حاسبة طول قوس القطاع

تقيس حاسبة طول قوس القطاع المسافة المنحنية على طول قوس قطاع دائري، من شريحة صغيرة إلى الدائرة الكاملة. وهي تقبل سبع قياسات بداية مختلفة، لتستخدم أي قيمة لديك. اتبع هذه الخطوات للحصول على إجابة صحيحة في أقل من دقيقة.

1. اختر طريقة الإدخال. اختر نصف القطر + الزاوية المركزية، أو القطر + الزاوية المركزية، أو محيط الدائرة الكاملة + الزاوية المركزية، أو مساحة القطاع + نصف القطر، أو مساحة القطاع + الزاوية المركزية، أو طول الوتر + الزاوية المركزية، أو نصف القطر + طول القوس المعروف. تتغير حقول الإدخال والتسميات وقوائم الوحدات لتطابق الطريقة التي تختارها.
2. أدخل قياسك. اكتب القيمة في مربع الإدخال. لطرق المساحة، استخدم قائمة الوحدات المربعة (mm²، cm²، m²، km²، in²، ft²، yd²).
3. أدخل الزاوية المركزية. اكتب الزاوية بالدرجات أو الراديان باستخدام مفتاح DEG/RAD، أو اسحب شريط تمرير الزاوية من 0° إلى 360°. يتحدث المخطط المباشر والنتيجة أثناء تحريكه. في طريقتي مساحة القطاع + نصف القطر ونصف القطر + طول القوس المعروف، تحسب الزاوية من قيمك بدلا من ذلك.
4. حدد زاويتي البداية والنهاية إن احتجت إليهما. يبدأ المسح الافتراضي عند 0° ويسير عكس عقارب الساعة. غيّر زاوية البداية أو زاوية النهاية أو الاتجاه لقياس قطاع في أي موضع على الدائرة. المسح، لا الموضع، هو ما يقرر طول القوس. زاويتا بداية ونهاية متطابقتان تعنيان قوسا طوله صفر، ما لم تستخدم خيار الدائرة الكاملة لدورة كاملة.
5. اختر وحدتي الإدخال والإخراج. تحوّل الحاسبة إدخالك إلى وحدة داخلية متسقة، ثم تحسب، ثم تحوّل الإجابة إلى وحدة الإخراج. يتغير الرقم مع الوحدة، أما الطول فلا يتغير.
6. اختر الدقة. اختر 2 أو 4 أو 6 أو 8 منازل عشرية. الافتراضي هو 4. تستخدم الحاسبة دائما قيمة π الكاملة الدقة داخليا، وتقرّب النتيجة المعروضة فقط.
7. انقر على احسب الآن. النتيجة الرئيسية هي طول قوس القطاع، مع تصنيفه: قطاع بزاوية صفر، أو قطاع أصغر، أو نصف دائرة، أو قطاع أكبر، أو دائرة كاملة. وتحصل أسفلها على نصف القطر والقطر والمحيط الكامل والقوس المكمّل وطول الوتر ومساحة القطاع ومحيط القطاع ومساحة القطعة الدائرية والنسبة المئوية للقوس وكلا شكلي الزاوية ومقارنة القطاع الأصغر مقابل القطاع الأكبر.
8. استكشف المخطط. يرسم مخطط القطاع المباشر الدائرة الكاملة، ويظلل القطاع المحدد بالذهبي، ويعلّم المركز O وخطي نصف القطر والوتر ونقطتي النهاية. استخدم مفاتيح التبديل لإظهار خطي نصف القطر أو إخفائهما، والوتر، ونقطة المركز، وعلامة الزاوية، والقطاع المكمّل.
9. انسخ أو اطبع أو أعد الضبط. استخدم نسخ النتيجة لوضع الإجابة في الحافظة، وطباعة الملخص لتقرير بسيط، أو إعادة الضبط لمسح اللوحة. تحمل أزرار الإعدادات المسبقة أمثلة موثقة فورا، وتقفز أزرار الاختيار السريع مباشرة إلى 45° أو 60° أو 90° أو 120° أو 180° أو 270° أو 360°.

جرّب مثالا. نصف قطر 6 مع زاوية 60° يعطي قوسا طوله 6.2831853072 وحدة. نصف قطر 8 مع 90° يعطي 12.5663706144 وحدة. نصف قطر 5 مع 270° يعطي قوس قطاع أكبر طوله 23.5619449019 وحدة. قطر 14 مع 120° يعطي 14.6607657168 وحدة. مساحة قطاع 50 مع نصف قطر 10 تعطي قوسا طوله 10.0000000000 وحدة، ونصف قطر 4 مع قوس معروف طوله 6 يعطي زاوية 85.9436692696°.

نصائح مهمة. حافظ على اتساق وحدة الزاوية: 60° و 1.0471975512 راديان هما الزاوية نفسها، لكن 60 راديان ليست 60°. طول القوس هو المسافة المنحنية فقط، والوتر قياس مختلف وهو أقصر دائما، إلا في قوس طوله صفر. إذا أدخلت قطرا، تقسمه الحاسبة إلى نصفين لإيجاد نصف القطر أولا. مساحة القطاع ليست طول القوس: إحداهما تقاس بوحدات مربعة والأخرى بوحدات عادية. القياس الصفري أو السالب ليس قطاعا صحيحا، لذا ترفضه الحاسبة بدلا من عرض إجابة مضللة.

الدائرة هي مجموعة كل النقاط الواقعة على مسافة ثابتة، هي نصف القطر، من نقطة مركز O. القطاع الدائري هو المنطقة الوتدية المقطوعة من دائرة بنصفي قطر والقوس بينهما، مثل شريحة من فطيرة. طول قوس القطاع هو المسافة المنحنية على طول الحافة الخارجية لذلك الوتد، من نقطة نهاية أحد نصفي القطر إلى نقطة نهاية الآخر، مع اتباع المنحنى.

تخيل شريحة بيتزا. الحافتان المستقيمتان المقطوعتان هما نصفا القطر، والطرف المدبب هو المركز O، والقشرة هي القوس. طول القوس هو طول القشرة. والخط المستقيم عبر الطرف العريض للشريحة، الذي يصل بين نقطتي نهاية القشرة، هو الوتر، وهو أقصر من القشرة.

لكل قطاع الأجزاء نفسها، بمقياس نصف قطره. المركز O هو النقطة الثابتة. نصف القطر r يمتد من O إلى أي نقطة على الدائرة. الزاوية المركزية θ هي الزاوية عند O بين نصفي القطر اللذين يحدان القطاع، وهي التي تقرر أي جزء من الدائرة يغطيه القطاع. القوس هو الحافة المنحنية. الوتر هو الخط المستقيم بين نقطتي نهاية القوس. مساحة القطاع هي المنطقة داخل نصفي القطر والقوس.

يقسم نصفا قطر الدائرة دائما إلى قطاعين: الأصغر، وهو القطاع الأصغر، والأكبر، وهو القطاع الأكبر. ويشكلان معا الدائرة الكاملة. وأيهما تريد يعتمد على مسألتك، وتعرض الحاسبة كليهما، فلا تضطر إلى التخمين.

طول قوس القطاع قياس أحادي البعد، أي طول، لذا يذكر بوحدات عادية مثل سم أو م أو بوصة. وهو ليس مساحة وليس زاوية. والفصل بين هذه الكميات الثلاث هو الخطوة الأولى لإتقان كل حسابات القطاع.

يأتي طول قوس القطاع مباشرة من محيط الدائرة الكاملة. محيط الدائرة الكاملة هو:

القطاع ذو الزاوية المركزية θ يغطي الكسر θ / 360 من دورة كاملة مقدارها 360°، فقوسه هو الكسر نفسه من المحيط:

وبالتبسيط نحصل على صيغة الدرجات:

وعند قياس الزاوية بالراديان، تصبح الصيغة أبسط، لأن الراديان معرّف بنصف القطر نفسه:

لكل رمز في الصيغتين معنى دقيق:

الصيغتان تعطيان الإجابة نفسها. استخدم L = πrθ / 180 عندما تكون زاويتك بالدرجات، و L = rθ عندما تكون بالراديان. تحوّل الحاسبة الدرجات إلى راديان أولا ثم تستخدم L = rθ داخليا، ولهذا يتفق الوضعان دائما.

واستخدام القطر بدلا من نصف القطر يعطي صيغة ثانية للصيغة نفسها. بما أن d = 2r، فإن r = d / 2، وبالتعويض نحصل على L = dθ / 2 بالراديان، أو L = πdθ / 360 بالدرجات.

نصف القطر مع الزاوية المركزية هو الطريقة الأكثر مباشرة لإيجاد طول قوس القطاع. يستخدم المثال المحلول أدناه نصف قطر 6 وحدات وزاوية مركزية 60°.

1. حدد نصف القطر. r = 6 وحدات.
2. حدد الزاوية المركزية. θ = 60°.
3. حوّل الدرجات إلى راديان. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 راديان.
4. اكتب صيغة طول القوس. L = rθ.
5. عوّض القيم. L = 6 × π / 3.
6. احسب. L = 6.2831853072 وحدة.
7. قرّب حسب الحاجة. إلى منزلتين عشريتين، L = 6.28 وحدة.

الخطوات نفسها تنطبق على أي نصف قطر وزاوية. نصف قطر 8 وحدات مع 90° يعطي L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 وحدة. نصف قطر 5 وحدات مع 270° يعطي L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 وحدة. نصف قطر وحدة واحدة مع 60° يعطي L = 1.0471975512 وحدة، وهو بالضبط π / 3، وهو فحص مفيد: عندما يكون r = 1، يساوي طول القوس الزاوية بالراديان.

قاعدة التقريب. قرّب في النهاية فقط. إذا استبدلت π بـ 3.14 قبل الضرب، فإن نصف قطر 6 مع 60° يعطي 6.28 بالضبط بالمصادفة هنا، لكن نصف قطر 8 مع 90° يعطي 12.56 بدلا من 12.5663706144، أي خطأ قدره 0.0063706144. ويكبر هذا الخطأ مع نصف القطر، لذا حافظ على الدقة الكاملة طوال الحساب وقرّب النتيجة النهائية المعروضة فقط.

عندما تعرف القطر بدلا من نصف القطر، اقسمه إلى نصفين أولا، ثم طبق الصيغة نفسها. يستخدم المثال المحلول أدناه قطرا 14 وحدة وزاوية مركزية 120°.

1. حدد القطر. d = 14 وحدة.
2. جد نصف القطر. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 وحدات.
3. حدد الزاوية المركزية. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 راديان.
4. اكتب الصيغة. L = rθ، أو مباشرة L = πdθ / 360.
5. عوّض. L = 7 × 2.0943951024، أو L = π × 14 × 120 / 360.
6. احسب. L = 14.6607657168 وحدة.
7. قرّب حسب الحاجة. إلى منزلتين عشريتين، L = 14.66 وحدة.

الطريقتان تتفقان تماما، وهذا فحص ذاتي جيد. طريق نصف القطر يعطي 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. وطريق القطر يعطي π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. وإذا اختلفتا، فهذا يعني أن القطر لم يقسم إلى نصفين على نحو صحيح.

مثال آخر: قطر 20 وحدة مع 180° يعطي r = 10 وحدات، فتكون L = π × 10 = 31.4159265359 وحدة، وهو قوس نصف الدائرة. وقطر 10 وحدات مع 60° يعطي r = 5 وحدات، فتكون L = 5.2359877560 وحدة. والخطأ الأكثر شيوعا في هذا الحساب هو نسيان القسمة على اثنين واستخدام القطر كما لو كان نصف القطر، مما يضاعف الإجابة. فعند d = 14، يعطي هذا الخطأ 29.3215314336 بدلا من 14.6607657168.

نصيحة قياس. غالبا ما يكون قياس الأقطار أسهل في الحياة العملية من قياس أنصاف الأقطار، لأنك تستطيع القياس مباشرة عبر الدائرة. ولهذا تقبل الحاسبة إدخال القطر مباشرة: قس عبر الدائرة وأدخل القيمة، وستقسمها الحاسبة إلى نصفين نيابة عنك.

الدرجات هي الوحدة اليومية للزوايا. تحتوي الدائرة الكاملة على 360°، فالزاوية المركزية بالدرجات تخبرك مباشرة بأي جزء من الدائرة الكاملة يغطيه قطاعك. زاوية 90° تغطي ربع الدائرة، و 180° تغطي نصفها، و 270° تغطي ثلاثة أرباعها.

صيغة الدرجات هي L = πrθ / 180، حيث θ بالدرجات. وهي تأتي من فكرة الكسر: θ / 360 من المحيط 2πr، بعد التبسيط.

مثال محلول. نصف قطر 8 وحدات، زاوية 90°.

1. حدد القيم. r = 8 وحدات، θ = 90°.
2. جد كسر الدائرة. 90 / 360 = 1 / 4، أي ربع دائرة.
3. اكتب الصيغة. L = πrθ / 180.
4. عوّض. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. احسب. L = 12.5663706144 وحدة.
6. تحقق من المحيط. المحيط الكامل هو 2π × 8 = 50.2654824574 وحدة، وربعه هو 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 وحدة. والاثنان يتفقان.

أمثلة أخرى بالدرجات مع نصف قطر 5 وحدات: 30° تعطي L = 2.6179938780 وحدة، و 45° تعطي L = 3.9269908170 وحدة، و 120° تعطي L = 10.4719755120 وحدة، و 270° تعطي L = 23.5619449019 وحدة. لاحظ أن مضاعفة الزاوية تضاعف طول القوس لنصف القطر نفسه، لأن طول القوس يتناسب طرديا مع الزاوية المركزية.

خطأ شائع في الدرجات. إدخال قيمة بالدرجات مباشرة في L = rθ دون تحويل يعطي إجابة خاطئة بشدة. فعند r = 5 و 60°، يعطي الحساب دون تحويل 5 × 60 = 300، لكن الإجابة الصحيحة هي 5.2359877560. وصيغة L = rθ تحتاج الراديان، لذا إما أن تحوّل أولا أو أن تستخدم صيغة الدرجات L = πrθ / 180.

الراديان هو الزاوية التي تحصل عليها عندما يساوي طول القوس نصف القطر. فإذا لففت خيطا طوله نصف القطر حول الدائرة، فإن الزاوية التي يصنعها عند المركز هي بالضبط راديان واحد. وتحتوي الدائرة الكاملة على 2π راديان، أي نحو 6.2831853072 راديان، لأن المحيط الكامل هو 2πr، وبالقسمة على r يبقى 2π.

صيغة الراديان هي L = rθ، وهي أبسط صيغة لطول القوس. ولا يوجد فيها π، لأن π موجودة أصلا داخل قياس الزاوية بالراديان.

مثال محلول. نصف قطر 6 وحدات، زاوية π / 3 راديان (وهي 60°).

1. حدد القيم. r = 6 وحدات، θ = π / 3 = 1.0471975512 راديان.
2. اكتب الصيغة. L = rθ.
3. عوّض. L = 6 × 1.0471975512.
4. احسب. L = 6.2831853072 وحدة.
5. تحقق من الدرجات. π / 3 راديان تساوي 60°، وصيغة الدرجات تعطي L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 وحدة. والاثنتان تتفقان تماما.

أمثلة أخرى بالراديان: نصف قطر 4 وحدات مع θ = π / 2 راديان يعطي L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 وحدة. نصف قطر 10 وحدات مع θ = π راديان يعطي L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 وحدة، وهو قوس نصف الدائرة. نصف قطر 5 وحدات مع θ = 1 راديان يعطي L = 5 وحدات، لأن القوس يساوي نصف القطر عندما تكون الزاوية راديانا واحدا.

لماذا يفضل الراديان في الرياضيات. صيغ حساب التفاضل والتكامل لطول القوس، وصيغ الوتر ومساحة القطاع ومساحة القطعة في هذه الصفحة، كلها تستخدم الراديان. الدرجات مريحة للقياس اليومي، لكن الراديان يجعل الرياضيات نظيفة، ولهذا تحوّل الحاسبة كل زاوية إلى راديان قبل أن تحسب.

يبدو طول قوس القطاع ومساحة القطاع متشابهين، لكنهما يقيسان شيئين مختلفين. طول القوس مسافة منحنية أحادية البعد، تقاس بوحدات عادية. ومساحة القطاع منطقة ثنائية البعد، هي وتد الدائرة المقطوع بنصفي قطر والقوس، وتقاس بوحدات مربعة.

تبدو الصيغتان متشابهتين، وهذا بالضبط سبب الخلط بينهما:

مساحة القطاع تساوي طول القوس مضروبا في نصف نصف القطر: A = ½ × r × L. وهذه العلاقة فحص مفيد. فعند نصف قطر 6 وحدات و 60°، يكون القوس 6.2831853072 وحدة، وتكون مساحة القطاع ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 وحدة مربعة.

الوحدات هي الدليل. إذا كان جوابك طولا، فالوحدة هي سم أو م أو بوصة. وإذا كان مساحة، فالوحدة هي سم² أو م² أو بوصة مربعة. فإجابة طول قوس بوحدات مربعة، أو إجابة مساحة قطاع بوحدات عادية، خاطئة حتما. وتفصل الحاسبة بين الاثنين وتذكر الوحدات بوضوح.

فحص الدائرة الكاملة. عند 360°، يكون القطاع هو الدائرة كلها، فيجب أن تساوي مساحة القطاع πr². فعند r = 6، تكون π × 36 = 113.0973355292 وحدة مربعة. والقوس في الوقت نفسه هو المحيط الكامل، 37.6991118431 وحدة. وكلاهما يأتي من نصف القطر والزاوية نفسيهما، لكنهما يجيبان عن سؤالين مختلفين.

محيط القطاع هو المسافة حول حده بالكامل. للقطاع الصحيح ثلاث قطع حدية: القوس المنحني، ونصف القطر الأول، ونصف القطر الثاني. فمحيط القطاع هو طول القوس زائد ضعف نصف القطر:

وهنا θ بالراديان. الضلعان المستقيمان طول كل منهما نصف قطر واحد بالضبط، فيضيفان 2r إلى طول القوس المنحني.

مثال محلول. نصف قطر 6 وحدات، زاوية 60°. القوس هو L = 6.2831853072 وحدة. ويضيف نصفا القطر 2 × 6 = 12 وحدة. فمحيط القطاع هو P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 وحدة.

أمثلة أخرى. نصف قطر 8 مع 90°: القوس 12.5663706144، والمحيط 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 وحدة. نصف قطر 5 مع 270°: القوس 23.5619449019، والمحيط 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 وحدة. نصف قطر 7 مع 120°: القوس 14.6607657168، والمحيط 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 وحدة.

حالتان خاصتان. بالنسبة إلى الدائرة الكاملة، 360°، لا توجد جانبا نصف قطر في الحد إطلاقا: المحيط هو ببساطة المحيط، P = 2πr. فعند r = 6، يكون 37.6991118431 وحدة، وليس 37.6991118431 + 12. وبالنسبة إلى قطاع بزاوية صفر، 0°، تكون الهندسة منحلة: ينطبق نصفا القطر ويكون طول القوس صفرا، فلا تعرض محيط قطاع عاديا له. وتعامل الحاسبة حالة الزاوية الصفرية على أنها منحلة ولا تذكر قيمة محيط عادية.

لماذا يهم هذا التمييز. إذا كنت تطلب زخرفة للوحة على شكل قطاع، فأنت تحتاج المحيط، لأن الزخرفة تمتد على طول القوس والحافتين المستقيمتين. وإذا كنت تقيس الحافة المنحنية فقط، فأنت تحتاج طول القوس. والخلط بينهما من أكثر أخطاء القطاع شيوعا، وتعرض الحاسبة القيمتين جنبا إلى جنب ليكون الفرق ظاهرا دائما.

يقسم نصفا قطر الدائرة إلى قطاعين. الأصغر هو القطاع الأصغر، والأكبر هو القطاع الأكبر. ويشتركان في نصفي القطر نفسيهما، ويشكلان معا الدائرة الكاملة.

الزاوية المركزية هي التي تقرر أيهما أي. زاوية مركزية أقل من 180° تعطي قطاعا أصغر. وزاوية مركزية أكبر من 180° تعطي قطاعا أكبر، وزاويتها زاوية منعكسة، أي أكبر من زاوية مستقيمة. و 180° بالضبط تعطي نصف دائرة، وهي ليست أصغر ولا أكبر: القطاعان متساويان.

الأصغر والأكبر مكمّلان. بالنسبة إلى زاوية مركزية أصغر θ، يكون القوس الأصغر Lminor = rθ والقوس الأكبر Lmajor = r(2π - θ). ومجموعهما هو دائما المحيط الكامل، ومساحتا قطاعيهما تجمعان إلى مساحة الدائرة الكاملة:

مثال محلول. نصف قطر 6 وحدات، زاوية أصغر 60°. القوس الأصغر هو L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 وحدة، ومساحة القطاع الأصغر هي 18.8495559215 وحدة مربعة. ويستخدم القوس الأكبر الزاوية المنعكسة 360° - 60° = 300°، فتكون L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 وحدة، ومساحة القطاع الأكبر هي 94.2477796077 وحدة مربعة. ويجمع القوسان إلى 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 وحدة، أي المحيط الكامل، وتجمع المساحتان إلى 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 وحدة مربعة، أي مساحة الدائرة الكاملة. والقطاع الأصغر هو 16.67% من الدائرة والقطاع الأكبر هو 83.33%.

مثال آخر. نصف قطر 5 وحدات، زاوية 270°. هذا هو القطاع الأكبر أصلا: L = 23.5619449019 وحدة ومساحة القطاع هي 58.9048622548 وحدة مربعة. ويستخدم قطاعه الأصغر المكمّل 90°: L = 7.8539816340 وحدة والمساحة هي 19.6349540849 وحدة مربعة. والمجموع هو 31.4159265359 وحدة، أي المحيط الكامل 2π × 5.

لا تخلط بين الزاويتين. الخطأ الأكثر شيوعا بين الأصغر والأكبر هو استخدام الزاوية الأصغر عندما تطلب المسألة القطاع الأكبر، أو العكس. تحقق دائما مما إذا كانت الزاوية المعطاة هي الأصغر أم المنعكسة، وتذكر أن الحاسبة تعرض القطاعين جنبا إلى جنب لتختار القطاع الذي تحتاجه مسألتك.

القطاع والقطعة الدائرية منطقتان مختلفتان من الدائرة، ومن السهل الخلط بينهما لأن كليهما يتضمن قوسا. القطاع محاط بنصفي قطر وقوس. والقطعة الدائرية محاطة بوتر وقوس. والقطعة هي جزء القطاع الواقع وراء الوتر، فهي أصغر من القطاع، إلا في الحالات الخاصة أدناه.

توضح الصيغتان الفرق بوضوح:

مساحة القطعة هي مساحة القطاع ناقص المساحة المثلثية بين نصفي القطر والوتر. وهنا θ هي المسح المركزي بالراديان، بين 0 و 2π. وتتعامل الصيغة مع القطعتين الصغرى والكبرى على نحو صحيح: فبالنسبة إلى قوس أصغر تعطي الغطاء الصغير، وبالنسبة إلى قوس أكبر تعطي المنطقة الكبيرة التي تغطي معظم الدائرة.

أمثلة محلولة. عند r = 6 وحدات و 60°، تكون مساحة القطاع 18.8495559215 وحدة مربعة ومساحة القطعة هي ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 وحدة مربعة. والقطعة أصغر بكثير من القطاع، لأن المثلث يشغل معظم الوتد. وعند r = 8 و 90°، تكون القطعة 18.2654824574 وحدة مربعة. وعند r = 5 و 90°، تكون القطعة 7.1349540849 وحدة مربعة.

حالات خاصة. عند 180°، تكون sin θ = 0، فتساوي مساحة القطعة مساحة القطاع: ½ πr². فعند r = 5، تكون كلتاهما 39.2699081699 وحدة مربعة، أي نصف الدائرة بالضبط. وعند 270°، تكون sin θ = -1، فتكون القطعة أكبر من القطاع: فعند r = 5، يكون القطاع 58.9048622548 وحدة مربعة والقطعة 71.4048622548 وحدة مربعة. وعند 360°، يختفي الوتر وتكون القطعة هي الدائرة كلها، πr².

القطعة مقابل القطاع، في سطر واحد. القطاع هو الوتد من المركز. والقطعة هي الغطاء وراء الوتر. فإذا كانت مسألتك تتضمن المركز، فأنت تريد القطاع. وإذا كانت تتضمن القوس ووتره فقط، فأنت تريد القطعة.

يربط طول الوتر وطول قوس القطاع النقطتين نفسيهما على الدائرة، لكنهما يسلكان مسارين مختلفين. يتبع القوس المنحنى. ويقطع الوتر مستقيما عبر الدائرة. والقوس أطول دائما تقريبا.

توضح الصيغتان الفرق بوضوح:

يعتمد الوتر على جيب نصف الزاوية، الذي ينمو أبطأ من الزاوية نفسها، فتتسع الفجوة بين القوس والوتر كلما كبرت الزاوية.

ثلاث حقائق من الجدول تستحق التذكر. عند 30°، يكون القوس أطول من الوتر بنحو 1.15% فقط، فعند الزوايا الصغيرة يكون الاثنان متقاربين. وعند 180°، يكون الوتر هو القطر، 10 وحدات، بينما القوس هو πr = 15.7079632679 وحدة. وعند 270°، يتقلص الوتر إلى 7.0710678119 وحدة، وهي القيمة نفسها عند 90°، لأن الوتر يعتمد على الزاوية الأصغر بين نقطتي النهاية، بينما يستمر القوس في النمو مع المسح.

حالة خاصة. عند 60°، يساوي الوتر نصف القطر بالضبط: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. فعند r = 6، يكون الوتر 6 وحدات، ويشكل نصف القطر والوتر ونصفا القطر مثلثا متساوي الأضلاع. وهذا فحص سهل ومفضل لدى واضعي الامتحانات.

لماذا يهم هذا. إذا كنت تقطع أنبوبا منحنيا، فأنت تحتاج طول القوس. وإذا كنت تقيس الفجوة المستقيمة بين نقطتين على جزء دائري، فأنت تحتاج الوتر. والخلط بينهما من أكثر أخطاء الدائرة شيوعا، وتعرض الحاسبة القيمتين معا ليكون الفرق ظاهرا دائما.

أحيانا لا يكون نصف القطر ولا الزاوية معطيين. وتعمل الحاسبة عكسيا من أربعة قياسات أخرى باستنتاج القيمة المفقودة أولا، ثم تطبيق L = rθ كالمعتاد. وتعطي الطرق السبع كلها نصف القطر نفسه وطول القوس نفسه للقطاع نفسه، لتستخدم أي قياس لديك فعلا.

من محيط الدائرة الكاملة. المحيط الكامل هو C = 2πr، فيكون r = C / (2π). فعند C = 37.6991118431 وحدة، يكون r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 وحدات. ثم يكون قوس قطاع 60° هو L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 وحدة. لاحظ الاختصار: قوس 60° هو سدس المحيط، و 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 وحدة.

من طول الوتر. صيغة الوتر هي c = 2r sin(θ / 2)، فيكون r = c / [2 sin(θ / 2)]. فلوتر طوله 6 وحدات مع زاوية 60°، يكون r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 وحدات. ثم تكون L = 6.2831853072 وحدة. ولا يعمل إدخال الوتر إلا عندما تكون الزاوية بين 0° و 360° تماما: فعند 0° أو 360° يكون الوتر صفرا ولا يمكن استرداد نصف قطر، لذا ترفض الحاسبة تلك الزوايا لهذه الطريقة.

من مساحة القطاع ونصف القطر. مساحة القطاع هي A = ½r²θ، فيكون θ = 2A / r². فلمساحة قطاع 50 وحدة مربعة مع نصف قطر 10 وحدات، يكون θ = 2 × 50 / 100 = 1 راديان = 57.2957795131°. ثم تكون L = 10 × 1 = 10.0000000000 وحدة. وتحتاج هذه الطريقة أن تكون مساحة القطاع لا أكبر من مساحة الدائرة الكاملة πr²: فعند r = 10، يكون هذا الحد 314.1592653590 وحدة مربعة، فأي مساحة فوق ذلك ترفض.

من مساحة القطاع والزاوية. وبإعادة الترتيب بالطريقة نفسها، يكون r = √(2A / θ) مع θ بالراديان. فلمساحة قطاع 18.8495559215 وحدة مربعة مع زاوية 60°، تكون θ = 1.0471975512 راديان، فيكون r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 وحدات. ثم تكون L = 6.2831853072 وحدة. وتحتاج هذه الطريقة الزاوية إضافة إلى المساحة، لأن مساحة القطاع نفسها يمكن أن تأتي من تركيبات كثيرة من نصف القطر والزاوية.

من نصف القطر وطول القوس المعروف. الزاوية هي θ = L / r. فعند نصف قطر 4 وحدات وقوس معروف طوله 6 وحدات، تكون θ = 6 / 4 = 1.5 راديان = 85.9436692696°. ثم تكون مساحة القطاع A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 وحدة مربعة، والمحيط P = 6 + 8 = 14.0000000000 وحدة. وتحتاج هذه الطريقة أن يكون القوس لا أطول من المحيط الكامل 2πr: فعند r = 4، يكون هذا الحد 25.1327412287 وحدة.

أي إدخال تستخدم. استخدم أي قياس لديك فعلا. وإذا أعطاك قياسان مختلفان نصفي قطر مختلفين، فإن أحد القياسين خاطئ، ويستحق هذا الاختلاف التحقيق قبل الوثوق بأي من الإجابتين.

طول قوس القطاع ليس تمرينا صفيا مجردا. فأينما وجب قياس مسافة منحنية على دائرة أو قطعها أو بناؤها أو السفر عبرها، تنطبق الصيغة نفسها.

الهندسة الميكانيكية. يبدأ ثني الأنابيب بطول القوس: أنبوب مثني بزاوية 90° مع نصف قطر انحناء 8 وحدات يحتاج 12.5663706144 وحدة من الأنبوب للانحناء وحده. وتحتاج الصفائح المعدنية الملفوفة إلى لوحة منحنية، وشكل سن الترس، وشكل الكامة، كلها إلى الطول المنحني قبل قطع المادة. والخطأ فيه يهدر المادة أو يترك جزءا قصيرا.

العمارة والبناء. تقاس المداخل المقوسة والنوافذ الدائرية والقباب والسلالم المنحنية بأقواسها. فقوس نصف دائري بنصف قطر 10 وحدات يحتاج 31.4159265359 وحدة من الزخرفة على طول المنحنى. ومظلة على شكل قطاع بنصف قطر 6 وحدات وزاوية 60° تحتاج 6.2831853072 وحدة من الحافة على طول المنحنى و 18.2831853072 وحدة حول الحد الكامل.

الطرق والمسارات. يخطط منحنى طريق دائري أو منعطف مضمار جري أو منحنى سكة حديد بنصف القطر والزاوية المركزية. ويقرر طول المنحنى كمية الأسفلت وطول السكة والمسافة التي تقطعها المركبة عبر المنعطف. فمنحنى 120° بنصف قطر 7 وحدات طوله 14.6607657168 وحدة.

البيتزا وتقسيم الطعام. شريحة البيتزا قطاع. فإذا كان للبيتزا نصف قطر 6 وحدات، فإن شريحة واحدة مقطوعة بزاوية 60° يكون طول قشرتها 6.2831853072 وحدة ومساحتها 18.8495559215 وحدة مربعة. وست شرائح مثلها تصنع البيتزا كلها، وتجمع قشورها إلى 37.6991118431 وحدة، أي المحيط الكامل. وقطع شرائح متساوية هو مسألة تقسيم قطاع: الزوايا المتساوية تعطي أقواسا متساوية ومساحات متساوية.

الساعات والعجلات والروبوتات. يمسح عقرب الساعة قوسا مع مرور الوقت. وتقطع العجلة المتدحرجة على الأرض مسافة تساوي القوس الذي تدور عبره. ويحرك ذراع الروبوت الدوار حول مفصل قبضته على طول قوس دائري، والمسافة التي يقطعها هي rθ، ولهذا يكون الراديان هو الوحدة الطبيعية في الروبوتات.

الرسوميات الحاسوبية والتصميم بمساعدة الحاسوب. تبنى المنحنيات في نماذج التصميم بمساعدة الحاسوب والخطوط والرسوم المتحركة من أقواس دائرية. ويقرر طول القوس كيفية تقسيم مسار أداة، وكيفية رسم منحنى، وكم يتحرك جسم على طول مسار دائري في رسم متحرك. ويعرّف جزء على شكل قطاع في التصميم بمساعدة الحاسوب بنصف القطر والزاوية نفسيهما اللذين تستخدمهما هذه الحاسبة.

ملاحظة عن الأشكال الحقيقية. ليست كل بنية منحنية دائرة كاملة. فالأقواس الحقيقية قد تكون إهليلجية أو مكافئة، والطرق الحقيقية تستخدم انتقالات كلوثويدية. وتنطبق صيغ القطاع في هذه الصفحة تماما عندما يكون المنحنى قوسا دائريا حقيقيا، وهي تقريب جيد فقط عندما يكون المنحنى قريبا من الدائري. تأكد دائما من الشكل قبل تطبيق الصيغة.

معظم الإجابات الخاطئة في طول قوس القطاع تأتي من قائمة صغيرة من الأخطاء. ويستغرق التحقق من كل واحد منها ثواني وينقذ من معظم الأخطاء.

1. استخدام الدرجات مباشرة في صيغة الراديان. تحتاج L = rθ إلى الراديان. وإدخال 60° مباشرة يعطي 6 × 60 = 360 بدلا من 6.2831853072. حوّل أولا، أو استخدم L = πrθ / 180.
2. الخلط بين نصف القطر والقطر. تحتاج الصيغة r لا d. فاستخدام d = 14 كنصف قطر يضاعف الإجابة: 29.3215314336 بدلا من 14.6607657168 لقطاع 120°. اقسم القطر إلى نصفين أولا.
3. الخلط بين مساحة القطاع وطول القوس. مساحة القطاع منطقة ثنائية البعد بوحدات مربعة. وطول القوس مسافة أحادية البعد بوحدات عادية. فعند r = 6 و 60°، تكون مساحة القطاع 18.8495559215 وحدة مربعة والقوس 6.2831853072 وحدة. كميتان مختلفتان ووحدتان مختلفتان.
4. الخلط بين محيط القطاع وطول القوس. يضيف المحيط جانبي نصف القطر: P = L + 2r. فعند r = 6 و 60°، يكون القوس 6.2831853072 وحدة لكن المحيط 18.2831853072 وحدة. واستخدام المحيط عندما تطلب المسألة القوس يبالغ في الإجابة بمقدار 12 وحدة.
5. استخدام الزاوية المركزية الخاطئة. قد تعطي مسألة القطاع الزاوية بين الوتر والمماس، أو زاوية محيطية، بدلا من الزاوية المركزية. والزاوية المحيطية هي نصف الزاوية المركزية للقوس نفسه. فإذا أعطت المسألة زاوية محيطية φ، فإن الزاوية المركزية هي θ = 2φ، والقوس هو L = r × 2φ. واستخدام φ مباشرة ينصّف الإجابة.
6. الخلط بين القطاع الأصغر والقطاع الأكبر. زاوية 270° تعطي قوس قطاع أكبر طوله 23.5619449019 وحدة عند r = 5. واستخدام الزاوية الأصغر 90° بدلا منها يعطي 7.8539816340 وحدة، أي القوس الأصغر. تحقق من القطاع الذي تطلبه المسألة.
7. استخدام صيغة وتر غير صحيحة. الوتر هو c = 2r sin(θ / 2)، مع نصف الزاوية داخل الجيب. واستخدام sin(θ) بدلا منها يعطي قيمة خاطئة: فعند r = 6 و 60°، يكون الوتر الصحيح 6 وحدات، بينما 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 وحدة.
8. خلط وحدات القياس الخطية والمربعة. نصف قطر بالسنتيمتر وزاوية بالدرجات أمر جيد، لكن الإجابة تخرج بالسنتيمتر. ويجب تحويل مساحة قطاع بالسنتيمتر المربع بالعامل المربع: 1 م² يساوي 10,000 سم²، وليس 100 سم². وخلط السنتيمتر والبوصة في حساب واحد، أو نسيان تحويل وحدة الإخراج، يعطي رقما بالحجم الخاطئ. حوّل أولا، ثم احسب ثانيا.
9. تقريب π مبكرا جدا. استبدال π بـ 3.14 قبل الضرب يدخل خطأ يكبر مع نصف القطر. حافظ على قيمة π الكاملة الدقة طوال الحساب وقرّب النتيجة النهائية المعروضة فقط.
10. نسيان تحويل الزاوية إلى راديان. كل صيغة قطاع تستخدم θ دون 180 فيها، بما فيها مساحة القطاع A = ½r²θ، والوتر c = 2r sin(θ / 2)، ومساحة القطعة A = ½r²(θ - sin θ)، تحتاج θ بالراديان. والدرجات تنجح فقط في صيغ الدرجات.

فحص أخير يكشف معظم هذه الأخطاء. تحقق من النتيجة مقابل المحيط. يجب أن يكون القوس بين 0 و 2πr، ويجب أن يكون أطول من الوتر، ويجب أن تكون مساحة القطاع بين 0 و πr²، ويجب أن يجمع القوسان الأصغر والأكبر إلى 2πr بالضبط. وإذا فشل أي من هذه الفحوص، فإن أحد الأخطاء العشرة أعلاه هو السبب.

تغطي هذه الأمثلة الستة طرق الإدخال الرئيسية للحاسبة وأنواع القطاعات. ويحسب كل منها المحرك نفسه الذي يشغّل الأداة، وقد تحقق من كل نتيجة على نحو مستقل.

المثال 1: قطاع 60 درجة بنصف قطر 6. المعطى r = 6 وحدات، θ = 60° = π / 3 راديان. طول القوس L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 وحدة. القطر d = 12 وحدة. الوتر c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 وحدات. مساحة القطاع A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 وحدة مربعة. محيط القطاع P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 وحدة. ومساحة القطعة هي 3.2610986534 وحدة مربعة. والمحيط الكامل C = 37.6991118431 وحدة.

المثال 2: قطاع ربع دائرة بنصف قطر 8 و 90°. المعطى r = 8 وحدات، θ = 90° = π / 2 راديان. طول القوس L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 وحدة. الوتر c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 وحدة. مساحة القطاع A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 وحدة مربعة. محيط القطاع P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 وحدة. ومساحة القطعة هي 18.2654824574 وحدة مربعة. والقوس هو بالضبط ربع المحيط 50.2654824574 وحدة.

المثال 3: قطاع أكبر بنصف قطر 5 و 270°. المعطى r = 5 وحدات، θ = 270° = 3π / 2 راديان. طول القوس L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 وحدة. الوتر c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 وحدة. مساحة القطاع A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 وحدة مربعة. محيط القطاع P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 وحدة. والقوس الأصغر المكمّل، باستخدام 90°، هو 7.8539816340 وحدة، ومساحة القطاع المكمّلة هي 19.6349540849 وحدة مربعة. ويجمع القوسان إلى 31.4159265359 وحدة، أي المحيط الكامل.

المثال 4: قطاع من قطر 14 و 120°. المعطى d = 14 وحدة، θ = 120° = 2π / 3 راديان. نصف القطر r = 14 / 2 = 7 وحدات. طول القوس L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 وحدة. الوتر c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 وحدة. مساحة القطاع A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 وحدة مربعة. محيط القطاع P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 وحدة. ومساحة القطعة هي 30.0950576159 وحدة مربعة.

المثال 5: قطاع من مساحة 50 ونصف قطر 10. المعطى مساحة القطاع A = 50 وحدة مربعة، ونصف القطر r = 10 وحدات. الزاوية المركزية θ = 2 × 50 / 100 = 1 راديان = 57.2957795131°. طول القوس L = 10 × 1 = 10.0000000000 وحدة. الوتر c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 وحدة. محيط القطاع P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 وحدة. ومساحة القطعة هي 7.9264507596 وحدة مربعة. والقوس المكمّل هو 52.8318530718 وحدة.

المثال 6: قطاع من نصف قطر 4 وطول قوس معروف 6. المعطى r = 4 وحدات، L = 6 وحدات. الزاوية المركزية θ = 6 / 4 = 1.5 راديان = 85.9436692696°. مساحة القطاع A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 وحدة مربعة. الوتر c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 وحدة. محيط القطاع P = 6 + 8 = 14.0000000000 وحدة. ومساحة القطعة هي 4.0200401072 وحدة مربعة. والقوس المكمّل هو 19.1327412287 وحدة، ومساحة القطاع المكمّلة هي 38.2654824574 وحدة مربعة.

انقر على أي زر إعداد مسبق في الحاسبة لتحميل أحد هذه الأمثلة ورؤية الحل الكامل خطوة بخطوة والمخطط المباشر وكل النتائج الثانوية لذلك الإدخال.