Sektorbågslängdskalkylator

Sektorbågslängdskalkylatorn mäter det krökta avståndet längs bågen i en cirkelsektor, från en liten skiva till hela cirkeln. Den accepterar sju olika startmått, så du kan använda det värde du redan har. Följ dessa steg för att få ett korrekt svar på under en minut.

1. Välj inmatningsmetod. Välj Radie + centralvinkel, Diameter + centralvinkel, Fullständig cirkelomkrets + centralvinkel, Sektorarea + radie, Sektorarea + centralvinkel, Kordalängd + centralvinkel eller Radie + känd båglängd. Inmatningsfälten, etiketterna och enhetslistorna ändras efter den metod du väljer.
2. Ange ditt mått. Skriv värdet i inmatningsrutan. För areametoder använder du den kvadrerade enhetslistan (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Ange centralvinkeln. Skriv vinkeln i grader eller radianer med DEG/RAD-växlaren, eller dra vinkelreglaget från 0° till 360°. Livediagrammet och resultatet uppdateras medan du drar det. I metoderna Sektorarea + radie och Radie + känd båglängd beräknas vinkeln i stället utifrån dina värden.
4. Ställ in start- och slutvinklar om du behöver det. Standardsvepet börjar vid 0° och går moturs. Ändra startvinkeln, slutvinkeln eller riktningen för att mäta en sektor var som helst på cirkeln. Svepet, inte positionen, avgör båglängden. Identiska start- och slutvinklar betyder en båge med längden noll, om du inte använder alternativet för fullständig cirkel för ett helt varv.
5. Välj in- och utmatningsenheter. Kalkylatorn konverterar din inmatning till en konsekvent intern enhet, beräknar och konverterar sedan svaret till din utenhet. Siffran ändras med enheten, längden gör det inte.
6. Välj precision. Välj 2, 4, 6 eller 8 decimaler. Standard är 4. Kalkylatorn använder alltid full precision för π internt och avrundar bara det visade resultatet.
7. Klicka på Beräkna nu. Huvudresultatet är sektorns båglängd, med dess klassificering: nollvinkelsektor, mindre sektor, halvcirkel, större sektor eller fullständig cirkel. Under den får du radien, diametern, hela omkretsen, den komplementära bågen, kordalängden, sektorarean, sektoromkretsen, cirkelsegmentets area, bågprocenten, båda vinkelformerna och jämförelsen mellan mindre och större sektor.
8. Utforska diagrammet. Livediagrammet över sektorn ritar hela cirkeln, skuggar den valda sektorn i guld och markerar centrum O, radielinjerna, kordan och ändpunkterna. Använd växlarna för att visa eller dölja radielinjerna, kordan, centrumpunkten, vinkelmarkören och den komplementära sektorn.
9. Kopiera, skriv ut eller återställ. Använd Kopiera resultat för att lägga svaret på urklipp, Skriv ut sammanfattning för en enkel rapport eller Återställ för att rensa panelen. De förinställda knapparna laddar verifierade exempel direkt, och snabbvalsknapparna hoppar direkt till 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° eller 360°.

Prova ett exempel. Radie 6 med en vinkel på 60° ger en båge på 6.2831853072 enheter. Radie 8 med 90° ger 12.5663706144 enheter. Radie 5 med 270° ger en båge i en större sektor på 23.5619449019 enheter. Diameter 14 med 120° ger 14.6607657168 enheter. Sektorarea 50 med radie 10 ger en båge på 10.0000000000 enheter, och radie 4 med en känd båge på 6 enheter ger en vinkel på 85.9436692696°.

Viktiga tips. Håll vinkelenheten konsekvent: 60° och 1.0471975512 radianer är samma vinkel, men 60 radianer är inte 60°. Båglängden är bara det krökta avståndet; kordan är ett annat mått och är alltid kortare, utom för en båge med längden noll. Om du anger en diameter halverar kalkylatorn den för att först hitta radien. Sektorarea är inte båglängd: den ena mäts i kvadratenheter och den andra i vanliga enheter. Ett mått på noll eller negativt är inte en giltig sektor, så kalkylatorn avvisar det i stället för att visa ett missvisande svar.

En cirkel är mängden av alla punkter på ett fast avstånd, radien, från en centrumpunkt O. En cirkelsektor är det kilformade område som skärs ut ur en cirkel av två radier och bågen mellan dem, som en tårtbit. Sektorns båglängd är det krökta avståndet längs ytterkanten på den kilen, från den ena radieändpunkten till den andra, längs kurvan.

Tänk dig en pizzabit. De två raka snittytorna är radierna, den spetsiga änden är centrum O och skorpan är bågen. Båglängden är skorpans längd. Den raka linjen över den breda änden av biten, som förenar de två skorpändpunkterna, är kordan, och den är kortare än skorpan.

Varje sektor har samma delar, skalade efter sin radie. Centrum O är den fasta punkten. Radien r går från O till varje punkt på cirkeln. Centralvinkeln θ är vinkeln vid O mellan de två radier som avgränsar sektorn, och den avgör vilken del av cirkeln sektorn täcker. Bågen är den krökta kanten. Kordan är den raka linjen mellan bågens ändpunkter. Sektorarean är området innanför de två radierna och bågen.

Två radier delar alltid en cirkel i två sektorer: den mindre, den mindre sektorn, och den större, den större sektorn. Tillsammans bildar de hela cirkeln. Vilken du vill ha beror på ditt problem, och kalkylatorn visar båda, så du behöver aldrig gissa.

Sektorns båglängd är ett endimensionellt mått, en längd, så den anges i vanliga enheter som cm, m eller tum. Den är inte en area och den är inte en vinkel. Att hålla dessa tre storheter isär är det första steget för att få varje sektorberäkning rätt.

Sektorns båglängd kommer direkt från omkretsen av en fullständig cirkel. Omkretsen av en fullständig cirkel är:

En sektor med centralvinkeln θ täcker bråkdelen θ / 360 av ett fullständigt varv på 360°, så dess båge är samma bråkdel av omkretsen:

Förenkling ger gradformen av formeln:

När vinkeln mäts i radianer är formeln ännu enklare, eftersom en radian definieras av radien själv:

Varje symbol i formlerna har en exakt betydelse:

Båda formerna ger samma svar. Använd L = πrθ / 180 när din vinkel är i grader, och L = rθ när den är i radianer. Kalkylatorn konverterar grader till radianer först och använder sedan L = rθ internt, vilket är anledningen till att de två lägena alltid stämmer överens.

Att använda diametern i stället för radien ger en andra form av samma formel. Eftersom d = 2r, så är r = d / 2, och insättning ger L = dθ / 2 i radianer, eller L = πdθ / 360 i grader.

Radie plus centralvinkel är det mest direkta sättet att hitta en sektors båglängd. Det genomarbetade exemplet nedan använder en radie på 6 enheter och en centralvinkel på 60°.

1. Identifiera radien. r = 6 enheter.
2. Identifiera centralvinkeln. θ = 60°.
3. Konvertera grader till radianer. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radianer.
4. Skriv båglängdsformeln. L = rθ.
5. Sätt in värdena. L = 6 × π / 3.
6. Beräkna. L = 6.2831853072 enheter.
7. Avrunda vid behov. Till två decimaler är L = 6.28 enheter.

Samma steg fungerar för varje radie och vinkel. En radie på 8 enheter med 90° ger L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 enheter. En radie på 5 enheter med 270° ger L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 enheter. En radie på 1 enhet med 60° ger L = 1.0471975512 enheter, vilket är exakt π / 3, en användbar kontroll: för r = 1 är båglängden lika med vinkeln i radianer.

Avrundningsregel. Avrunda bara i slutet. Om du ersätter π med 3.14 före multiplikationen ger en radie på 6 med 60° 6.28 exakt av en slump här, men för en radie på 8 med 90° ger det 12.56 i stället för 12.5663706144, ett fel på 0.0063706144. Det felet växer med radien, så håll full precision genom beräkningen och avrunda bara det slutliga visade resultatet.

När du känner till diametern i stället för radien halverar du den först och tillämpar sedan samma formel. Det genomarbetade exemplet nedan använder en diameter på 14 enheter och en centralvinkel på 120°.

1. Identifiera diametern. d = 14 enheter.
2. Hitta radien. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 enheter.
3. Identifiera centralvinkeln. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radianer.
4. Skriv formeln. L = rθ, eller direkt L = πdθ / 360.
5. Sätt in. L = 7 × 2.0943951024, eller L = π × 14 × 120 / 360.
6. Beräkna. L = 14.6607657168 enheter.
7. Avrunda vid behov. Till två decimaler är L = 14.66 enheter.

Båda vägarna stämmer exakt överens, vilket är en bra egenkontroll. Radievägen ger 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Diametervägen ger π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Om de två inte stämmer överens har diametern inte halverats korrekt.

Ett annat exempel: en diameter på 20 enheter med 180° ger r = 10 enheter, så L = π × 10 = 31.4159265359 enheter, halvcirkelns båge. En diameter på 10 enheter med 60° ger r = 5 enheter, så L = 5.2359877560 enheter. Det vanligaste felet i denna beräkning är att glömma divisionen med två och använda diametern som om den vore radien, vilket fördubblar svaret. För d = 14 ger det misstaget 29.3215314336 i stället för 14.6607657168.

Mättips. Diametrar är ofta lättare att mäta i verkligheten än radier, eftersom du kan mäta rakt över cirkeln. Det är därför kalkylatorn accepterar diameterinmatning direkt: mät över, ange den, och kalkylatorn halverar den åt dig.

Grader är den vardagliga enheten för vinklar. En fullständig cirkel innehåller 360°, så en centralvinkel i grader säger dig direkt vilken del av hela cirkeln din sektor täcker. En vinkel på 90° täcker en fjärdedel av cirkeln, 180° täcker hälften, och 270° täcker tre fjärdedelar.

Gradformeln är L = πrθ / 180, där θ är i grader. Den kommer från bråkdelstanken: θ / 360 av omkretsen 2πr, förenklat.

Genomarbetat exempel. Radie 8 enheter, vinkel 90°.

1. Identifiera värdena. r = 8 enheter, θ = 90°.
2. Hitta bråkdelen av cirkeln. 90 / 360 = 1 / 4, en kvartscirkel.
3. Skriv formeln. L = πrθ / 180.
4. Sätt in. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Beräkna. L = 12.5663706144 enheter.
6. Kontrollera mot omkretsen. Hela omkretsen är 2π × 8 = 50.2654824574 enheter, och en fjärdedel av den är 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 enheter. De två stämmer överens.

Fler gradexempel med en radie på 5 enheter: 30° ger L = 2.6179938780 enheter, 45° ger L = 3.9269908170 enheter, 120° ger L = 10.4719755120 enheter, och 270° ger L = 23.5619449019 enheter. Lägg märke till att en fördubbling av vinkeln fördubblar båglängden för samma radie, eftersom båglängden är direkt proportionell mot centralvinkeln.

Vanligt gradmisstag. Att sätta in ett gradvärde direkt i L = rθ utan att konvertera ger ett väldigt felaktigt svar. För r = 5 och 60° ger den okonverterade beräkningen 5 × 60 = 300, men det korrekta svaret är 5.2359877560. Formeln L = rθ behöver radianer, så konvertera antingen först eller använd gradformen L = πrθ / 180.

En radian är den vinkel du får när båglängden är lika med radien. Om du lindar en snörlängd lika med radien runt cirkeln är vinkeln den bildar vid centrum exakt 1 radian. En fullständig cirkel innehåller 2π radianer, cirka 6.2831853072 radianer, eftersom hela omkretsen är 2πr och division med r lämnar 2π.

Radianformeln är L = rθ, den enklaste båglängdsformeln som finns. Den har inget π i sig, eftersom π redan finns i vinkelns radianmått.

Genomarbetat exempel. Radie 6 enheter, vinkeln π / 3 radianer (vilket är 60°).

1. Identifiera värdena. r = 6 enheter, θ = π / 3 = 1.0471975512 radianer.
2. Skriv formeln. L = rθ.
3. Sätt in. L = 6 × 1.0471975512.
4. Beräkna. L = 6.2831853072 enheter.
5. Kontrollera mot grader. π / 3 radianer är 60°, och gradformeln ger L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 enheter. De två stämmer exakt överens.

Fler radianexempel: en radie på 4 enheter med θ = π / 2 radianer ger L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 enheter. En radie på 10 enheter med θ = π radianer ger L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 enheter, halvcirkelns båge. En radie på 5 enheter med θ = 1 radian ger L = 5 enheter, eftersom bågen är lika med radien när vinkeln är 1 radian.

Varför radianer föredras i matematiken. Kalkylformlerna för båglängd, och formlerna för korda, sektor- och segmentarea på denna sida, använder alla radianer. Grader är praktiska för vardagsmätning, men radianer gör matematiken ren, vilket är anledningen till att kalkylatorn konverterar varje vinkel till radianer innan den beräknar.

Sektorns båglängd och sektorarea låter likadant, men de mäter olika saker. Båglängden är ett endimensionellt krökt avstånd, mätt i vanliga enheter. Sektorarean är ett tvådimensionellt område, cirkelkilen som skärs ut av två radier och bågen, mätt i kvadratenheter.

Formlerna ser likadana ut, vilket är precis anledningen till att de förväxlas:

Sektorarean är båglängden multiplicerad med halva radien: A = ½ × r × L. Det sambandet är en användbar kontroll. För en radie på 6 enheter och 60° är bågen 6.2831853072 enheter, och sektorarean är ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 kvadratenheter.

Enheterna avslöjar det. Om ditt svar ska vara en längd är enheten cm, m eller tum. Om det ska vara en area är enheten cm², m² eller kvadrattum. Ett båglängdssvar i kvadratenheter, eller ett sektorareasvar i vanliga enheter, är säkert fel. Kalkylatorn håller de två isär och märker enheterna tydligt.

En kontroll för hela cirkeln. Vid 360° är sektorn hela cirkeln, så sektorarean måste vara lika med πr². För r = 6 är π × 36 = 113.0973355292 kvadratenheter. Bågen är samtidigt hela omkretsen, 37.6991118431 enheter. Båda kommer från samma radie och vinkel, men de svarar på olika frågor.

En sektors omkrets är avståndet hela vägen runt dess gräns. En riktig sektor har tre gränsdelar: den krökta bågen, den första radien och den andra radien. Så sektorns omkrets är båglängden plus två gånger radien:

Här är θ i radianer. De två raka sidorna är vardera exakt en radie långa, så de lägger till 2r till den krökta båglängden.

Genomarbetat exempel. Radie 6 enheter, vinkel 60°. Bågen är L = 6.2831853072 enheter. De två radierna lägger till 2 × 6 = 12 enheter. Sektorns omkrets är P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 enheter.

Fler exempel. Radie 8 med 90°: båge 12.5663706144, omkrets 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 enheter. Radie 5 med 270°: båge 23.5619449019, omkrets 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 enheter. Radie 7 med 120°: båge 14.6607657168, omkrets 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 enheter.

Två specialfall. För en fullständig cirkel, 360°, finns det inga radiesidor alls i gränsen: omkretsen är helt enkelt cirkelns omkrets, P = 2πr. För r = 6 är det 37.6991118431 enheter, inte 37.6991118431 + 12. För en nollvinkelsektor, 0°, är geometrin degenererad: de två radierna sammanfaller och bågen har längden noll, så presentera inte en vanlig sektoromkrets för den. Kalkylatorn behandlar nollvinkelfallet som degenererat och rapporterar inget normalt omkretsvärde.

Varför skillnaden spelar roll. Om du beställer lister till en sektorformad panel behöver du omkretsen, eftersom listen går längs bågen och båda raka kanterna. Om du bara mäter den krökta kanten behöver du båglängden. Att blanda ihop de två är ett av de vanligaste sektorfelen, och kalkylatorn visar båda värdena sida vid sida så att skillnaden alltid syns.

Två radier delar en cirkel i två sektorer. Den mindre är den mindre sektorn, och den större är den större sektorn. De delar samma två radier, och tillsammans bildar de hela cirkeln.

Centralvinkeln avgör vilken som är vilken. En centralvinkel under 180° ger en mindre sektor. En centralvinkel över 180° ger en större sektor, och dess vinkel är en reflexvinkel, större än en rak vinkel. Exakt 180° ger en halvcirkel, som varken är mindre eller större: båda sektorerna är lika stora.

Mindre och större är komplement. För en mindre centralvinkel θ är den mindre bågen Lminor = rθ och den större bågen är Lmajor = r(2π - θ). Deras summa är alltid hela omkretsen, och deras sektorareor adderas till hela cirkelns area:

Genomarbetat exempel. Radie 6 enheter, mindre vinkel 60°. Den mindre bågen är L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 enheter, och den mindre sektorarean är 18.8495559215 kvadratenheter. Den större bågen använder reflexvinkeln 360° - 60° = 300°, så L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 enheter, och den större sektorarean är 94.2477796077 kvadratenheter. Bågarna adderas till 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 enheter, hela omkretsen, och areorna adderas till 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 kvadratenheter, hela cirkelns area. Den mindre sektorn är 16.67% av cirkeln och den större sektorn är 83.33%.

Ett annat exempel. Radie 5 enheter, vinkel 270°. Detta är redan den större sektorn: L = 23.5619449019 enheter och sektorarean är 58.9048622548 kvadratenheter. Dess komplementära mindre sektor använder 90°: L = 7.8539816340 enheter och arean är 19.6349540849 kvadratenheter. Summan är 31.4159265359 enheter, hela omkretsen 2π × 5.

Förväxla inte de två vinklarna. Det vanligaste felet mellan mindre och större är att använda den mindre vinkeln när problemet frågar efter den större sektorn, eller tvärtom. Kontrollera alltid om vinkeln du fick är den mindre eller reflexvinkeln, och kom ihåg att kalkylatorn visar båda sektorerna sida vid sida så att du kan välja den som ditt problem behöver.

En sektor och ett cirkelsegment är två olika områden i en cirkel, och de är lätta att förväxla eftersom båda involverar en båge. En sektor avgränsas av två radier och en båge. Ett cirkelsegment avgränsas av en korda och en båge. Segmentet är den del av sektorn som ligger bortom kordan, så det är mindre än sektorn, utom i specialfallen nedan.

Formlerna visar skillnaden tydligt:

Segmentarean är sektorarean minus triangelarean mellan de två radierna och kordan. Här är θ det centrala svepet i radianer, mellan 0 och 2π. Formeln hanterar både mindre och större segment korrekt: för en mindre båge ger den den lilla kåpan, och för en större båge ger den det stora område som täcker större delen av cirkeln.

Genomarbetade exempel. För r = 6 enheter och 60° är sektorarean 18.8495559215 kvadratenheter och segmentarean är ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 kvadratenheter. Segmentet är mycket mindre än sektorn, eftersom triangeln tar upp större delen av kilen. För r = 8 och 90° är segmentet 18.2654824574 kvadratenheter. För r = 5 och 90° är segmentet 7.1349540849 kvadratenheter.

Specialfall. Vid 180° är sin θ = 0, så segmentarean är lika med sektorarean: ½ πr². För r = 5 är båda 39.2699081699 kvadratenheter, vilket är exakt halva cirkeln. Vid 270° är sin θ = -1, så segmentet är större än sektorn: för r = 5 är sektorn 58.9048622548 kvadratenheter och segmentet är 71.4048622548 kvadratenheter. Vid 360° försvinner kordan och segmentet är hela cirkeln, πr².

Segment mot sektor, i en rad. Sektorn är kilen från centrum. Segmentet är kåpan bortom kordan. Om ditt problem involverar centrum vill du ha sektorn. Om det bara involverar bågen och dess korda vill du ha segmentet.

Kordalängd och sektorns båglängd förbinder båda samma två punkter på en cirkel, men de tar olika vägar. Bågen följer kurvan. Kordan skär rakt över. Bågen är nästan alltid längre.

Formlerna visar skillnaden tydligt:

Kordan beror på sinus för halva vinkeln, som växer långsammare än vinkeln själv, så gapet mellan båge och korda vidgas när vinkeln växer.

Tre fakta från tabellen är värda att komma ihåg. Vid 30° är bågen bara cirka 1.15% längre än kordan, så för små vinklar ligger de två nära varandra. Vid 180° är kordan diametern, 10 enheter, medan bågen är πr = 15.7079632679 enheter. Vid 270° krymper kordan tillbaka till 7.0710678119 enheter, samma som vid 90°, eftersom kordan beror på den mindre vinkeln mellan ändpunkterna, medan bågen fortsätter att växa med svepet.

Specialfall. Vid 60° är kordan exakt lika med radien: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. För r = 6 är kordan 6 enheter, och radien, kordan och de två radierna bildar en liksidig triangel. Detta är en praktisk kontroll och en favorit hos provkonstruktörer.

Varför det spelar roll. Om du skär ett böjt rör behöver du båglängden. Om du mäter det raka gapet mellan två punkter på en cirkulär del behöver du kordan. Att blanda ihop dem är ett av de vanligaste cirkelfelen, och kalkylatorn visar båda värdena tillsammans så att skillnaden alltid syns.

Ibland är varken radien eller vinkeln given. Kalkylatorn arbetar baklänges från fyra andra mått genom att först härleda det saknade värdet och sedan tillämpa L = rθ som vanligt. Alla sju metoder ger samma radie och samma båglängd för samma sektor, så du kan använda det mått du faktiskt har.

Från hela cirkelns omkrets. Hela omkretsen är C = 2πr, så r = C / (2π). För C = 37.6991118431 enheter är r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 enheter. Sedan är en 60° sektorsbåge L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 enheter. Lägg märke till genvägen: en 60° båge är en sjättedel av omkretsen, och 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 enheter.

Från kordalängd. Kordaformeln är c = 2r sin(θ / 2), så r = c / [2 sin(θ / 2)]. För en korda på 6 enheter med en vinkel på 60° är r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 enheter. Sedan är L = 6.2831853072 enheter. Kordainmatning fungerar bara när vinkeln är strikt mellan 0° och 360°: vid 0° eller 360° är kordan noll och ingen radie kan återvinnas, så kalkylatorn avvisar dessa vinklar för denna metod.

Från sektorarea och radie. Sektorarean är A = ½r²θ, så θ = 2A / r². För en sektorarea på 50 kvadratenheter med en radie på 10 enheter är θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Sedan är L = 10 × 1 = 10.0000000000 enheter. Denna metod kräver att sektorarean inte är större än hela cirkelns area πr²: för r = 10 är den gränsen 314.1592653590 kvadratenheter, så en area över den avvisas.

Från sektorarea och vinkel. Omformulerat på samma sätt är r = √(2A / θ) med θ i radianer. För en sektorarea på 18.8495559215 kvadratenheter med en vinkel på 60° är θ = 1.0471975512 radianer, så r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 enheter. Sedan är L = 6.2831853072 enheter. Denna metod behöver vinkeln såväl som arean, eftersom samma sektorarea kan komma från många kombinationer av radie och vinkel.

Från radie och känd båglängd. Vinkeln är θ = L / r. För en radie på 4 enheter och en känd båge på 6 enheter är θ = 6 / 4 = 1.5 radianer = 85.9436692696°. Sedan är sektorarean A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 kvadratenheter, och omkretsen är P = 6 + 8 = 14.0000000000 enheter. Denna metod kräver att bågen inte är längre än hela omkretsen 2πr: för r = 4 är den gränsen 25.1327412287 enheter.

Vilken inmatning ska användas. Använd det mått du faktiskt har. Om två olika mått ger olika radier är ett av måtten fel, och den oenigheten är värd att undersöka innan du litar på något av svaren.

Sektorns båglängd är inte en abstrakt klassrumsövning. Överallt där ett krökt avstånd på en cirkel måste mätas, skäras, byggas eller färdas gäller samma formel.

Maskinteknik. Rörböjning börjar med båglängd: ett rör böjt genom 90° med en böjradie på 8 enheter behöver 12.5663706144 enheter rör bara för böjen. Plåt som rullas till en böjd panel, en kuggprofil och en kamform behöver alla den krökta längden innan materialet skärs. Att göra fel slösar material eller lämnar en del för kort.

Arkitektur och byggande. Välvda dörröppningar, cirkulära fönster, kupoler och böjda trappor dimensioneras efter sina bågar. En halvcirkelformad båge med en radie på 10 enheter behöver 31.4159265359 enheter lister längs kurvan. En sektorformad baldakin med en radie på 6 enheter och en vinkel på 60° behöver 6.2831853072 enheter kantlist längs kurvan och 18.2831853072 enheter runt hela gränsen.

Vägar och banor. En cirkulär vägkurva, en löparbaneböj eller en järnvägskurva läggs ut efter radie och centralvinkel. Kurvans längd avgör mängden asfalt, längden på rälsen och sträckan ett fordon färdas genom böjen. En 120° kurva med en radie på 7 enheter är 14.6607657168 enheter lång.

Pizza och matportionering. En pizzabit är en sektor. Om en pizza har en radie på 6 enheter har en bit skuren vid 60° en skorplängd på 6.2831853072 enheter och en area på 18.8495559215 kvadratenheter. Sex sådana bitar utgör hela pizzan, och deras skorpor adderas till 37.6991118431 enheter, hela omkretsen. Att skära lika stora bitar är ett sektorfördelningsproblem: lika vinklar ger lika bågar och lika areor.

Klockor, hjul och robotik. En klockvisare sveper en båge när tiden går. Ett hjul som rullar längs marken täcker ett avstånd lika med bågen det vrider sig igenom. En robotarm som roterar runt en led flyttar sitt gripdon längs en cirkelbåge, och sträckan den färdas är rθ, vilket är anledningen till att radianer är den naturliga enheten inom robotik.

Datorgrafik och CAD. Kurvor i CAD-modeller, typsnitt och animationer byggs av cirkelbågar. En båges längd avgör hur en verktygsbana delas upp, hur en kurva renderas och hur långt ett objekt rör sig längs en cirkulär bana i en animation. En sektorformad del i CAD definieras av exakt den radie och vinkel som denna kalkylator använder.

En anmärkning om verkliga former. Inte varje böjd struktur är en perfekt cirkel. Verkliga bågar kan vara elliptiska eller paraboliska, och verkliga vägar använder klotoidövergångar. Sektorformlerna på denna sida gäller exakt när kurvan är en äkta cirkelbåge, och de är en bra approximation bara när kurvan ligger nära en cirkel. Bekräfta alltid formen innan du tillämpar formeln.

De flesta felaktiga svar om sektorns båglängd kommer från en liten lista med fel. Att kontrollera varje punkt tar sekunder och sparar de flesta misstag.

1. Att använda grader direkt i radianformeln. L = rθ behöver radianer. Att sätta in 60° direkt ger 6 × 60 = 360 i stället för 6.2831853072. Konvertera först, eller använd L = πrθ / 180.
2. Att förväxla radie med diameter. Formeln behöver r, inte d. Att använda d = 14 som radie fördubblar svaret: 29.3215314336 i stället för 14.6607657168 för en 120° sektor. Halvera diametern först.
3. Att förväxla sektorarea med båglängd. Sektorarea är ett tvådimensionellt område i kvadratenheter. Båglängd är ett endimensionellt avstånd i vanliga enheter. För r = 6 och 60° är sektorarean 18.8495559215 kvadratenheter och bågen är 6.2831853072 enheter. Olika storheter, olika enheter.
4. Att förväxla sektoromkrets med båglängd. Omkretsen lägger till två radiesidor: P = L + 2r. För r = 6 och 60° är bågen 6.2831853072 enheter men omkretsen är 18.2831853072 enheter. Att använda omkretsen när problemet frågar efter bågen överdriver svaret med 12 enheter.
5. Att använda fel centralvinkel. Ett sektorproblem kan ge vinkeln mellan kordan och en tangent, eller en periferivinkel, i stället för centralvinkeln. En periferivinkel är hälften av centralvinkeln för samma båge. Om ett problem ger en periferivinkel φ, är centralvinkeln θ = 2φ, och bågen är L = r × 2φ. Att använda φ direkt halverar svaret.
6. Att förväxla mindre och större sektorer. En vinkel på 270° ger en båge i en större sektor på 23.5619449019 enheter för r = 5. Att i stället använda den mindre vinkeln 90° ger 7.8539816340 enheter, den mindre bågen. Kontrollera vilken sektor problemet frågar efter.
7. Att använda en felaktig kordaformel. Kordan är c = 2r sin(θ / 2), med halva vinkeln innanför sinus. Att använda sin(θ) i stället ger fel värde: för r = 6 och 60° är den korrekta kordan 6 enheter, medan 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 enheter.
8. Att blanda linjära och kvadrerade måttenheter. En radie i cm och en vinkel i grader är bra, men svaret kommer ut i cm. En sektorarea i cm² måste konverteras med den kvadrerade faktorn: 1 m² är 10,000 cm², inte 100 cm². Att blanda cm och tum i en beräkning, eller glömma att konvertera utenheten, ger ett tal med fel storlek. Konvertera först, beräkna sedan.
9. Att avrunda π för tidigt. Att ersätta π med 3.14 före multiplikationen inför ett fel som växer med radien. Håll full precision för π genom beräkningen och avrunda bara det slutliga visade resultatet.
10. Att glömma att konvertera vinkeln till radianer. Varje sektorformel som använder θ utan ett 180 i sig, inklusive sektorarean A = ½r²θ, kordan c = 2r sin(θ / 2) och segmentarean A = ½r²(θ - sin θ), behöver θ i radianer. Grader fungerar bara i gradformerna av formlerna.

En slutkontroll som fångar de flesta av dessa. Verifiera resultatet mot omkretsen. Bågen måste ligga mellan 0 och 2πr, den måste vara längre än kordan, sektorarean måste ligga mellan 0 och πr², och den mindre plus den större bågen måste adderas till exakt 2πr. Om någon av dessa kontroller misslyckas är ett av de tio misstagen ovan orsaken.

Dessa sex exempel täcker kalkylatorns huvudsakliga inmatningsmetoder och sektortyper. Varje exempel beräknas av samma motor som driver verktyget, och varje resultat har verifierats oberoende.

Exempel 1: 60-graders sektor med radie 6. Givet r = 6 enheter, θ = 60° = π / 3 radianer. Båglängd L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 enheter. Diameter d = 12 enheter. Korda c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 enheter. Sektorarea A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 kvadratenheter. Sektoromkrets P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 enheter. Segmentarea är 3.2610986534 kvadratenheter. Fullständig omkrets C = 37.6991118431 enheter.

Exempel 2: Kvartscirkelsektor med radie 8 och 90°. Givet r = 8 enheter, θ = 90° = π / 2 radianer. Båglängd L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 enheter. Korda c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 enheter. Sektorarea A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 kvadratenheter. Sektoromkrets P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 enheter. Segmentarea är 18.2654824574 kvadratenheter. Bågen är exakt en fjärdedel av omkretsen 50.2654824574 enheter.

Exempel 3: Större sektor med radie 5 och 270°. Givet r = 5 enheter, θ = 270° = 3π / 2 radianer. Båglängd L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 enheter. Korda c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 enheter. Sektorarea A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 kvadratenheter. Sektoromkrets P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 enheter. Komplementär mindre båge, med 90°, är 7.8539816340 enheter, och den komplementära sektorarean är 19.6349540849 kvadratenheter. De två bågarna adderas till 31.4159265359 enheter, hela omkretsen.

Exempel 4: Sektor från diameter 14 och 120°. Givet d = 14 enheter, θ = 120° = 2π / 3 radianer. Radie r = 14 / 2 = 7 enheter. Båglängd L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 enheter. Korda c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 enheter. Sektorarea A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 kvadratenheter. Sektoromkrets P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 enheter. Segmentarea är 30.0950576159 kvadratenheter.

Exempel 5: Sektor från area 50 och radie 10. Givet sektorarea A = 50 kvadratenheter, radie r = 10 enheter. Centralvinkel θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Båglängd L = 10 × 1 = 10.0000000000 enheter. Korda c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 enheter. Sektoromkrets P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 enheter. Segmentarea är 7.9264507596 kvadratenheter. Komplementär båge är 52.8318530718 enheter.

Exempel 6: Sektor från radie 4 och känd båglängd 6. Givet r = 4 enheter, L = 6 enheter. Centralvinkel θ = 6 / 4 = 1.5 radianer = 85.9436692696°. Sektorarea A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 kvadratenheter. Korda c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 enheter. Sektoromkrets P = 6 + 8 = 14.0000000000 enheter. Segmentarea är 4.0200401072 kvadratenheter. Komplementär båge är 19.1327412287 enheter, och den komplementära sektorarean är 38.2654824574 kvadratenheter.

Klicka på valfri förinställd knapp i kalkylatorn för att ladda ett av dessa exempel och se den fullständiga steg-för-steg-lösningen, livediagrammet och alla sekundära resultat för den inmatningen.