Kalkulator długości łuku z krokami

Długość łuku to odległość wzdłuż krzywej między dwoma punktami. W przypadku okręgu jest to długość zakrzywionej części obwodu odciętej przez dwa promienie. Wyobraź sobie kawałek pizzy. Skórka tego kawałka to łuk, a jej długość to długość łuku. Dwa proste boki to promienie, a kąt między nimi w środku nazywa się kątem środkowym.

Kąt środkowy określa, jaką część pełnego okręgu stanowi Twój łuk. Pełny okrąg mierzy 360 stopni, czyli 2π radianów. Jeśli Twój kąt środkowy wynosi 90 stopni, Twój łuk to jedna czwarta obwodu. Jeśli kąt wynosi 180 stopni, łuk to połowa obwodu. Ta proporcjonalna zależność jest podstawą każdego wzoru na długość łuku.

Dla każdej pary punktów na okręgu łuki występują w dwóch rozmiarach. Łuk mniejszy to krótsza droga między punktami, odpowiadająca kątowi środkowemu mniejszemu niż 180 stopni. Łuk większy to dłuższa droga biegnąca w drugą stronę, odpowiadająca kątowi większemu niż 180 stopni. O ile nie zaznaczono inaczej, zadania o długości łuku dotyczą łuku mniejszego.

Pomaga prosty, codzienny przykład. Załóżmy, że okrągły ogród ma promień 10 metrów, a Ty chcesz zamontować obrzeże wzdłuż odcinka obejmującego kąt 90 stopni od środka. Pełny obwód wynosi 2π(10), czyli około 62.83 metra. Kąt 90 stopni to jedna czwarta pełnego okręgu, więc potrzebne obrzeże ma około 15.71 metra. Ta zakrzywiona odległość to długość łuku.

Wzór na długość łuku zależy od tego, czy Twój kąt jest mierzony w radianach, czy w stopniach. Obie wersje wyrażają tę samą ideę: długość łuku to ułamek pełnego obwodu, a ten ułamek jest wyznaczony przez kąt środkowy.

Gdy kąt θ jest w radianach, wzór jest prosty:

s = rθ

Tutaj s to długość łuku, r to promień, a θ to kąt środkowy w radianach. Ten wzór działa tak elegancko, ponieważ radian jest zdefiniowany jako kąt, który odcina łuk o długości równej promieniowi. Kąt 1 radiana na okręgu o promieniu 5 daje łuk o długości dokładnie 5 jednostek. Jednostki s zawsze odpowiadają jednostkom r. Jeśli promień jest w centymetrach, długość łuku jest w centymetrach.

Gdy kąt jest w stopniach, wzór potrzebuje współczynnika przeliczeniowego:

s = πrθ / 180

Tutaj θ to kąt środkowy w stopniach. Czynnik π/180 przelicza stopnie na radiany w tle, ponieważ 180 stopni równa się π radianom. Dzielenie przez 180 i mnożenie przez π zamienia więc Twoją miarę stopniową na miarę radianową, której wzór faktycznie potrzebuje.

Oba wzory pochodzą z obwodu pełnego okręgu, C = 2πr. Pełny okrąg odpowiada kątowi środkowemu 2π radianów lub 360 stopni. Długość łuku stanowi ten sam ułamek obwodu, jaki kąt środkowy stanowi z pełnego kąta. W radianach: s / (2πr) = θ / (2π), co upraszcza się do s = rθ. W stopniach: s / (2πr) = θ / 360, co upraszcza się do s = πrθ / 180.

Przeliczanie stopni na radiany i z powrotem jest proste. Aby przeliczyć stopnie na radiany, pomnóż przez π/180. Aby przeliczyć radiany na stopnie, pomnóż przez 180/π. Na przykład 60 stopni staje się 60 × π/180 = π/3 radiana, czyli około 1.047 radiana. Kąt 2 radianów staje się 2 × 180/π, czyli około 114.59 stopnia.

Tabela poniżej podsumowuje kluczowe wzory do szybkiego wglądu.

Przykład 1: Kąt w stopniach

Znajdź długość łuku okręgu o promieniu 7 cm i kącie środkowym 60 stopni.

Krok 1: Określ dane wartości. Promień r wynosi 7 cm, a kąt θ wynosi 60 stopni.

Krok 2: Wybierz właściwy wzór. Ponieważ kąt jest w stopniach, użyj s = πrθ / 180.

Krok 3: Podstaw wartości. Daje to s = π(7)(60) / 180.

Krok 4: Uprość. Ułamek 60/180 skraca się do 1/3, więc s = 7π/3 cm. To jest dokładna odpowiedź.

Krok 5: Znajdź przybliżenie dziesiętne. Ponieważ π wynosi około 3.14159, s wynosi około 7(3.14159)/3, co równa się około 7.33 cm.

Długość łuku wynosi dokładnie 7π/3 cm, czyli w przybliżeniu 7.33 cm.

Przykład 2: Kąt w radianach

Znajdź długość łuku okręgu o promieniu 5 metrów i kącie środkowym 1.2 radiana.

Krok 1: Określ dane wartości. Promień r wynosi 5 m, a kąt θ wynosi 1.2 radiana.

Krok 2: Wybierz właściwy wzór. Ponieważ kąt jest w radianach, użyj s = rθ.

Krok 3: Podstaw wartości. Daje to s = 5(1.2).

Krok 4: Pomnóż. Wynik to s = 6 metrów.

Długość łuku wynosi dokładnie 6 metrów. Zauważ, o ile prostszy jest wzór w radianach. Nie ma π do rozpatrywania ani ułamka do upraszczania. To jeden z powodów, dla których matematycy i naukowcy wolą radiany w pracy teoretycznej.

Nie każda krzywa jest częścią okręgu. Dla ogólnej gładkiej krzywej opisanej funkcją y = f(x) długość łuku między x = a i x = b znajduje się za pomocą całki:

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

Tutaj f'(x) to pochodna funkcji. Wzór opiera się na prostej idei. Podziel krzywą na wiele maleńkich prostych odcinków. Każdy odcinek ma długość √((Δx)² + (Δy)²) z twierdzenia Pitagorasa. Wyłącz Δx przed nawias, aby otrzymać √(1 + (Δy/Δx)²) Δx. Gdy odcinki stają się nieskończenie małe, Δy/Δx staje się pochodną f'(x), a suma staje się powyższą całką.

Pochodna ma znaczenie, ponieważ mierzy, jak stroma jest krzywa w każdym punkcie. Stromy odcinek wnosi więcej długości niż płaski odcinek na tej samej poziomej odległości. Czynnik √(1 + [f'(x)]²) jest czasem nazywany lokalnym współczynnikiem rozciągnięcia. Gdy krzywa jest płaska, f'(x) wynosi zero, a czynnik wynosi 1, co oznacza, że długość łuku równa się odległości poziomej. Gdy krzywa jest stroma, czynnik jest większy niż 1.

Granice a i b wyznaczają, gdzie zaczynasz i kończysz pomiar wzdłuż osi x. Ważne jest, aby podać je we właściwej kolejności, gdzie a to mniejsza wartość. Zamiana ich miejscami zmienia znak wyniku.

Wielu całek długości łuku nie da się obliczyć za pomocą elementarnych funkcji pierwotnych. W takich przypadkach metody numeryczne, takie jak reguła Simpsona lub reguła trapezów, dają dokładne przybliżenia. Kalkulator na tej stronie używa całkowania numerycznego, gdy odpowiedź symboliczna nie jest dostępna, i wyraźnie oznacza wynik jako przybliżony.

Rozwiązany przykład: y = x^3/2 od x = 0 do x = 4

Znajdź długość łuku krzywej y = x^3/2 na przedziale [0, 4].

Krok 1: Znajdź pochodną. Korzystając z reguły potęgi, f'(x) = (3/2)x^1/2.

Krok 2: Podnieś pochodną do kwadratu. [f'(x)]² = (9/4)x.

Krok 3: Podstaw do wzoru. L = ∫[0 to 4] √(1 + (9/4)x) dx.

Krok 4: Oblicz całkę. Niech u = 1 + (9/4)x, więc du = (9/4)dx. Gdy x = 0, u = 1. Gdy x = 4, u = 10. Całka staje się (4/9)∫[1 to 10] √u du = (4/9)(2/3)[u^3/2] od 1 do 10 = (8/27)(10^3/2 - 1).

Krok 5: Uprość. Ponieważ 10^3/2 = 10√10 ≈ 31.62, L ≈ (8/27)(30.62) ≈ 9.07.

Dokładna długość łuku wynosi (8/27)(10√10 - 1), czyli w przybliżeniu 9.07 jednostki.

Długość łuku reaguje na zmiany promienia i kąta w przewidywalny sposób. Ponieważ wzór s = rθ jest prostym iloczynem, każda zmienna ma bezpośredni proporcjonalny wpływ.

Jeśli podwoisz promień, zachowując kąt bez zmian, długość łuku się podwoi. Łuk 60 stopni na okręgu o promieniu 7 cm mierzy około 7.33 cm. Na okręgu o promieniu 14 cm ten sam kąt 60 stopni odcina łuk o długości około 14.66 cm. Każdy punkt na większym okręgu jest dwa razy dalej od środka, więc zakrzywiona droga między tymi samymi dwoma kątami jest dwa razy dłuższa.

Jeśli podwoisz kąt środkowy, zachowując promień bez zmian, długość łuku również się podwoi. Łuk 30 stopni na okręgu 10 cm to około 5.24 cm. Łuk 60 stopni na tym samym okręgu to około 10.47 cm. Dwa razy większy kąt oznacza dwa razy większy ułamek obwodu.

Pełny obrót, 360 stopni lub 2π radianów, daje pełny obwód. Podstawienie θ = 2π do s = rθ daje s = 2πr, dokładnie wzór na obwód. Potwierdza to spójność wzoru: przy maksymalnym kącie „łuk” to cały okrąg.

Użyj suwaków na interaktywnym diagramie, aby zbadać te zależności. Przeciągnij suwak kąta i obserwuj, jak rośnie wyróżniony łuk. Przeciągnij suwak promienia i zobacz, jak rozszerza się cały okrąg. Wyświetlana długość łuku aktualizuje się w czasie rzeczywistym, wzmacniając opisane powyżej zależności proporcjonalne.

Długość łuku pojawia się w wielu praktycznych sytuacjach, w których liczą się zakrzywione odległości.

Bieżnie. Standardowa 400-metrowa bieżnia ma dwa proste odcinki i dwa półkoliste końce. Jeśli każdy półkolisty koniec ma promień 36.5 metra, zakrzywiona część jednego końca to połowa obwodu: π(36.5), czyli około 114.67 metra. Oba końce razem dają około 229.35 metra zakrzywionego biegu. Projektanci bieżni używają tych obliczeń, aby każdy tor miał prawidłową całkowitą długość.

Koła rowerowe. Koło rowerowe o średnicy 70 cm ma promień 35 cm. W jednym pełnym obrocie punkt na oponie pokonuje pełny obwód: 2π(35), czyli około 219.91 cm, albo około 2.20 metra. Jeśli koło obróci się 100 razy, rower przejedzie około 220 metrów. Ta zależność między obrotami a odległością to sposób, w jaki liczniki rowerowe szacują prędkość i odległość na podstawie czujników kół.

Łuki architektoniczne. Półkolisty łuk nad wejściem ma promień 1.5 metra. Zakrzywiona długość łuku to połowa obwodu: π(1.5), czyli około 4.71 metra. Budowlaniec zamawiający zakrzywioną listwę do tego łuku potrzebuje tego pomiaru, aby kupić właściwą ilość materiału.

Maszyny wirujące. Taśma przenośnika owija się do połowy wokół koła napędowego o promieniu 0.4 metra. Długość styku taśmy z kołem to łuk półkolisty: π(0.4), czyli około 1.26 metra. Inżynierowie używają tej długości styku do obliczania tarcia i przenoszenia mocy. Dłuższy łuk styku oznacza zwykle lepszą przyczepność taśmy do koła.

Kilka typowych błędów czyha zarówno na uczniów, jak i na profesjonalistów. Znajomość ich z wyprzedzeniem pomaga ich uniknąć.

Mieszanie stopni i radianów. To najczęstszy błąd. Jeśli Twój kąt wynosi 60 stopni, ale podstawisz go do s = rθ, otrzymasz 60r zamiast poprawnego πr/3. Zawsze sprawdzaj jednostkę kąta przed wyborem wzoru. W razie wątpliwości najpierw przelicz na radiany.

Używanie średnicy zamiast promienia. Wzory wymagają promienia. Jeśli podana jest średnica 14 cm, promień wynosi 7 cm. Zapomnienie o podzieleniu średnicy na pół podwaja Twoją odpowiedź.

Zapominanie o jednostkach miary. Długość łuku 7.33 nic nie znaczy bez jednostek. Jeśli promień był w centymetrach, długość łuku jest w centymetrach. Przenoś jednostki przez każdy krok.

Stosowanie niewłaściwego wzoru. Wzory na okrąg s = rθ i s = πrθ/180 działają tylko dla łuków okręgu. Dla innych krzywych potrzebny jest wzór rachunku różniczkowego i całkowego z całką. Użycie wzoru na okrąg dla paraboli daje błędną odpowiedź.

Mylenie długości łuku z długością cięciwy. Cięciwa to linia prosta łącząca końce łuku. Jest zawsze krótsza niż łuk (poza trywialnymi przypadkami). Jeśli zadanie pyta o zakrzywioną odległość, nie obliczaj odległości w linii prostej.

Zbyt wczesne zaokrąglanie. Zaokrąglanie wartości pośrednich wprowadza błąd, który narasta w trakcie obliczeń. Zachowaj pełną precyzję do ostatniego kroku, a następnie zaokrąglij do żądanej liczby miejsc po przecinku.

Używanie nieprawidłowych granic całkowania. We wzorze rachunku różniczkowego i całkowego granice muszą odpowiadać mierzonemu przedziałowi. Odwrócenie ich zmienia znak. Użycie granic z innej części zadania daje niewłaściwy odcinek.

Trzy powiązane pomiary opisują różne aspekty okrągłego obszaru. Zrozumienie każdego z nich zapobiega pomyłkom.

Długość łuku mierzy zakrzywioną odległość wzdłuż okręgu między dwoma punktami. Wzór to s = rθ, gdzie θ jest w radianach. Odpowiada na pytanie: jak daleko zajdziesz, idąc wzdłuż krzywej?

Długość cięciwy mierzy odległość w linii prostej między tymi samymi dwoma punktami. Wzór to c = 2r sin(θ/2), gdzie θ jest w radianach. Odpowiada na pytanie: jak daleko od siebie są końce w linii prostej? Cięciwa jest zawsze krótsza niż odpowiadający jej łuk mniejszy.

Pole wycinka mierzy dwuwymiarowy obszar ograniczony dwoma promieniami i łukiem między nimi, jak kawałek pizzy. Wzór to A = (1/2)r²θ, gdzie θ jest w radianach. Odpowiada na pytanie: jakie pole pokrywa kawałek?

Tabela porównawcza poniżej podsumowuje różnice.

Zauważ, że wszystkie trzy wzory wymagają θ w radianach. Wzór na pole wycinka jest szczególnie łatwy do pomylenia ze stopniami, ponieważ nie istnieje jego prosta wersja stopniowa. Najpierw przelicz na radiany.

Spróbuj rozwiązać te zadania, a następnie sprawdź odpowiedzi poniżej.

Zadanie 1 (stopnie). Okrąg ma promień 12 cm i kąt środkowy 45 stopni. Znajdź długość łuku.

Rozwiązanie: użyj s = πrθ/180 = π(12)(45)/180 = 3π ≈ 9.42 cm.

Zadanie 2 (radiany). Okrąg ma promień 8 m i kąt środkowy 2.5 radiana. Znajdź długość łuku.

Rozwiązanie: użyj s = rθ = 8(2.5) = 20 m.

Zadanie 3 (średnica). Okrąg ma średnicę 20 cali i kąt środkowy 120 stopni. Znajdź długość łuku.

Rozwiązanie: najpierw przelicz średnicę na promień: r = 20/2 = 10 cali. Następnie s = π(10)(120)/180 = 20π/3 ≈ 20.94 cala.

Zadanie 4 (brakujący promień). Łuk o długości 15 cm wyznacza kąt środkowy 0.75 radiana. Znajdź promień.

Rozwiązanie: przekształć s = rθ, aby otrzymać r = s/θ = 15/0.75 = 20 cm.

Zadanie 5 (rachunek różniczkowy i całkowy). Znajdź długość łuku y = (2/3)x^3/2 od x = 0 do x = 3.

Rozwiązanie: pochodna wynosi f'(x) = x^1/2, więc [f'(x)]² = x. Całka to L = ∫[0 to 3] √(1 + x) dx. Niech u = 1 + x, du = dx. Gdy x = 0, u = 1. Gdy x = 3, u = 4. L = ∫[1 to 4] √u du = (2/3)[u^3/2] od 1 do 4 = (2/3)(8 - 1) = 14/3 ≈ 4.67.

Długość łuku mierzy zakrzywioną odległość, zarówno wzdłuż okręgu, jak i ogólnej krzywej. Dla okręgów użyj s = rθ z kątem w radianach albo s = πrθ/180 z kątem w stopniach. Dla innych krzywych opisanych jako y = f(x) użyj wzoru całkowego L = ∫√(1 + [f'(x)]²)dx na swoim przedziale. Uważaj na pomyłki stopni z radianami, średnicy z promieniem i przedwczesne zaokrąglanie. Kalkulator u góry tej strony obsługuje wszystkie trzy tryby z pełnym rozwiązywaniem krok po kroku. Wprowadź wartości, przestudiuj kroki i używaj wyniku z pewnością.