Công thức tính độ dài cung tròn là gì?

Đối với hình tròn, độ dài cung là \(L = r\theta\), trong đó \(r\) là bán kính và \(\theta\) tính bằng radian.

Làm cách nào để chuyển đổi độ sang radian cho chiều dài cung?

Sử dụng \(\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \pi/180\) trước khi áp dụng \(L = r\theta\).

Sự khác biệt giữa cung và hợp âm là gì?

Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Vòng cung là đường cong giữa các điểm giống nhau.

Tôi có thể tính chiều dài cung từ đường kính thay vì bán kính không?

Đúng. Vì \(r = d/2\) nên bạn có thể sử dụng \(L = (d/2)\theta\).

Làm cách nào để tính chiều dài cung lớn?

Sử dụng góc ở tâm lớn hơn cho cung lớn hoặc tính cung lớn bằng chu vi đầy đủ trừ cung nhỏ.

Chiều dài cung có thể lớn hơn chu vi không?

Đối với một vòng quay đầy đủ, không. Nếu \(\theta > 2\pi\), công thức biểu thị khoảng cách qua nhiều lượt.

Nếu tôi nhập bán kính âm thì sao?

Bán kính là một độ lớn và phải không âm. Sử dụng giá trị bán kính tuyệt đối để giải thích vật lý.

Diện tích khu vực liên quan đến chiều dài cung như thế nào?

Khu vực ngành có thể được viết là \(A = \frac{1}{2}rL\), liên kết trực tiếp bán kính và chiều dài cung.

Các đơn vị cung tròn có khớp với đơn vị bán kính không?

Đúng. Nếu bán kính tính bằng cm thì chiều dài cung tính bằng cm.

Kiểm tra độ tỉnh táo tốt cho chiều dài cung tròn là gì?

Một vòng cung 90 độ phải bằng một phần tư chu vi đầy đủ.

Máy tính độ dài cung

Một công cụ toán học cao cấp để tính toán độ dài cung chính xác của đường tròn, đường cong và phương trình tham số bằng phản hồi trực quan.

Miễn phí sử dụng ·Không cần đăng ký ·Chạy trong trình duyệt

◯

Công cụ đường tròn

Bán kính và góc, kèm diện tích hình quạt và dây cung.

∫

Tham số

Đường cong x(t) và y(t) trên khoảng bất kỳ.

Công cụ tọa độ cực

Đường cong cho ở dạng cực r(θ).

Đầy đủ các bước

Độ dài cung Descartes với đầy đủ các bước.

◊

Không gian 3D

Đường cong không gian x(t), y(t) và z(t).

Quy tắc Simpson

Tích phân số bằng quy tắc Simpson.

△

Quy tắc hình thang

Tích phân số, quy tắc hình thang.

⋯

Từ các điểm

Độ dài đường đi qua các điểm tọa độ.

Cung elip

Độ dài cung của bất kỳ elip nào từ các trục và góc của nó.

Cung parabol

Độ dài cung của bất kỳ parabol nào từ phương trình của nó.

Cung nửa hình tròn

Độ dài cung của bất kỳ nửa hình tròn nào từ bán kính hoặc đường kính của nó.

Cung hình quạt

Độ dài cung của một hình quạt tròn từ bán kính và góc.

Quy tắc điểm giữa

Độ dài cung theo quy tắc điểm giữa, với hình chữ nhật và kiểm tra sai số.

Điều hướng nhanh Tính trực tuyến Phương pháp Hướng dẫn công thức Ví dụ minh họa Độ và radian Lỗi thường gặp Ứng dụng Câu hỏi thường gặp

Phương pháp

Các phương pháp của máy tính độ dài cung

Máy tính phía trên gồm bảy chế độ. Mỗi chế độ khớp với một định dạng nhập chuẩn trong giải tích. Hãy chọn chế độ có dữ liệu giống bài toán của bạn.

Chế độ	Dữ liệu cần nhập	Khi nào dùng
Đường tròn	Bán kính r, góc ở tâm θ	Đường tròn, hình quạt, bánh xe, cung
Descartes	Hàm y = f(x), khoảng [a, b]	Đồ thị hàm số
Tham số	x(t), y(t), khoảng [a, b]	Quỹ đạo chuyển động, vòng lặp, đường cong đứng
Cực	r(θ), khoảng góc [α, β]	Xoắn ốc, hình tim, đồ thị cực
Số	f(x), khoảng, số khoảng chia n	Tích phân không có dạng đóng
Điểm	Danh sách tọa độ (x, y)	Hành trình GPS, dữ liệu mẫu
3D	x(t), y(t), z(t), khoảng [a, b]	Đường cong không gian, xoắn ốc

Độ dài cung đường tròn

Nhập bán kính r và góc ở tâm θ. Công cụ tính độ dài cung bằng L = rθ, đồng thời cho biết diện tích hình quạt và độ dài dây cung từ cùng hai dữ liệu. Chuyển giữa độ và radian bằng nút DEG/RAD.

L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians})

Đường cong Descartes

Nhập hàm y = f(x) cùng giá trị x bắt đầu và kết thúc a, b. Máy tính lấy đạo hàm của hàm, dựng biểu thức dưới dấu tích phân và tính tích phân xác định bằng số, hiện đầy đủ các bước. Để xem cách suy ra đầy đủ, hãy thử máy tính độ dài cung có từng bước.

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx

Đường cong Descartes y = f(x) với đoạn độ dài cung giữa a và b được tô sáng và phần tử vi phân ds

Đường cong tham số

Nhập x(t) và y(t) với khoảng tham số. Chế độ này hợp với các đường đi mô tả bằng chuyển động theo thời gian, nơi không tọa độ nào là hàm trực tiếp của tọa độ kia. Xem công cụ chuyên dụng máy tính độ dài cung tham số.

L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt

Đường cong tọa độ cực

Nhập r dưới dạng hàm của θ với khoảng góc. Lý tưởng cho đường xoắn ốc, hình tim và các đường cong viết tự nhiên nhất ở dạng tọa độ cực. Cũng có máy tính độ dài cung tọa độ cực riêng.

L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta

Tích phân số

Nhập f(x), khoảng và số khoảng chia n, rồi chọn quy tắc Simpson hoặc quy tắc hình thang. Chế độ này hữu ích khi tích phân độ dài cung không có nguyên hàm sơ cấp hoặc khi bạn muốn so sánh các phương pháp số. Các máy tính quy tắc Simpson và quy tắc hình thang chuyên dụng hiện đầy đủ lời giải.

Điểm tọa độ

Dán hoặc nhập danh sách điểm (x, y). Máy tính cộng các khoảng cách đường thẳng giữa các điểm liên tiếp, xấp xỉ độ dài đường đi qua dữ liệu mẫu như tuyến GPS. Xem thêm công cụ độ dài cung từ các điểm chuyên dụng.

L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_{i})^{2} + (\Delta y_{i})^{2}}

Đường cong 3D

Nhập x(t), y(t) và z(t) với khoảng tham số để đo độ dài đường cong không gian, ví dụ đường xoắn ốc hoặc quỹ đạo 3D. Máy tính độ dài cung 3D chuyên dụng cho cùng phép tính trên trang riêng.

L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt

Hướng dẫn công thức

Công thức độ dài cung

Mỗi công thức độ dài cung dưới đây đều đo cùng một ý tưởng: cộng các đoạn thẳng nhỏ dọc theo đường cong. Công thức đúng phụ thuộc vào cách đường cong được mô tả.

Đường tròn với cung được tô sáng thể hiện bán kính r, góc ở tâm theta và độ dài cung L, minh họa công thức L = r nhân theta

Đường tròn: L = rθ

L = r\theta

Ở đây r là bán kính và θ là góc ở tâm tính bằng radian. Độ dài cung có cùng đơn vị với r: bán kính tính bằng mét thì độ dài cung cũng bằng mét. Đây là trường hợp đơn giản nhất vì đường tròn có độ cong không đổi.

Descartes: tích phân của √(1 + (dy/dx)²)

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx

Dùng khi đường cong là y = f(x) giữa x = a và x = b. Số hạng dy/dx là độ dốc; nơi đường cong dốc, mỗi dx đóng góp nhiều độ dài hơn. Cận a và b là giá trị x, không phải vị trí trên cung.

Tham số: tích phân của √((dx/dt)² + (dy/dt)²)

L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt

Dùng khi x và y đều là hàm của tham số t, với t chạy từ a đến b. Công thức này xử lý các đường cong tạo vòng lặp hoặc thẳng đứng, nơi y không thể viết thành hàm của x.

Tọa độ cực: tích phân của √(r² + (dr/dθ)²)

L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta

Dùng khi đường cong là r = r(θ) với θ từ α đến β. Số hạng r² thể hiện sự quét vòng tròn còn (dr/dθ)² thể hiện sự thay đổi theo bán kính.

3D: tích phân của √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²)

L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt

Mở rộng tự nhiên của công thức tham số sang ba chiều: cộng bình phương vận tốc z dưới dấu căn.

Đường tròn so sánh độ dài cung cong L với độ dài dây cung thẳng c giữa cùng hai đầu mút

Độ dài cung L đi theo đường cong; độ dài dây cung c cắt thẳng qua. Cung luôn dài hơn, trừ trường hợp giới hạn góc bằng 0.

Hướng dẫn

Cách dùng máy tính độ dài cung

01Chọn chế độ khớp với dữ liệu của bạn: Circle, Cartesian, Parametric, Polar, Numerical, Points hoặc 3D.
02Nhập các giá trị. Với đường tròn, nhập bán kính và góc ở tâm. Với đường cong, nhập hàm và cận khoảng.
03Đặt đơn vị góc (chế độ đường tròn): chọn DEG (độ) hoặc RAD (radian) bằng nút chuyển phía trên máy tính.
04Đọc kết quả. Độ dài cung hiện ra cùng lời giải từng bước. Chế độ đường tròn còn hiện diện tích hình quạt và độ dài dây cung.
05Thử ví dụ: trước khi nhập dữ liệu của mình, bấm nút "Try Example" ở bất kỳ chế độ nào để xem định dạng nhập đúng.

Ví dụ minh họa

Ví dụ tính độ dài cung

Mỗi ví dụ dưới đây được giải đầy đủ để bạn kiểm tra từng bước.

Ví dụ 1: Cung tròn từ bán kính và độ

Cho: bán kính r = 5 cm, góc ở tâm θ = 60°.

Công thức: L = rθ, với θ tính bằng radian.

\theta = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472

Thay số: L = 5 × 1,0472.

Đáp số: L ≈ 5,236 cm.

Ví dụ 2: Cung tròn từ bán kính và radian

Cho: bán kính r = 10 m, góc ở tâm θ = 1,5 rad.

Công thức: L = rθ.

Thay số: L = 10 × 1,5 = 15.

Đáp số: L = 15 m. Không cần đổi đơn vị vì góc đã ở dạng radian.

Ví dụ 3: Đường cong Descartes y = x² từ 0 đến 1

Cho: y = x², khoảng [0, 1].

Công thức: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.

\frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx

L = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|2x + \sqrt{1+4x^{2}}\right| \right]_{0}^{1}

Tính toán: tại x = 1, biểu thức trong ngoặc bằng (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1,1180 + 0,3609 = 1,4789; tại x = 0 bằng 0.

Đáp số: L ≈ 1,4789 đơn vị.

Ví dụ 4: Một phần tư đường tròn dạng tham số

Cho: x = 3cos t, y = 3sin t, t từ 0 đến π/2.

Công thức: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

\frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t

\sqrt{9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{\pi/2} 3\,dt = \frac{3\pi}{2}

Đáp số: L = 3π/2 ≈ 4,7124 đơn vị, khớp với một phần tư chu vi đã biết của đường tròn bán kính 3.

Đơn vị góc

Độ và radian

Độ chia một vòng tròn thành 360 phần; radian đo góc bằng độ dài cung trên đường tròn đơn vị, một vòng tròn bằng 2π radian (khoảng 6,2832). Hai đơn vị mô tả cùng các góc: 180° bằng π radian, 90° bằng π/2 radian, và 1 radian khoảng 57,2958°.

Đơn vị rất quan trọng vì công thức đường tròn L = rθ chỉ đúng khi θ tính bằng radian. Nhập 90 độ như 90 radian sẽ làm cung dài gấp khoảng 57,3 lần. Nút DEG/RAD của máy tính sẽ đổi đơn vị giúp bạn, nhưng trước khi tin kết quả hãy luôn kiểm tra đề bài dùng đơn vị nào.

Hai nửa đường tròn đặt cạnh nhau so sánh vạch độ (0, 90, 180 độ) với vạch radian (0, pi/2, pi), cho thấy 180 độ bằng pi radian

Mẹo chính xác

Lỗi thường gặp về độ dài cung

Hầu hết đáp án sai đến từ lỗi thiết lập, không phải từ công thức. Hãy kiểm tra danh sách này trước khi tin kết quả.

Dùng độ trong L = rθ

Công thức đường tròn cần radian. Nhập 90 thay vì π/2 làm đáp án phình to gấp khoảng 57 lần. Dùng nút DEG/RAD hoặc đổi đơn vị trước.

Nhập đường kính thay vì bán kính

L = rθ dùng bán kính. Nếu đề bài cho đường kính, hãy chia đôi trước, nếu không đáp án sẽ gấp đúng hai lần giá trị đúng.

Cận tích phân sai

Với y = f(x), cận là giá trị x; ở chế độ tham số là giá trị t; ở tọa độ cực là góc. Nhầm lẫn sẽ đo nhầm đoạn.

Sai công thức cho loại đường cong

Đường cong tọa độ cực cần công thức tọa độ cực với số hạng r², còn đường cong tham số cần cả hai đạo hàm. Hãy chọn chế độ khớp với cách đường cong được viết.

Quá ít khoảng chia số

Quy tắc Simpson và hình thang càng chính xác khi n lớn. Nếu hai lần chạy với n khác nhau lệch nhau đáng kể, hãy tăng n đến khi kết quả ổn định.

Coi giá trị xấp xỉ là chính xác

Tích phân số và phép cộng từng điểm là xấp xỉ. Chúng hội tụ về độ dài thực nhưng không phải đẳng thức chính xác như L = rθ của đường tròn.

Ứng dụng thực tế

Ứng dụng của độ dài cung

Hình học

Tính chu vi của hình quạt tròn, độ dài đường biên cong và khoảng cách dọc theo cung trong bản vẽ xây dựng.

Kỹ thuật

Ước lượng độ dài cáp và dây đai quanh ròng rọc, độ dư uốn ống và vật liệu cần cho chi tiết cong.

Vật lý

Tính quãng đường đi được dọc theo quỹ đạo cong và liên hệ vị trí trên cung với chuyển động góc.

Kiến trúc

Đo mặt tiền cong, ô cửa vòm và khoảng cách lối đi uốn lượn từ bản vẽ thiết kế.

Robot

Tính quãng đường đầu tay robot di chuyển dọc theo đường cong đã lập trình để lên kế hoạch thời gian và năng lượng.

Giải tích

Luyện tập thiết lập và tính tích phân độ dài cung, ứng dụng kinh điển của tích phân vào hình học.

Đồ họa máy tính

Tham số hóa đường cong theo độ dài cung để làm hoạt hình tốc độ đều và lấy mẫu cách đều dọc đường đi.

Câu hỏi thường gặp

Câu hỏi thường gặp về độ dài cung

Máy tính độ dài cung là gì?

Máy tính độ dài cung đo khoảng cách dọc theo đường cong giữa hai điểm. Bạn nhập định nghĩa đường cong (ví dụ bán kính và góc, hoặc hàm với cận khoảng) và nó trả về độ dài, thường kèm lời giải từng bước.

Tính độ dài cung như thế nào?

Với đường tròn, nhân bán kính với góc ở tâm tính bằng radian (L = rθ). Với đường cong khác, dùng công thức tích phân tương ứng, hoặc nhập hàm vào máy tính phía trên rồi chọn đúng chế độ.

Công thức độ dài cung là gì?

Công thức đường tròn là L = rθ. Đường cong Descartes dùng L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, đường tham số dùng L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, đường tọa độ cực dùng L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, và đường 3D thêm số hạng z dưới dấu căn.

Không có bán kính có tính được độ dài cung không?

Với đường tròn bạn cần bán kính (hoặc đường kính, gấp đôi bán kính). Với đường cong tổng quát thì không cần bán kính: các chế độ Descartes, tham số, tọa độ cực và điểm tính từ hàm hoặc tọa độ.

Nên dùng độ hay radian?

Dùng radian trong công thức L = rθ. Nếu góc ở đơn vị độ, hãy đổi trước (radian = độ × π/180) hoặc dùng nút DEG/RAD của máy tính, nó sẽ tự đổi đơn vị.

Độ dài cung và độ dài dây cung khác nhau thế nào?

Độ dài cung đi theo đường cong; độ dài dây cung là đoạn thẳng nối hai đầu mút của cung. Dây cung luôn ngắn hơn (với đường tròn c = 2r·sin(θ/2)). Xem hình so sánh trong phần công thức phía trên.

Tính độ dài cung của đường cong tham số như thế nào?

Nhập x(t) và y(t) cùng khoảng tham số vào chế độ tham số. Máy tính sẽ tính ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt trên khoảng của bạn và hiện các bước.

Có tính được độ dài cung trong 3D không?

Có. Nhập x(t), y(t) và z(t) vào chế độ 3D. Công thức mở rộng phiên bản tham số với đạo hàm z: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.

Đáp án dùng đơn vị gì?

Kết quả dùng cùng đơn vị độ dài với dữ liệu bạn nhập. Bán kính tính bằng centimet thì độ dài cung cũng bằng centimet. Góc sau khi đổi sang radian thì tự thân không có đơn vị.

Vì sao kết quả số của tôi hơi khác giá trị chính xác?

Các phương pháp số (Simpson, hình thang) xấp xỉ tích phân. Tăng số khoảng chia n để có kết quả gần hơn, và đối chiếu với trường hợp đã biết để xác nhận cách thiết lập.