Ein erstklassiges Mathematik-Tool zur Berechnung präziser Bogenlängen von Kreisen, Kurven und parametrischen Gleichungen mit visuellem Live-Feedback.
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Goldene Punkte markieren den Mittelpunkt jedes Teilintervalls.
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Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Verfeinerungen sind ein praktischer Fehlerindikator, keine garantierte Fehlerschranke.
Berechnungsfehler
Radius und Winkel, mit Sektorfläche und Sehne.
Kurven x(t) und y(t) über beliebiges Intervall.
Kurven als r(θ) in Polarform.
Kartesische Bogenlänge mit allen Rechenschritten.
Raumkurven x(t), y(t) und z(t).
Numerische Integration mit der Simpson-Regel.
Numerische Integration, Trapezregel.
Weglänge durch Koordinatenpunkte.
EllipsenbogenBogenlänge einer beliebigen Ellipse aus ihren Achsen und Winkeln.
ParabelbogenBogenlänge einer beliebigen Parabel aus ihrer Gleichung.
HalbkreisbogenBogenlänge eines beliebigen Halbkreises aus Radius oder Durchmesser.
SektorbogenBogenlänge eines Kreissektors aus Radius und Winkel.
MittelpunktregelBogenlänge nach der Mittelpunktregel, mit Rechtecken und Fehlerprüfung.
Der Rechner oben umfasst sieben Modi. Jeder entspricht einem Standard-Eingabeformat aus der Analysis. Wählen Sie den Modus, dessen Eingaben Ihrer Aufgabe ähneln.
| Modus | Benötigte Eingaben | Wann verwenden |
|---|---|---|
| Kreis | Radius r, Mittelpunktswinkel θ | Kreise, Sektoren, Räder, Bögen |
| Kartesisch | Funktion y = f(x), Intervall [a, b] | Funktionsgraphen |
| Parametrisch | x(t), y(t), Intervall [a, b] | Bewegungspfade, Schleifen, vertikale Kurven |
| Polar | r(θ), Winkelintervall [α, β] | Spiralen, Kardioiden, Polargraphen |
| Numerisch | f(x), Intervall, Unterteilungen n | Integrale ohne geschlossene Form |
| Punkte | Liste von (x, y) Koordinaten | GPS-Tracks, Stichprobendaten |
| 3D | x(t), y(t), z(t), Intervall [a, b] | Raumkurven, Helices, Trajektorien |
Geben Sie den Radius r und den Zentriwinkel θ ein. Das Tool berechnet die Bogenlänge mit L = rθ und meldet aus denselben zwei Eingaben außerdem die Sektorfläche und die Sehnenlänge. Wechseln Sie mit dem DEG/RAD-Schalter zwischen Grad und Radiant.
Geben Sie eine Funktion y = f(x) sowie die Start- und End-x-Werte a und b ein. Der Rechner differenziert die Funktion, bildet den Integranden und wertet das bestimmte Integral numerisch aus, mit allen Schritten. Für die vollständige Herleitung probieren Sie den Bogenlängenrechner mit Schritten.
Geben Sie x(t) und y(t) mit dem Parameterintervall ein. Dieser Modus eignet sich für Wege, die durch Bewegung über die Zeit beschrieben werden, bei denen keine Koordinate eine direkte Funktion der anderen ist. Für ein eigenes Tool siehe den parametrischen Bogenlängenrechner.
Geben Sie r als Funktion von θ mit dem Winkelintervall ein. Ideal für Spiralen, Kardioiden und andere Kurven, die sich am natürlichsten in Polarform schreiben lassen. Ein eigenständiger polarer Bogenlängenrechner ist ebenfalls verfügbar.
Geben Sie f(x), das Intervall und die Anzahl der Unterteilungen n ein und wählen Sie dann die Simpson-Regel oder die Trapezregel. Dieser Modus ist nützlich, wenn das Bogenlängenintegral keine elementare Stammfunktion hat oder wenn Sie numerische Methoden vergleichen möchten. Die eigenen Rechner für Simpson-Regel und Trapezregel zeigen die komplette Rechnung.
Fügen Sie eine Liste von (x, y)-Punkten ein oder tippen Sie sie ein. Der Rechner summiert die geradlinigen Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Punkten, was die Weglänge durch abgetastete Daten wie GPS-Tracks annähert. Siehe auch das eigene Tool Bogenlänge aus Punkten.
Geben Sie x(t), y(t) und z(t) mit dem Parameterintervall ein, um die Länge einer Raumkurve zu messen, zum Beispiel einer Helix oder einer 3D-Trajektorie. Der 3D-Bogenlängenrechner bietet dieselbe Berechnung auf einer eigenen Seite.
Jede Bogenlängenformel unten misst dieselbe Idee: winzige gerade Segmente entlang der Kurve aufaddieren. Die richtige Formel hängt davon ab, wie die Kurve beschrieben ist.
Hier ist r der Radius und θ der Zentriwinkel in Radiant. Die Bogenlänge trägt dieselbe Einheit wie r: ein Radius in Metern ergibt eine Bogenlänge in Metern. Dies ist der einfachste Fall, weil ein Kreis konstante Krümmung hat.
Verwenden Sie diese, wenn die Kurve y = f(x) zwischen x = a und x = b ist. Der Term dy/dx ist die Steigung; wo die Kurve steil ist, trägt jedes dx mehr Länge bei. Die Grenzen a und b sind x-Werte, keine Bogenpositionen.
Verwenden Sie diese, wenn x und y beide Funktionen eines Parameters t sind, mit t von a bis b. Dies bewältigt Kurven, die Schleifen bilden oder vertikal verlaufen, wo y sich nicht als Funktion von x schreiben lässt.
Verwenden Sie diese, wenn die Kurve r = r(θ) ist, mit θ von α bis β. Der r²-Term berücksichtigt den kreisförmigen Umlauf, während (dr/dθ)² die radiale Änderung berücksichtigt.
Die natürliche Erweiterung der parametrischen Formel in drei Dimensionen: Fügen Sie die quadrierte z-Geschwindigkeit unter der Wurzel hinzu.
Die Bogenlänge L folgt der Kurve; die Sehnenlänge c schneidet gerade hindurch. Der Bogen ist immer länger, außer im Grenzfall eines Winkels von null.
Jedes Beispiel unten ist vollständig durchgerechnet, sodass Sie jeden Schritt prüfen können.
Gegeben: Radius r = 5 cm, Zentriwinkel θ = 60°.
Formel: L = rθ, mit θ in Radiant.
Einsetzen: L = 5 × 1.0472.
Antwort: L ≈ 5.236 cm.
Gegeben: Radius r = 10 m, Zentriwinkel θ = 1.5 rad.
Formel: L = rθ.
Einsetzen: L = 10 × 1.5 = 15.
Antwort: L = 15 m. Keine Umrechnung nötig, da der Winkel bereits in Radiant vorliegt.
Gegeben: y = x², Intervall [0, 1].
Formel: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.
Rechnung: bei x = 1 ist die Klammer gleich (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789; bei x = 0 ist sie gleich 0.
Antwort: L ≈ 1.4789 Einheiten.
Gegeben: x = 3cos t, y = 3sin t, t von 0 bis π/2.
Formel: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.
Antwort: L = 3π/2 ≈ 4.7124 Einheiten, was dem bekannten Viertelumfang eines Kreises mit Radius 3 entspricht.
Grad teilen eine volle Umdrehung in 360 Teile; Radiant messen den Winkel über die Bogenlänge auf einem Einheitskreis, wobei eine volle Umdrehung 2π Radiant (etwa 6.2832) entspricht. Beide Einheiten beschreiben dieselben Winkel: 180° entsprechen π Radiant, 90° entsprechen π/2 Radiant, und 1 Radiant sind etwa 57.2958°.
Die Einheit ist wichtig, weil die Kreisformel L = rθ nur korrekt ist, wenn θ in Radiant angegeben ist. 90 Grad als 90 Radiant einzugeben würde den Bogen um einen Faktor von etwa 57.3 übertreiben. Der DEG/RAD-Schalter des Rechners rechnet für Sie um, aber prüfen Sie immer, welche Einheit Ihre Aufgabe verwendet, bevor Sie dem Ergebnis vertrauen.
Die meisten falschen Antworten kommen von Aufbaufehlern, nicht von der Formel selbst. Gehen Sie diese Liste durch, bevor Sie einem Ergebnis vertrauen.
Die Kreisformel braucht Radiant. 90 statt π/2 einzugeben bläht die Antwort etwa um das 57-Fache auf. Nutzen Sie den DEG/RAD-Schalter oder rechnen Sie zuerst um.
L = rθ verwendet den Radius. Gibt Ihre Aufgabe den Durchmesser an, halbieren Sie ihn zuerst, sonst ist Ihre Antwort genau doppelt so groß wie der korrekte Wert.
Für y = f(x) sind die Grenzen x-Werte; für den parametrischen Modus sind es t-Werte; für den polaren Modus sind es Winkel. Werden sie verwechselt, wird das falsche Segment gemessen.
Eine Polarkurve braucht die Polarformel mit ihrem r²-Term, und eine parametrische Kurve braucht beide Ableitungen. Wählen Sie den Modus, der dazu passt, wie Ihre Kurve geschrieben ist.
Die Simpson- und die Trapezregel verbessern sich, wenn n wächst. Weichen zwei Läufe mit unterschiedlichem n merklich voneinander ab, erhöhen Sie n, bis sich das Ergebnis stabilisiert.
Numerische Integration und punktweise Summation sind Näherungen. Sie konvergieren zur wahren Länge, sind aber keine exakten Identitäten wie L = rθ für Kreise.
Finden Sie Umfänge von Kreissektoren, Längen gekrümmter Begrenzungen und Distanzen entlang von Bögen in Bauplänen.
Schätzen Sie Kabel- und Riemenlängen um Riemenscheiben, Biegezugaben für Rohre und Materialbedarf für gekrümmte Teile.
Berechnen Sie zurückgelegte Distanzen entlang gekrümmter Bahnen und setzen Sie Bogenposition mit Winkelbewegung in Beziehung.
Messen Sie gekrümmte Fassaden, Bogenöffnungen und Distanzen gewundener Wege anhand von Planzeichnungen.
Berechnen Sie die Wegstrecke der Spitze eines Roboterarms entlang einer programmierten gekrümmten Bahn, um Zeit und Energieeinsatz zu planen.
Üben Sie das Aufstellen und Auswerten von Bogenlängenintegralen, der klassischen Anwendung der Integration auf die Geometrie.
Parametrisieren Sie Kurven nach Bogenlänge für Animation mit konstanter Geschwindigkeit und gleichmäßig verteilte Abtastung entlang von Wegen.
Ein Bogenlängenrechner misst die Distanz entlang einer Kurve zwischen zwei Punkten. Sie geben die Kurvendefinition ein (zum Beispiel Radius und Winkel oder eine Funktion mit Intervallgrenzen) und er liefert die Länge, meist mit schrittweiser Rechnung.
Für einen Kreis multiplizieren Sie den Radius mit dem Zentriwinkel in Radiant (L = rθ). Für andere Kurven verwenden Sie die passende Integralformel oder geben die Funktion in den Rechner oben ein und wählen den richtigen Modus.
Die Kreisformel lautet L = rθ. Kartesische Kurven verwenden L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, parametrische Kurven verwenden L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, Polarkurven verwenden L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, und 3D-Kurven fügen den z-Term unter der Wurzel hinzu.
Für Kreise brauchen Sie den Radius (oder den Durchmesser, der doppelt so groß ist wie der Radius). Für allgemeine Kurven brauchen Sie gar keinen Radius: Die kartesischen, parametrischen, polaren und Punkte-Modi arbeiten stattdessen mit Funktionen oder Koordinaten.
Verwenden Sie Radiant in der Formel L = rθ. Ist Ihr Winkel in Grad, rechnen Sie zuerst um (Radiant = Grad × π/180) oder nutzen Sie den DEG/RAD-Schalter des Rechners, der die Umrechnung automatisch übernimmt.
Die Bogenlänge folgt der Kurve; die Sehnenlänge ist die gerade Linie zwischen den Endpunkten des Bogens. Die Sehne ist immer kürzer (c = 2r·sin(θ/2) für einen Kreis). Siehe das Vergleichsdiagramm im Formelabschnitt oben.
Geben Sie x(t) und y(t) mit dem Parameterintervall im parametrischen Modus ein. Der Rechner wertet ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt über Ihr Intervall aus und zeigt die Schritte.
Ja. Geben Sie x(t), y(t) und z(t) im 3D-Modus ein. Die Formel erweitert die parametrische Version um die z-Ableitung: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.
Das Ergebnis verwendet dieselbe Längeneinheit wie Ihre Eingaben. Ist der Radius in Zentimetern, ist die Bogenlänge in Zentimetern. Winkel selbst sind einheitenlos, sobald sie in Radiant umgerechnet sind.
Numerische Methoden (Simpson, Trapez) nähern das Integral an. Erhöhen Sie die Anzahl der Unterteilungen n für ein genaueres Ergebnis und vergleichen Sie mit einem bekannten Fall, um Ihren Aufbau zu bestätigen.