Kalkulator długości łuku

Wysokiej klasy narzędzie matematyczne do obliczania precyzyjnych długości łuków okręgów, krzywych i równań parametrycznych z wizualnym sprzężeniem zwrotnym na żywo.

Bezpłatne ·Bez rejestracji ·Działa w Twojej przeglądarce

Wzór na długość łuku
L=r⋅θL = r \cdot \theta
0°360°
Wyświetlanie diagramu
◯
Narzędzie Okrąg

Promień i kąt, z polem wycinka i cięciwą.
∫
Parametryczne

Krzywe x(t) i y(t) na dowolnym przedziale.
ρ
Narzędzie Biegunowe

Krzywe podane jako r(θ) w postaci biegunowej.
ƒ
Pełne Kroki

Kartezjańska długość łuku z pokazanym każdym krokiem.
◊
Przestrzeń 3D

Krzywe przestrzenne x(t), y(t) i z(t).
Σ
Wzór Simpsona

Całkowanie numeryczne wzorem Simpsona.
△
Wzór Trapezów

Całkowanie numeryczne, wzór trapezów.
⋯
Z Punktów

Długość drogi przez punkty współrzędnych.
Łuk elipsy

Długość łuku dowolnej elipsy na podstawie jej osi i kątów.
Łuk paraboli

Długość łuku dowolnej paraboli na podstawie jej równania.
Łuk półokręgu

Długość łuku dowolnego półokręgu na podstawie promienia lub średnicy.
Łuk wycinka

Długość łuku wycinka koła na podstawie promienia i kąta.
Metoda punktu środkowego

Długość łuku metodą punktu środkowego, z prostokątami i kontrolą błędu.
Szybka Nawigacja Oblicz OnlineMetodyPrzewodnik po WzorachPrzykłady ObliczeńStopnie a RadianyBłędyZastosowaniaFAQ
Metody

Metody Kalkulatora Długości Łuku

Kalkulator powyżej ma siedem trybów. Każdy odpowiada standardowemu formatowi danych z analizy matematycznej. Wybierz tryb, którego dane przypominają Twoje zadanie.

TrybWymagane daneKiedy używać
OkrągPromień r, kąt środkowy θOkręgi, wycinki, koła, łuki
KartezjańskiFunkcja y = f(x), przedział [a, b]Wykresy funkcji
Parametrycznyx(t), y(t), przedział [a, b]Tory ruchu, pętle, krzywe pionowe
Biegunowyr(θ), przedział kątowy [α, β]Spirale, kardioidy, wykresy biegunowe
Numerycznyf(x), przedział, podziały nCałki bez postaci zamkniętej
PunktyLista współrzędnych (x, y)Trasy GPS, dane próbkowane
3Dx(t), y(t), z(t), przedział [a, b]Krzywe przestrzenne, helisy

Długość Łuku Okręgu

Wpisz promień r i kąt środkowy θ. Narzędzie oblicza długość łuku ze wzoru L = rθ, a z tych samych dwóch danych podaje też pole wycinka i długość cięciwy. Między stopniami a radianami przełączaj przyciskiem DEG/RAD.

\( L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians}) \)

Krzywe Kartezjańskie

Wpisz funkcję y = f(x) oraz początkową i końcową wartość x: a i b. Kalkulator różniczkuje funkcję, buduje funkcję podcałkową i oblicza całkę oznaczoną numerycznie, pokazując pełne kroki. Pełne wyprowadzenie znajdziesz w kalkulatorze długości łuku z krokami.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
Krzywa kartezjańska y = f(x) z wyróżnionym odcinkiem długości łuku między a i b oraz pokazanym elementem różniczkowym ds

Krzywe Parametryczne

Wpisz x(t) i y(t) wraz z przedziałem parametru. Ten tryb pasuje do torów opisanych ruchem w czasie, gdzie żadna współrzędna nie jest bezpośrednią funkcją drugiej. Osobne narzędzie znajdziesz w kalkulatorze długości łuku parametrycznego.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Krzywe Biegunowe

Wpisz r jako funkcję θ wraz z przedziałem kąta. Idealne dla spiral, kardioid i innych krzywych, które najnaturalniej zapisuje się w postaci biegunowej. Dostępny jest też samodzielny kalkulator długości łuku biegunowego.

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

Całkowanie Numeryczne

Wpisz f(x), przedział i liczbę podprzedziałów n, a następnie wybierz wzór Simpsona albo wzór trapezów. Ten tryb przydaje się, gdy całka długości łuku nie ma elementarnej funkcji pierwotnej albo gdy chcesz porównać metody numeryczne. Osobne kalkulatory wzoru Simpsona i wzoru trapezów pokazują pełne obliczenia.

Punkty Współrzędnych

Wklej lub wpisz listę punktów (x, y). Kalkulator sumuje odległości w linii prostej między kolejnymi punktami, co przybliża długość drogi przez dane próbkowane, np. ślady GPS. Zobacz też osobne narzędzie długość łuku z punktów.

\( L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_{i})^{2} + (\Delta y_{i})^{2}} \)

Krzywe 3D

Wpisz x(t), y(t) i z(t) wraz z przedziałem parametru, aby zmierzyć długość krzywej przestrzennej, np. helisy albo trajektorii 3D. Osobny kalkulator długości łuku 3D oferuje to samo obliczenie na własnej stronie.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
Przewodnik po Wzorach

Wzór na Długość Łuku

Każdy wzór na długość łuku poniżej mierzy tę samą ideę: sumuje maleńkie proste odcinki wzdłuż krzywej. Właściwy wzór zależy od tego, jak krzywa jest opisana.

Okrąg z wyróżnionym łukiem pokazującym promień r, kąt środkowy theta i długość łuku L, ilustrujący wzór L = r razy theta

Okrąg: L = rθ

\( L = r\theta \)

Tutaj r to promień, a θ to kąt środkowy w radianach. Długość łuku ma tę samą jednostkę co r: promień w metrach daje długość łuku w metrach. To najprostszy przypadek, bo okrąg ma stałą krzywiznę.

Kartezjańskie: całka z √(1 + (dy/dx)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)

Użyj, gdy krzywa to y = f(x) między x = a i x = b. Wyraz dy/dx to nachylenie; tam, gdzie krzywa jest stroma, każde dx wnosi więcej długości. Granice a i b to wartości x, nie pozycje łuku.

Parametryczne: całka z √((dx/dt)² + (dy/dt)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Użyj, gdy x i y są funkcjami parametru t, a t biegnie od a do b. To obsługuje krzywe, które zapętlają się lub biegną pionowo, gdzie y nie da się zapisać jako funkcja x.

Biegunowe: całka z √(r² + (dr/dθ)²)

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

Użyj, gdy krzywa to r = r(θ), a θ biegnie od α do β. Wyraz r² uwzględnia obrót kołowy, a (dr/dθ)² uwzględnia zmianę promieniową.

3D: całka z √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Naturalne rozszerzenie wzoru parametrycznego na trzy wymiary: pod pierwiastek dodaj kwadrat prędkości z.

Okrąg porównujący zakrzywioną długość łuku L z prostą długością cięciwy c między tymi samymi dwoma końcami

Długość łuku L biegnie wzdłuż krzywej; długość cięciwy c tnie prosto. Łuk jest zawsze dłuższy, z wyjątkiem granicznego przypadku kąta zerowego.

Instrukcja

Jak Używać Kalkulatora Długości Łuku

  1. 01Wybierz tryb pasujący do Twoich danych: Okrąg, Kartezjański, Parametryczny, Biegunowy, Numeryczny, Punkty albo 3D.
  2. 02Wpisz wartości. Dla okręgu wpisz promień i kąt środkowy. Dla krzywych wpisz funkcję i granice przedziału.
  3. 03Ustaw jednostkę kąta (tryb okręgu): wybierz DEG dla stopni albo RAD dla radianów przełącznikiem nad kalkulatorem.
  4. 04Odczytaj wynik. Długość łuku pojawia się wraz z obliczeniami krok po kroku. Tryb okręgu pokazuje też pole wycinka i długość cięciwy.
  5. 05Wypróbuj przykład przyciskiem "Try Example" w dowolnym trybie, aby zobaczyć poprawny format danych przed wpisaniem własnych.
Przykłady Obliczeń

Przykłady Obliczania Długości Łuku

Każdy przykład poniżej jest rozwiązany w całości, żebyś mógł sprawdzić każdy krok.

Przykład 1: Łuk okręgu z promienia i stopni

Dane: promień r = 5 cm, kąt środkowy θ = 60°.

Wzór: L = rθ, przy θ w radianach.

\( \theta = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \)

Podstawienie: L = 5 × 1.0472.

Odpowiedź: L ≈ 5.236 cm.

Przykład 2: Łuk okręgu z promienia i radianów

Dane: promień r = 10 m, kąt środkowy θ = 1.5 rad.

Wzór: L = rθ.

Podstawienie: L = 10 × 1.5 = 15.

Odpowiedź: L = 15 m. Przeliczenie nie jest potrzebne, bo kąt jest już w radianach.

Przykład 3: Krzywa kartezjańska y = x² od 0 do 1

Dane: y = x², przedział [0, 1].

Wzór: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.

\( \frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx \)
\( L = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|2x + \sqrt{1+4x^{2}}\right| \right]_{0}^{1} \)

Obliczenie: dla x = 1 nawias równa się (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789; dla x = 0 równa się 0.

Odpowiedź: L ≈ 1.4789 jednostki.

Przykład 4: Parametryczna ćwiartka okręgu

Dane: x = 3cos t, y = 3sin t, t od 0 do π/2.

Wzór: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

\( \frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t \)
\( \sqrt{9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{\pi/2} 3\,dt = \frac{3\pi}{2} \)

Odpowiedź: L = 3π/2 ≈ 4.7124 jednostki, co zgadza się ze znanym obwodem ćwiartki okręgu o promieniu 3.

Jednostki Kąta

Stopnie a Radiany

Stopnie dzielą pełny obrót na 360 części; radiany mierzą kąt długością łuku na okręgu jednostkowym, przy czym pełny obrót to 2π radianów (około 6.2832). Obie jednostki opisują te same kąty: 180° to π radianów, 90° to π/2 radiana, a 1 radian to około 57.2958°.

Jednostka ma znaczenie, bo wzór na okrąg L = rθ jest poprawny tylko wtedy, gdy θ jest w radianach. Wpisanie 90 stopni jako 90 radianów zawyżyłoby łuk około 57.3 raza. Przełącznik DEG/RAD kalkulatora przelicza za Ciebie, ale zawsze sprawdź, jakiej jednostki używa Twoje zadanie, zanim zaufasz wynikowi.

Dwa półokręgi obok siebie porównujące podziałkę stopni (0, 90, 180 stopni) z podziałką radianów (0, pi przez 2, pi), pokazujące, że 180 stopni to pi radianów
Wskazówki Dotyczące Dokładności

Typowe Błędy w Długości Łuku

Większość błędnych odpowiedzi wynika z błędów w przygotowaniu danych, nie z samego wzoru. Sprawdź tę listę, zanim zaufasz wynikowi.

Używanie stopni we wzorze L = rθ

Wzór na okrąg wymaga radianów. Wpisanie 90 zamiast π/2 zawyża odpowiedź około 57 razy. Użyj przełącznika DEG/RAD albo najpierw przelicz.

Wpisywanie średnicy zamiast promienia

L = rθ używa promienia. Jeśli zadanie podaje średnicę, najpierw podziel ją na pół, bo inaczej Twoja odpowiedź będzie dokładnie dwa razy za duża.

Złe granice całkowania

Dla y = f(x) granicami są wartości x; w trybie parametrycznym to wartości t; w biegunowym to kąty. Pomylenie ich mierzy zły odcinek.

Zły wzór dla typu krzywej

Krzywa biegunowa wymaga wzoru biegunowego z wyrazem r², a krzywa parametryczna wymaga obu pochodnych. Wybierz tryb pasujący do zapisu Twojej krzywej.

Za mało podprzedziałów numerycznych

Wzory Simpsona i trapezów poprawiają się wraz ze wzrostem n. Jeśli dwa przebiegi z różnym n wyraźnie się nie zgadzają, zwiększaj n, aż wynik się ustabilizuje.

Traktowanie przybliżeń jak wartości dokładnych

Całkowanie numeryczne i sumowanie punkt po punkcie to przybliżenia. Zbiegają do prawdziwej długości, ale nie są dokładnymi tożsamościami jak L = rθ dla okręgów.

Prawdziwe Przypadki Użycia

Zastosowania Długości Łuku

Geometria

Obliczanie obwodów wycinków koła, długości zakrzywionych granic i odległości wzdłuż łuków w układach budowlanych.

Inżynieria

Szacowanie długości kabli i pasów wokół kół pasowych, naddatków na gięcie rur i materiału na zakrzywione części.

Fizyka

Obliczanie dróg przebytych wzdłuż zakrzywionych torów i wiązanie położenia łuku z ruchem kątowym.

Architektura

Mierzenie zakrzywionych fasad, łukowych otworów i odległości krętych alejek na podstawie rysunków planów.

Robotyka

Obliczanie drogi końcówki ramienia robota wzdłuż zaprogramowanego zakrzywionego toru do planowania czasu i zużycia energii.

Analiza Matematyczna

Ćwiczenie układania i obliczania całek długości łuku, klasycznego zastosowania całkowania w geometrii.

Grafika Komputerowa

Parametryzacja krzywych długością łuku dla animacji ze stałą prędkością i równomiernego próbkowania wzdłuż torów.

FAQ

Częste Pytania o Długość Łuku

Czym jest kalkulator długości łuku?

Kalkulator długości łuku mierzy odległość wzdłuż krzywej między dwoma punktami. Wpisujesz definicję krzywej (np. promień i kąt albo funkcję z granicami przedziału), a on zwraca długość, zwykle z obliczeniami krok po kroku.

Jak obliczyć długość łuku?

Dla okręgu pomnóż promień przez kąt środkowy w radianach (L = rθ). Dla innych krzywych użyj pasującego wzoru całkowego albo wpisz funkcję do kalkulatora powyżej i wybierz właściwy tryb.

Jaki jest wzór na długość łuku?

Wzór na okrąg to L = rθ. Krzywe kartezjańskie używają L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, krzywe parametryczne L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, krzywe biegunowe L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, a krzywe 3D dodają wyraz z pod pierwiastek.

Czy da się obliczyć długość łuku bez promienia?

Dla okręgów potrzebujesz promienia (albo średnicy, czyli dwóch promieni). Dla ogólnych krzywych promień w ogóle nie jest potrzebny: tryby kartezjański, parametryczny, biegunowy i punktowy działają na funkcjach lub współrzędnych.

Używać stopni czy radianów?

We wzorze L = rθ używaj radianów. Jeśli Twój kąt jest w stopniach, najpierw przelicz (radiany = stopnie × π/180) albo użyj przełącznika DEG/RAD kalkulatora, który robi to automatycznie.

Jaka jest różnica między długością łuku a długością cięciwy?

Długość łuku biegnie wzdłuż krzywej; długość cięciwy to prosta między końcami łuku. Cięciwa jest zawsze krótsza (c = 2r·sin(θ/2) dla okręgu). Zobacz schemat porównawczy w sekcji wzorów powyżej.

Jak obliczyć długość łuku krzywej parametrycznej?

Wpisz x(t) i y(t) wraz z przedziałem parametru w tryb Parametryczny. Kalkulator obliczy ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt na Twoim przedziale i pokaże kroki.

Czy długość łuku da się obliczyć w 3D?

Tak. Wpisz x(t), y(t) i z(t) w tryb 3D. Wzór rozszerza wersję parametryczną o pochodną z: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.

Jakiej jednostki używa odpowiedź?

Wynik używa tej samej jednostki długości co Twoje dane. Jeśli promień jest w centymetrach, długość łuku jest w centymetrach. Same kąty po przeliczeniu na radiany są bezwymiarowe.

Dlaczego mój wynik numeryczny nieznacznie różni się od wartości dokładnej?

Metody numeryczne (Simpsona, trapezów) przybliżają całkę. Zwiększ liczbę podprzedziałów n, aby wynik był bliższy, i porównaj ze znanym przypadkiem, żeby potwierdzić poprawność danych.