Calculadora de longitud de arco de sector

La calculadora de longitud de arco de sector mide la distancia curva a lo largo del arco de un sector circular, desde una porción pequeña hasta el círculo completo. Acepta siete medidas iniciales diferentes, así que puedes usar el valor que ya tengas. Sigue estos pasos para obtener una respuesta correcta en menos de un minuto.

1. Elige el método de entrada. Elige Radio + ángulo central, Diámetro + ángulo central, Circunferencia del círculo completo + ángulo central, Área del sector + radio, Área del sector + ángulo central, Longitud de cuerda + ángulo central, o Radio + longitud de arco conocida. Los campos de entrada, las etiquetas y las listas de unidades cambian según el método que elijas.
2. Introduce tu medida. Escribe el valor en el cuadro de entrada. Para los métodos de área, usa la lista de unidades al cuadrado (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Introduce el ángulo central. Escribe el ángulo en grados o radianes con el interruptor DEG/RAD, o arrastra el control deslizante del ángulo de 0° a 360°. El diagrama en vivo y el resultado se actualizan mientras lo mueves. En los métodos Área del sector + radio y Radio + longitud de arco conocida, el ángulo se calcula a partir de tus valores.
4. Ajusta los ángulos inicial y final si los necesitas. El barrido predeterminado empieza en 0° y avanza en sentido contrario a las agujas del reloj. Cambia el ángulo inicial, el ángulo final o la dirección para medir un sector en cualquier parte del círculo. El barrido, no la posición, decide la longitud de arco. Ángulos inicial y final idénticos significan un arco de longitud cero, salvo que uses la opción de círculo completo para una vuelta completa.
5. Elige las unidades de entrada y de salida. La calculadora convierte tu entrada a una unidad interna coherente, calcula y luego convierte la respuesta a tu unidad de salida. El número cambia con la unidad; la longitud no.
6. Elige la precisión. Elige 2, 4, 6 u 8 decimales. El valor predeterminado es 4. La calculadora siempre usa el valor completo de π internamente y solo redondea el resultado mostrado.
7. Haz clic en Calcular ahora. El resultado principal es la longitud de arco del sector, con su clasificación: sector de ángulo cero, sector menor, semicírculo, sector mayor o círculo completo. Debajo obtienes el radio, el diámetro, la circunferencia completa, el arco complementario, la longitud de la cuerda, el área del sector, el perímetro del sector, el área del segmento circular, el porcentaje del arco, ambas formas del ángulo y la comparación entre el sector menor y el mayor.
8. Explora el diagrama. El diagrama en vivo del sector dibuja el círculo completo, sombrea el sector seleccionado en dorado y marca el centro O, las líneas de radio, la cuerda y los extremos. Usa los interruptores para mostrar u ocultar las líneas de radio, la cuerda, el punto central, el marcador del ángulo y el sector complementario.
9. Copia, imprime o restablece. Usa Copiar resultado para poner la respuesta en tu portapapeles, Imprimir resumen para un informe sencillo, o Restablecer para limpiar el panel. Los botones de ejemplos cargan ejemplos verificados al instante, y los botones de selección rápida saltan directamente a 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° o 360°.

Prueba un ejemplo. Un radio de 6 con un ángulo de 60° da un arco de 6.2831853072 unidades. Un radio de 8 con 90° da 12.5663706144 unidades. Un radio de 5 con 270° da un arco de sector mayor de 23.5619449019 unidades. Un diámetro de 14 con 120° da 14.6607657168 unidades. Un área de sector de 50 con un radio de 10 da un arco de 10.0000000000 unidades, y un radio de 4 con un arco conocido de 6 unidades da un ángulo de 85.9436692696°.

Consejos importantes. Mantén la unidad del ángulo coherente: 60° y 1.0471975512 radianes son el mismo ángulo, pero 60 radianes no son 60°. La longitud de arco es solo la distancia curva; la cuerda es una medida distinta y siempre es más corta, salvo en un arco de longitud cero. Si introduces un diámetro, la calculadora lo divide entre dos para hallar primero el radio. El área del sector no es la longitud de arco: una se mide en unidades cuadradas y la otra en unidades simples. Una medida cero o negativa no es un sector válido, así que la calculadora la rechaza en lugar de mostrar una respuesta engañosa.

Un círculo es el conjunto de todos los puntos a una distancia fija, el radio, de un punto central O. Un sector circular es la región en forma de cuña que se recorta de un círculo con dos radios y el arco entre ellos, como una porción de una tarta. La longitud de arco del sector es la distancia curva a lo largo del borde exterior de esa cuña, de un extremo de un radio al otro, siguiendo la curva.

Imagina una porción de pizza. Los dos bordes rectos del corte son los radios, el extremo puntiagudo es el centro O y la corteza es el arco. La longitud de arco es la longitud de la corteza. La línea recta que cruza el extremo ancho de la porción, uniendo los dos extremos de la corteza, es la cuerda, y es más corta que la corteza.

Todo sector tiene las mismas partes, escaladas según su radio. El centro O es el punto fijo. El radio r va desde O hasta cualquier punto del círculo. El ángulo central θ es el ángulo en O entre los dos radios que limitan el sector, y decide qué fracción del círculo cubre el sector. El arco es el borde curvo. La cuerda es la línea recta entre los extremos del arco. El área del sector es la región dentro de los dos radios y el arco.

Dos radios siempre dividen un círculo en dos sectores: el más pequeño, el sector menor, y el más grande, el sector mayor. Juntos forman el círculo completo. Cuál quieres depende de tu problema, y la calculadora muestra ambos, así que nunca tienes que adivinar.

La longitud de arco de un sector es una medida unidimensional, una longitud, así que se expresa en unidades simples como cm, m o pulgadas. No es un área ni un ángulo. Mantener separadas estas tres cantidades es el primer paso para acertar en todos los cálculos de sectores.

La longitud de arco de un sector sale directamente de la circunferencia de un círculo completo. La circunferencia de un círculo completo es:

Un sector con ángulo central θ cubre la fracción θ / 360 de una rotación completa de 360°, así que su arco es la misma fracción de la circunferencia:

Al simplificar se obtiene la forma en grados de la fórmula:

Cuando el ángulo se mide en radianes, la fórmula es aún más sencilla, porque un radián se define a partir del propio radio:

Cada símbolo de las fórmulas tiene un significado preciso:

Ambas formas dan la misma respuesta. Usa L = πrθ / 180 cuando tu ángulo está en grados, y L = rθ cuando está en radianes. La calculadora convierte primero los grados a radianes y luego usa L = rθ internamente, por eso los dos modos siempre coinciden.

Usar el diámetro en lugar del radio da una segunda forma de la misma fórmula. Como d = 2r, entonces r = d / 2, y al sustituir se obtiene L = dθ / 2 en radianes, o L = πdθ / 360 en grados.

El radio más el ángulo central es la forma más directa de hallar la longitud de arco de un sector. El ejemplo resuelto siguiente usa un radio de 6 unidades y un ángulo central de 60°.

1. Identifica el radio. r = 6 unidades.
2. Identifica el ángulo central. θ = 60°.
3. Convierte los grados a radianes. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radianes.
4. Escribe la fórmula de la longitud de arco. L = rθ.
5. Sustituye los valores. L = 6 × π / 3.
6. Calcula. L = 6.2831853072 unidades.
7. Redondea según sea necesario. Con dos decimales, L = 6.28 unidades.

Los mismos pasos sirven para cualquier radio y ángulo. Un radio de 8 unidades con 90° da L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unidades. Un radio de 5 unidades con 270° da L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 unidades. Un radio de 1 unidad con 60° da L = 1.0471975512 unidades, que es exactamente π / 3, una comprobación útil: para r = 1, la longitud de arco es igual al ángulo en radianes.

Regla de redondeo. Redondea solo al final. Si sustituyes π por 3.14 antes de multiplicar, un radio de 6 con 60° da 6.28 exactamente por suerte en este caso, pero para un radio de 8 con 90° da 12.56 en lugar de 12.5663706144, un error de 0.0063706144. Ese error crece con el radio, así que mantén la precisión completa durante el cálculo y redondea solo el resultado final mostrado.

Cuando conoces el diámetro en lugar del radio, divídelo primero entre dos y luego aplica la misma fórmula. El ejemplo resuelto siguiente usa un diámetro de 14 unidades y un ángulo central de 120°.

1. Identifica el diámetro. d = 14 unidades.
2. Halla el radio. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 unidades.
3. Identifica el ángulo central. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radianes.
4. Escribe la fórmula. L = rθ, o directamente L = πdθ / 360.
5. Sustituye. L = 7 × 2.0943951024, o L = π × 14 × 120 / 360.
6. Calcula. L = 14.6607657168 unidades.
7. Redondea según sea necesario. Con dos decimales, L = 14.66 unidades.

Ambas rutas coinciden exactamente, lo que es una buena autocomprobación. La ruta del radio da 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. La ruta del diámetro da π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Si las dos no coinciden, el diámetro no se dividió bien entre dos.

Otro ejemplo: un diámetro de 20 unidades con 180° da r = 10 unidades, así que L = π × 10 = 31.4159265359 unidades, el arco del semicírculo. Un diámetro de 10 unidades con 60° da r = 5 unidades, así que L = 5.2359877560 unidades. El error más común en este cálculo es olvidar la división entre dos y usar el diámetro como si fuera el radio, lo que duplica la respuesta. Para d = 14, ese error da 29.3215314336 en lugar de 14.6607657168.

Consejo de medición. Los diámetros suelen ser más fáciles de medir en la vida real que los radios, porque puedes medir directamente a través del círculo. Por eso la calculadora acepta el diámetro directamente: mide a través, introdúcelo y la calculadora lo divide entre dos por ti.

Los grados son la unidad cotidiana para los ángulos. Un círculo completo contiene 360°, así que un ángulo central en grados te dice directamente qué fracción del círculo completo cubre tu sector. Un ángulo de 90° cubre un cuarto del círculo, 180° cubre la mitad y 270° cubre tres cuartos.

La fórmula en grados es L = πrθ / 180, donde θ está en grados. Procede de la idea de la fracción: θ / 360 de la circunferencia 2πr, simplificada.

Ejemplo resuelto. Radio de 8 unidades, ángulo de 90°.

1. Identifica los valores. r = 8 unidades, θ = 90°.
2. Halla la fracción del círculo. 90 / 360 = 1 / 4, un cuarto de círculo.
3. Escribe la fórmula. L = πrθ / 180.
4. Sustituye. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Calcula. L = 12.5663706144 unidades.
6. Comprueba con la circunferencia. La circunferencia completa es 2π × 8 = 50.2654824574 unidades, y un cuarto de ella es 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 unidades. Ambas coinciden.

Más ejemplos en grados con un radio de 5 unidades: 30° da L = 2.6179938780 unidades, 45° da L = 3.9269908170 unidades, 120° da L = 10.4719755120 unidades y 270° da L = 23.5619449019 unidades. Observa que al duplicar el ángulo se duplica la longitud de arco para el mismo radio, porque la longitud de arco es directamente proporcional al ángulo central.

Error común con los grados. Poner un valor en grados directamente en L = rθ sin convertir da una respuesta muy equivocada. Para r = 5 y 60°, el cálculo sin convertir da 5 × 60 = 300, pero la respuesta correcta es 5.2359877560. La fórmula L = rθ necesita radianes, así que convierte primero o usa la forma en grados L = πrθ / 180.

Un radián es el ángulo que se obtiene cuando la longitud de arco es igual al radio. Si enrollas una cuerda de longitud igual al radio alrededor del círculo, el ángulo que forma en el centro es exactamente 1 radián. Un círculo completo contiene 2π radianes, unos 6.2831853072 radianes, porque la circunferencia completa es 2πr y al dividir entre r queda 2π.

La fórmula en radianes es L = rθ, la fórmula de longitud de arco más sencilla que existe. No tiene π en ella, porque π ya está dentro de la medida en radianes del ángulo.

Ejemplo resuelto. Radio de 6 unidades, ángulo de π / 3 radianes (que son 60°).

1. Identifica los valores. r = 6 unidades, θ = π / 3 = 1.0471975512 radianes.
2. Escribe la fórmula. L = rθ.
3. Sustituye. L = 6 × 1.0471975512.
4. Calcula. L = 6.2831853072 unidades.
5. Comprueba con los grados. π / 3 radianes son 60°, y la fórmula en grados da L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 unidades. Ambas coinciden exactamente.

Más ejemplos en radianes: un radio de 4 unidades con θ = π / 2 radianes da L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 unidades. Un radio de 10 unidades con θ = π radianes da L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 unidades, el arco del semicírculo. Un radio de 5 unidades con θ = 1 radián da L = 5 unidades, porque el arco es igual al radio cuando el ángulo es 1 radián.

Por qué se prefieren los radianes en matemáticas. Las fórmulas de cálculo para la longitud de arco, y las fórmulas de cuerda, sector y área de segmento de esta página, usan todas radianes. Los grados son cómodos para la medición cotidiana, pero los radianes hacen que las matemáticas sean limpias, por eso la calculadora convierte cada ángulo a radianes antes de calcular.

La longitud de arco de un sector y el área del sector suenan parecidas, pero miden cosas distintas. La longitud de arco es una distancia curva unidimensional, medida en unidades simples. El área del sector es una región bidimensional, la cuña del círculo recortada por dos radios y el arco, medida en unidades cuadradas.

Las fórmulas se parecen, y es justo por eso que se confunden:

El área del sector es la longitud de arco multiplicada por la mitad del radio: A = ½ × r × L. Esa relación es una comprobación útil. Para un radio de 6 unidades y 60°, el arco es 6.2831853072 unidades, y el área del sector es ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 unidades cuadradas.

Las unidades son la pista. Si tu respuesta debe ser una longitud, la unidad es cm, m o pulgadas. Si debe ser un área, la unidad es cm², m² o pulgadas cuadradas. Una respuesta de longitud de arco en unidades cuadradas, o una respuesta de área de sector en unidades simples, es seguro que está mal. La calculadora mantiene las dos separadas y etiqueta las unidades con claridad.

Una comprobación con el círculo completo. A 360°, el sector es todo el círculo, así que el área del sector debe ser igual a πr². Para r = 6, π × 36 = 113.0973355292 unidades cuadradas. El arco al mismo tiempo es la circunferencia completa, 37.6991118431 unidades. Ambos proceden del mismo radio y ángulo, pero responden a preguntas distintas.

El perímetro de un sector es la distancia alrededor de todo su contorno. Un sector bien formado tiene tres piezas de contorno: el arco curvo, el primer radio y el segundo radio. Así que el perímetro del sector es la longitud de arco más dos veces el radio:

Aquí θ está en radianes. Los dos lados rectos miden cada uno exactamente un radio, así que añaden 2r a la longitud del arco curvo.

Ejemplo resuelto. Radio de 6 unidades, ángulo de 60°. El arco es L = 6.2831853072 unidades. Los dos radios suman 2 × 6 = 12 unidades. El perímetro del sector es P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 unidades.

Más ejemplos. Radio de 8 con 90°: arco 12.5663706144, perímetro 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 unidades. Radio de 5 con 270°: arco 23.5619449019, perímetro 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 unidades. Radio de 7 con 120°: arco 14.6607657168, perímetro 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 unidades.

Dos casos especiales. Para un círculo completo, 360°, no hay lados de radio en el contorno: el perímetro es simplemente la circunferencia, P = 2πr. Para r = 6, eso es 37.6991118431 unidades, no 37.6991118431 + 12. Para un sector de ángulo cero, 0°, la geometría es degenerada: los dos radios coinciden y el arco tiene longitud cero, así que no presentes un perímetro de sector ordinario para él. La calculadora trata el caso de ángulo cero como degenerado y no informa un valor normal de perímetro.

Por qué importa la distinción. Si pides el ribete para un panel en forma de sector, necesitas el perímetro, porque el ribete recorre el arco y ambos bordes rectos. Si solo mides el borde curvo, necesitas la longitud de arco. Confundir las dos es uno de los errores de sector más comunes, y la calculadora muestra ambos valores lado a lado para que la diferencia siempre sea visible.

Dos radios dividen un círculo en dos sectores. El más pequeño es el sector menor, y el más grande es el sector mayor. Comparten los mismos dos radios, y juntos forman el círculo completo.

El ángulo central decide cuál es cuál. Un ángulo central menor de 180° da un sector menor. Un ángulo central mayor de 180° da un sector mayor, y su ángulo es un ángulo reflejo, mayor que un ángulo llano. Exactamente 180° da un semicírculo, que no es ni menor ni mayor: ambos sectores son iguales.

El menor y el mayor son complementarios. Para un ángulo central menor θ, el arco menor es Lmenor = rθ y el arco mayor es Lmayor = r(2π - θ). Su suma es siempre la circunferencia completa, y sus áreas de sector suman el área del círculo completo:

Ejemplo resuelto. Radio de 6 unidades, ángulo menor de 60°. El arco menor es L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unidades, y el área del sector menor es 18.8495559215 unidades cuadradas. El arco mayor usa el ángulo reflejo 360° - 60° = 300°, así que L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 unidades, y el área del sector mayor es 94.2477796077 unidades cuadradas. Los arcos suman 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 unidades, la circunferencia completa, y las áreas suman 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 unidades cuadradas, el área del círculo completo. El sector menor es el 16.67% del círculo y el sector mayor es el 83.33%.

Otro ejemplo. Radio de 5 unidades, ángulo de 270°. Este ya es el sector mayor: L = 23.5619449019 unidades y el área del sector es 58.9048622548 unidades cuadradas. Su sector menor complementario usa 90°: L = 7.8539816340 unidades y el área es 19.6349540849 unidades cuadradas. La suma es 31.4159265359 unidades, la circunferencia completa 2π × 5.

No confundas los dos ángulos. El error más común entre menor y mayor es usar el ángulo menor cuando el problema pide el sector mayor, o al revés. Comprueba siempre si el ángulo que te dieron es el menor o el reflejo, y recuerda que la calculadora muestra ambos sectores lado a lado para que puedas elegir el que necesita tu problema.

Un sector y un segmento circular son dos regiones distintas de un círculo, y son fáciles de confundir porque ambas implican un arco. Un sector está delimitado por dos radios y un arco. Un segmento circular está delimitado por una cuerda y un arco. El segmento es la parte del sector que queda más allá de la cuerda, así que es más pequeño que el sector, salvo en los casos especiales siguientes.

Las fórmulas muestran la diferencia con claridad:

El área del segmento es el área del sector menos el área triangular entre los dos radios y la cuerda. Aquí θ es el barrido central en radianes, entre 0 y 2π. La fórmula trata correctamente tanto los segmentos menores como los mayores: para un arco menor da el casquete pequeño, y para un arco mayor da la región grande que cubre la mayor parte del círculo.

Ejemplos resueltos. Para r = 6 unidades y 60°, el área del sector es 18.8495559215 unidades cuadradas y el área del segmento es ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 unidades cuadradas. El segmento es mucho más pequeño que el sector, porque el triángulo ocupa la mayor parte de la cuña. Para r = 8 y 90°, el segmento es 18.2654824574 unidades cuadradas. Para r = 5 y 90°, el segmento es 7.1349540849 unidades cuadradas.

Casos especiales. A 180°, sin θ = 0, así que el área del segmento es igual al área del sector: ½ πr². Para r = 5, ambas son 39.2699081699 unidades cuadradas, que es exactamente la mitad del círculo. A 270°, sin θ = -1, así que el segmento es mayor que el sector: para r = 5, el sector es 58.9048622548 unidades cuadradas y el segmento es 71.4048622548 unidades cuadradas. A 360°, la cuerda desaparece y el segmento es todo el círculo, πr².

Segmento frente a sector, en una línea. El sector es la cuña desde el centro. El segmento es el casquete más allá de la cuerda. Si tu problema implica el centro, quieres el sector. Si implica solo el arco y su cuerda, quieres el segmento.

La longitud de cuerda y la longitud de arco de un sector conectan los mismos dos puntos de un círculo, pero toman caminos distintos. El arco sigue la curva. La cuerda cruza en línea recta. El arco es casi siempre más largo.

Las fórmulas muestran la diferencia con claridad:

La cuerda depende del seno de la mitad del ángulo, que crece más despacio que el propio ángulo, así que la brecha entre arco y cuerda se ensancha a medida que crece el ángulo.

Tres datos de la tabla merecen recordarse. A 30°, el arco es solo un 1.15% más largo que la cuerda, así que para ángulos pequeños los dos son cercanos. A 180°, la cuerda es el diámetro, 10 unidades, mientras que el arco es πr = 15.7079632679 unidades. A 270°, la cuerda vuelve a reducirse a 7.0710678119 unidades, igual que a 90°, porque la cuerda depende del ángulo menor entre los extremos, mientras que el arco sigue creciendo con el barrido.

Caso especial. A 60°, la cuerda es exactamente igual al radio: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Para r = 6, la cuerda es 6 unidades, y el radio, la cuerda y los dos radios forman un triángulo equilátero. Es una comprobación práctica y una favorita de quienes ponen exámenes.

Por qué importa. Si cortas un tubo curvo, necesitas la longitud de arco. Si mides la distancia recta entre dos puntos de una pieza circular, necesitas la cuerda. Confundirlas es uno de los errores de círculo más comunes, y la calculadora muestra ambos valores juntos para que la diferencia siempre sea visible.

A veces no se dan ni el radio ni el ángulo. La calculadora trabaja hacia atrás a partir de otras cuatro medidas, deduciendo primero el valor que falta y luego aplicando L = rθ como siempre. Los siete métodos dan el mismo radio y la misma longitud de arco para el mismo sector, así que puedes usar la medida que tengas en realidad.

A partir de la circunferencia del círculo completo. La circunferencia completa es C = 2πr, así que r = C / (2π). Para C = 37.6991118431 unidades, r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 unidades. Luego un arco de sector de 60° es L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unidades. Observa el atajo: un arco de 60° es una sexta parte de la circunferencia, y 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 unidades.

A partir de la longitud de cuerda. La fórmula de la cuerda es c = 2r sin(θ / 2), así que r = c / [2 sin(θ / 2)]. Para una cuerda de 6 unidades con un ángulo de 60°, r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 unidades. Luego L = 6.2831853072 unidades. La entrada de cuerda solo funciona cuando el ángulo está estrictamente entre 0° y 360°: a 0° o 360° la cuerda es cero y no se puede recuperar ningún radio, así que la calculadora rechaza esos ángulos para este método.

A partir del área del sector y el radio. El área del sector es A = ½r²θ, así que θ = 2A / r². Para un área de sector de 50 unidades cuadradas con un radio de 10 unidades, θ = 2 × 50 / 100 = 1 radián = 57.2957795131°. Luego L = 10 × 1 = 10.0000000000 unidades. Este método necesita que el área del sector no sea mayor que el área del círculo completo πr²: para r = 10, ese límite es 314.1592653590 unidades cuadradas, así que un área mayor se rechaza.

A partir del área del sector y el ángulo. Reordenado de la misma forma, r = √(2A / θ) con θ en radianes. Para un área de sector de 18.8495559215 unidades cuadradas con un ángulo de 60°, θ = 1.0471975512 radianes, así que r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 unidades. Luego L = 6.2831853072 unidades. Este método necesita el ángulo además del área, porque la misma área de sector puede proceder de muchas combinaciones de radio y ángulo.

A partir del radio y la longitud de arco conocida. El ángulo es θ = L / r. Para un radio de 4 unidades y un arco conocido de 6 unidades, θ = 6 / 4 = 1.5 radianes = 85.9436692696°. Luego el área del sector es A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 unidades cuadradas, y el perímetro es P = 6 + 8 = 14.0000000000 unidades. Este método necesita que el arco no sea más largo que la circunferencia completa 2πr: para r = 4, ese límite es 25.1327412287 unidades.

Qué entrada usar. Usa la medida que tengas en realidad. Si dos medidas distintas dan radios distintos, una de las medidas está mal, y esa discrepancia merece investigarse antes de confiar en ninguna respuesta.

La longitud de arco de un sector no es un ejercicio abstracto de clase. En cualquier lugar donde haya que medir, cortar, construir o recorrer una distancia curva de un círculo, se aplica la misma fórmula.

Ingeniería mecánica. El doblado de tubos empieza con la longitud de arco: un tubo doblado 90° con un radio de curvatura de 8 unidades necesita 12.5663706144 unidades de tubo solo para el doblez. La chapa enrollada en un panel curvo, el perfil de un diente de engranaje y la forma de una leva necesitan la longitud curva antes de cortar el material. Equivocarse desperdicia material o deja una pieza corta.

Arquitectura y construcción. Las puertas en arco, las ventanas circulares, las cúpulas y las escaleras curvas se dimensionan por sus arcos. Un arco semicircular con un radio de 10 unidades necesita 31.4159265359 unidades de ribete a lo largo de la curva. Un toldo en forma de sector con un radio de 6 unidades y un ángulo de 60° necesita 6.2831853072 unidades de borde a lo largo de la curva y 18.2831853072 unidades alrededor de todo el contorno.

Carreteras y pistas. Una curva circular de carretera, una curva de una pista de atletismo o una curva de ferrocarril se traza por radio y ángulo central. La longitud de la curva decide la cantidad de asfalto, la longitud de raíl y la distancia que recorre un vehículo por la curva. Una curva de 120° con un radio de 7 unidades mide 14.6607657168 unidades.

Pizza y reparto de alimentos. Una porción de pizza es un sector. Si una pizza tiene un radio de 6 unidades, una porción cortada a 60° tiene una corteza de 6.2831853072 unidades y un área de 18.8495559215 unidades cuadradas. Seis porciones así forman toda la pizza, y sus cortezas suman 37.6991118431 unidades, la circunferencia completa. Cortar porciones iguales es un problema de división de sectores: ángulos iguales dan arcos iguales y áreas iguales.

Relojes, ruedas y robótica. Una manecilla de reloj barre un arco a medida que pasa el tiempo. Una rueda que rueda por el suelo cubre una distancia igual al arco por el que gira. Un brazo robótico que gira sobre una articulación mueve su pinza a lo largo de un arco circular, y la distancia que recorre es rθ, por eso los radianes son la unidad natural en robótica.

Gráficos por ordenador y CAD. Las curvas de los modelos CAD, las fuentes y las animaciones se construyen a partir de arcos circulares. La longitud de un arco decide cómo se divide una trayectoria de herramienta, cómo se representa una curva y cuánto se mueve un objeto a lo largo de una trayectoria circular en una animación. Una pieza en forma de sector en CAD se define exactamente por el radio y el ángulo que usa esta calculadora.

Una nota sobre las formas reales. No toda estructura curva es un círculo perfecto. Los arcos reales pueden ser elípticos o parabólicos, y las carreteras reales usan transiciones clotoides. Las fórmulas de sector de esta página se aplican exactamente cuando la curva es un verdadero arco circular, y son una buena aproximación solo cuando la curva es casi circular. Confirma siempre la forma antes de aplicar la fórmula.

La mayoría de las respuestas erróneas en la longitud de arco de un sector proceden de una pequeña lista de errores. Comprobar cada uno lleva segundos y evita la mayoría de los fallos.

1. Usar los grados directamente en la fórmula en radianes. L = rθ necesita radianes. Poner 60° directamente da 6 × 60 = 360 en lugar de 6.2831853072. Convierte primero, o usa L = πrθ / 180.
2. Confundir el radio con el diámetro. La fórmula necesita r, no d. Usar d = 14 como radio duplica la respuesta: 29.3215314336 en lugar de 14.6607657168 para un sector de 120°. Divide primero el diámetro entre dos.
3. Confundir el área del sector con la longitud de arco. El área del sector es una región bidimensional en unidades cuadradas. La longitud de arco es una distancia unidimensional en unidades simples. Para r = 6 y 60°, el área del sector es 18.8495559215 unidades cuadradas y el arco es 6.2831853072 unidades. Cantidades distintas, unidades distintas.
4. Confundir el perímetro del sector con la longitud de arco. El perímetro añade dos lados de radio: P = L + 2r. Para r = 6 y 60°, el arco es 6.2831853072 unidades pero el perímetro es 18.2831853072 unidades. Usar el perímetro cuando el problema pide el arco exagera la respuesta en 12 unidades.
5. Usar el ángulo central equivocado. Un problema de sector puede dar el ángulo entre la cuerda y una tangente, o un ángulo inscrito, en lugar del ángulo central. Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central para el mismo arco. Si un problema da un ángulo inscrito φ, el ángulo central es θ = 2φ, y el arco es L = r × 2φ. Usar φ directamente reduce la respuesta a la mitad.
6. Confundir los sectores menor y mayor. Un ángulo de 270° da un arco de sector mayor de 23.5619449019 unidades para r = 5. Usar el ángulo menor de 90° da 7.8539816340 unidades, el arco menor. Comprueba qué sector pide el problema.
7. Usar una fórmula de cuerda incorrecta. La cuerda es c = 2r sin(θ / 2), con la mitad del ángulo dentro del seno. Usar sin(θ) da el valor equivocado: para r = 6 y 60°, la cuerda correcta es 6 unidades, mientras que 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 unidades.
8. Mezclar unidades de medida lineales y cuadradas. Un radio en cm y un ángulo en grados está bien, pero la respuesta sale en cm. Un área de sector en cm² debe convertirse con el factor al cuadrado: 1 m² son 10,000 cm², no 100 cm². Mezclar cm y pulgadas en un mismo cálculo, u olvidar convertir la unidad de salida, da un número con el tamaño equivocado. Convierte primero, calcula después.
9. Redondear π demasiado pronto. Sustituir π por 3.14 antes de multiplicar introduce un error que crece con el radio. Mantén el valor completo de π durante el cálculo y redondea solo el resultado final mostrado.
10. Olvidar convertir el ángulo a radianes. Toda fórmula de sector que usa θ sin un 180 en ella, incluido el área del sector A = ½r²θ, la cuerda c = 2r sin(θ / 2) y el área del segmento A = ½r²(θ - sin θ), necesita θ en radianes. Los grados solo sirven en las formas en grados de las fórmulas.

Una comprobación final que detecta la mayoría de estos errores. Comprueba el resultado con la circunferencia. El arco debe estar entre 0 y 2πr, debe ser más largo que la cuerda, el área del sector debe estar entre 0 y πr², y los arcos menor y mayor deben sumar exactamente 2πr. Si alguna de esas comprobaciones falla, uno de los diez errores anteriores es la causa.

Estos seis ejemplos cubren los principales métodos de entrada de la calculadora y los tipos de sector. Cada uno se calcula con el mismo motor que impulsa la herramienta, y cada resultado se ha verificado de forma independiente.

Ejemplo 1: sector de 60 grados con radio 6. Dados r = 6 unidades, θ = 60° = π / 3 radianes. Longitud de arco L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unidades. Diámetro d = 12 unidades. Cuerda c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 unidades. Área del sector A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 unidades cuadradas. Perímetro del sector P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 unidades. El área del segmento es 3.2610986534 unidades cuadradas. Circunferencia completa C = 37.6991118431 unidades.

Ejemplo 2: sector de cuarto de círculo con radio 8 y 90°. Dados r = 8 unidades, θ = 90° = π / 2 radianes. Longitud de arco L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unidades. Cuerda c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 unidades. Área del sector A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 unidades cuadradas. Perímetro del sector P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 unidades. El área del segmento es 18.2654824574 unidades cuadradas. El arco es exactamente un cuarto de la circunferencia de 50.2654824574 unidades.

Ejemplo 3: sector mayor con radio 5 y 270°. Dados r = 5 unidades, θ = 270° = 3π / 2 radianes. Longitud de arco L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 unidades. Cuerda c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 unidades. Área del sector A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 unidades cuadradas. Perímetro del sector P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 unidades. El arco menor complementario, con 90°, es 7.8539816340 unidades, y el área del sector complementario es 19.6349540849 unidades cuadradas. Los dos arcos suman 31.4159265359 unidades, la circunferencia completa.

Ejemplo 4: sector con diámetro 14 y 120°. Dados d = 14 unidades, θ = 120° = 2π / 3 radianes. Radio r = 14 / 2 = 7 unidades. Longitud de arco L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 unidades. Cuerda c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 unidades. Área del sector A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 unidades cuadradas. Perímetro del sector P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 unidades. El área del segmento es 30.0950576159 unidades cuadradas.

Ejemplo 5: sector con área 50 y radio 10. Dados área del sector A = 50 unidades cuadradas, radio r = 10 unidades. Ángulo central θ = 2 × 50 / 100 = 1 radián = 57.2957795131°. Longitud de arco L = 10 × 1 = 10.0000000000 unidades. Cuerda c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 unidades. Perímetro del sector P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 unidades. El área del segmento es 7.9264507596 unidades cuadradas. El arco complementario es 52.8318530718 unidades.

Ejemplo 6: sector con radio 4 y longitud de arco conocida 6. Dados r = 4 unidades, L = 6 unidades. Ángulo central θ = 6 / 4 = 1.5 radianes = 85.9436692696°. Área del sector A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 unidades cuadradas. Cuerda c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 unidades. Perímetro del sector P = 6 + 8 = 14.0000000000 unidades. El área del segmento es 4.0200401072 unidades cuadradas. El arco complementario es 19.1327412287 unidades, y el área del sector complementario es 38.2654824574 unidades cuadradas.

Haz clic en cualquier botón de ejemplo de la calculadora para cargar uno de estos ejemplos y ver la solución completa paso a paso, el diagrama en vivo y todos los resultados secundarios de esa entrada.