Calcolatore della lunghezza dell'arco di un settore

Il calcolatore della lunghezza dell'arco di un settore misura la distanza curva lungo l'arco di un settore circolare, da una piccola fetta fino al cerchio completo. Accetta sette diverse misure di partenza, così puoi usare il valore che hai già. Segui questi passaggi per ottenere una risposta corretta in meno di un minuto.

1. Scegli il metodo di input. Scegli Raggio + Angolo al centro, Diametro + Angolo al centro, Circonferenza completa + Angolo al centro, Area del settore + Raggio, Area del settore + Angolo al centro, Lunghezza della corda + Angolo al centro, oppure Raggio + Lunghezza dell'arco nota. I campi di input, le etichette e gli elenchi di unità cambiano in base al metodo scelto.
2. Inserisci la misura. Digita il valore nella casella di input. Per i metodi con l'area, usa l'elenco delle unità quadrate (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Inserisci l'angolo al centro. Digita l'angolo in gradi o radianti usando il selettore DEG/RAD, oppure trascina il cursore dell'angolo da 0° a 360°. Il diagramma dal vivo e il risultato si aggiornano mentre lo sposti. Nei metodi Area del settore + Raggio e Raggio + Lunghezza dell'arco nota, l'angolo viene calcolato dai tuoi valori.
4. Imposta gli angoli iniziale e finale se ti servono. La spazzata predefinita parte da 0° e procede in senso antiorario. Cambia l'angolo iniziale, l'angolo finale o la direzione per misurare un settore in qualsiasi punto del cerchio. È la spazzata, non la posizione, a decidere la lunghezza dell'arco. Angoli iniziale e finale identici significano un arco di lunghezza zero, a meno che tu non usi l'opzione cerchio completo per un giro intero.
5. Scegli le unità di input e di output. Il calcolatore converte l'input in un'unità interna coerente, calcola, poi converte la risposta nell'unità di output. Il numero cambia con l'unità; la lunghezza no.
6. Scegli la precisione. Scegli 2, 4, 6 o 8 cifre decimali. Il valore predefinito è 4. Il calcolatore usa sempre il valore π a piena precisione internamente e arrotonda solo il risultato visualizzato.
7. Fai clic su Calcola ora. Il risultato principale è la lunghezza dell'arco del settore, con la sua classificazione: settore ad angolo zero, settore minore, semicirconferenza, settore maggiore o cerchio completo. Sotto trovi il raggio, il diametro, la circonferenza completa, l'arco complementare, la lunghezza della corda, l'area del settore, il perimetro del settore, l'area del segmento circolare, la percentuale dell'arco, entrambe le forme dell'angolo e il confronto tra settore minore e settore maggiore.
8. Esplora il diagramma. Il diagramma del settore dal vivo disegna il cerchio completo, ombreggia in oro il settore selezionato e segna il centro O, le linee del raggio, la corda e gli estremi. Usa gli interruttori per mostrare o nascondere le linee del raggio, la corda, il punto centrale, l'indicatore dell'angolo e il settore complementare.
9. Copia, stampa o reimposta. Usa Copia risultato per mettere la risposta negli appunti, Stampa riepilogo per un semplice report, oppure Reimposta per svuotare il pannello. I pulsanti preimpostati caricano istantaneamente esempi verificati, e i pulsanti di selezione rapida passano direttamente a 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° o 360°.

Prova un esempio. Raggio 6 con un angolo di 60° dà un arco di 6.2831853072 unità. Raggio 8 con 90° dà 12.5663706144 unità. Raggio 5 con 270° dà un arco di settore maggiore di 23.5619449019 unità. Diametro 14 con 120° dà 14.6607657168 unità. Area del settore 50 con raggio 10 dà un arco di 10.0000000000 unità, e raggio 4 con un arco noto di 6 unità dà un angolo di 85.9436692696°.

Suggerimenti importanti. Mantieni coerente l'unità dell'angolo: 60° e 1.0471975512 radianti sono lo stesso angolo, ma 60 radianti non sono 60°. La lunghezza dell'arco è solo la distanza curva; la corda è una misura diversa ed è sempre più corta, tranne per un arco di lunghezza zero. Se inserisci un diametro, il calcolatore lo dimezza per trovare prima il raggio. L'area del settore non è la lunghezza dell'arco: una si misura in unità quadrate e l'altra in unità lineari. Una misura zero o negativa non è un settore valido, quindi il calcolatore la rifiuta invece di mostrare una risposta fuorviante.

Un cerchio è l'insieme di tutti i punti a una distanza fissa, il raggio, da un punto centrale O. Un settore circolare è la regione a forma di spicchio ricavata da un cerchio da due raggi e dall'arco tra di essi, come una fetta di torta. La lunghezza dell'arco di un settore è la distanza curva lungo il bordo esterno di quello spicchio, da un estremo del raggio all'altro, seguendo la curva.

Immagina una fetta di pizza. I due bordi dritti del taglio sono i raggi, la punta è il centro O e la crosta è l'arco. La lunghezza dell'arco è la lunghezza della crosta. La linea retta che attraversa l'estremità larga della fetta, unendo i due estremi della crosta, è la corda, ed è più corta della crosta.

Ogni settore ha le stesse parti, scalate in base al suo raggio. Il centro O è il punto fisso. Il raggio r va da O a qualsiasi punto del cerchio. L'angolo al centro θ è l'angolo in O tra i due raggi che delimitano il settore, e decide quale frazione del cerchio copre il settore. L'arco è il bordo curvo. La corda è la linea retta tra gli estremi dell'arco. L'area del settore è la regione dentro i due raggi e l'arco.

Due raggi dividono sempre un cerchio in due settori: quello più piccolo, il settore minore, e quello più grande, il settore maggiore. Insieme formano il cerchio completo. Quale ti serve dipende dal tuo problema, e il calcolatore mostra entrambi, così non devi mai indovinare.

La lunghezza dell'arco di un settore è una misura unidimensionale, una lunghezza, quindi viene riportata in unità lineari come cm, m o pollici. Non è un'area e non è un angolo. Tenere separate queste tre grandezze è il primo passo per azzeccare ogni calcolo sui settori.

La lunghezza dell'arco di un settore deriva direttamente dalla circonferenza di un cerchio completo. La circonferenza di un cerchio completo è:

Un settore con angolo al centro θ copre la frazione θ / 360 di una rotazione completa di 360°, quindi il suo arco è la stessa frazione della circonferenza:

Semplificando si ottiene la forma in gradi della formula:

Quando l'angolo è misurato in radianti, la formula è ancora più semplice, perché il radiante è definito dal raggio stesso:

Ogni simbolo nelle formule ha un significato preciso:

Entrambe le forme danno la stessa risposta. Usa L = πrθ / 180 quando l'angolo è in gradi, e L = rθ quando è in radianti. Il calcolatore converte prima i gradi in radianti e poi usa internamente L = rθ, ed è per questo che le due modalità concordano sempre.

Usare il diametro invece del raggio dà una seconda forma della stessa formula. Poiché d = 2r, allora r = d / 2, e sostituendo si ottiene L = dθ / 2 in radianti, oppure L = πdθ / 360 in gradi.

Raggio più angolo al centro è il modo più diretto per trovare la lunghezza dell'arco di un settore. L'esempio svolto qui sotto usa un raggio di 6 unità e un angolo al centro di 60°.

1. Individua il raggio. r = 6 unità.
2. Individua l'angolo al centro. θ = 60°.
3. Converti i gradi in radianti. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radianti.
4. Scrivi la formula della lunghezza dell'arco. L = rθ.
5. Sostituisci i valori. L = 6 × π / 3.
6. Calcola. L = 6.2831853072 unità.
7. Arrotonda se serve. A due cifre decimali, L = 6.28 unità.

Gli stessi passaggi funzionano per qualsiasi raggio e angolo. Un raggio di 8 unità con 90° dà L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unità. Un raggio di 5 unità con 270° dà L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 unità. Un raggio di 1 unità con 60° dà L = 1.0471975512 unità, che è esattamente π / 3, un controllo utile: per r = 1, la lunghezza dell'arco è uguale all'angolo in radianti.

Regola di arrotondamento. Arrotonda solo alla fine. Se sostituisci π con 3.14 prima di moltiplicare, un raggio di 6 con 60° dà 6.28 esatto per fortuna in questo caso, ma per un raggio di 8 con 90° dà 12.56 invece di 12.5663706144, un errore di 0.0063706144. Quell'errore cresce con il raggio, quindi mantieni la piena precisione durante il calcolo e arrotonda solo il risultato finale visualizzato.

Quando conosci il diametro invece del raggio, dimezzalo prima, poi applica la stessa formula. L'esempio svolto qui sotto usa un diametro di 14 unità e un angolo al centro di 120°.

1. Individua il diametro. d = 14 unità.
2. Trova il raggio. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 unità.
3. Individua l'angolo al centro. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radianti.
4. Scrivi la formula. L = rθ, oppure direttamente L = πdθ / 360.
5. Sostituisci. L = 7 × 2.0943951024, oppure L = π × 14 × 120 / 360.
6. Calcola. L = 14.6607657168 unità.
7. Arrotonda se serve. A due cifre decimali, L = 14.66 unità.

Entrambe le strade concordano esattamente, ed è un buon autocontrollo. La strada del raggio dà 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. La strada del diametro dà π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Se le due non concordano, il diametro non è stato dimezzato correttamente.

Un altro esempio: un diametro di 20 unità con 180° dà r = 10 unità, quindi L = π × 10 = 31.4159265359 unità, l'arco della semicirconferenza. Un diametro di 10 unità con 60° dà r = 5 unità, quindi L = 5.2359877560 unità. L'errore più comune in questo calcolo è dimenticare la divisione per due e usare il diametro come se fosse il raggio, il che raddoppia la risposta. Per d = 14, quell'errore dà 29.3215314336 invece di 14.6607657168.

Consiglio per la misurazione. Nella vita reale i diametri sono spesso più facili da misurare dei raggi, perché puoi misurare dritto attraverso il cerchio. È per questo che il calcolatore accetta direttamente l'input del diametro: misura attraverso, inseriscilo, e il calcolatore lo dimezza per te.

I gradi sono l'unità quotidiana per gli angoli. Un cerchio completo contiene 360°, quindi un angolo al centro in gradi ti dice direttamente quale frazione del cerchio completo copre il tuo settore. Un angolo di 90° copre un quarto del cerchio, 180° ne copre la metà e 270° ne copre tre quarti.

La formula in gradi è L = πrθ / 180, dove θ è in gradi. Deriva dall'idea della frazione: θ / 360 della circonferenza 2πr, semplificata.

Esempio svolto. Raggio 8 unità, angolo 90°.

1. Individua i valori. r = 8 unità, θ = 90°.
2. Trova la frazione del cerchio. 90 / 360 = 1 / 4, un quarto di cerchio.
3. Scrivi la formula. L = πrθ / 180.
4. Sostituisci. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Calcola. L = 12.5663706144 unità.
6. Controlla con la circonferenza. La circonferenza completa è 2π × 8 = 50.2654824574 unità, e un quarto di essa è 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 unità. Le due concordano.

Altri esempi in gradi con un raggio di 5 unità: 30° dà L = 2.6179938780 unità, 45° dà L = 3.9269908170 unità, 120° dà L = 10.4719755120 unità e 270° dà L = 23.5619449019 unità. Nota che raddoppiare l'angolo raddoppia la lunghezza dell'arco per lo stesso raggio, perché la lunghezza dell'arco è direttamente proporzionale all'angolo al centro.

Errore comune con i gradi. Mettere un valore in gradi direttamente in L = rθ senza convertirlo dà una risposta enormemente sbagliata. Per r = 5 e 60°, il calcolo non convertito dà 5 × 60 = 300, ma la risposta corretta è 5.2359877560. La formula L = rθ richiede i radianti, quindi converti prima oppure usa la forma in gradi L = πrθ / 180.

Un radiante è l'angolo che si ottiene quando la lunghezza dell'arco è uguale al raggio. Se avvolgi un filo lungo quanto il raggio attorno al cerchio, l'angolo che sottende al centro è esattamente 1 radiante. Un cerchio completo contiene 2π radianti, circa 6.2831853072 radianti, perché la circonferenza completa è 2πr e dividendo per r resta 2π.

La formula in radianti è L = rθ, la formula di lunghezza d'arco più semplice che esista. Non contiene π, perché il π è già dentro la misura in radianti dell'angolo.

Esempio svolto. Raggio 6 unità, angolo π / 3 radianti (che sono 60°).

1. Individua i valori. r = 6 unità, θ = π / 3 = 1.0471975512 radianti.
2. Scrivi la formula. L = rθ.
3. Sostituisci. L = 6 × 1.0471975512.
4. Calcola. L = 6.2831853072 unità.
5. Controlla con i gradi. π / 3 radianti sono 60°, e la formula in gradi dà L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 unità. Le due concordano esattamente.

Altri esempi in radianti: un raggio di 4 unità con θ = π / 2 radianti dà L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 unità. Un raggio di 10 unità con θ = π radianti dà L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 unità, l'arco della semicirconferenza. Un raggio di 5 unità con θ = 1 radiante dà L = 5 unità, perché l'arco è uguale al raggio quando l'angolo è 1 radiante.

Perché i radianti sono preferiti in matematica. Le formule di calcolo infinitesimale per la lunghezza dell'arco, e le formule per corda, settore e area del segmento in questa pagina, usano tutte i radianti. I gradi sono comodi per la misurazione quotidiana, ma i radianti rendono pulita la matematica, ed è per questo che il calcolatore converte ogni angolo in radianti prima di calcolare.

La lunghezza dell'arco di un settore e l'area del settore sembrano simili, ma misurano cose diverse. La lunghezza dell'arco è una distanza curva unidimensionale, misurata in unità lineari. L'area del settore è una regione bidimensionale, lo spicchio di cerchio ricavato da due raggi e dall'arco, misurata in unità quadrate.

Le formule si assomigliano, ed è proprio per questo che vengono confuse:

L'area del settore è la lunghezza dell'arco moltiplicata per metà del raggio: A = ½ × r × L. Quella relazione è un controllo utile. Per un raggio di 6 unità e 60°, l'arco è 6.2831853072 unità e l'area del settore è ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 unità quadrate.

Le unità sono l'indizio. Se la risposta deve essere una lunghezza, l'unità è cm, m o pollici. Se deve essere un'area, l'unità è cm², m² o pollici quadrati. Una risposta di lunghezza d'arco in unità quadrate, o una risposta di area del settore in unità lineari, è certamente sbagliata. Il calcolatore tiene separate le due e etichetta le unità chiaramente.

Un controllo sul cerchio completo. A 360°, il settore è l'intero cerchio, quindi l'area del settore deve essere uguale a πr². Per r = 6, π × 36 = 113.0973355292 unità quadrate. L'arco allo stesso tempo è la circonferenza completa, 37.6991118431 unità. Entrambi derivano dallo stesso raggio e angolo, ma rispondono a domande diverse.

Il perimetro di un settore è la distanza lungo tutto il suo contorno. Un settore vero e proprio ha tre pezzi di contorno: l'arco curvo, il primo raggio e il secondo raggio. Quindi il perimetro del settore è la lunghezza dell'arco più due volte il raggio:

Qui θ è in radianti. I due lati retti sono lunghi ciascuno esattamente un raggio, quindi aggiungono 2r alla lunghezza dell'arco curvo.

Esempio svolto. Raggio 6 unità, angolo 60°. L'arco è L = 6.2831853072 unità. I due raggi aggiungono 2 × 6 = 12 unità. Il perimetro del settore è P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 unità.

Altri esempi. Raggio 8 con 90°: arco 12.5663706144, perimetro 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 unità. Raggio 5 con 270°: arco 23.5619449019, perimetro 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 unità. Raggio 7 con 120°: arco 14.6607657168, perimetro 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 unità.

Due casi speciali. Per un cerchio completo, 360°, non ci sono affatto lati di raggio nel contorno: il perimetro è semplicemente la circonferenza, P = 2πr. Per r = 6, sono 37.6991118431 unità, non 37.6991118431 + 12. Per un settore ad angolo zero, 0°, la geometria è degenere: i due raggi coincidono e l'arco ha lunghezza zero, quindi non presentare un perimetro di settore ordinario per esso. Il calcolatore tratta il caso ad angolo zero come degenere e non riporta un normale valore di perimetro.

Perché la distinzione è importante. Se stai ordinando la bordatura per un pannello a forma di settore, ti serve il perimetro, perché la bordatura corre lungo l'arco e entrambi i bordi retti. Se stai misurando solo il bordo curvo, ti serve la lunghezza dell'arco. Confondere i due è uno degli errori più comuni sui settori, e il calcolatore mostra entrambi i valori fianco a fianco così la differenza è sempre visibile.

Due raggi dividono un cerchio in due settori. Il più piccolo è il settore minore e il più grande è il settore maggiore. Condividono gli stessi due raggi e insieme formano il cerchio completo.

L'angolo al centro decide quale è quale. Un angolo al centro sotto 180° dà un settore minore. Un angolo al centro sopra 180° dà un settore maggiore, e il suo angolo è un angolo riflesso, più grande di un angolo piatto. Esattamente 180° dà una semicirconferenza, che non è né minore né maggiore: entrambi i settori sono uguali.

Minore e maggiore sono complementari. Per un angolo al centro più piccolo θ, l'arco minore è Lminor = rθ e l'arco maggiore è Lmajor = r(2π - θ). La loro somma è sempre la circonferenza completa, e le loro aree di settore si sommano all'area del cerchio completo:

Esempio svolto. Raggio 6 unità, angolo più piccolo 60°. L'arco minore è L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unità, e l'area del settore minore è 18.8495559215 unità quadrate. L'arco maggiore usa l'angolo riflesso 360° - 60° = 300°, quindi L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 unità, e l'area del settore maggiore è 94.2477796077 unità quadrate. Gli archi si sommano a 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 unità, la circonferenza completa, e le aree si sommano a 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 unità quadrate, l'area del cerchio completo. Il settore minore è il 16.67% del cerchio e il settore maggiore è l'83.33%.

Un altro esempio. Raggio 5 unità, angolo 270°. Questo è già il settore maggiore: L = 23.5619449019 unità e l'area del settore è 58.9048622548 unità quadrate. Il suo settore minore complementare usa 90°: L = 7.8539816340 unità e l'area è 19.6349540849 unità quadrate. La somma è 31.4159265359 unità, la circonferenza completa 2π × 5.

Non confondere i due angoli. L'errore minore/maggiore più comune è usare l'angolo più piccolo quando il problema chiede il settore maggiore, o viceversa. Controlla sempre se l'angolo che ti è stato dato è quello più piccolo o quello riflesso, e ricorda che il calcolatore mostra entrambi i settori fianco a fianco così puoi scegliere quello che serve al tuo problema.

Un settore e un segmento circolare sono due regioni diverse di un cerchio, e sono facili da confondere perché entrambi coinvolgono un arco. Un settore è racchiuso da due raggi e un arco. Un segmento circolare è racchiuso da una corda e un arco. Il segmento è la parte del settore che si trova oltre la corda, quindi è più piccolo del settore, tranne nei casi speciali qui sotto.

Le formule mostrano chiaramente la differenza:

L'area del segmento è l'area del settore meno l'area triangolare tra i due raggi e la corda. Qui θ è la spazzata centrale in radianti, tra 0 e 2π. La formula gestisce correttamente sia i segmenti minori sia quelli maggiori: per un arco minore dà la piccola calotta, e per un arco maggiore dà la grande regione che copre la maggior parte del cerchio.

Esempi svolti. Per r = 6 unità e 60°, l'area del settore è 18.8495559215 unità quadrate e l'area del segmento è ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 unità quadrate. Il segmento è molto più piccolo del settore, perché il triangolo occupa la maggior parte dello spicchio. Per r = 8 e 90°, il segmento è 18.2654824574 unità quadrate. Per r = 5 e 90°, il segmento è 7.1349540849 unità quadrate.

Casi speciali. A 180°, sin θ = 0, quindi l'area del segmento è uguale all'area del settore: ½ πr². Per r = 5, entrambe sono 39.2699081699 unità quadrate, che sono esattamente metà del cerchio. A 270°, sin θ = -1, quindi il segmento è più grande del settore: per r = 5, il settore è 58.9048622548 unità quadrate e il segmento è 71.4048622548 unità quadrate. A 360°, la corda svanisce e il segmento è l'intero cerchio, πr².

Segmento e settore, in una riga. Il settore è lo spicchio dal centro. Il segmento è la calotta oltre la corda. Se il tuo problema riguarda il centro, ti serve il settore. Se riguarda solo l'arco e la sua corda, ti serve il segmento.

La lunghezza della corda e la lunghezza dell'arco di un settore collegano entrambe gli stessi due punti di un cerchio, ma seguono percorsi diversi. L'arco segue la curva. La corda taglia dritto attraverso. L'arco è quasi sempre più lungo.

Le formule mostrano chiaramente la differenza:

La corda dipende dal seno di metà dell'angolo, che cresce più lentamente dell'angolo stesso, quindi il divario tra arco e corda si allarga man mano che l'angolo cresce.

Tre fatti della tabella valgono la pena di essere ricordati. A 30°, l'arco è solo circa l'1.15% più lungo della corda, quindi per angoli piccoli i due sono vicini. A 180°, la corda è il diametro, 10 unità, mentre l'arco è πr = 15.7079632679 unità. A 270°, la corda si restringe di nuovo a 7.0710678119 unità, lo stesso valore che a 90°, perché la corda dipende dall'angolo più piccolo tra gli estremi, mentre l'arco continua a crescere con la spazzata.

Caso speciale. A 60°, la corda è esattamente uguale al raggio: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Per r = 6, la corda è 6 unità, e il raggio, la corda e i due raggi formano un triangolo equilatero. Questo è un controllo pratico e uno dei preferiti di chi prepara gli esami.

Perché è importante. Se stai tagliando un tubo curvo, ti serve la lunghezza dell'arco. Se stai misurando il vuoto rettilineo tra due punti su una parte circolare, ti serve la corda. Confondere le due è uno degli errori più comuni sui cerchi, e il calcolatore mostra entrambi i valori insieme così la differenza è sempre visibile.

A volte non sono dati né il raggio né l'angolo. Il calcolatore lavora a ritroso a partire da altre quattro misure ricavando prima il valore mancante, poi applicando L = rθ come al solito. Tutti e sette i metodi danno lo stesso raggio e la stessa lunghezza dell'arco per lo stesso settore, quindi puoi usare la misura che hai davvero.

Dalla circonferenza del cerchio completo. La circonferenza completa è C = 2πr, quindi r = C / (2π). Per C = 37.6991118431 unità, r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 unità. Poi un arco di settore di 60° è L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unità. Nota la scorciatoia: un arco di 60° è un sesto della circonferenza, e 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 unità.

Dalla lunghezza della corda. La formula della corda è c = 2r sin(θ / 2), quindi r = c / [2 sin(θ / 2)]. Per una corda di 6 unità con un angolo di 60°, r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 unità. Poi L = 6.2831853072 unità. L'input della corda funziona solo quando l'angolo è strettamente tra 0° e 360°: a 0° o 360° la corda è zero e non si può ricavare alcun raggio, quindi il calcolatore rifiuta quegli angoli per questo metodo.

Dall'area del settore e dal raggio. L'area del settore è A = ½r²θ, quindi θ = 2A / r². Per un'area del settore di 50 unità quadrate con un raggio di 10 unità, θ = 2 × 50 / 100 = 1 radiante = 57.2957795131°. Poi L = 10 × 1 = 10.0000000000 unità. Questo metodo richiede che l'area del settore non sia più grande dell'area del cerchio completo πr²: per r = 10, quel limite è 314.1592653590 unità quadrate, quindi un'area superiore viene rifiutata.

Dall'area del settore e dall'angolo. Riordinata allo stesso modo, r = √(2A / θ) con θ in radianti. Per un'area del settore di 18.8495559215 unità quadrate con un angolo di 60°, θ = 1.0471975512 radianti, quindi r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 unità. Poi L = 6.2831853072 unità. Questo metodo richiede l'angolo oltre all'area, perché la stessa area del settore può derivare da molte combinazioni di raggio e angolo.

Dal raggio e dalla lunghezza dell'arco nota. L'angolo è θ = L / r. Per un raggio di 4 unità e un arco noto di 6 unità, θ = 6 / 4 = 1.5 radianti = 85.9436692696°. Poi l'area del settore è A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 unità quadrate, e il perimetro è P = 6 + 8 = 14.0000000000 unità. Questo metodo richiede che l'arco non sia più lungo della circonferenza completa 2πr: per r = 4, quel limite è 25.1327412287 unità.

Quale input usare. Usa la misura che hai davvero. Se due misure diverse danno raggi diversi, una delle misure è sbagliata, e quella discrepanza vale la pena di essere indagata prima di fidarsi di una delle due risposte.

La lunghezza dell'arco di un settore non è un esercizio astratto da aula. Ovunque una distanza curva su un cerchio debba essere misurata, tagliata, costruita o percorsa, si applica la stessa formula.

Ingegneria meccanica. La piegatura dei tubi parte dalla lunghezza dell'arco: un tubo piegato di 90° con un raggio di curvatura di 8 unità richiede 12.5663706144 unità di tubo per la sola curvatura. La lamiera arrotolata in un pannello curvo, il profilo di un dente di ingranaggio e la forma di una camma richiedono tutti la lunghezza curva prima che il materiale venga tagliato. Sbagliarla spreca materiale o lascia un pezzo corto.

Architettura e costruzioni. Porte ad arco, finestre circolari, cupole e scale curve sono dimensionate in base ai loro archi. Un arco a semicirconferenza con un raggio di 10 unità richiede 31.4159265359 unità di rifinitura lungo la curva. Una tettoia a forma di settore con un raggio di 6 unità e un angolo di 60° richiede 6.2831853072 unità di bordatura lungo la curva e 18.2831853072 unità attorno all'intero contorno.

Strade e piste. Una curva stradale circolare, una curva di una pista di atletica o una curva ferroviaria sono tracciate in base a raggio e angolo al centro. La lunghezza della curva decide la quantità di asfalto, la lunghezza del binario e la distanza percorsa da un veicolo nella curva. Una curva di 120° con un raggio di 7 unità è lunga 14.6607657168 unità.

Pizza e porzionamento del cibo. Una fetta di pizza è un settore. Se una pizza ha un raggio di 6 unità, una fetta tagliata a 60° ha una lunghezza di crosta di 6.2831853072 unità e un'area di 18.8495559215 unità quadrate. Sei fette così compongono l'intera pizza, e le loro croste si sommano a 37.6991118431 unità, la circonferenza completa. Tagliare fette uguali è un problema di divisione di settori: angoli uguali danno archi uguali e aree uguali.

Orologi, ruote e robotica. La lancetta di un orologio spazza un arco con il passare del tempo. Una ruota che rotola sul terreno copre una distanza uguale all'arco che attraversa. Un braccio robotico che ruota attorno a un giunto muove la sua pinza lungo un arco circolare, e la distanza che percorre è rθ, ed è per questo che i radianti sono l'unità naturale in robotica.

Grafica computerizzata e CAD. Le curve nei modelli CAD, nei caratteri tipografici e nelle animazioni sono costruite da archi circolari. La lunghezza di un arco decide come viene suddiviso un percorso utensile, come viene resa una curva e quanto si muove un oggetto lungo un percorso circolare in un'animazione. Una parte a forma di settore in CAD è definita esattamente dal raggio e dall'angolo usati da questo calcolatore.

Una nota sulle forme reali. Non tutte le strutture curve sono un cerchio perfetto. Gli archi reali possono essere ellittici o parabolici, e le strade reali usano transizioni a clotoide. Le formule dei settori in questa pagina si applicano esattamente quando la curva è un vero arco circolare, e sono una buona approssimazione solo quando la curva è vicina a essere circolare. Conferma sempre la forma prima di applicare la formula.

La maggior parte delle risposte sbagliate nella lunghezza dell'arco di un settore deriva da un piccolo elenco di errori. Controllare ciascuno richiede pochi secondi e previene la maggior parte degli sbagli.

1. Usare i gradi direttamente nella formula in radianti. L = rθ richiede i radianti. Mettere dentro 60° direttamente dà 6 × 60 = 360 invece di 6.2831853072. Converti prima, oppure usa L = πrθ / 180.
2. Confondere il raggio con il diametro. La formula richiede r, non d. Usare d = 14 come raggio raddoppia la risposta: 29.3215314336 invece di 14.6607657168 per un settore di 120°. Dimezza prima il diametro.
3. Confondere l'area del settore con la lunghezza dell'arco. L'area del settore è una regione bidimensionale in unità quadrate. La lunghezza dell'arco è una distanza unidimensionale in unità lineari. Per r = 6 e 60°, l'area del settore è 18.8495559215 unità quadrate e l'arco è 6.2831853072 unità. Grandezze diverse, unità diverse.
4. Confondere il perimetro del settore con la lunghezza dell'arco. Il perimetro aggiunge due lati di raggio: P = L + 2r. Per r = 6 e 60°, l'arco è 6.2831853072 unità ma il perimetro è 18.2831853072 unità. Usare il perimetro quando il problema chiede l'arco sovrastima la risposta di 12 unità.
5. Usare l'angolo al centro sbagliato. Un problema sui settori può dare l'angolo tra la corda e una tangente, o un angolo alla circonferenza, invece dell'angolo al centro. Un angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro per lo stesso arco. Se un problema dà un angolo alla circonferenza φ, l'angolo al centro è θ = 2φ, e l'arco è L = r × 2φ. Usare direttamente φ dimezza la risposta.
6. Confondere i settori minore e maggiore. Un angolo di 270° dà un arco di settore maggiore di 23.5619449019 unità per r = 5. Usare invece l'angolo più piccolo di 90° dà 7.8539816340 unità, l'arco minore. Controlla quale settore chiede il problema.
7. Usare una formula della corda sbagliata. La corda è c = 2r sin(θ / 2), con metà dell'angolo dentro il seno. Usare invece sin(θ) dà il valore sbagliato: per r = 6 e 60°, la corda corretta è 6 unità, mentre 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 unità.
8. Mescolare unità di misura lineari e quadrate. Un raggio in cm e un angolo in gradi vanno bene, ma la risposta esce in cm. Un'area del settore in cm² deve essere convertita con il fattore quadrato: 1 m² sono 10,000 cm², non 100 cm². Mescolare cm e pollici in un unico calcolo, o dimenticare di convertire l'unità di output, dà un numero della grandezza sbagliata. Converti prima, calcola dopo.
9. Arrotondare π troppo presto. Sostituire π con 3.14 prima di moltiplicare introduce un errore che cresce con il raggio. Mantieni π a piena precisione durante il calcolo e arrotonda solo il risultato finale visualizzato.
10. Dimenticare di convertire l'angolo in radianti. Ogni formula di settore che usa θ senza un 180 dentro, tra cui l'area del settore A = ½r²θ, la corda c = 2r sin(θ / 2) e l'area del segmento A = ½r²(θ - sin θ), richiede θ in radianti. I gradi funzionano solo nelle forme in gradi delle formule.

Un controllo finale che intercetta la maggior parte di questi errori. Verifica il risultato con la circonferenza. L'arco deve essere tra 0 e 2πr, deve essere più lungo della corda, l'area del settore deve essere tra 0 e πr², e gli archi minore più maggiore devono sommarsi esattamente a 2πr. Se uno di questi controlli fallisce, la causa è uno dei dieci errori qui sopra.

Questi sei esempi coprono i principali metodi di input del calcolatore e i tipi di settore. Ciascuno è calcolato dallo stesso motore che alimenta lo strumento, e ogni risultato è stato verificato in modo indipendente.

Esempio 1: settore di 60 gradi con raggio 6. Dati r = 6 unità, θ = 60° = π / 3 radianti. Lunghezza dell'arco L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unità. Diametro d = 12 unità. Corda c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 unità. Area del settore A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 unità quadrate. Perimetro del settore P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 unità. L'area del segmento è 3.2610986534 unità quadrate. Circonferenza completa C = 37.6991118431 unità.

Esempio 2: settore di un quarto di cerchio con raggio 8 e 90°. Dati r = 8 unità, θ = 90° = π / 2 radianti. Lunghezza dell'arco L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unità. Corda c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 unità. Area del settore A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 unità quadrate. Perimetro del settore P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 unità. L'area del segmento è 18.2654824574 unità quadrate. L'arco è esattamente un quarto della circonferenza di 50.2654824574 unità.

Esempio 3: settore maggiore con raggio 5 e 270°. Dati r = 5 unità, θ = 270° = 3π / 2 radianti. Lunghezza dell'arco L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 unità. Corda c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 unità. Area del settore A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 unità quadrate. Perimetro del settore P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 unità. L'arco minore complementare, usando 90°, è 7.8539816340 unità, e l'area del settore complementare è 19.6349540849 unità quadrate. I due archi si sommano a 31.4159265359 unità, la circonferenza completa.

Esempio 4: settore da diametro 14 e 120°. Dati d = 14 unità, θ = 120° = 2π / 3 radianti. Raggio r = 14 / 2 = 7 unità. Lunghezza dell'arco L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 unità. Corda c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 unità. Area del settore A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 unità quadrate. Perimetro del settore P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 unità. L'area del segmento è 30.0950576159 unità quadrate.

Esempio 5: settore da area 50 e raggio 10. Dati area del settore A = 50 unità quadrate, raggio r = 10 unità. Angolo al centro θ = 2 × 50 / 100 = 1 radiante = 57.2957795131°. Lunghezza dell'arco L = 10 × 1 = 10.0000000000 unità. Corda c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 unità. Perimetro del settore P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 unità. L'area del segmento è 7.9264507596 unità quadrate. L'arco complementare è 52.8318530718 unità.

Esempio 6: settore da raggio 4 e lunghezza dell'arco nota 6. Dati r = 4 unità, L = 6 unità. Angolo al centro θ = 6 / 4 = 1.5 radianti = 85.9436692696°. Area del settore A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 unità quadrate. Corda c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 unità. Perimetro del settore P = 6 + 8 = 14.0000000000 unità. L'area del segmento è 4.0200401072 unità quadrate. L'arco complementare è 19.1327412287 unità, e l'area del settore complementare è 38.2654824574 unità quadrate.

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