Калькулятор длины дуги сектора

Калькулятор длины дуги сектора измеряет криволинейное расстояние вдоль дуги кругового сектора, от маленького среза до полной окружности. Он принимает семь различных исходных измерений, поэтому вы можете использовать то значение, которое у вас уже есть. Выполните следующие шаги, чтобы получить правильный ответ меньше чем за минуту.

1. Выберите способ ввода. Выберите «Радиус + центральный угол», «Диаметр + центральный угол», «Длина полной окружности + центральный угол», «Площадь сектора + радиус», «Площадь сектора + центральный угол», «Длина хорды + центральный угол» или «Радиус + известная длина дуги». Поля ввода, подписи и списки единиц меняются в соответствии с выбранным способом.
2. Введите измерение. Введите значение в поле ввода. Для способов с площадью используйте список квадратных единиц (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Введите центральный угол. Введите угол в градусах или радианах с помощью переключателя DEG/RAD или перетащите ползунок угла от 0° до 360°. Живая диаграмма и результат обновляются при его перемещении. В способах «Площадь сектора + радиус» и «Радиус + известная длина дуги» угол вычисляется из ваших значений.
4. При необходимости задайте начальный и конечный углы. По умолчанию развёртка начинается с 0° и идёт против часовой стрелки. Измените начальный угол, конечный угол или направление, чтобы измерить сектор в любом месте окружности. Длину дуги определяет развёртка, а не положение. Одинаковые начальный и конечный углы означают дугу нулевой длины, если только вы не используете вариант полной окружности для полного оборота.
5. Выберите единицы ввода и вывода. Калькулятор переводит ваше входное значение в единую внутреннюю единицу, вычисляет, а затем переводит ответ в вашу выходную единицу. Число меняется вместе с единицей, а длина нет.
6. Выберите точность. Выберите 2, 4, 6 или 8 знаков после запятой. По умолчанию 4. Калькулятор всегда использует полное значение π внутри и округляет только отображаемый результат.
7. Нажмите кнопку расчёта. Основной результат, длина дуги сектора, приводится с классификацией: сектор с нулевым углом, малый сектор, полукруг, большой сектор или полная окружность. Ниже вы получите радиус, диаметр, полную длину окружности, дополнительную дугу, длину хорды, площадь сектора, периметр сектора, площадь кругового сегмента, процент дуги, обе формы угла и сравнение малого и большого секторов.
8. Изучите диаграмму. Живая диаграмма сектора рисует полную окружность, закрашивает выбранный сектор золотым цветом и отмечает центр O, линии радиусов, хорду и конечные точки. Используйте переключатели, чтобы показать или скрыть линии радиусов, хорду, центральную точку, маркер угла и дополнительный сектор.
9. Скопируйте, распечатайте или сбросьте. Используйте «Копировать результат», чтобы поместить ответ в буфер обмена, «Печать сводки» для простого отчёта или «Сброс», чтобы очистить панель. Кнопки предустановок мгновенно загружают проверенные примеры, а кнопки быстрого выбора сразу переходят к 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° или 360°.

Попробуйте пример. Радиус 6 при угле 60° даёт дугу 6.2831853072 единиц. Радиус 8 при 90° даёт 12.5663706144 единиц. Радиус 5 при 270° даёт дугу большого сектора 23.5619449019 единиц. Диаметр 14 при 120° даёт 14.6607657168 единиц. Площадь сектора 50 при радиусе 10 даёт дугу 10.0000000000 единиц, а радиус 4 при известной дуге 6 даёт угол 85.9436692696°.

Важные советы. Следите за единицей измерения угла: 60° и 1.0471975512 радиана, это один и тот же угол, а 60 радиан, это не 60°. Длина дуги, это только криволинейное расстояние; хорда, это другое измерение, и она всегда короче, за исключением дуги нулевой длины. Если вы вводите диаметр, калькулятор сначала делит его пополам, чтобы найти радиус. Площадь сектора, это не длина дуги: одна измеряется в квадратных единицах, а другая в обычных единицах. Нулевое или отрицательное измерение, это не допустимый сектор, поэтому калькулятор отклоняет его вместо того, чтобы показывать вводящий в заблуждение ответ.

Окружность, это множество всех точек на фиксированном расстоянии, радиусе, от центральной точки O. Круговой сектор, это клиновидная область, вырезанная из круга двумя радиусами и дугой между ними, как кусок пирога. Длина дуги сектора, это криволинейное расстояние вдоль внешнего края этого клина, от одной конечной точки радиуса до другой, по кривой.

Представьте кусок пиццы. Два прямых среза, это радиусы, острый конец, это центр O, а корочка, это дуга. Длина дуги, это длина корочки. Прямая линия поперёк широкого конца куска, соединяющая две конечные точки корочки, это хорда, и она короче корочки.

У каждого сектора одни и те же части, пропорциональные его радиусу. Центр O, это фиксированная точка. Радиус r идёт от O до любой точки окружности. Центральный угол θ, это угол при O между двумя радиусами, ограничивающими сектор, и он определяет, какую долю круга занимает сектор. Дуга, это криволинейный край. Хорда, это прямая линия между конечными точками дуги. Площадь сектора, это область внутри двух радиусов и дуги.

Два радиуса всегда делят круг на два сектора: меньший, малый сектор, и больший, большой сектор. Вместе они составляют полную окружность. Какой из них вам нужен, зависит от вашей задачи, а калькулятор показывает оба, поэтому гадать не придётся.

Длина дуги сектора, это одномерное измерение, длина, поэтому она приводится в обычных единицах, таких как см, м или дюймы. Это не площадь и не угол. Различать эти три величины, это первый шаг к правильному выполнению каждого расчёта сектора.

Длина дуги сектора получается напрямую из длины окружности полного круга. Длина окружности полного круга равна:

Сектор с центральным углом θ занимает долю θ / 360 полного оборота 360°, поэтому его дуга составляет ту же долю длины окружности:

Упрощение даёт формулу в градусах:

Когда угол измеряется в радианах, формула становится ещё проще, потому что радиан определяется самим радиусом:

Каждый символ в формулах имеет точное значение:

Обе формы дают один и тот же ответ. Используйте L = πrθ / 180, когда угол задан в градусах, и L = rθ, когда он задан в радианах. Калькулятор сначала переводит градусы в радианы, а затем использует внутри L = rθ, поэтому два режима всегда согласуются.

Использование диаметра вместо радиуса даёт вторую форму той же формулы. Поскольку d = 2r, то r = d / 2, и подстановка даёт L = dθ / 2 в радианах или L = πdθ / 360 в градусах.

Радиус плюс центральный угол, это самый прямой способ найти длину дуги сектора. В разобранном примере ниже используются радиус 6 единиц и центральный угол 60°.

1. Определите радиус. r = 6 единиц.
2. Определите центральный угол. θ = 60°.
3. Переведите градусы в радианы. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 радиана.
4. Запишите формулу длины дуги. L = rθ.
5. Подставьте значения. L = 6 × π / 3.
6. Вычислите. L = 6.2831853072 единиц.
7. Округлите при необходимости. До двух знаков после запятой L = 6.28 единиц.

Те же шаги работают для любого радиуса и угла. Радиус 8 единиц при 90° даёт L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 единиц. Радиус 5 единиц при 270° даёт L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 единиц. Радиус 1 единица при 60° даёт L = 1.0471975512 единиц, что в точности равно π / 3, полезная проверка: при r = 1 длина дуги равна углу в радианах.

Правило округления. Округляйте только в конце. Если заменить π на 3.14 до умножения, то при радиусе 6 и 60° получится 6.28, случайно точно, но при радиусе 8 и 90° получится 12.56 вместо 12.5663706144, ошибка 0.0063706144. Эта ошибка растёт вместе с радиусом, поэтому сохраняйте полную точность на протяжении всего вычисления и округляйте только итоговый отображаемый результат.

Когда известен диаметр, а не радиус, сначала разделите его пополам, а затем примените ту же формулу. В разобранном примере ниже используются диаметр 14 единиц и центральный угол 120°.

1. Определите диаметр. d = 14 единиц.
2. Найдите радиус. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 единиц.
3. Определите центральный угол. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 радиана.
4. Запишите формулу. L = rθ или напрямую L = πdθ / 360.
5. Подставьте. L = 7 × 2.0943951024 или L = π × 14 × 120 / 360.
6. Вычислите. L = 14.6607657168 единиц.
7. Округлите при необходимости. До двух знаков после запятой L = 14.66 единиц.

Оба пути дают в точности одинаковый ответ, и это хорошая самопроверка. Путь через радиус даёт 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Путь через диаметр даёт π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Если они не совпадают, значит, диаметр был разделён пополам неправильно.

Другой пример: диаметр 20 единиц при 180° даёт r = 10 единиц, поэтому L = π × 10 = 31.4159265359 единиц, дуга полукруга. Диаметр 10 единиц при 60° даёт r = 5 единиц, поэтому L = 5.2359877560 единиц. Самая частая ошибка в этом вычислении, это забыть деление на два и использовать диаметр так, будто это радиус, что удваивает ответ. При d = 14 эта ошибка даёт 29.3215314336 вместо 14.6607657168.

Совет по измерению. В реальной жизни диаметры часто измерять легче, чем радиусы, потому что можно измерить прямо поперёк круга. Именно поэтому калькулятор принимает диаметр напрямую: измерьте поперёк, введите его, и калькулятор сам разделит его пополам.

Градусы, это повседневная единица измерения углов. Полный круг содержит 360°, поэтому центральный угол в градусах напрямую показывает, какую долю полного круга занимает ваш сектор. Угол 90° занимает четверть круга, 180° занимает половину, а 270° занимает три четверти.

Формула в градусах: L = πrθ / 180, где θ задан в градусах. Она следует из идеи доли: θ / 360 от длины окружности 2πr, после упрощения.

Разобранный пример. Радиус 8 единиц, угол 90°.

1. Определите значения. r = 8 единиц, θ = 90°.
2. Найдите долю круга. 90 / 360 = 1 / 4, четверть круга.
3. Запишите формулу. L = πrθ / 180.
4. Подставьте. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Вычислите. L = 12.5663706144 единиц.
6. Сверьтесь с длиной окружности. Полная длина окружности равна 2π × 8 = 50.2654824574 единиц, а её четверть равна 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 единиц. Они совпадают.

Ещё примеры в градусах при радиусе 5 единиц: 30° даёт L = 2.6179938780 единиц, 45° даёт L = 3.9269908170 единиц, 120° даёт L = 10.4719755120 единиц, а 270° даёт L = 23.5619449019 единиц. Обратите внимание, что удвоение угла удваивает длину дуги при том же радиусе, потому что длина дуги прямо пропорциональна центральному углу.

Частая ошибка с градусами. Подстановка значения в градусах напрямую в L = rθ без перевода даёт совершенно неверный ответ. При r = 5 и 60° вычисление без перевода даёт 5 × 60 = 300, а правильный ответ 5.2359877560. Формуле L = rθ нужны радианы, поэтому либо сначала переведите угол, либо используйте формулу в градусах L = πrθ / 180.

Радиан, это угол, который получается, когда длина дуги равна радиусу. Если обернуть вокруг окружности отрезок верёвки, равный радиусу, угол, который он стягивает в центре, составит ровно 1 радиан. Полный круг содержит 2π радиан, около 6.2831853072 радиана, потому что полная длина окружности равна 2πr, а деление на r даёт 2π.

Формула в радианах: L = rθ, самая простая формула длины дуги. В ней нет π, потому что π уже содержится в радианной мере угла.

Разобранный пример. Радиус 6 единиц, угол π / 3 радиана (то есть 60°).

1. Определите значения. r = 6 единиц, θ = π / 3 = 1.0471975512 радиана.
2. Запишите формулу. L = rθ.
3. Подставьте. L = 6 × 1.0471975512.
4. Вычислите. L = 6.2831853072 единиц.
5. Сверьтесь с градусами. π / 3 радиана, это 60°, а формула в градусах даёт L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 единиц. Они в точности совпадают.

Ещё примеры в радианах: радиус 4 единицы при θ = π / 2 радиана даёт L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 единиц. Радиус 10 единиц при θ = π радиан даёт L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 единиц, дуга полукруга. Радиус 5 единиц при θ = 1 радиан даёт L = 5 единиц, потому что дуга равна радиусу, когда угол равен 1 радиану.

Почему в математике предпочитают радианы. Формулы исчисления для длины дуги, а также формулы хорды, площади сектора и площади сегмента на этой странице, все используют радианы. Градусы удобны для повседневных измерений, но радианы делают математику чистой, поэтому калькулятор переводит каждый угол в радианы перед вычислением.

Длина дуги сектора и площадь сектора звучат похоже, но они измеряют разные вещи. Длина дуги, это одномерное криволинейное расстояние, измеряемое в обычных единицах. Площадь сектора, это двумерная область, клин круга, вырезанный двумя радиусами и дугой, измеряемая в квадратных единицах.

Формулы выглядят похоже, и именно поэтому их путают:

Площадь сектора равна длине дуги, умноженной на половину радиуса: A = ½ × r × L. Эта связь, полезная проверка. При радиусе 6 единиц и 60° дуга равна 6.2831853072 единиц, а площадь сектора равна ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 квадратных единиц.

Единицы, это подсказка. Если ответом должна быть длина, единица измерения, это см, м или дюймы. Если ответом должна быть площадь, единица измерения, это см², м² или квадратные дюймы. Ответ о длине дуги в квадратных единицах или ответ о площади сектора в обычных единицах, безусловно, неверен. Калькулятор держит их раздельно и чётко подписывает единицы.

Проверка полным кругом. При 360° сектор, это весь круг, поэтому площадь сектора должна равняться πr². При r = 6, π × 36 = 113.0973355292 квадратных единиц. Дуга при этом равна полной длине окружности, 37.6991118431 единиц. Обе величины получаются из одного и того же радиуса и угла, но они отвечают на разные вопросы.

Периметр сектора, это расстояние по всей его границе. У правильного сектора три части границы: криволинейная дуга, первый радиус и второй радиус. Поэтому периметр сектора равен длине дуги плюс удвоенный радиус:

Здесь θ задан в радианах. Две прямые стороны имеют длину ровно по одному радиусу каждая, поэтому они добавляют 2r к криволинейной длине дуги.

Разобранный пример. Радиус 6 единиц, угол 60°. Дуга равна L = 6.2831853072 единиц. Два радиуса добавляют 2 × 6 = 12 единиц. Периметр сектора равен P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 единиц.

Ещё примеры. Радиус 8 при 90°: дуга 12.5663706144, периметр 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 единиц. Радиус 5 при 270°: дуга 23.5619449019, периметр 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 единиц. Радиус 7 при 120°: дуга 14.6607657168, периметр 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 единиц.

Два особых случая. Для полной окружности, 360°, в границе вообще нет сторон радиусов: периметр, это просто длина окружности, P = 2πr. При r = 6 это 37.6991118431 единиц, а не 37.6991118431 + 12. Для сектора с нулевым углом, 0°, геометрия вырождена: два радиуса совпадают, а дуга имеет нулевую длину, поэтому не приводите для него обычный периметр сектора. Калькулятор рассматривает случай нулевого угла как вырожденный и не сообщает обычного значения периметра.

Почему это различие важно. Если вы заказываете окантовку для панели в форме сектора, вам нужен периметр, потому что окантовка идёт вдоль дуги и обоих прямых краёв. Если вы измеряете только криволинейный край, вам нужна длина дуги. Путать их, это одна из самых частых ошибок с секторами, а калькулятор показывает оба значения рядом, чтобы разница всегда была видна.

Два радиуса делят круг на два сектора. Меньший из них, это малый сектор, а больший, это большой сектор. У них общие два радиуса, а вместе они составляют полную окружность.

Центральный угол решает, какой из них какой. Центральный угол меньше 180° даёт малый сектор. Центральный угол больше 180° даёт большой сектор, а его угол, это рефлексный угол, больше развёрнутого угла. Ровно 180° даёт полукруг, который не является ни малым, ни большим: оба сектора равны.

Малый и большой секторы дополняют друг друга. При меньшем центральном угле θ малая дуга равна Lminor = rθ, а большая дуга равна Lmajor = r(2π - θ). Их сумма всегда равна полной длине окружности, а их площади секторов в сумме дают площадь полного круга:

Разобранный пример. Радиус 6 единиц, меньший угол 60°. Малая дуга равна L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 единиц, а площадь малого сектора равна 18.8495559215 квадратных единиц. Большая дуга использует рефлексный угол 360° - 60° = 300°, поэтому L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 единиц, а площадь большого сектора равна 94.2477796077 квадратных единиц. Дуги в сумме дают 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 единиц, полную длину окружности, а площади в сумме дают 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 квадратных единиц, площадь полного круга. Малый сектор составляет 16.67% круга, а большой сектор, 83.33%.

Другой пример. Радиус 5 единиц, угол 270°. Это уже большой сектор: L = 23.5619449019 единиц, а площадь сектора равна 58.9048622548 квадратных единиц. Его дополнительный малый сектор использует 90°: L = 7.8539816340 единиц, а площадь равна 19.6349540849 квадратных единиц. Сумма равна 31.4159265359 единиц, полной длине окружности 2π × 5.

Не путайте два угла. Самая частая ошибка с малым и большим секторами, это использовать меньший угол, когда в задаче спрашивается большой сектор, или наоборот. Всегда проверяйте, является ли данный вам угол меньшим или рефлексным, и помните, что калькулятор показывает оба сектора рядом, чтобы вы могли выбрать тот, который нужен в вашей задаче.

Сектор и круговой сегмент, это две разные области круга, и их легко перепутать, потому что в обеих есть дуга. Сектор ограничен двумя радиусами и дугой. Круговой сегмент ограничен хордой и дугой. Сегмент, это часть сектора, лежащая за хордой, поэтому он меньше сектора, за исключением особых случаев ниже.

Формулы ясно показывают разницу:

Площадь сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника между двумя радиусами и хордой. Здесь θ, это центральная развёртка в радианах, от 0 до 2π. Формула правильно работает и для малых, и для больших сегментов: при малой дуге она даёт маленькую шапочку, а при большой дуге, большую область, охватывающую большую часть круга.

Разобранные примеры. При r = 6 единиц и 60° площадь сектора равна 18.8495559215 квадратных единиц, а площадь сегмента равна ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 квадратных единиц. Сегмент намного меньше сектора, потому что треугольник занимает большую часть клина. При r = 8 и 90° сегмент равен 18.2654824574 квадратных единиц. При r = 5 и 90° сегмент равен 7.1349540849 квадратных единиц.

Особые случаи. При 180° sin θ = 0, поэтому площадь сегмента равна площади сектора: ½ πr². При r = 5 обе равны 39.2699081699 квадратных единиц, что в точности составляет половину круга. При 270° sin θ = -1, поэтому сегмент больше сектора: при r = 5 сектор равен 58.9048622548 квадратных единиц, а сегмент равен 71.4048622548 квадратных единиц. При 360° хорда исчезает, а сегмент, это весь круг, πr².

Сегмент и сектор в одной строке. Сектор, это клин от центра. Сегмент, это шапочка за хордой. Если в вашей задаче участвует центр, вам нужен сектор. Если в ней участвуют только дуга и её хорда, вам нужен сегмент.

Длина хорды и длина дуги сектора соединяют одни и те же две точки окружности, но идут разными путями. Дуга следует по кривой. Хорда срезает прямо поперёк. Дуга почти всегда длиннее.

Формулы ясно показывают разницу:

Хорда зависит от синуса половины угла, который растёт медленнее самого угла, поэтому разрыв между дугой и хордой увеличивается с ростом угла.

Три факта из таблицы стоит запомнить. При 30° дуга всего примерно на 1.15% длиннее хорды, поэтому при малых углах они близки. При 180° хорда, это диаметр, 10 единиц, а дуга равна πr = 15.7079632679 единиц. При 270° хорда снова уменьшается до 7.0710678119 единиц, как при 90°, потому что хорда зависит от меньшего угла между конечными точками, а дуга продолжает расти вместе с развёрткой.

Особый случай. При 60° хорда в точности равна радиусу: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. При r = 6 хорда равна 6 единиц, а радиус, хорда и два радиуса образуют равносторонний треугольник. Это удобная проверка и любимый приём составителей экзаменов.

Почему это важно. Если вы режете изогнутую трубу, вам нужна длина дуги. Если вы измеряете прямой зазор между двумя точками круговой детали, вам нужна хорда. Путать их, это одна из самых частых ошибок с окружностями, а калькулятор показывает оба значения вместе, чтобы разница всегда была видна.

Иногда не заданы ни радиус, ни угол. Калькулятор работает в обратную сторону от четырёх других измерений, сначала выводя недостающее значение, а затем применяя L = rθ как обычно. Все семь способов дают один и тот же радиус и одну и ту же длину дуги для одного и того же сектора, поэтому вы можете использовать то измерение, которое у вас действительно есть.

По полной длине окружности. Полная длина окружности равна C = 2πr, поэтому r = C / (2π). При C = 37.6991118431 единиц r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 единиц. Тогда дуга сектора 60° равна L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 единиц. Обратите внимание на короткий путь: дуга 60° составляет одну шестую длины окружности, а 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 единиц.

По длине хорды. Формула хорды: c = 2r sin(θ / 2), поэтому r = c / [2 sin(θ / 2)]. При хорде 6 единиц и угле 60° r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 единиц. Тогда L = 6.2831853072 единиц. Ввод хорды работает только тогда, когда угол строго между 0° и 360°: при 0° или 360° хорда равна нулю, и радиус восстановить нельзя, поэтому калькулятор отклоняет эти углы для этого способа.

По площади сектора и радиусу. Площадь сектора равна A = ½r²θ, поэтому θ = 2A / r². При площади сектора 50 квадратных единиц и радиусе 10 единиц θ = 2 × 50 / 100 = 1 радиан = 57.2957795131°. Тогда L = 10 × 1 = 10.0000000000 единиц. Этот способ требует, чтобы площадь сектора была не больше площади полного круга πr²: при r = 10 этот предел равен 314.1592653590 квадратных единиц, поэтому площадь выше этого значения отклоняется.

По площади сектора и углу. Переставив то же самое, получаем r = √(2A / θ), где θ в радианах. При площади сектора 18.8495559215 квадратных единиц и угле 60° θ = 1.0471975512 радиана, поэтому r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 единиц. Тогда L = 6.2831853072 единиц. Этому способу нужны и угол, и площадь, потому что одна и та же площадь сектора может получаться при многих сочетаниях радиуса и угла.

По радиусу и известной длине дуги. Угол равен θ = L / r. При радиусе 4 единицы и известной дуге 6 единиц θ = 6 / 4 = 1.5 радиана = 85.9436692696°. Тогда площадь сектора равна A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 квадратных единиц, а периметр равен P = 6 + 8 = 14.0000000000 единиц. Этот способ требует, чтобы дуга была не длиннее полной длины окружности 2πr: при r = 4 этот предел равен 25.1327412287 единиц.

Какой ввод использовать. Используйте то измерение, которое у вас действительно есть. Если два разных измерения дают разные радиусы, одно из измерений неверно, и это расхождение стоит проверить, прежде чем доверять любому из ответов.

Длина дуги сектора, это не абстрактное классное упражнение. Везде, где криволинейное расстояние на окружности нужно измерить, разрезать, построить или пройти, применяется та же формула.

Машиностроение. Гибка труб начинается с длины дуги: трубе, согнутой на 90° при радиусе изгиба 8 единиц, нужно 12.5663706144 единиц трубы только на изгиб. Листовой металл, свёрнутый в изогнутую панель, профиль зуба шестерни и форма кулачка, все они требуют криволинейной длины до разрезания материала. Ошибка здесь тратит материал впустую или оставляет деталь короткой.

Архитектура и строительство. Арочные дверные проёмы, круглые окна, купола и винтовые лестницы размечаются по их дугам. Полукруглой арке с радиусом 10 единиц нужно 31.4159265359 единиц окантовки вдоль кривой. Секторообразному навесу с радиусом 6 единиц и углом 60° нужно 6.2831853072 единиц кромки вдоль кривой и 18.2831853072 единиц по всей границе.

Дороги и трассы. Круговая кривая дороги, поворот беговой дорожки или железнодорожная кривая прокладываются по радиусу и центральному углу. Длина кривой определяет количество асфальта, длину рельса и расстояние, которое транспорт проходит через поворот. Кривая 120° при радиусе 7 единиц имеет длину 14.6607657168 единиц.

Пицца и порционирование еды. Кусок пиццы, это сектор. Если у пиццы радиус 6 единиц, один кусок, отрезанный под 60°, имеет длину корочки 6.2831853072 единиц и площадь 18.8495559215 квадратных единиц. Шесть таких кусков составляют всю пиццу, а их корочки в сумме дают 37.6991118431 единиц, полную длину окружности. Нарезание равных кусков, это задача деления сектора: равные углы дают равные дуги и равные площади.

Часы, колёса и робототехника. Стрелка часов описывает дугу с течением времени. Колесо, катящееся по земле, проходит расстояние, равное дуге, через которую оно поворачивается. Роботизированная рука, вращающаяся вокруг сустава, перемещает свой захват по круговой дуге, а расстояние, которое он проходит, равно rθ, поэтому радианы, это естественная единица в робототехнике.

Компьютерная графика и САПР. Кривые в моделях САПР, шрифтах и анимациях строятся из круговых дуг. Длина дуги определяет, как делится траектория инструмента, как отрисовывается кривая и как далеко объект перемещается по круговому пути в анимации. Деталь в форме сектора в САПР определяется именно радиусом и углом, которые использует этот калькулятор.

Замечание о реальных формах. Не каждая изогнутая конструкция, это идеальный круг. Настоящие арки могут быть эллиптическими или параболическими, а настоящие дороги используют клотоидные переходы. Формулы сектора на этой странице применяются точно, когда кривая является настоящей круговой дугой, и служат хорошим приближением только тогда, когда кривая близка к круговой. Всегда проверяйте форму перед применением формулы.

Большинство неверных ответов о длине дуги сектора происходят из небольшого списка ошибок. Проверка каждой из них занимает секунды и предотвращает большинство ошибок.

1. Использование градусов напрямую в формуле для радиан. Формуле L = rθ нужны радианы. Подстановка 60° напрямую даёт 6 × 60 = 360 вместо 6.2831853072. Сначала переведите угол или используйте L = πrθ / 180.
2. Путаница радиуса с диаметром. Формуле нужен r, а не d. Использование d = 14 как радиуса удваивает ответ: 29.3215314336 вместо 14.6607657168 для сектора 120°. Сначала разделите диаметр пополам.
3. Путаница площади сектора с длиной дуги. Площадь сектора, это двумерная область в квадратных единицах. Длина дуги, это одномерное расстояние в обычных единицах. При r = 6 и 60° площадь сектора равна 18.8495559215 квадратных единиц, а дуга равна 6.2831853072 единиц. Разные величины, разные единицы.
4. Путаница периметра сектора с длиной дуги. Периметр добавляет две стороны радиусов: P = L + 2r. При r = 6 и 60° дуга равна 6.2831853072 единиц, а периметр равен 18.2831853072 единиц. Использование периметра, когда в задаче спрашивается дуга, завышает ответ на 12 единиц.
5. Использование неверного центрального угла. В задаче о секторе может быть дан угол между хордой и касательной или вписанный угол вместо центрального угла. Вписанный угол равен половине центрального угла для той же дуги. Если в задаче дан вписанный угол φ, центральный угол равен θ = 2φ, а дуга равна L = r × 2φ. Использование φ напрямую уменьшает ответ вдвое.
6. Путаница малого и большого секторов. Угол 270° даёт дугу большого сектора 23.5619449019 единиц при r = 5. Использование вместо него меньшего угла 90° даёт 7.8539816340 единиц, малую дугу. Проверьте, о каком секторе спрашивается в задаче.
7. Использование неверной формулы хорды. Хорда равна c = 2r sin(θ / 2), причём половина угла стоит внутри синуса. Использование sin(θ) даёт неверное значение: при r = 6 и 60° правильная хорда равна 6 единиц, а 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 единиц.
8. Смешивание линейных и квадратных единиц измерения. Радиус в см и угол в градусах, это нормально, но ответ получается в см. Площадь сектора в см² нужно переводить с квадратным коэффициентом: 1 м² равен 10,000 см², а не 100 см². Смешивание см и дюймов в одном вычислении или забывчивость о переводе выходной единицы даёт число неверного размера. Сначала переведите, потом вычисляйте.
9. Слишком раннее округление π. Замена π на 3.14 до умножения вносит ошибку, которая растёт вместе с радиусом. Сохраняйте полное значение π на протяжении всего вычисления и округляйте только итоговый отображаемый результат.
10. Забывчивость о переводе угла в радианы. Каждой формуле сектора, в которой используется θ без 180, включая площадь сектора A = ½r²θ, хорду c = 2r sin(θ / 2) и площадь сегмента A = ½r²(θ - sin θ), нужен θ в радианах. Градусы работают только в градусных формах формул.

Итоговая проверка, которая ловит большинство из них. Сверьте результат с длиной окружности. Дуга должна быть от 0 до 2πr, она должна быть длиннее хорды, площадь сектора должна быть от 0 до πr², а малая плюс большая дуги должны в сумме давать ровно 2πr. Если какая-то из этих проверок не проходит, причина, это одна из десяти ошибок выше.

Эти шесть примеров охватывают основные способы ввода калькулятора и типы секторов. Каждый из них вычислен тем же движком, который питает инструмент, а каждый результат проверен независимо.

Пример 1: сектор 60 градусов при радиусе 6. Дано r = 6 единиц, θ = 60° = π / 3 радиана. Длина дуги L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 единиц. Диаметр d = 12 единиц. Хорда c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 единиц. Площадь сектора A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 квадратных единиц. Периметр сектора P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 единиц. Площадь сегмента равна 3.2610986534 квадратных единиц. Полная длина окружности C = 37.6991118431 единиц.

Пример 2: сектор в четверть круга при радиусе 8 и 90°. Дано r = 8 единиц, θ = 90° = π / 2 радиана. Длина дуги L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 единиц. Хорда c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 единиц. Площадь сектора A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 квадратных единиц. Периметр сектора P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 единиц. Площадь сегмента равна 18.2654824574 квадратных единиц. Дуга составляет ровно четверть длины окружности 50.2654824574 единиц.

Пример 3: большой сектор при радиусе 5 и 270°. Дано r = 5 единиц, θ = 270° = 3π / 2 радиана. Длина дуги L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 единиц. Хорда c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 единиц. Площадь сектора A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 квадратных единиц. Периметр сектора P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 единиц. Дополнительная малая дуга при 90° равна 7.8539816340 единиц, а площадь дополнительного сектора равна 19.6349540849 квадратных единиц. Две дуги в сумме дают 31.4159265359 единиц, полную длину окружности.

Пример 4: сектор по диаметру 14 и 120°. Дано d = 14 единиц, θ = 120° = 2π / 3 радиана. Радиус r = 14 / 2 = 7 единиц. Длина дуги L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 единиц. Хорда c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 единиц. Площадь сектора A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 квадратных единиц. Периметр сектора P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 единиц. Площадь сегмента равна 30.0950576159 квадратных единиц.

Пример 5: сектор по площади 50 и радиусу 10. Дана площадь сектора A = 50 квадратных единиц, радиус r = 10 единиц. Центральный угол θ = 2 × 50 / 100 = 1 радиан = 57.2957795131°. Длина дуги L = 10 × 1 = 10.0000000000 единиц. Хорда c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 единиц. Периметр сектора P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 единиц. Площадь сегмента равна 7.9264507596 квадратных единиц. Дополнительная дуга равна 52.8318530718 единиц.

Пример 6: сектор по радиусу 4 и известной длине дуги 6. Дано r = 4 единицы, L = 6 единиц. Центральный угол θ = 6 / 4 = 1.5 радиана = 85.9436692696°. Площадь сектора A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 квадратных единиц. Хорда c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 единиц. Периметр сектора P = 6 + 8 = 14.0000000000 единиц. Площадь сегмента равна 4.0200401072 квадратных единиц. Дополнительная дуга равна 19.1327412287 единиц, а площадь дополнительного сектора равна 38.2654824574 квадратных единиц.

Нажмите любую кнопку предустановки в калькуляторе, чтобы загрузить один из этих примеров и увидеть полное пошаговое решение, живую диаграмму и все вторичные результаты для этого ввода.