh peraturan trapezoid. Gunakan f(x) = x² pada [0, 1] dengan n = 4.

1. Terbitan. f'(x) = 2x.

2. Kamiran. g(x) = √(1 + (2x)²) = √(1 + 4x²).

3. Saiz langkah. h = (1 - 0)/4 = 0.25.

4. Titik sampel. 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

5. Nilai kamiran dan pemberat.

6. Jumlah berpemberat. 1.000000/2 + 1.118034 + 1.414214 + 1.802776 + 2.236068/2 = 5.953057.

7. Darab dengan h.

8. Bandingkan dengan nilai tepat. Panjang lengkung tepat ialah L = √5/2 + asinh(2)/4 ≈ 1.478943. Anggaran n = 4 iaitu 1.488264 melebihinya sebanyak 0.009321, ralat kira-kira 0.63%. Mengulang dengan n = 8 memberikan 1.481272, sudah dalam 0.002330 daripada nilai tepat.

Perhatikan anggaran itu lebih besar daripada nilai tepat. Untuk kamiran cembung ini, perentas garis lurus terletak di atas lengkung, jadi peraturan trapezoid menganggar berlebihan. Kelakuan sistematik ini adalah normal, dan anggaran berlebihan itu mengecil apabila n bertambah.

Bilangan subbahagian n dan saiz langkah h dikaitkan oleh h = (b - a)/n. Bersama-sama, kedua-duanya mengawal seberapa halus kamiran disampel dan seberapa tepat anggarannya.

Apa yang diwakili oleh n. Ia ialah bilangan panel trapezoid, integer positif. Bilangan titik sampel sentiasa n + 1 kerana panel berturutan berkongsi titik sempadannya.

Mengapa n = 1 ialah peraturan satu panel. Dengan n = 1, h = b - a dan T₁ = h/2 · [g(a) + g(b)]. Ini ialah bentuk paling kasar kaedah ini dan jarang cukup tepat.

Lebar panel pada [0, 1]. Jadual di bawah menunjukkan bagaimana h mengecil apabila n bertambah:

Panel yang lebih kecil mengikuti kamiran dengan lebih rapat, jadi penghampiran garis lurus di dalam setiap panel menyimpang lebih sedikit daripada lengkung sebenar. Itulah sebabnya menambah n biasanya meningkatkan ketepatan. Pertukarannya ialah pengiraan: setiap panel baharu memerlukan satu lagi penilaian fungsi.

Lebih banyak subbahagian tidak menjamin hasil yang lebih baik secara mutlak untuk setiap kamiran. Kamiran yang tidak licin atau berayun boleh menunjukkan kelakuan ralat yang tidak sekata, dan pembundaran titik terapung akhirnya mengehadkan penambahbaikan pada n yang sangat besar. Namun, untuk lengkung licin seperti dalam panduan ini, penambahbaikannya mantap dan boleh diramalkan.

Strategi praktikal: mulakan dengan n = 10 atau n = 20, kemudian gandakan n sehingga anggaran berhenti berubah pada kepersisan yang anda perlukan. Semakan penumpuan ini lebih boleh dipercayai daripada mempercayai sebarang nilai tunggal n.

Enam contoh merangkumi julat daripada kes tepat hingga fungsi yang panjang lengkungnya tiada bentuk tertutup asas. Setiap satu menunjukkan terbitan, kamiran, penggantian, dan hasil berangka.

Contoh 1: Garis lurus, f(x) = 2x pada [0, 3]. Terbitannya ialah f'(x) = 2, pemalar, jadi kamirannya ialah g(x) = √(1 + 4) = √5, juga pemalar. Satu panel adalah tepat kerana kamiran tidak pernah melengkung: T₁ = 3 · √5 ≈ 6.708204. Panjang tepat 3√5 sepadan. Ini mengesahkan peraturannya: peraturan trapezoid tepat apabila kamiran adalah linear atau pemalar.

Contoh 2: Kuadratik, f(x) = x² pada [0, 1], n = 4. Dengan f'(x) = 2x dan g(x) = √(1 + 4x²), pengiraan penuh dalam bahagian sebelum ini memberikan L ≈ 1.488264, berbanding nilai tepat 1.478943. Jurang kecil ini berpunca daripada kamiran cembung; perentas yang dilukis di atas lengkung menambah luas tambahan.

Contoh 3: Kuadratik lebih panjang, f(x) = x² pada [0, 2], n = 8. Di sini h = 0.25 sekali lagi, tetapi selangnya dua kali lebih panjang dan kamirannya lebih curam. Anggarannya ialah T₈ = 4.656890. Pengiraan beresolusi tinggi memberikan 4.646784, jadi ralatnya kira-kira 0.010106. Memanjangkan selang bukan sekadar menskalakan jawapan: kamiran bertambah dengan x, jadi panjang lengkung bertambah lebih cepat daripada panjang selang.

Contoh 4: Lengkung sinus, f(x) = sin x pada [0, π]. Terbitannya ialah f'(x) = cos x, memberikan g(x) = √(1 + cos²x). Dengan n = 8, anggarannya ialah 3.820198; dengan n = 16, ia ialah 3.820198, tidak berubah pada enam tempat perpuluhan. Kamiran simetri menumpu dengan cepat kerana kelengkungannya lembut dan teragih sekata. (Masukkan sudut dalam radian; darjah akan menghasilkan lengkung yang berbeza.)

Contoh 5: Logaritma, f(x) = ln(x + 1) pada [0, 2], n = 10. Terbitannya ialah f'(x) = 1/(x + 1), jadi g(x) = √(1 + 1/(x + 1)²). Domain memerlukan x > -1, yang dipenuhi oleh selang ini. Anggarannya ialah T₁₀ = 2.304215, manakala pengiraan tertapis memberikan 2.301988, ralat kira-kira 0.002227. Berhampiran x = 0 kecerunan paling curam, jadi sebahagian besar panjang terkumpul awal dalam selang itu.

Contoh 6: Kubik, f(x) = x³ pada [0, 1], n = 10. Di sini f'(x) = 3x² dan g(x) = √(1 + 9x⁴). Panjang lengkung ini tiada antiterbitan asas, dan inilah tepatnya masa pengamiran berangka memainkan peranannya. Anggarannya ialah T₁₀ = 1.552609 berbanding nilai tertapis 1.547866, ralat kira-kira 0.004743. Tanpa kaedah berangka, panjang ini sangat sukar diperoleh.

Setiap hasil di atas dikira terus daripada formula komposit, dibundarkan kepada enam tempat perpuluhan. Mengulangi mana-mana ini dalam kalkulator dengan n yang sama menghasilkan semula digit yang sama.

Penumpuan bermaksud penghampiran menghampiri nilai sebenar apabila n bertambah. Jadual di bawah menjejak f(x) = x² pada [0, 1], yang panjang tepatnya ialah 1.478943:

Setiap kali n digandakan, ralat turun kira-kira faktor empat: 0.037181 kepada 0.009321 kepada 0.002330 kepada 0.000582 kepada 0.000146 kepada 0.000036. Ini ialah penumpuan tertib kedua, ciri khas peraturan trapezoid komposit pada kamiran licin. Mengseparuhkan h memotong sebutan ralat utama kepada kira-kira satu perempat.

Lajur "perubahan daripada sebelumnya" ialah semakan penumpuan praktikal yang disarankan oleh aliran kerja kalkulator. Apabila menggandakan n mengubah jawapan kurang daripada kepersisan yang anda perlukan, anggaran itu stabil. Untuk lengkung ini, n = 16 sudah mengunci panjang dalam 0.000582 daripada nilai sebenar.

Ralat peraturan trapezoid komposit mempunyai bentuk matematik yang tepat. Untuk kamiran g yang cukup licin pada [a, b]:

untuk sesetengah ξ dalam [a, b]. Tandanya penting: apabila g'' positif (kamiran cembung), ralatnya negatif, bermaksud T_n menganggar kamiran secara berlebihan. Ini sepadan dengan contoh x², di mana setiap anggaran melebihi nilai tepat 1.478943.

Batas yang terjamin diperoleh dengan menggantikan g''(ξ) dengan magnitud maksimumnya M = max|g''(x)| pada [a, b]:

Istilah utama. Ralat mutlak ialah |I - T_n|, jarak antara nilai sebenar dan anggaran. Ralat relatif membahagikannya dengan |I|. Ralat pemangkasan ialah ralat daripada menganggarkan kamiran dengan hasil tambah terhingga, berbeza dengan ralat pembundaran daripada aritmetik berketepatan terhingga. Terbitan kedua g'' mengukur kelengkungan kamiran, iaitu apa yang gagal ditangkap oleh panel garis lurus.

Batas konkrit untuk contoh x². Pada [0, 1], g''(x) = 4/(1 + 4x²)^3/2, terbesar pada x = 0 dengan M = 4. Batas itu memberikan |I - T₄| ≤ 4/(12 · 16) = 0.020833. Ralat sebenar 0.009321 selesa di dalamnya. Batas adalah konservatif mengikut reka bentuk; ia menjanjikan siling, bukan ralat tepat.

Dua amaran. Pertama, g ialah kamiran panjang lengkung, bukan f yang asal. Menerbitkan dua kali melalui punca kuasa dua itulah yang digambarkan oleh M. Kedua, batas ralat boleh menyakitkan untuk dikira bagi fungsi yang rumit kerana M sendiri mungkin perlu dimaksimumkan. Dalam amalan, semakan penumpuan dengan menggandakan n ialah alat yang lebih berguna, dan kalkulator tidak memaparkan batas ralat automatik.

Peraturan Simpson ialah saudara terdekat peraturan trapezoid. Kedua-duanya membahagikan [a, b] kepada subselang sama, tetapi Simpson memadankan parabola melalui tiga titik berturutan manakala peraturan trapezoid melukis satu perentas lurus melalui dua titik.

Pada kamiran licin, penumpuan tertib keempat Simpson biasanya menang: menggandakan n memotong ralatnya kira-kira enam belas, berbanding empat untuk peraturan trapezoid. Tetapi Simpson tidak semestinya lebih baik dalam semua keadaan. Untuk kamiran kasar atau tidak selanjar, kedua-dua kaedah merosot, dan tertib ketepatan tambahan mungkin tidak menjadi kenyataan. Peraturan trapezoid juga menerima n ganjil, yang memudahkan semakan pantas.

Aliran kerja yang kukuh menggunakan kedua-duanya: anggaran trapezoid sebagai garis asas yang telus, dan Peraturan Simpson untuk kepersisan lebih tinggi. Apabila kedua-duanya bersetuju pada digit yang anda perlukan, keyakinan adalah tinggi. Apabila kedua-duanya tidak bersetuju, tambah n sebelum mempercayai mana-mana.

Dua idea berbeza yang "seperti trapezoid" mudah dikelirukan. Kedua-duanya menghasilkan nombor berbeza untuk lengkung yang sama, jadi perbezaannya penting.

Kaedah 1: Pengamiran trapezoid bagi kamiran panjang lengkung. Inilah yang dilakukan oleh kalkulator. Ia mengamirkan g(x) = √(1 + (f'(x))²) dengan panel trapezoid yang dilukis di bawah lengkung kamiran:

Kaedah 2: Penghampiran poligon (hasil tambah perentas) bagi lengkung asal. Ini menghubungkan titik bersebelahan pada lengkung itu sendiri dengan segmen lurus dan menambah panjangnya:

Hasil tambah perentas menghubungkan titik (x_i, f(x_i)) pada lengkung asal. Panel trapezoid pula menganggarkan luas di bawah kamiran g(x). Panel-panel itu tidak mewakili segmen lurus lengkung asal, walaupun kedua-dua gambaran melibatkan garis lurus.

Kedua-dua kaedah menumpu kepada panjang sebenar apabila n bertambah, dan kedua-duanya ialah alat berangka yang sah. Kalkulator pada halaman ini melaksanakan Kaedah 1. Jika anda memerlukan hasil tambah perentas daripada data koordinat, alat panjang lengkung daripada titik mengikuti Kaedah 2.

Peraturan trapezoid ialah pilihan tepat apabila kesederhanaan dan ketelusan lebih penting daripada memerah digit ketepatan terakhir.

• Mempelajari pengamiran berangka. Setiap langkah mempunyai makna geometri yang jelas, yang menjadikannya kaedah pertama piawai dalam kursus kalkulus.
• Menganggarkan panjang lengkung dengan pantas. Beberapa panel sahaja sering memberikan dua atau tiga digit betul untuk lengkung licin.
• Menyemak penyelesaian analitik. Bandingkan panjang lengkung terbitan tangan dengan anggaran berangka bebas.
• Model kejuruteraan dan fizik. Anggaran panjang untuk kabel, gerbang, dan trajektori di mana nilai hampiran dimasukkan ke dalam pengiraan yang lebih besar.
• Membandingkan kaedah berangka. Ia ialah garis asas yang menjadi penanda aras Peraturan Simpson dan kaedah tertib lebih tinggi.
• Fungsi tersampel yang licin. Apabila f licin dan n boleh sederhana, kaedah ini boleh diharap.
• Pengesahan pendidikan. Kelakuannya O(h²) yang boleh diramalkan memudahkan semakan penumpuan ditafsir.

Gunakan kaedah berbeza apabila kamiran berubah dengan pantas, mempunyai bengkokan tajam atau ketaksinanjaran, atau apabila kepersisan tinggi diperlukan pada kos rendah. Untuk lengkung licin, Peraturan Simpson biasanya memberikan lebih banyak digit per panel. Untuk lengkung parametrik, kutub, atau ruang, gunakan kalkulator khusus parametrik, kutub, atau panjang lengkung 3D, yang menggunakan idea berangka yang sama dalam sistem koordinat yang betul.

Ini ialah kesilapan yang paling kerap muncul dalam kerja pelajar dan dalam soalan sokongan. Setiap satu mudah dielakkan apabila anda tahu ia wujud.

1. Memasukkan batas pengamiran yang salah. Segmen [0, 2] bukan bahagian lengkung yang sama dengan [2, 0]. Sentiasa pastikan a < b dan batas sepadan dengan soalan.
2. Menggunakan fungsi yang salah. Salah taip seperti x^3 bukannya x^2 mengubah terbitan dan setiap nilai selepasnya.
3. Melupakan terbitan dalam formula panjang lengkung. Panjang lengkung mengamirkan √(1 + (f')²), bukan f itu sendiri.
4. Menggunakan peraturan terus pada f(x) untuk panjang lengkung. Panel mesti berada di bawah g(x). Mengamirkan f(x) mengira luas bertanda, bukan panjang.
5. Memilih terlalu sedikit subbahagian. n = 2 pada kamiran melengkung boleh tersasar beberapa peratus; contoh x² mempunyai ralat 2.5% pada n = 2.
6. Menggunakan sifar subbahagian. n = 0 bermaksud h = (b - a)/0, yang tidak tertakrif. n mestilah integer positif.
7. Memasukkan bilangan subbahagian bukan integer. n = 2.5 tiada makna untuk pengiraan panel; bundarkan kepada nombor bulat.
8. Mengelirukan n dengan bilangan titik sampel. n panel memerlukan n + 1 titik sampel. Dengan n = 4 terdapat 5 titik, bukan 4.
9. Melupakan separuh pemberat titik hujung. Memberikan g(x₀) dan g(x_n) pemberat penuh membesarkan anggaran sebanyak h/2 · (g(x₀) + g(x_n)).
10. Menggunakan saiz langkah yang salah. h = (b - a)/n, bukan b - a dan bukan 1/n. Pada [0, 2] dengan n = 8, h = 0.25.
11. Mencampur darjah dan radian. sin(x) dengan x dalam darjah ialah lengkung berbeza daripada sin(x) dalam radian; panjang lengkung berbeza mengikutnya.
12. Mengabaikan sekatan domain fungsi. ln(x + 1) memerlukan x > -1. Menilai di luar domain menghasilkan nilai yang tidak bermakna.
13. Mengelirukan penghampiran dengan pengamiran tepat. T_n menghampiri L; ia sama dengan L hanya untuk kamiran khas seperti pemalar.
14. Menganggap lebih banyak panel sentiasa menjamin ketepatan lebih baik. Benar dalam rejim asimptot untuk kamiran licin, tetapi ralat pembundaran dan ketidaklicinan boleh memecahkan pola pada keterlaluan.
15. Mengabaikan semakan penumpuan. Satu anggaran ialah tekaan; dua anggaran pada n dan 2n yang bersetuju ialah bukti.
16. Mengelirukan Peraturan Simpson dengan peraturan trapezoid. Simpson menggunakan pemberat 1-4-2-4-...-1 dan memerlukan n genap; peraturan trapezoid menggunakan 1/2-1-...-1-1/2 dan sebarang n positif.
17. Mengelirukan pengamiran trapezoid dengan penjumlahan perentas. Panel di bawah kamiran bukan perentas pada lengkung; kedua-dua kaedah memberikan nombor berbeza.
18. Melaporkan kepersisan perpuluhan yang berlebihan. Jika ralatnya sekitar 0.002, menulis enam tempat perpuluhan melebih-lebihkan apa yang diketahui. Bundarkan agar sepadan dengan ketepatan yang disahkan.

Aritmetik panel yang sama di sebalik panjang lengkung muncul di mana-mana kuantiti licin mesti dikumpul secara berangka.

• Penganggaran panjang lengkung kejuruteraan. Panjang kabel, lengkung gantungan, dan selekoh paip dikira daripada fungsi reka bentuk sebelum fabrikasi.
• Reka bentuk mekanikal. Profil sesondol dan lengkung gigi gear memerlukan anggaran perimeter tepat untuk perancangan bahan.
• Geometri jalan dan laluan. Lengkung jajaran untuk jalan raya dan kereta api diukur sepanjang garis tengahnya, yang jarang merupakan fungsi asas.
• Reka bentuk berbantu komputer. Inti CAD menganggarkan panjang lengkung untuk pemaparan, penjanaan laluan alat, dan pendimensian.
• Simulasi fizik. Trajektori zarah dan panjang garis medan dikumpul daripada model berangka.
• Pemodelan berangka. Sebarang kamiran tanpa bentuk tertutup, daripada ketumpatan kebarangkalian hingga tenaga isyarat, boleh bermula dengan panel trapezoid.
• Pendidikan matematik. Peraturan ini ialah pintu masuk piawai kepada analisis berangka kerana kelakuan ralatnya mudah ditunjukkan.
• Pengukuran dan pengesahan lengkung. Pengukuran fizikal lengkung tidak sekata disemak silang dengan ramalan berangka.

Untuk geometri khusus, kaedah ini menyesuaikan diri: peraturan komposit yang sama mengamirkan kelajuan parametrik √((x')² + (y')²) dan kamiran kutub. Kalkulator di sini mengendalikan kes Cartesan; alat berkaitan meliputi sistem koordinat lain. Ia tidak memproses fail CAD atau set data ukur secara langsung; itu perlu diturunkan kepada fungsi dan batas terlebih dahulu.

Kerjakan ini secara manual, kemudian semak dengan kalkulator. Setiap penyelesaian menunjukkan penggantian supaya anda boleh mencari kesilapan aritmetik sendiri.

Soalan 1. Gunakan peraturan trapezoid dengan n = 1 untuk menganggarkan ∫₀² 3 dx, dan nyatakan sama ada hasilnya tepat.
Penyelesaian. h = 2, T₁ = 2/2 · [3 + 3] = 6. Kamirannya pemalar, jadi satu trapezoid sepadan tepat dengan segi empat tepat. Kamiran tepat juga 6, jadi hasilnya tepat.

Soalan 2. Cari panjang lengkung f(x) = x pada [0, 1] menggunakan peraturan trapezoid dengan n = 1.
Penyelesaian. f'(x) = 1, jadi g(x) = √2, pemalar. T₁ = 1 · √2 ≈ 1.414214, yang tepat kerana kamirannya pemalar. Secara geometri ini ialah pepenjuru segi empat sama unit.

Soalan 3. Anggarkan panjang lengkung f(x) = x² pada [0, 1] dengan n = 2.
Penyelesaian. h = 0.5; g(0) = 1, g(0.5) = 1.414214, g(1) = 2.236068. T₂ = 0.5 · [1/2 + 1.414214 + 2.236068/2] = 0.5 · 3.032249 = 1.516124. Nilai tepat ialah 1.478943, jadi ralatnya ialah 0.037181.

Soalan 4. Anggarkan panjang lengkung f(x) = sin x pada [0, π] dengan n = 4.
Penyelesaian. g(x) = √(1 + cos²x), h = π/4. Menilai pada 0, π/4, π/2, 3π/4, π dan menggunakan pemberat memberikan T₄ ≈ 3.819944. Dengan n = 8 nilainya ialah 3.820198, jadi hasil n = 4 sudah dalam 0.000254 daripada nilai tertumpu.

Soalan 5. Kira saiz langkah untuk a = 2, b = 5, n = 6.
Penyelesaian. h = (5 - 2)/6 = 3/6 = 0.5. Titik sampelnya ialah 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5: tujuh titik untuk enam panel.

Soalan 6. Untuk n = 10, berapa banyak titik sampel yang ada, dan apakah pemberatnya?
Penyelesaian. Terdapat n + 1 = 11 titik sampel. Titik hujung x₀ dan x₁₀ membawa pemberat 1/2; sembilan titik dalaman x₁ hingga x₉ membawa pemberat 1.

Soalan 7. Untuk f(x) = x² pada [0, 1], bandingkan T₂ dan T₄ dan nyatakan perubahannya.
Penyelesaian. T₂ = 1.516124 dan T₄ = 1.488264, perubahan sebanyak 0.027860. Nilai tepat ialah 1.478943, jadi menggandakan n memotong ralat daripada 0.037181 kepada 0.009321, faktor kira-kira empat, seperti yang diramalkan oleh penumpuan tertib kedua.

Soalan 8. T₈ = 1.481272 untuk f(x) = x² pada [0, 1]. Laporkan ralat mutlak dan relatif berbanding nilai tepat 1.478943.
Penyelesaian. Ralat mutlak = |1.481272 - 1.478943| = 0.002330. Ralat relatif = 0.002330 / 1.478943 ≈ 0.001576, kira-kira 0.16%. Kedua-dua anggaran dan ralat harus dipetik kepada tiga tempat perpuluhan di sini; digit tambahan dalam 1.481272 belum boleh dipercayai.