Un outil mathématique haut de gamme pour calculer des longueurs d'arc précises de cercles, de courbes et d'équations paramétriques avec un retour visuel en direct.
Utilisation gratuite ·Aucune inscription ·Fonctionne dans votre navigateur
Les points dorés marquent le point milieu de chaque sous-intervalle.
Survolez un rectangle pour voir son sous-intervalle, son point milieu, sa valeur d'intégrande et sa contribution.
Les différences entre raffinements successifs sont un indicateur d'erreur pratique, pas une borne d'erreur garantie.
Erreur de calcul
Rayon et angle, avec aire du secteur et corde.
Courbes x(t) et y(t) sur tout intervalle.
Courbes données sous la forme r(θ) en coordonnées polaires.
Longueur d'arc cartésienne avec toutes les étapes.
Courbes spatiales x(t), y(t) et z(t).
Intégration numérique avec la règle de Simpson.
Intégration numérique, règle des trapèzes.
Longueur de trajectoire à travers des points de coordonnées.
Arc d'ellipseLongueur d'arc de n'importe quelle ellipse à partir de ses axes et de ses angles.
Arc de paraboleLongueur d'arc de n'importe quelle parabole à partir de son équation.
Arc de demi-cercleLongueur d'arc de n'importe quel demi-cercle à partir du rayon ou du diamètre.
Arc de secteurLongueur d'arc d'un secteur circulaire à partir du rayon et de l'angle.
Règle du point milieuLongueur d'arc par la règle du point milieu, avec rectangles et contrôles d'erreur.
La calculatrice ci-dessus comprend sept modes. Chacun correspond à un format d'entrée standard du calcul intégral. Choisissez le mode dont les entrées ressemblent à votre problème.
| Mode | Entrées requises | Quand utiliser |
|---|---|---|
| Cercle | Rayon r, angle au centre θ | Cercles, secteurs, roues, arcs |
| Cartésien | Fonction y = f(x), intervalle [a, b] | Graphes de fonctions |
| Paramétrique | x(t), y(t), intervalle [a, b] | Trajectoires, boucles, courbes verticales |
| Polaire | r(θ), intervalle angulaire [α, β] | Spirales, cardioïdes, graphes polaires |
| Numérique | f(x), intervalle, subdivisions n | Intégrales sans forme close |
| Points | Liste de coordonnées (x, y) | Traces GPS, données échantillonnées |
| 3D | x(t), y(t), z(t), intervalle [a, b] | Courbes spatiales, hélices |
Saisissez le rayon r et l'angle central θ. L'outil calcule la longueur d'arc avec L = rθ, et indique aussi l'aire du secteur et la longueur de la corde à partir des deux mêmes entrées. Basculez entre degrés et radians avec le sélecteur DEG/RAD.
Saisissez une fonction y = f(x) ainsi que les valeurs de x de début et de fin, a et b. La calculatrice dérive la fonction, construit l'intégrande et évalue numériquement l'intégrale définie en affichant toutes les étapes. Pour la démonstration complète, essayez la calculatrice de longueur d'arc avec étapes.
Saisissez x(t) et y(t) avec l'intervalle du paramètre. Ce mode convient aux trajectoires décrites par un mouvement dans le temps, où aucune coordonnée n'est une fonction directe de l'autre. Pour un outil dédié, consultez la calculatrice de longueur d'arc paramétrique.
Saisissez r en fonction de θ avec l'intervalle d'angle. Idéal pour les spirales, les cardioïdes et autres courbes qui s'écrivent le plus naturellement en forme polaire. Une calculatrice de longueur d'arc polaire autonome est également disponible.
Saisissez f(x), l'intervalle et le nombre de subdivisions n, puis choisissez la règle de Simpson ou la règle des trapèzes. Ce mode est utile lorsque l'intégrale de longueur d'arc n'a pas de primitive élémentaire ou lorsque vous voulez comparer des méthodes numériques. Les calculatrices dédiées de la règle de Simpson et de la règle des trapèzes montrent tout le détail.
Collez ou tapez une liste de points (x, y). La calculatrice additionne les distances en ligne droite entre points consécutifs, ce qui approxime la longueur de la trajectoire à travers des données échantillonnées comme des traces GPS. Consultez aussi l'outil dédié longueur d'arc depuis des points.
Saisissez x(t), y(t) et z(t) avec l'intervalle du paramètre pour mesurer la longueur d'une courbe spatiale, par exemple une hélice ou une trajectoire en 3D. La calculatrice de longueur d'arc en 3D propose le même calcul sur sa propre page.
Chaque formule de longueur d'arc ci-dessous mesure la même idée : additionner de minuscules segments droits le long de la courbe. La bonne formule dépend de la façon dont la courbe est décrite.
Ici r est le rayon et θ est l'angle central en radians. La longueur d'arc porte la même unité que r : un rayon en mètres donne une longueur d'arc en mètres. C'est le cas le plus simple car un cercle a une courbure constante.
À utiliser quand la courbe est y = f(x) entre x = a et x = b. Le terme dy/dx est la pente ; là où la courbe est raide, chaque dx apporte plus de longueur. Les bornes a et b sont des valeurs de x, pas des positions sur l'arc.
À utiliser quand x et y sont tous deux fonctions d'un paramètre t, avec t allant de a à b. Cela gère les courbes qui bouclent ou sont verticales, où y ne peut pas s'écrire comme fonction de x.
À utiliser quand la courbe est r = r(θ) avec θ de α à β. Le terme r² rend compte du balayage circulaire tandis que (dr/dθ)² rend compte du changement radial.
L'extension naturelle de la formule paramétrique à trois dimensions : ajoutez la vitesse z au carré sous la racine.
La longueur d'arc L suit la courbe ; la longueur de la corde c coupe en ligne droite. L'arc est toujours plus long, sauf dans le cas limite d'un angle nul.
Chaque exemple ci-dessous est entièrement détaillé pour que vous puissiez vérifier chaque étape.
Données : rayon r = 5 cm, angle central θ = 60°.
Formule : L = rθ, avec θ en radians.
Substitution : L = 5 × 1.0472.
Réponse : L ≈ 5.236 cm.
Données : rayon r = 10 m, angle central θ = 1.5 rad.
Formule : L = rθ.
Substitution : L = 10 × 1.5 = 15.
Réponse : L = 15 m. Aucune conversion n'est nécessaire car l'angle est déjà en radians.
Données : y = x², intervalle [0, 1].
Formule : L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.
Calcul : en x = 1, le crochet vaut (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789 ; en x = 0, il vaut 0.
Réponse : L ≈ 1.4789 unités.
Données : x = 3cos t, y = 3sin t, t de 0 à π/2.
Formule : L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.
Réponse : L = 3π/2 ≈ 4.7124 unités, ce qui correspond au quart de circonférence connu d'un cercle de rayon 3.
Les degrés divisent un tour complet en 360 parties ; les radians mesurent l'angle par la longueur d'arc sur un cercle unité, un tour complet valant 2π radians (environ 6.2832). Les deux unités décrivent les mêmes angles : 180° valent π radians, 90° valent π/2 radians, et 1 radian vaut environ 57.2958°.
L'unité compte car la formule du cercle L = rθ n'est correcte que lorsque θ est en radians. Saisir 90 degrés comme 90 radians surestimerait l'arc d'un facteur d'environ 57.3. Le sélecteur DEG/RAD de la calculatrice convertit pour vous, mais vérifiez toujours quelle unité votre problème utilise avant de faire confiance au résultat.
La plupart des mauvaises réponses viennent d'erreurs de mise en place, pas de la formule elle-même. Consultez cette liste avant de faire confiance à un résultat.
La formule du cercle exige des radians. Saisir 90 au lieu de π/2 gonfle la réponse d'environ 57 fois. Utilisez le sélecteur DEG/RAD ou convertissez d'abord.
L = rθ utilise le rayon. Si votre problème donne le diamètre, divisez-le d'abord par deux, sinon votre réponse sera exactement le double de la valeur correcte.
Pour y = f(x), les bornes sont des valeurs de x ; pour le mode paramétrique, ce sont des valeurs de t ; pour le mode polaire, ce sont des angles. Les mélanger mesure le mauvais segment.
Une courbe polaire exige la formule polaire avec son terme r², et une courbe paramétrique exige les deux dérivées. Choisissez le mode qui correspond à la façon dont votre courbe est écrite.
Les règles de Simpson et des trapèzes s'améliorent à mesure que n grandit. Si deux exécutions avec des n différents diffèrent sensiblement, augmentez n jusqu'à ce que le résultat se stabilise.
L'intégration numérique et la somme point à point sont des approximations. Elles convergent vers la vraie longueur mais ne sont pas des identités exactes comme L = rθ pour les cercles.
Trouvez les périmètres de secteurs circulaires, les longueurs de contours courbes et les distances le long d'arcs dans les plans de construction.
Estimez les longueurs de câbles et de courroies autour des poulies, les tolérances de cintrage des tuyaux et le matériau nécessaire pour les pièces courbes.
Calculez les distances parcourues le long de trajectoires courbes et reliez la position sur l'arc au mouvement angulaire.
Mesurez les façades courbes, les ouvertures en arc et les distances des allées sinueuses à partir des plans.
Calculez la distance parcourue par l'extrémité d'un bras robotique le long d'une trajectoire courbe programmée pour planifier le temps et l'énergie.
Entraînez-vous à poser et à évaluer des intégrales de longueur d'arc, l'application classique de l'intégration à la géométrie.
Paramétrez les courbes par la longueur d'arc pour une animation à vitesse constante et un échantillonnage régulièrement espacé le long des trajectoires.
Une calculatrice de longueur d'arc mesure la distance le long d'une courbe entre deux points. Vous saisissez la définition de la courbe (par exemple rayon et angle, ou une fonction avec bornes d'intervalle) et elle renvoie la longueur, généralement avec le détail étape par étape.
Pour un cercle, multipliez le rayon par l'angle central en radians (L = rθ). Pour les autres courbes, utilisez la formule intégrale correspondante, ou saisissez la fonction dans la calculatrice ci-dessus et choisissez le bon mode.
La formule du cercle est L = rθ. Les courbes cartésiennes utilisent L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, les courbes paramétriques utilisent L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, les courbes polaires utilisent L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, et les courbes en 3D ajoutent le terme z sous la racine.
Pour les cercles, vous avez besoin du rayon (ou du diamètre, qui vaut deux fois le rayon). Pour les courbes générales, aucun rayon n'est nécessaire : les modes cartésien, paramétrique, polaire et points fonctionnent à partir de fonctions ou de coordonnées.
Utilisez des radians dans la formule L = rθ. Si votre angle est en degrés, convertissez d'abord (radians = degrés × π/180) ou utilisez le sélecteur DEG/RAD de la calculatrice, qui gère la conversion automatiquement.
La longueur d'arc suit la courbe ; la longueur de la corde est la ligne droite entre les extrémités de l'arc. La corde est toujours plus courte (c = 2r·sin(θ/2) pour un cercle). Consultez le schéma comparatif dans la section des formules ci-dessus.
Saisissez x(t) et y(t) avec l'intervalle du paramètre dans le mode paramétrique. La calculatrice évalue ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt sur votre intervalle et affiche les étapes.
Oui. Saisissez x(t), y(t) et z(t) dans le mode 3D. La formule étend la version paramétrique avec la dérivée z : L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.
Le résultat utilise la même unité de longueur que vos entrées. Si le rayon est en centimètres, la longueur d'arc est en centimètres. Les angles eux-mêmes sont sans unité une fois convertis en radians.
Les méthodes numériques (Simpson, trapèzes) approximent l'intégrale. Augmentez le nombre de subdivisions n pour un résultat plus proche, et comparez avec un cas connu pour confirmer votre mise en place.