Båglängdskalkylator med steg

Båglängd är avståndet längs en kurva mellan två punkter. För en cirkel är det längden på den krökta delen av omkretsen som skärs av av två radier. Tänk dig en pizzabit. Kantens skorpa på den biten är en båge, och dess längd är båglängden. De två raka sidorna är radier, och vinkeln mellan dem i mitten kallas medelpunktsvinkeln.

Medelpunktsvinkeln avgör vilken andel av hela cirkeln din båge utgör. En hel cirkel mäter 360 grader, eller 2π radianer. Om din medelpunktsvinkel är 90 grader är din båge en fjärdedel av omkretsen. Om vinkeln är 180 grader är bågen hälften av omkretsen. Detta proportionella samband är grunden för varje formel för båglängd.

Bågar förekommer i två storlekar för varje par av punkter på en cirkel. Den mindre bågen är den kortare vägen mellan punkterna och motsvarar en medelpunktsvinkel mindre än 180 grader. Den större bågen är den längre vägen åt andra hållet och motsvarar en vinkel större än 180 grader. Om inget annat anges avser uppgifter om båglängd den mindre bågen.

Ett enkelt vardagsexempel hjälper. Anta att en cirkulär trädgård har radien 10 meter och att du vill sätta kantsten längs en sektion som spänner över en vinkel på 90 grader från mitten. Hela omkretsen är 2π(10), cirka 62.83 meter. En vinkel på 90 grader är en fjärdedel av hela cirkeln, så den kantsten som behövs är cirka 15.71 meter. Det krökta avståndet är båglängden.

Formeln för båglängd beror på om din vinkel mäts i radianer eller grader. Båda versionerna uttrycker samma idé: båglängden är en andel av hela omkretsen, och den andelen bestäms av medelpunktsvinkeln.

När vinkeln θ är i radianer är formeln enkel:

s = rθ

Här är s båglängden, r är radien och θ är medelpunktsvinkeln i radianer. Denna formel fungerar så smidigt eftersom en radian definieras som den vinkel som skär av en båge med samma längd som radien. En vinkel på 1 radian på en cirkel med radien 5 ger en båge på exakt 5 enheter. Enheterna för s matchar alltid enheterna för r. Om radien är i centimeter är båglängden i centimeter.

När vinkeln är i grader behöver formeln en omvandlingsfaktor:

s = πrθ / 180

Här är θ medelpunktsvinkeln i grader. Faktorn π/180 omvandlar grader till radianer i bakgrunden, eftersom 180 grader är lika med π radianer. Att dividera med 180 och multiplicera med π förvandlar alltså ditt gradmått till det radianmått som formeln faktiskt behöver.

Båda formlerna kommer från omkretsen av en hel cirkel, C = 2πr. En hel cirkel motsvarar en medelpunktsvinkel på 2π radianer eller 360 grader. Båglängden är samma andel av omkretsen som medelpunktsvinkeln är av hela vinkeln. I radianer: s / (2πr) = θ / (2π), vilket förenklas till s = rθ. I grader: s / (2πr) = θ / 360, vilket förenklas till s = πrθ / 180.

Att omvandla mellan grader och radianer är enkelt. För att omvandla grader till radianer, multiplicera med π/180. För att omvandla radianer till grader, multiplicera med 180/π. Till exempel blir 60 grader 60 × π/180 = π/3 radianer, cirka 1.047 radianer. En vinkel på 2 radianer blir 2 × 180/π, cirka 114.59 grader.

Tabellen nedan sammanfattar nyckelformlerna för snabb referens.

Exempel 1: Vinkel i grader

Hitta båglängden för en cirkel med radien 7 cm och en medelpunktsvinkel på 60 grader.

Steg 1: Identifiera de givna värdena. Radien r är 7 cm och vinkeln θ är 60 grader.

Steg 2: Välj rätt formel. Eftersom vinkeln är i grader, använd s = πrθ / 180.

Steg 3: Sätt in värdena. Detta ger s = π(7)(60) / 180.

Steg 4: Förenkla. Bråket 60/180 förkortas till 1/3, så s = 7π/3 cm. Detta är det exakta svaret.

Steg 5: Hitta decimalapproximationen. Eftersom π är cirka 3.14159 är s cirka 7(3.14159)/3, vilket är lika med cirka 7.33 cm.

Båglängden är exakt 7π/3 cm, eller ungefär 7.33 cm.

Exempel 2: Vinkel i radianer

Hitta båglängden för en cirkel med radien 5 meter och en medelpunktsvinkel på 1.2 radianer.

Steg 1: Identifiera de givna värdena. Radien r är 5 m och vinkeln θ är 1.2 radianer.

Steg 2: Välj rätt formel. Eftersom vinkeln är i radianer, använd s = rθ.

Steg 3: Sätt in värdena. Detta ger s = 5(1.2).

Steg 4: Multiplicera. Resultatet är s = 6 meter.

Båglängden är exakt 6 meter. Lägg märke till hur mycket enklare radianformeln är. Det finns inget π att hantera och inget bråk att förenkla. Detta är en anledning till att matematiker och forskare föredrar radianer i teoretiskt arbete.

Inte varje kurva är en del av en cirkel. För en allmän jämn kurva som beskrivs av en funktion y = f(x) hittas båglängden mellan x = a och x = b med en ∫:

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

Här är f'(x) funktionens derivata. Formeln kommer från en enkel idé. Dela upp kurvan i många små raka segment. Varje segment har längden √((Δx)² + (Δy)²) enligt Pythagoras sats. Bryt ut Δx för att få √(1 + (Δy/Δx)²) Δx. När segmenten blir oändligt små blir Δy/Δx derivatan f'(x), och summan blir integralen ovan.

Derivatan spelar roll eftersom den mäter hur brant kurvan är i varje punkt. En brant sektion bidrar med mer längd än en flack sektion över samma horisontella avstånd. Faktorn √(1 + [f'(x)]²) kallas ibland den lokala töjningsfaktorn. När kurvan är flack är f'(x) noll och faktorn är 1, vilket betyder att båglängden är lika med det horisontella avståndet. När kurvan är brant är faktorn större än 1.

Gränserna a och b markerar var du börjar och slutar mäta längs x-axeln. Det är viktigt att få dem i rätt ordning, med a som det mindre värdet. Att byta plats på dem ändrar resultatets tecken.

Många integraler för båglängd kan inte beräknas med elementära primitiva funktioner. I dessa fall ger numeriska metoder som Simpsons regel eller trapetsregeln noggranna approximationer. Räknaren på den här sidan använder numerisk integration när ett symboliskt svar inte är tillgängligt och märker tydligt resultatet som approximativt.

Genomräknat exempel: y = x^3/2 från x = 0 till x = 4

Hitta båglängden för kurvan y = x^3/2 över intervallet [0, 4].

Steg 1: Hitta derivatan. Med potensregeln är f'(x) = (3/2)x^1/2.

Steg 2: Kvadrera derivatan. [f'(x)]² = (9/4)x.

Steg 3: Sätt in i formeln. L = ∫[0 to 4] √(1 + (9/4)x) dx.

Steg 4: Beräkna integralen. Låt u = 1 + (9/4)x, så du = (9/4)dx. När x = 0 är u = 1. När x = 4 är u = 10. Integralen blir (4/9)∫[1 to 10] √u du = (4/9)(2/3)[u^3/2] från 1 till 10 = (8/27)(10^3/2 - 1).

Steg 5: Förenkla. Eftersom 10^3/2 = 10√10 ≈ 31.62 är L ≈ (8/27)(30.62) ≈ 9.07.

Den exakta båglängden är (8/27)(10√10 - 1), ungefär 9.07 enheter.

Båglängden svarar på förändringar i radie och vinkel på ett förutsägbart sätt. Eftersom formeln s = rθ är en enkel produkt har varje variabel en direkt proportionell effekt.

Om du fördubblar radien medan vinkeln hålls fast fördubblas båglängden. En båge på 60 grader på en cirkel med radien 7 cm mäter cirka 7.33 cm. På en cirkel med radien 14 cm skär samma vinkel på 60 grader av en båge på cirka 14.66 cm. Varje punkt på den större cirkeln är dubbelt så långt från medelpunkten, så den krökta banan mellan samma två vinklar är dubbelt så lång.

Om du fördubblar medelpunktsvinkeln medan radien hålls fast fördubblas också båglängden. En båge på 30 grader på en 10 cm-cirkel är cirka 5.24 cm. En båge på 60 grader på samma cirkel är cirka 10.47 cm. Dubbla vinkeln betyder dubbla andelen av omkretsen.

Ett helt varv, 360 grader eller 2π radianer, ger hela omkretsen. Att sätta in θ = 2π i s = rθ ger s = 2πr, exakt formeln för omkretsen. Detta bekräftar att formeln är konsekvent: vid den maximala vinkeln är "bågen" hela cirkeln.

Använd reglagen i det interaktiva diagrammet för att utforska dessa samband. Dra i vinkelreglaget och se hur den markerade bågen växer. Dra i radieglaget och se hur hela cirkeln expanderar. Den visade båglängden uppdateras i realtid och förstärker de proportionella samband som beskrivs ovan.

Båglängd förekommer i många praktiska situationer där krökta avstånd spelar roll.

Löparbanor. En standardmässig 400-meters löparbana har två raka sektioner och två halvcirkelformade ändar. Om varje halvcirkelformad ände har radien 36.5 meter är den krökta delen av ena änden halva omkretsen: π(36.5), cirka 114.67 meter. Båda ändarna tillsammans bidrar med cirka 229.35 meter krökt löpning. Bandesigners använder dessa beräkningar för att säkerställa att varje bana mäter rätt totala avstånd.

Cykelhjul. Ett cykelhjul med diametern 70 cm har radien 35 cm. Vid ett helt varv färdas en punkt på däcket hela omkretsen: 2π(35), cirka 219.91 cm, eller cirka 2.20 meter. Om hjulet roterar 100 gånger färdas cykeln cirka 220 meter. Detta samband mellan varv och avstånd är hur cykeldatorer uppskattar hastighet och avstånd från hjulsensorer.

Arkitektoniska valv. Ett halvcirkelformat valv över en dörröppning har radien 1.5 meter. Valvets krökta längd är halva omkretsen: π(1.5), cirka 4.71 meter. En byggare som beställer krökt list till detta valv behöver detta mått för att köpa rätt mängd material.

Roterande maskineri. Ett transportband lindas halvvägs runt en drivskiva med radien 0.4 meter. Kontaktlängden mellan bandet och skivan är en halvcirkelformad båge: π(0.4), cirka 1.26 meter. Ingenjörer använder denna kontaktlängd för att beräkna friktion och kraftöverföring. En längre kontaktbåge betyder i allmänhet bättre grepp mellan bandet och skivan.

Flera vanliga fel lurar både elever och yrkesverksamma. Att känna till dem i förväg hjälper dig att undvika dem.

Att blanda grader och radianer. Detta är det vanligaste misstaget. Om din vinkel är 60 grader men du sätter in den i s = rθ får du 60r i stället för det korrekta πr/3. Kontrollera alltid vinkelns enhet innan du väljer formel. Vid tvekan, omvandla först till radianer.

Att använda diameter i stället för radie. Formlerna kräver radien. Om du får en diameter på 14 cm är radien 7 cm. Att glömma att halvera diametern fördubblar ditt svar.

Att glömma måttenheter. En båglängd på 7.33 betyder ingenting utan enheter. Om radien var i centimeter är båglängden i centimeter. Bär med dig enheterna genom varje steg.

Att använda fel formel. Cirkelformlerna s = rθ och s = πrθ/180 fungerar bara för cirkelbågar. För andra kurvor behöver du analysformeln med integralen. Att använda cirkelformeln på en parabel ger ett felaktigt svar.

Att förväxla båglängd med kordalängd. Kordan är den raka linjen som förbinder bågens ändpunkter. Den är alltid kortare än bågen (utom i triviala fall). Om en uppgift frågar efter det krökta avståndet ska du inte beräkna det rätlinjiga avståndet.

Att avrunda för tidigt. Att avrunda mellanvärden inför ett fel som växer genom beräkningen. Behåll full precision till det sista steget och avrunda sedan till det begärda antalet decimaler.

Att använda felaktiga integrationsgränser. I analysformeln måste gränserna matcha det intervall du mäter. Att vända på dem byter tecken. Att använda gränser från en annan del av uppgiften ger fel segment.

Tre relaterade mätningar beskriver olika aspekter av ett cirkulärt område. Att förstå var och en förhindrar förvirring.

Båglängden mäter det krökta avståndet längs cirkeln mellan två punkter. Formeln är s = rθ med θ i radianer. Den besvarar frågan: hur långt skulle du gå om du följde kurvan?

Kordalängden mäter det rätlinjiga avståndet mellan samma två punkter. Formeln är c = 2r sin(θ/2) med θ i radianer. Den besvarar frågan: hur långt ifrån varandra är ändpunkterna fågelvägen? Kordan är alltid kortare än motsvarande mindre båge.

Sektorarean mäter det tvådimensionella området som avgränsas av två radier och bågen mellan dem, som en pizzabit. Formeln är A = (1/2)r²θ med θ i radianer. Den besvarar frågan: hur stor area täcker biten?

Jämförelsetabellen nedan sammanfattar skillnaderna.

Observera att alla tre formlerna kräver θ i radianer. Sektorareaformeln är särskilt lätt att få fel med grader, eftersom det inte finns någon enkel gradversion. Omvandla först till radianer.

Prova dessa uppgifter och kontrollera sedan dina svar nedan.

Uppgift 1 (grader). En cirkel har radien 12 cm och en medelpunktsvinkel på 45 grader. Hitta båglängden.

Lösning: Använd s = πrθ/180 = π(12)(45)/180 = 3π ≈ 9.42 cm.

Uppgift 2 (radianer). En cirkel har radien 8 m och en medelpunktsvinkel på 2.5 radianer. Hitta båglängden.

Lösning: Använd s = rθ = 8(2.5) = 20 m.

Uppgift 3 (diameter). En cirkel har diametern 20 tum och en medelpunktsvinkel på 120 grader. Hitta båglängden.

Lösning: Omvandla först diametern till radie: r = 20/2 = 10 tum. Sedan s = π(10)(120)/180 = 20π/3 ≈ 20.94 tum.

Uppgift 4 (saknad radie). En båge med längden 15 cm spänner över en medelpunktsvinkel på 0.75 radianer. Hitta radien.

Lösning: Skriv om s = rθ för att få r = s/θ = 15/0.75 = 20 cm.

Uppgift 5 (analys). Hitta båglängden för y = (2/3)x^3/2 från x = 0 till x = 3.

Lösning: Derivatan är f'(x) = x^1/2, så [f'(x)]² = x. Integralen är L = ∫[0 to 3] √(1 + x) dx. Låt u = 1 + x, du = dx. När x = 0 är u = 1. När x = 3 är u = 4. L = ∫[1 to 4] √u du = (2/3)[u^3/2] från 1 till 4 = (2/3)(8 - 1) = 14/3 ≈ 4.67.

Båglängd mäter krökt avstånd, antingen längs en cirkel eller en allmän kurva. För cirklar, använd s = rθ med vinkeln i radianer, eller s = πrθ/180 med vinkeln i grader. För andra kurvor som beskrivs av y = f(x), använd integralformeln L = ∫√(1 + [f'(x)]²)dx över ditt intervall. Se upp för sammanblandning av grader och radianer, diameter och radie samt för tidig avrundning. Räknaren överst på den här sidan hanterar alla tre lägen med fullständig steg-för-steg-lösning. Ange dina värden, studera stegen och använd resultatet med tillförsikt.