Canlı görsel geri bildirimle dairelerin, eğrilerin ve parametrik denklemlerin hassas yay uzunluklarını hesaplamak için birinci sınıf bir matematik aracı.
Ücretsiz kullanım ·Kayıt gerekmez ·Tarayıcınızda çalışır
Altın noktalar her alt aralığın orta noktasını işaretler.
Alt aralığını, orta noktasını, integrand değerini ve katkısını görmek için bir dikdörtgenin üzerine gelin.
Ardışık iyileştirmeler arasındaki farklar pratik bir hata göstergesidir, garantili bir hata sınırı değildir.
Hesaplama Hatası
Yarıçap ve açı; daire dilimi alanı ve kiriş dahil.
Herhangi bir aralıkta x(t) ve y(t) eğrileri.
Kutupsal biçimde r(θ) olarak verilen eğriler.
Her adımı gösterilen Kartezyen yay uzunluğu.
Uzay eğrileri x(t), y(t) ve z(t).
Simpson kuralı ile sayısal integrasyon.
Sayısal integrasyon, yamuk kuralı.
Koordinat noktalarından geçen yol uzunluğu.
Elips YayıHerhangi bir elipsin yay uzunluğu, eksenleri ve açılarından.
Parabol YayıHerhangi bir parabolün yay uzunluğu, denkleminden.
Yarım Daire YayıHerhangi bir yarım dairenin yay uzunluğu, yarıçapından veya çapından.
Daire Dilimi YayıYarıçap ve açıdan dairesel bir dilimin yay uzunluğu.
Orta Nokta KuralıOrta nokta kuralıyla yay uzunluğu; dikdörtgenler ve hata kontrolleriyle.
Yukarıdaki hesaplayıcı yedi mod içerir. Her biri kalkülüsten standart bir girdi biçimine karşılık gelir. Girdileri sorunuza benzeyen modu seçin.
| Mod | Gerekli girdiler | Ne zaman kullanılır |
|---|---|---|
| Daire | Yarıçap r, merkez açı θ | Daireler, sektörler, tekerlekler, yaylar |
| Kartezyen | Fonksiyon y = f(x), aralık [a, b] | Fonksiyon grafikleri |
| Parametrik | x(t), y(t), aralık [a, b] | Hareket yörüngeleri, döngüler, dikey eğriler |
| Kutupsal | r(θ), açı aralığı [α, β] | Spiraller, kardiyoitler, kutupsal grafikler |
| Sayısal | f(x), aralık, alt bölme n | Kapalı formu olmayan integraller |
| Noktalar | (x, y) koordinat listesi | GPS izleri, örnek veriler |
| 3B | x(t), y(t), z(t), aralık [a, b] | Uzay eğrileri, helisler |
Yarıçap r ve merkez açı θ girin. Araç, yay uzunluğunu L = rθ ile hesaplar ve aynı iki girdiden daire dilimi alanı ile kiriş uzunluğunu da raporlar. DEG/RAD düğmesiyle derece ve radyan arasında geçiş yapın.
y = f(x) fonksiyonunu ve başlangıç ile bitiş x değerleri a ve b'yi girin. Hesaplayıcı fonksiyonun türevini alır, integrandı kurar ve belirli integrali tüm adımlar gösterilerek sayısal olarak değerlendirir. Tam türetme için adımlı yay uzunluğu hesaplayıcıyı deneyin.
Parametre aralığıyla birlikte x(t) ve y(t) girin. Bu mod, zaman içinde hareketle tanımlanan, hiçbir koordinatın diğerinin doğrudan fonksiyonu olmadığı yollara uygundur. Özel bir araç için parametrik yay uzunluğu hesaplayıcıya bakın.
r'yi θ'nin fonksiyonu olarak açı aralığıyla girin. Spiraller, kardiyoitler ve en doğal biçimde kutupsal yazılan diğer eğriler için idealdir. Bağımsız bir kutupsal yay uzunluğu hesaplayıcı da mevcuttur.
f(x)'i, aralığı ve alt aralık sayısı n'yi girin, ardından Simpson kuralını veya yamuk kuralını seçin. Bu mod, yay uzunluğu integralinin elemanter ters türevi olmadığında veya sayısal yöntemleri karşılaştırmak istediğinizde kullanışlıdır. Özel Simpson kuralı ve yamuk kuralı hesaplayıcıları tüm çözümü gösterir.
(x, y) noktalarından oluşan bir listeyi yapıştırın veya yazın. Hesaplayıcı, ardışık noktalar arasındaki doğru parçası mesafelerini toplayarak GPS izleri gibi örneklenmiş verilerden geçen yol uzunluğuna yaklaşır. Özel noktalardan yay uzunluğu aracına da bakın.
Bir uzay eğrisinin uzunluğunu ölçmek için parametre aralığıyla x(t), y(t) ve z(t) girin; örneğin bir helis veya 3B yörünge. Özel 3B yay uzunluğu hesaplayıcı aynı hesabı kendi sayfasında sunar.
Aşağıdaki her yay uzunluğu formülü aynı fikri ölçer: eğri boyunca minik doğru parçalarını toplar. Doğru formül, eğrinin nasıl tanımlandığına bağlıdır.
Burada r yarıçap, θ ise radyan cinsinden merkez açıdır. Yay uzunluğu r ile aynı birimi taşır: metre cinsinden yarıçap, metre cinsinden yay uzunluğu verir. Dairenin eğriliği sabit olduğundan bu en basit durumdur.
Eğri x = a ile x = b arasında y = f(x) ise kullanın. dy/dx terimi eğimdir; eğrinin dik olduğu yerlerde her dx daha fazla uzunluk katar. a ve b sınırları yay konumları değil x değerleridir.
x ve y'nin ikisi de t parametresinin fonksiyonuysa ve t, a'dan b'ye ilerliyorsa kullanın. Bu, y'nin x'in fonksiyonu olarak yazılamadığı, döngü yapan veya dikey giden eğrileri çözer.
Eğri θ, α'dan β'ye iken r = r(θ) ise kullanın. r² terimi dairesel süpürmeyi, (dr/dθ)² ise radyal değişimi hesaba katar.
Parametrik formülün üç boyuta doğal uzantısı: kökün altına z hızının karesini ekleyin.
Yay uzunluğu L eğriyi izler; kiriş uzunluğu c dosdoğru keser. Sıfır açı sınır durumu dışında yay her zaman daha uzundur.
Aşağıdaki her örnek, her adımı denetleyebilmeniz için eksiksiz çözülmüştür.
Verilen: yarıçap r = 5 cm, merkez açı θ = 60°.
Formül: L = rθ, θ radyan cinsinden.
Yerine koyma: L = 5 × 1.0472.
Cevap: L ≈ 5.236 cm.
Verilen: yarıçap r = 10 m, merkez açı θ = 1.5 rad.
Formül: L = rθ.
Yerine koyma: L = 10 × 1.5 = 15.
Cevap: L = 15 m. Açı zaten radyan cinsinden olduğundan dönüştürmeye gerek yok.
Verilen: y = x², aralık [0, 1].
Formül: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.
Hesap: x = 1'de parantezin değeri (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789; x = 0'da 0'dır.
Cevap: L ≈ 1.4789 birim.
Verilen: x = 3cos t, y = 3sin t, t 0'dan π/2'ye.
Formül: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.
Cevap: L = 3π/2 ≈ 4.7124 birim; bu, yarıçapı 3 olan dairenin bilinen çeyrek çevresiyle uyuşur.
Derece, tam turu 360 parçaya böler; radyan açıyı birim daire üzerindeki yay uzunluğuyla ölçer; tam tur 2π radyana (yaklaşık 6.2832) eşittir. İki birim aynı açıları tanımlar: 180°, π radyana eşittir; 90°, π/2 radyana eşittir ve 1 radyan yaklaşık 57.2958°'dir.
Birim önemlidir çünkü L = rθ daire formülü yalnızca θ radyan cinsindeyken doğrudur. 90 dereceyi 90 radyan olarak girmek yayı yaklaşık 57.3 kat abartır. Hesaplayıcının DEG/RAD düğmesi dönüşümü sizin için yapar, ancak çıktıya güvenmeden önce sorunuzun hangi birimi kullandığını mutlaka iki kez kontrol edin.
Yanlış cevapların çoğu formülden değil kurulum hatalarından kaynaklanır. Sonuca güvenmeden önce bu listeyi kontrol edin.
Daire formülü radyan ister. π/2 yerine 90 girmek cevabı yaklaşık 57 kat şişirir. DEG/RAD düğmesini kullanın veya önce dönüştürün.
L = rθ yarıçap kullanır. Sorunuz çap veriyorsa önce ikiye bölün, yoksa cevabınız doğru değerin tam iki katı olur.
y = f(x) için sınırlar x değerleridir; parametrik modda t değerleridir; kutupsal modda açılardır. Bunları karıştırmak yanlış parçayı ölçer.
Kutupsal eğri, r² terimli kutupsal formülü gerektirir; parametrik eğri iki türevi de gerektirir. Eğrinizin yazılışına uygun modu seçin.
Simpson ve yamuk kuralları n büyüdükçe iyileşir. Farklı n değerli iki çalıştırma belirgin şekilde uyuşmuyorsa sonuç dengelenene kadar n'yi artırın.
Sayısal integrasyon ve noktadan noktaya toplama yaklaşıklardır. Gerçek uzunluğa yakınsarlar ama dairelerdeki L = rθ gibi kesin özdeşlikler değildir.
Daire dilimi çevreleri, eğri sınır uzunlukları ve inşaat yerleşimlerinde yaylar boyunca mesafeler bulunur.
Makaralar çevresindeki kablo ve kayış uzunlukları, boru büküm payları ve eğri parçalar için malzeme tahmini yapılır.
Eğri yörüngeler boyunca kat edilen mesafeler hesaplanır ve yay konumu açısal hareketle ilişkilendirilir.
Plan çizimlerinden eğri cepheler, kemerli açıklıklar ve kıvrımlı yürüyüş yolu mesafeleri ölçülür.
Zamanlama ve enerji kullanımını planlamak için robot kol ucunun programlanmış eğri yol boyunca kat ettiği mesafe hesaplanır.
Yay uzunluğu integrallerini kurma ve değerlendirme alıştırması yapılır; integrasyonun geometriye klasik uygulamasıdır.
Sabit hızlı animasyon ve yollar boyunca eşit aralıklı örnekleme için eğriler yay uzunluğuna göre parametrelendirilir.
Yay uzunluğu hesaplayıcı, iki nokta arasındaki eğri boyunca mesafeyi ölçer. Eğri tanımını (örneğin yarıçap ve açı ya da aralık sınırlı bir fonksiyon) girersiniz ve genellikle adım adım çözümüyle uzunluğu döndürür.
Daire için yarıçapı radyan cinsinden merkez açıyla çarpın (L = rθ). Diğer eğriler için uygun integral formülünü kullanın ya da fonksiyonu yukarıdaki hesaplayıcıya girip doğru modu seçin.
Daire formülü L = rθ'dir. Kartezyen eğriler L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, parametrik eğriler L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, kutupsal eğriler L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ kullanır; 3B eğriler kökün altına z terimini ekler.
Dairelerde yarıçapa (veya yarıçapın iki katı olan çapa) ihtiyacınız var. Genel eğrilerde yarıçapa hiç gerek yok: Kartezyen, parametrik, kutupsal ve nokta modları fonksiyonlardan veya koordinatlardan çalışır.
L = rθ formülünde radyan kullanın. Açınız dereceyse önce dönüştürün (radyan = derece × π/180) veya dönüşümü otomatik yapan hesaplayıcının DEG/RAD düğmesini kullanın.
Yay uzunluğu eğriyi izler; kiriş uzunluğu yayın uç noktaları arasındaki doğru çizgidir. Kiriş her zaman daha kısadır (daire için c = 2r·sin(θ/2)). Yukarıdaki formül bölümündeki karşılaştırma şemasına bakın.
Parametre aralığıyla x(t) ve y(t)'yi Parametrik moda girin. Hesaplayıcı aralığınızda ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt'yi değerlendirir ve adımları gösterir.
Evet. x(t), y(t) ve z(t)'yi 3B moduna girin. Formül, parametrik sürümü z türeviyle genişletir: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.
Sonuç, girdilerinizle aynı uzunluk birimini kullanır. Yarıçap santimetreyse yay uzunluğu santimetredir. Açıların kendisi radyana çevrildikten sonra birimsizdir.
Sayısal yöntemler (Simpson, yamuk) integrale yaklaşır. Daha yakın sonuç için alt aralık sayısı n'yi artırın ve kurulumunuzu doğrulamak için bilinen bir durumla karşılaştırın.