Máy tính độ dài cung nửa hình tròn

Máy tính độ dài cung nửa hình tròn đo độ dài cong của một nửa hình tròn từ bất kỳ số đo nào bạn đã có: bán kính, đường kính, chu vi hình tròn đầy đủ hoặc diện tích nửa hình tròn. Trang mở ra với bảng Nửa hình tròn đang hoạt động, hiển thị công thức L = πr. Hãy làm theo các bước sau để có đáp án đúng trong chưa đầy một phút.

1. Chọn phương pháp nhập. Chọn Bán kính, Đường kính, Chu vi hình tròn đầy đủ hoặc Diện tích nửa hình tròn. Ô nhập, nhãn của nó và danh sách đơn vị sẽ thay đổi theo phương pháp bạn chọn.
2. Nhập số đo của bạn. Gõ giá trị vào ô nhập. Đối với dữ liệu diện tích, hãy dùng danh sách đơn vị vuông (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Chọn đơn vị đầu vào và đơn vị đầu ra. Máy tính chuyển đổi dữ liệu của bạn sang một đơn vị nội bộ thống nhất, tính toán, rồi chuyển đáp án sang đơn vị đầu ra của bạn. Con số thay đổi theo đơn vị; độ dài thì không.
4. Chọn hướng. Trên, Dưới, Trái hoặc Phải chỉ thay đổi sơ đồ trực tiếp. Độ dài cung vẫn giữ nguyên với cùng một bán kính.
5. Chọn độ chính xác. Chọn 2, 4, 6 hoặc 8 chữ số thập phân. Mặc định là 4. Máy tính luôn dùng giá trị đầy đủ của π trong nội bộ và chỉ làm tròn kết quả hiển thị.
6. Nhấn Tính ngay. Máy tính hiển thị độ dài cung cong làm kết quả chính, cùng với bán kính, đường kính, chu vi toàn phần, diện tích nửa hình tròn, chu vi hình tròn đầy đủ, diện tích hình tròn đầy đủ, góc ở tâm, độ dài dây cung và tỉ số cung trên đường kính.
7. Khám phá sơ đồ. Sơ đồ trực tiếp vẽ nửa hình tròn với tâm O, bán kính r, đường kính d, các đầu mút và góc ở tâm 180°. Dùng các nút chuyển để hiển thị hoặc ẩn bán kính, đường kính, điểm tâm và thông tin góc.
8. Sao chép, in hoặc đặt lại. Dùng Sao chép kết quả để đưa đáp án vào bộ nhớ tạm, In tóm tắt để có một báo cáo đơn giản, hoặc Đặt lại để xóa bảng. Nút Đổi hướng sẽ lần lượt chuyển qua bốn hướng chỉ bằng một lần nhấn.

Thử một ví dụ. Các nút giá trị mẫu nạp ngay các giá trị đã kiểm chứng: bán kính 5 cho 15.7079632679 đơn vị, đường kính 12 cho 18.8495559215 đơn vị, bán kính 10 cho 31.4159265359 đơn vị, bán kính 7.5 cho 23.5619449019 đơn vị, diện tích 50 cho bán kính 5.6418958355 và độ dài cung 17.7245385091 đơn vị, và chu vi 62.8318530718 cho bán kính 10 và độ dài cung 31.4159265359 đơn vị.

Mẹo quan trọng. Giữ mọi giá trị cùng một đơn vị trước khi so sánh chúng. Độ dài cung chỉ là biên cong; đường kính không thuộc về nó. Nếu bạn nhập đường kính, máy tính sẽ chia đôi nó để tìm bán kính trước. Số đo bằng 0 hoặc âm không phải là một nửa hình tròn hợp lệ, vì vậy máy tính sẽ từ chối nó thay vì hiển thị một đáp án gây hiểu lầm.

Nửa hình tròn là chính xác một nửa của một hình tròn, cắt dọc theo một đường kính. Nó có một biên cong, gọi là cung, và một biên thẳng, là đường kính. Độ dài cung của nửa hình tròn là khoảng cách dọc theo biên cong mà thôi, từ một đầu mút của đường kính đến đầu mút còn lại, men theo đường cong.

Hãy hình dung một cửa sổ vòm hình nửa hình tròn. Độ dài cung là độ dài của khung cong quanh phía trên. Bệ thẳng ngang phía dưới là đường kính, và nó không thuộc độ dài cung. Nếu bạn uốn một thước dây thẳng quanh đường cong, số đọc trên thước sẽ là độ dài cung.

Mọi nửa hình tròn đều có cùng hình dạng, chỉ khác nhau theo bán kính. Tâm O nằm tại trung điểm của đường kính. Bán kính r chạy từ O đến bất kỳ điểm nào trên cung. Đường kính d chạy từ đầu mút này sang đầu mút kia qua O, và nó luôn gấp đôi bán kính. Góc ở tâm, góc tại O giữa hai bán kính đến các đầu mút, luôn bằng 180°, tức là π radian.

Độ dài cung khác với đường kính theo cách khiến nhiều người bất ngờ: đường cong dài hơn đường thẳng ngang qua nó. Với bán kính 5 đơn vị, đường kính là 10 đơn vị, nhưng cung dài 15.7079632679 đơn vị, dài hơn đường kính khoảng 57.08%. Phần dài thêm đó chính là lý do độ dài cung cần một phép tính riêng.

Nửa hình tròn không giống như một nửa hình tròn vẽ tùy ý. Vết cắt phải đi qua tâm, để hai nửa bằng nhau và mỗi góc ở tâm đúng bằng 180°. Một hình bị cắt lệch tâm là một hình viên phân tròn, không phải nửa hình tròn, và độ dài cung của nó tuân theo một công thức khác.

Độ dài cung của nửa hình tròn suy ra trực tiếp từ chu vi của một hình tròn đầy đủ. Chu vi của một hình tròn hoàn chỉnh là:

Nửa hình tròn là một nửa của hình tròn đó, vì vậy biên cong của nó bằng một nửa chu vi đầy đủ:

Mỗi ký hiệu trong công thức có một ý nghĩa chính xác:

Dùng đường kính thay cho bán kính sẽ cho một dạng thứ hai của cùng công thức. Vì d = 2r, nên r = d / 2, và thay vào sẽ được:

Cả hai dạng đều cho cùng một đáp án. Dùng L = πr khi bạn biết bán kính, và L = πd / 2 khi bạn biết đường kính. Công thức độ dài cung tổng quát L = rθ cũng phù hợp: với θ = π radian, L = r × π = πr.

Tính độ dài cung nửa hình tròn bằng tay gồm sáu bước. Ví dụ minh họa dưới đây dùng bán kính 5 cm.

1. Xác định bán kính. r = 5 cm.
2. Viết công thức độ dài cung nửa hình tròn. L = πr.
3. Thay bán kính vào. L = π × 5.
4. Nhân với π. π × 5 = 15.7079632679, dùng giá trị đầy đủ của π = 3.141592653589793.
5. Gắn đơn vị. Đáp án là một độ dài, nên nó mang cùng đơn vị với bán kính: xăng-ti-mét.
6. Làm tròn theo độ chính xác yêu cầu. Đến hai chữ số thập phân, L = 15.71 cm. Đến bốn chữ số thập phân, L = 15.7080 cm.

Sáu bước trên áp dụng cho mọi bán kính. Bán kính 3 đơn vị cho L = π × 3 = 9.4247779608 đơn vị. Bán kính 8 đơn vị cho L = π × 8 = 25.1327412287 đơn vị. Bán kính 1 đơn vị cho L = π = 3.1415926536 đơn vị, đây là cung nửa hình tròn ngắn nhất bạn có thể có với bán kính là số nguyên và cũng là một phép kiểm tra hữu ích: nếu máy tính của bạn cho ra bất kỳ giá trị nào khác với r = 1, nghĩa là có gì đó sai.

Quy tắc làm tròn. Chỉ làm tròn ở cuối. Nếu bạn thay π bằng 3.14 trước khi nhân, bán kính 5 sẽ cho 15.70 thay vì 15.7079632679, sai lệch 0.0079632679. Sai số này tăng theo bán kính, vì vậy hãy giữ độ chính xác đầy đủ trong suốt phép tính và chỉ làm tròn kết quả cuối cùng được hiển thị.

Khi bạn biết đường kính thay vì bán kính, hãy chia đôi trước, rồi áp dụng cùng một công thức. Ví dụ minh họa dưới đây dùng đường kính 12 đơn vị.

1. Xác định đường kính. d = 12 đơn vị.
2. Tìm bán kính. r = d / 2 = 12 / 2 = 6 đơn vị.
3. Viết công thức. L = πr, hoặc trực tiếp L = πd / 2.
4. Thay số vào. L = π × 6, hoặc L = π × 12 / 2.
5. Tính toán. L = 18.8495559215 đơn vị.
6. Làm tròn khi cần. Đến hai chữ số thập phân, L = 18.85 đơn vị.

Cả hai cách đều cho kết quả giống hệt nhau, và đó là một phép tự kiểm tra tốt. Cách dùng bán kính cho π × 6 = 18.8495559215. Cách dùng đường kính cho π × 12 / 2 = 18.8495559215. Nếu hai cách không khớp, bán kính đã không được chia đôi đúng cách.

Một ví dụ khác: đường kính 20 đơn vị cho r = 10 đơn vị, nên L = π × 10 = 31.4159265359 đơn vị. Đường kính 15 đơn vị cho r = 7.5 đơn vị, nên L = π × 7.5 = 23.5619449019 đơn vị. Lỗi thường gặp nhất trong phép tính này là quên chia đôi và dùng đường kính như thể nó là bán kính, khiến đáp án gấp đôi. Với d = 12, lỗi đó cho 37.6991118431 thay vì 18.8495559215.

Mẹo đo đạc. Trong thực tế, đường kính thường dễ đo hơn bán kính, vì bạn có thể đo thẳng qua cạnh phẳng. Đó là lý do máy tính nhận dữ liệu đường kính trực tiếp: đo cạnh phẳng, nhập vào, và máy tính sẽ chia đôi giúp bạn.

Đôi khi bạn không có cả bán kính lẫn đường kính. Máy tính cũng có thể tính ngược từ chu vi hình tròn đầy đủ hoặc từ diện tích nửa hình tròn, bằng cách suy ra bán kính trước.

Từ chu vi hình tròn đầy đủ. Chu vi đầy đủ là C = 2πr, nên r = C / (2π). Với C = 62.8318530718 đơn vị, r = 62.8318530718 / (2π) = 62.8318530718 / 6.2831853072 = 10 đơn vị. Sau đó L = πr = π × 10 = 31.4159265359 đơn vị. Lưu ý cung nửa hình tròn đúng bằng một nửa chu vi đầy đủ, đây là một phép kiểm tra nhanh: 62.8318530718 / 2 = 31.4159265359.

Từ diện tích nửa hình tròn. Diện tích của nửa hình tròn là A = πr² / 2, nên biến đổi sẽ được r = √(2A / π). Với A = 50 đơn vị vuông, r = √(100 / π) = √(31.8309886184) = 5.6418958355 đơn vị. Sau đó L = πr = π × 5.6418958355 = 17.7245385091 đơn vị. Bạn có thể kiểm tra bán kính bằng cách thay lại vào công thức diện tích: π × 5.6418958355² / 2 = 50.0000000000 đơn vị vuông.

Ví dụ diện tích thứ hai. Với A = 100 đơn vị vuông, r = √(200 / π) = 7.9788456080 đơn vị, và L = π × 7.9788456080 = 25.0662827463 đơn vị. Diện tích tăng theo bình phương của bán kính, vì vậy gấp đôi diện tích không làm gấp đôi bán kính: nó nhân bán kính với √2, khoảng 1.4142.

Nên dùng dữ liệu nào. Hãy dùng bất kỳ số đo nào bạn thực sự có. Cả bốn phương pháp đều suy ra cùng một bán kính và cho cùng một độ dài cung. Nếu hai số đo khác nhau cho ra hai bán kính khác nhau, một trong hai số đo đã sai, và sự không khớp đó đáng để kiểm tra trước khi tin vào đáp án nào.

Đây là điểm khác biệt gây nhầm lẫn nhiều nhất, vì vậy nó xứng đáng được xem xét cẩn thận. Độ dài cung và chu vi là hai số đo khác nhau của cùng một hình.

Độ dài cung chỉ là biên cong: L = πr. Chu vi toàn phần là toàn bộ biên: cung cong cộng với đường kính thẳng, P = πr + 2r, có thể viết gọn thành P = r(π + 2).

Với bán kính 5 đơn vị, độ dài cung là 15.7079632679 đơn vị và chu vi toàn phần là 25.7079632679 đơn vị. Hiệu số đúng bằng đường kính, 10 đơn vị. Cung chỉ chiếm khoảng 61.10% chu vi toàn phần; cạnh thẳng chiếm phần còn lại.

Vì sao điều này quan trọng. Nếu bạn mua viền cho một luống hoa hình nửa hình tròn, viền cong cần độ dài cung, nhưng cạnh thẳng dọc theo lối đi cũng cần đường kính, vì vậy bạn cần chu vi. Nếu bạn mua nẹp cho một cửa sổ vòm, chỉ phần cong cần nẹp, vì vậy bạn cần độ dài cung. Dùng nhầm số đo này cho số đo kia sẽ hoặc lãng phí vật liệu hoặc thiếu hụt. Máy tính hiển thị cả hai kết quả riêng biệt, được ghi nhãn rõ ràng, để bạn chọn đúng số đo công việc của mình cần.

Một lưu ý về cách dùng từ. Nhiều người tìm kiếm "chu vi nửa hình tròn" khi họ muốn nói đến cung cong. Sách giáo khoa cũng dùng từ khác nhau: một số gọi toàn bộ biên là chu vi và đường cong là độ dài cung, trong khi số khác gọi lỏng lẻo đường cong là chu vi. Trên trang này, độ dài cung luôn có nghĩa là chỉ đường cong, và chu vi luôn có nghĩa là toàn bộ biên bao gồm đường kính.

Diện tích và độ dài cung đo những thứ khác nhau, và nhầm lẫn chúng là một trong những lỗi thường gặp nhất trong các bài toán nửa hình tròn. Diện tích là không gian hai chiều bên trong nửa hình tròn. Độ dài cung là khoảng cách một chiều dọc theo biên cong của nó. Chu vi là độ dài toàn bộ biên.

Với bán kính 5 đơn vị, độ dài cung là 15.7079632679 đơn vị và diện tích là 39.2699081699 đơn vị vuông. Các con số khác nhau, và đơn vị cũng khác nhau: độ dài dùng đơn vị thường, diện tích dùng đơn vị vuông. Nếu đáp án của bạn ra đơn vị vuông, bạn đã tính diện tích, không phải độ dài.

Diện tích tăng nhanh hơn độ dài cung. Gấp đôi bán kính, độ dài cung tăng gấp đôi, nhưng diện tích tăng gấp bốn, vì diện tích phụ thuộc vào r². So sánh r = 4 và r = 8: các độ dài cung là 12.5663706144 và 25.1327412287, gấp 2 lần, trong khi các diện tích là 25.1327412287 và 100.5309649149, gấp 4 lần. Đó là lý do một thay đổi nhỏ ở bán kính làm diện tích thay đổi nhiều hơn nhiều so với độ dài cung.

Kiểm tra đơn vị. Đơn vị là cách phòng vệ tốt nhất của bạn. Nếu bài toán hỏi độ dài mà đáp án của bạn ra xăng-ti-mét vuông, hãy dừng lại và kiểm tra. Nếu bài toán hỏi diện tích mà đáp án của bạn ra xăng-ti-mét thường, cũng vậy. Máy tính giữ hai thứ tách biệt: dữ liệu diện tích dùng đơn vị vuông, và kết quả diện tích được ghi nhãn bằng đơn vị vuông.

Bán kính và đường kính của một nửa hình tròn gắn với nhau bằng một quy tắc duy nhất: đường kính gấp đôi bán kính.

Bán kính chạy từ tâm O đến cung. Đường kính chạy từ đầu mút này sang đầu mút kia, đi qua O. Vì đường kính là hai bán kính đặt nối tiếp nhau, nên d = 2r luôn đúng, đối với mọi hình tròn và mọi nửa hình tròn. Bán kính là số đo cơ bản hơn: mọi công thức của hình tròn đều viết theo r, và đường kính chỉ là một cách thuận tiện để đo.

Mối liên hệ với dây cung. Đường kính cũng là dây cung dài nhất của nửa hình tròn: đoạn thẳng nối hai đầu mút của cung. Mọi nửa hình tròn đều có góc ở tâm 180°, vì vậy dây cung của nó luôn là đường kính, 2r. Đó là lý do máy tính báo cáo độ dài dây cung bằng với đường kính.

Lưu ý thực tế. Khi đo một nửa hình tròn thật, hãy đo đường kính nếu có thể, vì cạnh phẳng dễ chạm tới bằng thước dây. Sau đó chia đôi nó. Đo bán kính trực tiếp nghĩa là phải tìm tâm trước, điều này khó hơn trên một vật thể thật. Dù bằng cách nào, máy tính cũng nhận cả hai.

Số pi (π) là tỉ số giữa chu vi của một hình tròn và đường kính của nó, và nó giống nhau đối với mọi hình tròn, lớn hay nhỏ. Tính phổ quát đó là lý do π xuất hiện trong mọi công thức của hình tròn, bao gồm cả độ dài cung nửa hình tròn.

Đối với bất kỳ hình tròn nào, C / d = π, luôn luôn như vậy. Vì nửa hình tròn là một nửa hình tròn, cung của nó bằng một nửa chu vi, và một nửa của C = 2πr là πr. Số π trong công thức không phải là một hệ số bù đắp: nó là hằng số chính xác chuyển bán kính thành độ dài cong, vì một đường cong dài hơn bán kính thẳng đúng bằng hệ số đó.

Số pi là số vô tỉ. Phần thập phân của nó không bao giờ kết thúc và không bao giờ lặp lại: 3.141592653589793 và cứ tiếp tục mãi. Điều đó có nghĩa là không có số thập phân hữu hạn nào bằng π một cách chính xác. Sách giáo khoa thường làm tròn nó thành 3.14 cho các phép tính tay, và điều đó ổn đối với công việc ước lượng, nhưng nó gây ra sai số. Với bán kính 5, π = 3.14 cho 15.70, trong khi giá trị đầy đủ của π cho 15.7079632679, sai lệch 0.0079632679. Với bán kính 100, cùng cách rút gọn đó cho 314 thay vì 314.1592653590, sai lệch 0.1592653590. Sai số tăng theo bán kính, vì vậy với các công việc lớn, nó không còn là không đáng kể.

Máy tính làm gì. Nó dùng giá trị đầy đủ của π có sẵn trong trình duyệt (3.141592653589793) cho mọi phép tính, và chỉ làm tròn kết quả hiển thị theo độ chính xác bạn chọn. Phép so sánh tùy chọn với π = 3.14 hiển thị cả hai đáp án cạnh nhau, để bạn thấy chính xác cách rút gọn đó tốn bao nhiêu với các con số của bạn.

Một lưu ý về đơn vị góc. Công thức L = rθ cần θ tính bằng radian. Một nửa hình tròn trải dài π radian, tức là 180°. Nếu bạn đưa 180 vào L = rθ mà không đổi đơn vị, bạn sẽ được 180r, sai lệch khoảng 57.3 lần. Máy tính xử lý phép chuyển đổi, nhưng khi làm bằng tay, hãy luôn đổi độ sang radian trước: θ tính bằng radian = độ × π / 180.

Một nửa hình tròn có thể quay theo bốn hướng: đường kính phẳng có thể nằm ở phía dưới (nửa hình tròn trên), ở phía trên (nửa hình tròn dưới), ở phía phải (nửa hình tròn trái), hoặc ở phía trái (nửa hình tròn phải). Hướng thay đổi hình vẽ, không thay đổi toán học.

Với bán kính 5 đơn vị, cả bốn hướng đều có cùng độ dài cung, 15.7079632679 đơn vị, cùng đường kính, 10 đơn vị, cùng chu vi, 25.7079632679 đơn vị, và cùng diện tích, 39.2699081699 đơn vị vuông. Chỉ hướng mà đường cong phồng ra thay đổi. Đó là vì các công thức chỉ phụ thuộc vào r, và r không phụ thuộc vào hướng của hình.

Mỗi hướng xuất hiện ở đâu. Nửa hình tròn trên là vòm cổ điển: cửa sổ, lối đi và cầu cong lên trên. Nửa hình tròn dưới xuất hiện dưới dạng bát, chậu và đáy bể chứa. Nửa hình tròn trái và phải xuất hiện trong các vòm quay ngang, tấm trang trí và sơ đồ mà cạnh phẳng thẳng đứng. Trong hình học tọa độ, nửa hình tròn trên là đồ thị của y = √(r² − x²), và nửa hình tròn dưới là y = −√(r² − x²), với x nằm giữa −r và r.

Thử trong máy tính. Nhập một bán kính, tính toán, rồi dùng nút Đổi hướng để lần lượt chuyển qua bốn vị trí. Hãy xem sơ đồ xoay trong khi mọi con số trong kết quả giữ nguyên chính xác. Đó chính là ý nghĩa: hướng là một lựa chọn vẽ hình, còn độ dài cung là một thuộc tính của kích thước.

Có một mối quan hệ cố định giữa độ dài cung của nửa hình tròn và đường kính của nó, và nó giống nhau đối với mọi nửa hình tròn, bất kể kích thước.

Vì L = πr và d = 2r, chia hai vế sẽ cho L / d = πr / 2r = π / 2. Bán kính bị triệt tiêu, vì vậy tỉ số không bao giờ thay đổi. Cung cong luôn dài hơn đường kính khoảng 1.5708 lần, hay dài hơn khoảng 57.08%.

Vì sao điều này hữu ích. Nó cho bạn một ước lượng trong một dòng và một phép kiểm tra hợp lý. Nếu bạn biết một vòm nửa hình tròn trải rộng 4 mét, độ dài cong của nó khoảng 4 × 1.5708 = 6.2832 mét, trước cả khi bạn chạm đến máy tính. Và nếu một phép tính cho ra cung ngắn hơn đường kính của nó, chắc chắn nó đã sai: đường cong luôn dài hơn đường thẳng ngang qua nó.

Một phép kiểm tra liên quan. Cung cũng bằng π lần bán kính, vì vậy L luôn lớn hơn 3 lần r một chút. Nếu đáp án của bạn nhỏ hơn 3r, hoặc lớn hơn 3.2r, hãy kiểm tra lại dữ liệu nhập. Với r = 5, 3r = 15 và 3.2r = 16, và cung thật, 15.7079632679, nằm giữa hai giá trị đó, như nó phải thế.

Nửa hình tròn xuất hiện ở bất cứ nơi nào một đường cong cần bắc qua một khoảng trống hoặc làm mềm một góc, và độ dài cung là con số cho biết đường cong cần bao nhiêu vật liệu.

Kiến trúc và xây dựng. Cửa sổ và lối đi hình vòm là trường hợp cổ điển: nẹp cong, hạt kính hoặc vòm đá đi theo nửa hình tròn, vì vậy độ dài của nó là πr. Một cửa sổ có bán kính 1.2 mét cần khoảng 3.7699 mét nẹp cong, không phải 2.4 mét. Điều tương tự áp dụng cho cạnh cong của một ban công nửa hình tròn, một mặt bàn bo tròn hoặc một sân nửa hình tròn.

Cầu và kết cấu. Vòm nửa hình tròn chịu tải trong cầu đá và cầu dẫn nước. Kỹ sư cần độ dài cung để tính độ dài của vành vòm, lượng đá voussoir và diện tích bề mặt của mặt dưới cong. Một vòm cầu có bán kính 10 mét có cung dài 31.4159265359 mét.

Sản xuất và kỹ thuật. Ống cong, phào nửa hình tròn, gioăng và vòng đệm được cắt theo độ dài cung. Một đoạn ống cong nửa hình tròn có bán kính 0.5 mét cần 1.5707963268 mét tấm kim loại dọc theo đường cong. Tính sai nghĩa là một chi tiết quá ngắn để khép lại hoặc quá dài để vừa.

Cảnh quan và thiết kế nội thất. Một luống hoa, mép cỏ hoặc sân khấu hình nửa hình tròn cần viền dọc theo đường cong. Một luống có bán kính 3 mét cần 9.4247779608 mét viền cho đường cong, cộng thêm 6 mét nếu cạnh thẳng cũng được viền. Logic tương tự áp dụng cho viền cong của một tấm thảm, một chiếc bàn hoặc một sân khấu.

Giáo dục hình học. Nửa hình tròn là hình cong đầu tiên mà hầu hết học sinh gặp sau hình tròn đầy đủ, và chúng dạy sự khác nhau giữa độ dài cong, độ dài thẳng và diện tích trong một hình nhỏ. Góc ở tâm 180° cũng khiến chúng trở thành trường hợp đơn giản nhất của công thức độ dài cung tổng quát L = rθ.

Một lời cảnh báo. Không phải mọi vòm trong thực tế đều là nửa hình tròn hoàn hảo. Nhiều vòm có dạng elip, nhọn hoặc hình viên phân, và độ dài cung của chúng tuân theo các công thức khác. Trước khi đặt vật liệu, hãy kiểm tra xem vòm có thực sự là nửa hình tròn không: đo chiều cao của vòm và so sánh với một nửa nhịp. Nếu chiều cao bằng một nửa nhịp, đó là nửa hình tròn, và πr áp dụng được. Nếu không, hãy dùng công thức cho hình dạng thực tế.

Hầu hết các lỗi về nửa hình tròn đều xuất phát từ một danh sách nhỏ các nhầm lẫn. Biết trước chúng là cách rẻ nhất để tránh chúng.

1. Dùng đường kính thay cho bán kính. Công thức là L = πr, không phải L = πd. Dùng d = 12 trực tiếp cho 37.6991118431 thay vì 18.8495559215 đúng. Luôn chia đôi đường kính trước.
2. Quên chia đôi chu vi hình tròn đầy đủ. Chu vi đầy đủ C = 2πr gấp đôi cung nửa hình tròn. Với r = 10, C = 62.8318530718, nhưng cung nửa hình tròn là 31.4159265359. Hãy chia đôi nó.
3. Nhầm độ dài cung với chu vi toàn phần. Chu vi P = πr + 2r bao gồm đường kính. Cung L = πr thì không. Với r = 5, chu vi là 25.7079632679 và cung là 15.7079632679. Hãy chọn đúng số đo mà bài toán của bạn yêu cầu.
4. Đưa đường kính vào kết quả cung cong. Đây là cùng một lỗi nhìn từ phía ngược lại: cộng thêm 2r vào cung khi câu hỏi chỉ yêu cầu đường cong. Đường kính là đường thẳng, không phải đường cong.
5. Nhầm diện tích nửa hình tròn với độ dài cung. Diện tích là A = πr² / 2 và được đo bằng đơn vị vuông. Độ dài cung là L = πr và được đo bằng đơn vị thường. Với r = 5, diện tích là 39.2699081699 đơn vị vuông và cung là 15.7079632679 đơn vị. Công thức khác nhau, đơn vị khác nhau, đáp án khác nhau.
6. Làm tròn π quá sớm. Dùng 3.14 thay vì giá trị đầy đủ của π cho 15.70 thay vì 15.7079632679 với r = 5, và sai số tăng theo bán kính. Hãy giữ độ chính xác đầy đủ đến bước cuối cùng.
7. Trộn lẫn các đơn vị đo khác nhau. Bán kính tính bằng xăng-ti-mét và đường kính tính bằng mét không thể đưa vào cùng một công thức. Hãy đổi mọi thứ về một đơn vị trước. Máy tính làm việc này giúp bạn khi bạn chọn đơn vị đầu vào và đơn vị đầu ra, nhưng khi làm bằng tay, bạn phải đổi đơn vị trước khi tính.
8. Dùng đơn vị vuông cho một số đo tuyến tính. Độ dài cung là một độ dài. Nếu đáp án của bạn kết thúc bằng cm² hoặc m², bạn đã dùng nhầm công thức diện tích. Hãy kiểm tra đơn vị trước khi tin vào con số.

Tự kiểm tra nhanh. Sau bất kỳ phép tính nửa hình tròn nào, hãy kiểm tra ba điều: cung có dài hơn đường kính không (nó phải dài hơn, với hệ số 1.5708), nó có ngắn hơn chu vi đầy đủ không (nó phải ngắn hơn, đúng một nửa), và nó có gần bằng 3.14 lần bán kính không? Nếu cả ba đều đúng, đáp án rất có thể là đúng.

Đây là năm công thức mà máy tính sử dụng, tập hợp lại một chỗ. Sao chép bất kỳ công thức nào bằng nút bên cạnh nó trong bảng máy tính.

Các hằng số cần nhớ. Góc ở tâm luôn bằng 180°, hay π radian. Độ dài dây cung luôn bằng đường kính, 2r. Cung luôn bằng π / 2 lần đường kính. Ba sự thật này đúng với mọi nửa hình tròn, bất kể kích thước, và chúng là những phép kiểm tra tuyệt vời cho bất kỳ phép tính nào.

Sáu ví dụ này bao quát mọi phương pháp nhập mà máy tính cung cấp. Mỗi ví dụ được tính bằng cùng bộ máy vận hành công cụ, và mỗi kết quả đã được kiểm chứng độc lập.

Ví dụ 1: Nửa hình tròn có bán kính 5. Cho r = 5 đơn vị. Độ dài cung L = π × 5 = 15.7079632679 đơn vị. Đường kính d = 10 đơn vị. Chu vi toàn phần P = 15.7079632679 + 10 = 25.7079632679 đơn vị. Diện tích nửa hình tròn A = π × 25 / 2 = 39.2699081699 đơn vị vuông.

Ví dụ 2: Nửa hình tròn có đường kính 12. Cho d = 12 đơn vị. Bán kính r = 12 / 2 = 6 đơn vị. Độ dài cung L = π × 6 = 18.8495559215 đơn vị. Chu vi toàn phần P = 18.8495559215 + 12 = 30.8495559215 đơn vị.

Ví dụ 3: Nửa hình tròn có bán kính 10. Cho r = 10 đơn vị. Độ dài cung L = π × 10 = 31.4159265359 đơn vị. Đường kính d = 20 đơn vị. Chu vi toàn phần P = 31.4159265359 + 20 = 51.4159265359 đơn vị.

Ví dụ 4: Nửa hình tròn có bán kính 7.5. Cho r = 7.5 đơn vị. Độ dài cung L = π × 7.5 = 23.5619449019 đơn vị. Đường kính d = 15 đơn vị. Chu vi toàn phần P = 23.5619449019 + 15 = 38.5619449019 đơn vị.

Ví dụ 5: Tính từ diện tích nửa hình tròn. Cho A = 50 đơn vị vuông. Bán kính r = √(2 × 50 / π) = √(100 / π) = 5.6418958355 đơn vị. Độ dài cung L = π × 5.6418958355 = 17.7245385091 đơn vị. Kiểm tra: π × 5.6418958355² / 2 = 50.0000000000 đơn vị vuông.

Ví dụ 6: Tính từ chu vi hình tròn đầy đủ. Cho C = 62.8318530718 đơn vị. Bán kính r = C / (2π) = 62.8318530718 / 6.2831853072 = 10 đơn vị. Độ dài cung nửa hình tròn dự kiến L = π × 10 = 31.4159265359 đơn vị, đúng bằng một nửa chu vi đã cho.

Nhấn bất kỳ nút giá trị mẫu nào trong máy tính để nạp một trong các ví dụ này và xem lời giải đầy đủ từng bước, sơ đồ trực tiếp và tất cả các kết quả phụ cho dữ liệu đó.