Калкулатор за дължина на дъга по правилото на средните точки

Калкулаторът за дължина на дъга по правилото на средните точки приближава дължината на крива, като разделя интеграла за дължина на дъга на правоъгълници и взема проба от всеки от тях в центъра му. Въведете функция, изберете интервал, посочете колко подинтервала да се използват и калкулаторът показва приближението, пълната таблица на средните точки, оценката на грешката и жива диаграма на правоъгълниците. Следвайте тези стъпки, за да получите верен отговор.

1. Изберете режима на изчисление. Използвайте „Явна функция“ за крива, записана като y = f(x), например y = x² или y = sin(x). Използвайте „Параметрична крива“ за крива, записана като x = x(t) и y = y(t), например окръжност или елипса, описана чрез параметър.
2. Въведете функцията. Напишете функцията в полето за въвеждане, като използвате ^ за степени, функцията за квадратен корен за корени и sin(), cos(), exp() и ln() за стандартните функции. Калкулаторът намира производната автоматично или можете сами да въведете производната, ако вече я знаете.
3. Задайте интервала. Въведете долната граница a и горната граница b. Интервалът [a, b] е участъкът от кривата, чиято дължина искате. Ако въведете b по-малко от a, калкулаторът пак връща положителна дължина, защото дължината на дъга никога не е отрицателна.
4. Изберете броя на подинтервалите n. Използвайте плъзгача или въведете стойност. Готовите стойности включват 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 50, 100, 500, 1 000 и 5 000. По-голямо n означава по-тесни правоъгълници и обикновено по-близко приближение. Започнете с n = 4, за да видите ясно работата, после увеличете n и наблюдавайте как отговорът се установява.
5. Изберете точността на показване. Изберете 2, 4, 6, 8 или 10 знака след десетичната запетая. Калкулаторът пази пълната точност вътрешно и закръгля само показания резултат, така че промяната на точността никога не променя самото изчисление.
6. Натиснете „Изчисли дължина на дъга“. Основният резултат е приближението по средни точки L_n, ясно означено като приближение. Под него получавате ширината на подинтервала, първата и последната средна точка, първата и последната стойност на подинтегралната функция, сбора на стойностите на подинтегралната функция, дължината на хордата между крайните точки, еталонната дължина с висока точност и изчислените абсолютна и относителна грешка.
7. Разгледайте диаграмите. Първата диаграма показва първоначалната крива с подчертана избрана дъга и отбелязани пробни точки в средните точки. Втората диаграма показва подинтегралната функция за дължина на дъга с правоъгълниците по средни точки, начертани под нея. Общото лице на тези правоъгълници е приближението, така че двете диаграми не бива да се бъркат: правоъгълниците стоят под подинтегралната функция, никога под първоначалната крива.
8. Прочетете таблицата с изчисления. Всеки подинтервал има ред с неговите граници, неговата средна точка, производната в средната точка, стойността на подинтегралната функция и приноса на правоъгълника. Последният ред показва сбора, който е равен на основния резултат.
9. Сравнете сходимостта и опитайте екстраполацията на Ричардсън. Панелът за сходимост показва приближенията за n, 2n и 4n едно до друго, заедно с разликите между тях. Опцията за Ричардсън обединява две приближения в уточнена оценка. И двете са обяснени в разделите на ръководството по-долу.
10. Копирайте, експортирайте или нулирайте. Използвайте „Копирай резултата“ за отговора, експортирайте таблицата като CSV за вашата работа или „Нулиране“, за да изчистите панела. Готовите бутони зареждат мигновено проверени примери: параболата, правата линия, хоризонталната права, четвърт кръга, кубичната функция и синусовата крива.

Опитайте пример. y = x² върху [0, 2] при n = 4 дава L₄ = 4.6267234873 единици при еталон 4.6467837624 единици. y = 3x + 1 върху [0, 4] при n = 4 дава точно 12.6491106407 единици. y = 2 върху [1, 5] при n = 4 дава точно 4.0000000000 единици. Параметричната четвърт окръжност с радиус 5 дава 7.8539816340 единици. y = x³ върху [0, 1] при n = 4 дава 1.5330289642 единици, а y = sin(x) върху [0, π] при n = 8 дава 3.8201978627 единици.

Важни съвети. Винаги първо диференцирайте функцията: подинтегралната функция използва f'(x), а не f(x). Вземайте проби в средните точки, а не в крайните точки, иначе изчислявате друго правило. Пазете мерната единица за ъгъл в радиани при тригонометричните функции. Не закръгляйте средните точки или стойностите на подинтегралната функция по време на изчислението, защото тези малки закръгляния се натрупват през много правоъгълници. Ако функцията е неопределена в някоя средна точка, калкулаторът съобщава за грешка, вместо тихо да пропусне пробата.

Численото интегриране е изкуството да се оценява определен интеграл, когато точната примитивна функция се намира трудно или когато са налични само пробни стойности. Правилото на средните точки е един от най-простите и най-надеждни методи за числено интегриране. То оценява лицето под крива, като я покрива с правоъгълници и събира лицата им.

Една сума на Риман разделя интервала [a, b] на n равни подинтервала, всеки с ширина Δx = (b - a) / n, и построява по един правоъгълник върху всеки подинтервал. Височината на всеки правоъгълник е стойността на функцията в една пробна точка вътре в този подинтервал. Сумите с ляв край вземат проба в левия край, сумите с десен край вземат проба в десния край, а правилото на средните точки взема проба в центъра на всеки подинтервал.

Вземането на проба в центъра е основната идея. Върху кратък подинтервал крива, която се издига от едната страна на средната точка, се спуска от другата страна с подобна величина, така че надценката върху едната половина грубо се компенсира от подценката върху другата половина. Това компенсиране е причината правилото на средните точки да е по-точно от правилата с ляв или десен край при същия брой правоъгълници и причината грешката му да намалява с квадрата на ширината на подинтервала.

За функция g(x) върху [a, b] съставното правило на средните точки е:

Тук x_i* е средната точка на i-тия подинтервал, а сборът обхваща всички n подинтервала. Всеки член Δx × g(x_i*) е лицето на един правоъгълник, а сборът на всички лица на правоъгълниците е приближението на интеграла.

Правилото на средните точки се използва далеч извън домашните работи по математически анализ. Инженерите го използват за оценка на интеграли при анализ на напрежения и обработка на сигнали, физиците го използват в числени симулации, а компютърната графика го използва за измерване на дължини на криви и лица на повърхнини. Съчетанието му от простота и точност от втори порядък го прави стандартен първи избор винаги, когато интегралът няма изчистен затворен вид.

Защо средните точки превъзхождат крайните точки. Вземете g(x) = x върху [0, 1] при n = 1. Лявата сума дава 0, дясната сума дава 1, а сумата по средни точки дава 0.5, което е точният отговор. Средната точка вижда средното поведение на функцията през подинтервала, докато крайната точка вижда само едната му страна. Това предимство важи за всяка гладка функция и е причината правилото на средните точки да е сумата на Риман по подразбиране в повечето числени работи.

Дължината на дъга е разстоянието, измерено по кривата, а не разстоянието по права линия между нейните крайни точки. Път, който се вие през хълмове, е по-дълъг от правата линия, начертана между двата му края върху карта. Извита жица е по-дълга от разстоянието, което премоства. Дължината на дъга измерва самия виещ се път.

За да намерите тази дължина, си представете, че режете кривата на много малки парчета. Всяко малко парче е толкова късо, че е почти право, така че дължината му е близка до правата линия, съединяваща краищата му. По Питагоровата теорема малко парче, което се движи Δx хоризонтално и Δy вертикално, има дължина, близка до √(Δx² + Δy²). Събирането на всички малки парчета дава общата дължина, а свиването на парчетата до нула превръща сбора в интеграл.

За крива y = f(x) една малка хоризонтална стъпка dx предизвиква вертикална промяна dy = f'(x) dx, така че малкият елемент на дължина е:

Събирането на всички елементи на дължина от a до b дава интеграла за дължина на дъга:

Тази формула обяснява защо участва производната. Стръмната крива променя бързо височината си, така че f'(x) е голямо, подинтегралната функция √(1 + [f'(x)]²) е голяма и всяка единица хоризонтално разстояние допринася с повече от една единица дължина на кривата. Плоската крива има f'(x), близко до нула, подинтегралната функция е близка до 1, а дължината на дъгата е близка до хоризонталното разстояние b - a.

Дължината на дъга винаги е поне колкото хордата. Правата линия между крайните точки е най-краткият път между тях, така че кривата никога не може да е по-къса от нея. За параболата y = x² върху [0, 2] хордата от (0, 0) до (2, 4) е √(20) = 4.4721359550 единици, докато истинската дължина на дъгата е 4.6467837624 единици, по-дълга с 0.1746478074 единици. За синусовата крива y = sin(x) върху [0, π] хордата е π = 3.1415926536 единици, а дъгата е 3.8201977890 единици, по-дълга с 0.6786051354 единици. Проверката, че дъгата надвишава хордата, е бърз тест за здрав разум за всеки отговор за дължина на дъга.

Повечето интеграли за дължина на дъга нямат елементарна примитивна функция. Интегралът за параболата ∫ √(1 + 4x²) dx може да се реши със заместване, но интегралът за синуса ∫ √(1 + cos²x) dx изобщо не може да се изрази с елементарни функции. Именно тук правилото на средните точки заема своето място: то оценява интеграла числено, без да е нужна примитивна функция.

Изчислението на дължина на дъга по правилото на средните точки започва от точния интеграл за дължина на дъга и заменя интеграла със сбор от лица на правоъгълници. Определете подинтегралната функция за дължина на дъга:

Тогава точната дължина на дъга е L = ∫_a^b g(x) dx, а правилото на средните точки приближава този интеграл. Разделете [a, b] на n равни подинтервала. Ширината на подинтервала е:

Средната точка на i-тия подинтервал, като броим i от 0, е:

Изчислете подинтегралната функция във всяка средна точка, умножете всяка стойност по Δx и съберете резултатите:

Всеки символ има точно значение:

Конкретна проверка. За y = x² върху [0, 2] при n = 4 ширината е Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5, средните точки са 0.25, 0.75, 1.25 и 1.75, а стойностите на подинтегралната функция са 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 и 3.6400549446. Сборът им е 9.2534469747, а умножаването по 0.5 дава L₄ = 4.6267234873 единици. Всяко число в тази верига е показано в панела със стъпки на калкулатора и в неговата таблица с изчисления.

За параметрична крива x = x(t), y = y(t) същата идея се прилага върху параметричния интервал [t₁, t₂], като скоростта v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) играе ролята на подинтегралната функция. Параметричната формула е разгледана в отделен раздел по-долу.

Изчислението по правилото на средните точки следва десет стъпки, а калкулаторът извършва всички тях автоматично. Ако веднъж ги преминете на ръка, инструментът става много по-лесен за доверие и за ползване. Разработеният пример по-долу използва y = x² върху [0, 2] при n = 4, същия пример, който калкулаторът зарежда като първа готова стойност.

1. Определете функцията. f(x) = x².
2. Намерете първата ѝ производна. f'(x) = 2x.
3. Определете интервала на интегриране. a = 0, b = 2.
4. Изберете броя на подинтервалите. n = 4.
5. Изчислете ширината на подинтервала. Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5.
6. Определете средната точка на всеки подинтервал. x₀* = 0.25, x₁* = 0.75, x₂* = 1.25, x₃* = 1.75. Всяка средна точка стои точно по средата между границите на своя подинтервал: 0.25 е по средата между 0 и 0.5, 0.75 е по средата между 0.5 и 1 и така нататък.
7. Изчислете подинтегралната функция за дължина на дъга във всяка средна точка. g(x) = √(1 + 4x²), така че g(0.25) = 1.1180339887, g(0.75) = 1.8027756377, g(1.25) = 2.6925824036 и g(1.75) = 3.6400549446.
8. Умножете всяка стойност по ширината на подинтервала. Четирите приноса на правоъгълниците са 0.5 × 1.1180339887 = 0.5590169944, 0.5 × 1.8027756377 = 0.9013878189, 0.5 × 2.6925824036 = 1.3462912018 и 0.5 × 3.6400549446 = 1.8200274723.
9. Съберете всички приноси. 0.5590169944 + 0.9013878189 + 1.3462912018 + 1.8200274723 = 4.6267234873.
10. Тълкувайте приблизителната дължина на дъга. L₄ = 4.6267234873 единици. Еталонът с висока точност е 4.6467837624 единици, така че това приближение е по-късо с 0.0200602751 единици, относителна грешка от 0.4317%.

Същите десет стъпки работят за всяка функция. За y = x³ върху [0, 1] при n = 4 производната е f'(x) = 3x², ширината е Δx = 0.25, средните точки са 0.125, 0.375, 0.625 и 0.875, стойностите на подинтегралната функция са 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 и 2.5051217067, сборът им е 6.1321158566, а умножаването по 0.25 дава L₄ = 1.5330289642 единици при еталон 1.5478656547 единици.

Втори разработен пример с тригонометрична функция. За y = sin(x) върху [0, π] при n = 8 производната е f'(x) = cos(x), ширината е Δx = π / 8 = 0.3926990817, а осемте средни точки са π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 и 15π/16. Стойностите на подинтегралната функция, в ред, са 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 и 1.4006926023. Сборът им е 9.7280539749, а умножаването по 0.3926990817 дава L₈ = 3.8201978627 единици при еталон 3.8201977890 единици, абсолютна грешка от едва 0.0000000736 единици.

Всеки правоъгълник по средна точка е малка, честна картина на едно парче от интеграла. Той има три части и всяка част има ясно значение.

За параболата y = x² върху [0, 2] при n = 4 четирите правоъгълника имат ширина 0.5. Височините им са 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 и 3.6400549446, а лицата им са 0.5590169944, 0.9013878189, 1.3462912018 и 1.8200274723. Общото лице е 4.6267234873 единици, което е точно приближението по средни точки L₄.

Защо сборът от лицата приближава интеграла. Интегралът ∫_a^b g(x) dx е точното лице под кривата на подинтегралната функция. Всеки правоъгълник заменя извитата ивица над един подинтервал с плоска ивица със същата ширина, като използва височината в средната точка за представителна височина. Където подинтегралната функция се извива нагоре, плоският връх отрязва малко лице от едната страна и добавя малко от другата. Тъй като пробата е взета в центъра, тези две грешки почти се компенсират и лицето на правоъгълника е близко до истинското лице на ивицата. Събирането на правоъгълниците дава оценка на цялото лице, а оттам и на дължината на дъгата.

Най-честата грешка в диаграмата. Правоъгълниците трябва да се чертаят под кривата на подинтегралната функция g(x) = √(1 + [f'(x)]²), а не под първоначалната крива f(x). Първоначалната крива и подинтегралната функция са различни графики с различни височини: за y = x² върху [0, 2] първоначалната крива върви от 0 до 4, докато подинтегралната функция върви от 1 до √(17) = 4.1231056256. Правоъгълници, начертани под първоначалната крива, биха събрали лицето под f(x), което няма нищо общо с дължината на дъга. Калкулаторът държи двете графики отделно, а диаграмата в ръководството по-горе показва правоъгълниците само под подинтегралната функция.

Четене на правоъгълник. Задържането върху правоъгълник в калкулатора или избирането му показва неговия номер на подинтервал, неговите лява и дясна граница, неговата средна точка, производната в средната точка, стойността на подинтегралната функция и приноса на правоъгълника. Именно тази подробност прави таблицата полезна за домашни работи: всяко число в крайния отговор може да се проследи до един правоъгълник.

Броят на подинтервалите n е най-важната настройка на калкулатора, защото той решава колко фини са правоъгълниците. Малко n означава няколко широки правоъгълника. Голямо n означава много тесни правоъгълници, които следват кривата на подинтегралната функция отблизо.

Какво става при малко n. При n = 1 целият интервал е един правоъгълник и отговорът е Δx × g(средна точка). За параболата y = x² върху [0, 2] n = 1 дава 2 × √(5) = 4.4721359550 единици, което е по-късо от истинските 4.6467837624 единици с 0.1746478074 единици. Единичният правоъгълник не може да следва подинтегралната функция, докато тя се издига от 1 до 4.1231056256, затова грешката е голяма. При n = 2 отговорът се подобрява до 4.5764912225 единици. При n = 4 той е 4.6267234873 единици. При n = 8 той е 4.6417306581 единици. При n = 16 той е 4.6455205322 единици, а при n = 32 той е 4.6464679593 единици.

Как намалява грешката. За гладка подинтегрална функция грешката на правилото на средните точки е пропорционална на 1 / n². Удвояването на n намалява грешката до приблизително една четвърт. Числата за параболата показват това ясно: грешката пада от 0.0200602751 единици при n = 4 до 0.0050531044 единици при n = 8, после до 0.0012632302 единици при n = 16, после до 0.0003158031 единици при n = 32. Всяко удвояване дели грешката на около четири. Това поведение 1 / n² се нарича сходимост от втори порядък и е причината правилото на средните точки да е толкова ефикасно: умереното увеличение на n носи голямо подобрение на точността.

Защо подобрението не винаги е монотонно. Грешката обикновено намалява с растежа на n, но не е задължително да намалява при всяка стъпка за всяка функция. Синусовата крива показва лек пример за това: n = 2 дава 3.8476494905 единици, което надвишава еталона 3.8201977890 единици, докато n = 4 дава 3.8204517876 единици, което е много по-близо. Приближението премина от над истинската стойност към стойност малко над нея и грешката пак намаля като цяло. При функции с остри завои, трептения или почти сингулярности грешката може да се люшка с промяната на n, макар дългосрочната тенденция да е надолу. Никога не приемайте, че по-голямо n винаги дава по-добър отговор при една стъпка; вместо това проверявайте таблицата за сходимост.

Цената на по-голямо n. Повече подинтервали означават повече аритметика: повече изчисления на производни, повече стойности на подинтегралната функция и повече редове в таблицата. При n = 5 000 калкулаторът извършва 5 000 изчисления, което е бързо за компютър, но дава таблица, твърде дълга за четене ред по ред, затова калкулаторът я разделя на страници. Практичното правило е да увеличавате n, докато отговорът спре да се променя при нужната ви точност. Ако n = 100 и n = 200 съвпадат до шест знака след десетичната запетая, n = 100 стига, а n = 5 000 добавя само работа.

Избор на n на практика. Използвайте n = 4 или n = 8, докато учите, защото таблицата остава достатъчно кратка за проверка на ръка. Използвайте n = 50 или n = 100 за домашни отговори, които се нуждаят от четири или пет верни знака след десетичната запетая. Използвайте n = 1 000 или повече само когато ви трябва много висока точност или когато подинтегралната функция се променя бързо през интервала. Панелът за сходимост показва n, 2n и 4n заедно, така че виждате как отговорът се установява, без да гадаете.

Правилото на средните точки е един от трите класически метода за числено интегриране и всеки от тях взема проби от подинтегралната функция по различен начин. Знанието как се различават ви помага да изберете правилния инструмент и да разберете защо отговорите им се различават.

Правило на средните точки. Взема проба в центъра на всеки подинтервал и построява правоъгълници. Грешката му е O(1 / n²), със същия ред като трапецовидното правило, но правилото на средните точки обикновено е около два пъти по-точно от трапецовидното правило при същото n, защото пробата в центъра компенсира водещата грешка. То се нуждае само от n изчисления, по едно на подинтервал, и работи за всяко положително n.

Трапецовидно правило. Взема проби в крайните точки и ги съединява с прави линии, като образува трапеци. То споделя реда на грешката O(1 / n²) на правилото на средните точки, но грешката му обикновено има противоположен знак: при изпъкнала подинтегрална функция трапецовидното правило надценява, докато правилото на средните точки подценява, или обратното. Осредняването на двете дава комбинацията трапецовидно правило и средни точки, която е основата на правилото на Симпсън. Опитайте калкулатора по трапецовидното правило, за да сравните двата метода върху една и съща функция.

Правило на Симпсън. Пригажда парабола през двата края и средната точка на всяка двойка подинтервали, което изисква четен брой подинтервали. Грешката му е O(1 / n⁴), така че то се схожда много по-бързо от другите две при гладки функции. Цената е ограничението за четно n и повече изчисления на подинтервал. Опитайте калкулатора по правилото на Симпсън, когато ви трябва висока точност с малко подинтервали.

Числено сравнение. За параболата y = x² върху [0, 2] при n = 4 правилото на средните точки дава 4.6267234873 единици, трапецовидното правило дава 4.6870560064 единици, а правилото на Симпсън дава 4.6502010785 единици при еталон 4.6467837624 единици. Грешката на средните точки е 0.0200602751 единици, грешката на трапецовидното правило е 0.0402722440 единици, а грешката на Симпсън е 0.0034173160 единици. Симпсън печели тук, както обикновено става при гладки функции, но правилото на средните точки е по-просто, няма ограничение за четно n и е естественият избор, когато са налични само проби в средни точки.

Кое правило да използвате? Използвайте правилото на средните точки, когато искате проста и надеждна оценка, когато вземате проби от функция в равномерно разположени вътрешни точки или когато преподавате суми на Риман. Използвайте трапецовидното правило, когато стойностите в крайните точки са естествените данни, например измервания, взети в краищата на всеки интервал. Използвайте правилото на Симпсън, когато функцията е гладка и ви трябва висока точност с малко n. При дължина на дъга правилото на средните точки има практично предимство: то никога не изчислява подинтегралната функция в крайните точки, където функцията може да е неопределена или сингулярна, така че може да работи с криви, върху които другите две правила не могат да започнат.

Всяко приближение по средни точки се различава от истинската дължина на дъга с някаква величина и разбирането на тази грешка е това, което превръща едно число в отговор, на който може да се разчита. Има три различни начина да се говори за грешка и те не бива да се бъркат.

Абсолютна грешка. Абсолютната грешка е големината на разликата между приближението и истинската стойност: |L - L_n|. За параболата при n = 4 абсолютната грешка е |4.6467837624 - 4.6267234873| = 0.0200602751 единици. За синусовата крива при n = 8 тя е |3.8201977890 - 3.8201978627| = 0.0000000736 единици. Абсолютната грешка се измерва в същите единици като самата дължина.

Относителна грешка. Относителната грешка дели абсолютната грешка на големината на истинската стойност и обикновено се дава в проценти: |L - L_n| / |L| × 100. За параболата при n = 4 относителната грешка е 0.4317%. За кубичната функция при n = 4 тя е 0.9585%. За синусовата крива при n = 8 тя е 0.00000193%. Относителната грешка е честният начин да се сравнява точността между задачи с различни размери: грешка от 0.02 единици значи малко при дължина 100 единици и много при дължина 0.1 единици.

Показател за грешка въз основа на уточнение. В истинската работа истинската стойност е неизвестна, така че абсолютната грешка не може да се изчисли пряко. Вместо това сравнете две приближения: разликата |M_2n - M_n| показва колко се е преместил отговорът, когато разделянето е уточнено. За параболата |M₈ - M₄| = |4.6417306581 - 4.6267234873| = 0.0150071707 единици. Тази разлика е практичен предупредителен сигнал: ако е голяма, отговорът още се движи и n трябва да се увеличи. Тя е показател, а не гарантирана граница: истинската грешка може да е по-голяма или по-малка от разликата при уточнението и обикновено е около една трета от нея при правилото на средните точки, защото грешката намалява четири пъти при всяко удвояване.

Теоретична граница на грешката. За достатъчно гладка подинтегрална функция g(x) грешката на съставното правило на средните точки удовлетворява:

Границата се нуждае от максимума на втората производна на подинтегралната функция върху интервала, който често се намира трудно точно. За подинтегралната функция на параболата g(x) = √(1 + 4x²) втората производна е g''(x) = 4 / (1 + 4x²)^3/2, чиято най-голяма стойност върху [0, 2] е 4 при x = 0. Границата при n = 4 следователно е (8 / (24 × 16)) × 4 = 0.0833333333 единици, а действителната грешка 0.0200602751 единици стои безопасно вътре в нея. При n = 8 границата е 0.0208333333 единици. Границата е честна, но неточна: тя надценява истинската грешка четири пъти тук, което е обичайно.

Когато границата не се прилага. Границата на грешката приема, че подинтегралната функция е гладка, с ограничена втора производна. Функция с ъгъл, скок или сингулярност нарушава това предположение и границата или не съществува, или е безполезно голяма. Калкулаторът не измисля граница, когато не може да я удостовери. В този случай той показва разликата при уточнението и обяснява нейните граници, което е честният отговор.

Защо гладкостта има значение. Поведението на грешката 1 / n² зависи от това подинтегралната функция да е достатъчно гладка, за да работи компенсирането в средната точка. Гладка подинтегрална функция като √(1 + 4x²) се схожда чисто. Подинтегрална функция с остър ъгъл се схожда по-бавно, а подинтегрална функция със сингулярност може да се схожда много бавно или изобщо да не се схожда. Ако удвояването на n едва променя отговора, функцията може да е гладка и вече точна. Ако удвояването на n променя отговора много, или функцията е груба, или n още е твърде малко.

Екстраполацията на Ричардсън е прост трик, който превръща две приближения по средни точки в една много по-добра оценка. Тя използва известния модел на грешката при правилото на средните точки, за да компенсира водещия член на грешката.

При гладка подинтегрална функция приближението по средни точки с n подинтервала има грешка, която се държи като C / n², където C е константа, която зависи от функцията, но не от n. Удвояването на подинтервалите до 2n следователно дели грешката на четири. Това дава две уравнения с две неизвестни, истинската стойност L и константата C:

Решаването за L премахва C и оставя екстраполираната оценка на Ричардсън:

Разработен пример. За параболата y = x² върху [0, 2] M₄ = 4.6267234873 единици и M₈ = 4.6417306581 единици. Оценката на Ричардсън е L_R = (4 × 4.6417306581 - 4.6267234873) / 3 = 4.6467330483 единици. Истинската стойност е 4.6467837624 единици, така че екстраполираната грешка е едва 0.0000507141 единици, много по-малка от първоначалната грешка на M₄ от 0.0200602751 единици. Екстраполацията купи точността на много по-голямо n, като използва само изчисленията при n = 4 и n = 8.

Разработен пример със синусовата крива. За y = sin(x) върху [0, π] M₈ = 3.8201978627 единици и M₁₆ = 3.8201977890 единици. Оценката на Ричардсън е L_R = (4 × 3.8201977890 - 3.8201978627) / 3 = 3.8201977645 единици при еталон 3.8201977890 единици, грешка от едва 0.0000000245 единици.

Разработен пример с кубичната функция. За y = x³ върху [0, 1] M₄ = 1.5330289642 единици и M₈ = 1.5441590533 единици. Оценката на Ричардсън е L_R = (4 × 1.5441590533 - 1.5330289642) / 3 = 1.5478690830 единици при еталон 1.5478656547 единици, грешка от 0.0000034283 единици. Първоначалната грешка на M₄ беше 0.0148366905 единици, така че екстраполацията я намали около 4327.7 пъти.

Какво екстраполацията на Ричардсън не е. Екстраполираната стойност е уточнена оценка, а не резултатът по правилото на средните точки и не е гарантиран точен отговор. Тя приема, че грешката наистина се държи като C / n², което важи при гладки подинтегрални функции и не важи при груби. Ако подинтегралната функция има ъгъл или сингулярност, екстраполацията може да е по-лоша от първоначалното приближение, затова калкулаторът винаги показва първо първоначалния резултат по средни точки и означава екстраполираната стойност отделно. Екстраполацията на Ричардсън е също идеята зад интегрирането на Ромберг, което повтаря същия трик на няколко нива, за да достигне много висока точност.

Някои криви не могат да се запишат като y = f(x). Окръжността например дава две стойности на y за повечето стойности на x, така че нито една функция не я описва. Параметричните криви решават това, като описват и двете координати като функции на параметър t: x = x(t) и y = y(t). Докато t върви от t₁ до t₂, точката (x(t), y(t)) очертава кривата.

За параметрична крива малкият елемент на дължина идва от движението и в двете координати: ds = √(dx² + dy²). Записването на dx = x'(t) dt и dy = y'(t) dt дава параметричния интеграл за дължина на дъга:

Величината под квадратния корен е скоростта v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²), скоростта, с която точката се движи по кривата, докато t се променя. Правилото на средните точки се прилага върху параметричния интервал точно както се прилага върху интервал по x: разделете [t₁, t₂] на n равни части с ширина Δt = (t₂ - t₁) / n, вземете проба от скоростта в параметрите на средните точки t_i* = t₁ + (i + ½)Δt и съберете приносите:

Разработен пример: четвърт окръжност. Вземете x(t) = 5 cos(t) и y(t) = 5 sin(t) върху [0, π/2] при n = 4. Производните са x'(t) = -5 sin(t) и y'(t) = 5 cos(t). Скоростта е v(t) = √(25 sin²(t) + 25 cos²(t)) = √(25) = 5, константа, защото sin²(t) + cos²(t) = 1. Параметричната ширина е Δt = (π/2 - 0) / 4 = π/8 = 0.3926990817, а параметрите на средните точки са π/16, 3π/16, 5π/16 и 7π/16. Всяка стойност на скоростта е 5, така че всеки принос е 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085, а общото е 4 × 1.9634954085 = 7.8539816340 единици, което е точно 5π/2. Правилото на средните точки е точно тук за всяко n, защото скоростта е постоянна.

Защо параметричната форма има значение. Много истински криви са естествено параметрични: окръжности, елипси, спирали, криви на Безие в софтуер за дизайн и пътищата на движещи се обекти във физиката и роботиката. Явната форма y = f(x) не може да опише крива, която се връща назад върху себе си, но параметричната форма може. Калкулаторът работи и с двете форми със същия двигател за средни точки, същата таблица и същия анализ на сходимостта. За повече за параметричните криви вижте калкулатора за параметрична дължина на дъга.

Предупреждение за параметъра. Параметърът t не е същият като дължината на дъга, освен ако скоростта е 1. Равни стъпки по t дават равни стъпки по кривата само когато скоростта е постоянна. При обща параметрична крива правилото на средните точки пак работи правилно, защото интегрира скоростта, но правоъгълниците са равни по t, а не равни по разстояние по кривата. Това е добре: формулата го отчита чрез v(t).

Правилото на средните точки е полезно навсякъде, където интеграл трябва да се оценява числено, а дължината на дъга е само една от неговите задачи. Неговата простота, точността му от втори порядък и търпимостта му към проблеми в крайните точки го правят работен кон в много области.

Числен математически анализ и образование. Правилото на средните точки често е първият метод за числено интегриране, който учениците срещат, защото правоъгълниците се чертаят лесно, а идеята за средната точка се разбира лесно. То преподава суми на Риман, сходимост и анализ на грешките в един пакет. Таблицата и диаграмите на този калкулатор са построени точно за тази цел: всяко число в отговора може да се проследи до един правоъгълник.

Инженерство. Инженерите оценяват дължини на извити части, кабели, тръби и завои на пътища от математически модели. Когато кривата е полином или тригонометрична функция, интегралът за дължина на дъга често няма затворена форма, така че численият метод е единствената възможност. Правилото на средните точки дава бърз отговор с ясна оценка на грешката, а увеличаването на n го уточнява толкова, колкото проектът изисква.

Физика. Физиците интегрират по пътища, за да изчисляват работа, изминато разстояние и полеви величини. Частица, която се движи по извита пътека, изминава разстояние, равно на дължината на дъгата на нейната траектория, а правилото на средните точки оценява това разстояние от данните за скоростта. Същият метод оценява интеграли в термодинамиката, оптиката и квантовата механика, навсякъде, където аналитичната примитивна функция е недостижима.

Компютърна графика и CAD. Кривите на екрана се чертаят като много къси прави отсечки, а общата дължина на крива се оценява чрез събирането на тези отсечки, което е форма на числено интегриране. Контурите на шрифтове, пътищата на анимация и траекториите на инструменти в CAD зависят от точното измерване на дължината на криви. Правилото на средните точки дава принципен начин да се измерват тези дължини, вместо да се гадае от картина.

Измерване на криви и роботика. Роботска ръка, която движи захващащото си устройство по кръгова дъга, CNC машина, която реже извит ръб, или геодезист, който измерва извита граница, всички се нуждаят от дължината на крива, известна само чрез нейното уравнение или чрез пробни точки. Правилото на средните точки превръща тези проби в дължина с оценка на грешката, която казва доколко може да се вярва на отговора.

Научно моделиране и изчислителна геометрия. Моделите в биологията, финансите и науката за климата интегрират функции, известни само в отделни точки. Правилото на средните точки е естественият избор, когато данните са проби, взети в центровете на интервали, което е често срещано при показания на сензори и изход от симулации. В изчислителната геометрия то измерва периметри на извити форми и дължини на сплайн криви.

Кога да не го използвате. Правилото на средните точки е лош избор, когато подинтегралната функция има сингулярност вътре в интервала, когато функцията е прекъсната или когато е нужна много висока точност с малко изчисления: правилото на Симпсън или адаптивен метод ще се справят по-добре там. То е също грешният инструмент, когато самият интеграл не е въпросът, например когато затворената форма на дължината на дъга вече е известна. Окръжност с радиус 5 има четвърт дъга от точно 5π/2 = 7.8539816340 единици и никой числен метод не може да подобри това.

Повечето грешни отговори по средни точки идват от кратък списък с грешки. Проверката за всяка от тях отнема секунди и спестява повечето грешки.

1. Използване на крайни точки вместо средни точки. Вземането на проба в левия или десния край на всеки подинтервал изчислява лявата или дясната сума на Риман, а не правилото на средните точки. За параболата y = x² върху [0, 2] при n = 4 лявата сума е 3.75 единици, а дясната сума е 5.75 единици, докато правилото на средните точки дава 4.6267234873 единици. Само стойността в средната точка е отговорът по правилото на средните точки.
2. Забравяне да се диференцира функцията. Подинтегралната функция е g(x) = √(1 + [f'(x)]²), а не √(1 + [f(x)]²). За y = x² използването на f(x) вместо f'(x) дава интеграла от √(1 + x⁴), съвсем друго число. Винаги първо диференцирайте.
3. Използване на грешна подинтегрална функция за дължина на дъга. Подинтегралната функция трябва да е √(1 + [f'(x)]²). Изпускането на 1, забравянето на квадрата или вземането на квадратен корен от грешната величина дават грешни отговори. За права линия с наклон 3 подинтегралната функция е константата √(10) = 3.1622776602, а не 3 и не √(1 + 3).
4. Неправилно разделяне на интервала. Ширината е Δx = (b - a) / n, с пълната дължина на интервала отгоре. Деленето на n + 1 или използването на b / n вместо (b - a) / n измества всяка средна точка и поврежда отговора. За [0, 2] при n = 4 ширината е 0.5, а не 0.4 и не 0.6666666667.
5. Използване на грешен брой средни точки. Има точно n средни точки, по една на подинтервал, а не n + 1. Крайните точки не са средни точки. Броенето на n + 1 пробни точки означава, че един подинтервал е преброен два пъти или че по грешка е взета проба в крайна точка.
6. Бъркане на първоначалната крива с графиката на подинтегралната функция. Правоъгълниците по средни точки стоят под подинтегралната функция g(x), а не под първоначалната крива f(x). Чертането им под f(x) и събирането на лицата им дава лицето под f(x), което не е дължината на дъгата. Двете графики са различни криви и трябва да се показват отделно.
7. Закръгляне на междинни стойности. Закръглянето на средните точки, стойностите на производната или стойностите на подинтегралната функция, преди да ги съберете, внася малки грешки, които се натрупват през много правоъгълници. Пазете пълната точност през цялото изчисление и закръгляйте само крайния показан резултат. Калкулаторът прави това автоматично.
8. Приемане, че всяко приближение е точно. Правилото на средните точки дава приближение, а не истинската стойност, освен в специални случаи като прави линии и параметрични криви с постоянна скорост. За параболата L₄ = 4.6267234873 единици е близо до истинските 4.6467837624 единици, но не е равно на тях. Винаги съобщавайте резултата като приближение и давайте оценката на грешката заедно с него.
9. Бъркане на изчислената грешка с гарантираните граници на грешката. Разликата при уточнение |M_2n - M_n| е показател за това колко още се движи отговорът, а не гаранция, че истинската грешка е по-малка от тази разлика. Теоретичната граница ((b - a)³ / (24n²)) × max|g''(x)| е гаранция, но само когато максимумът на втората производна е известен и подинтегралната функция е гладка.
10. Пренебрегване на ограниченията на дефиниционната област на функцията. Функция като √(x) е неопределена при отрицателни x, а ln(x) е неопределена при x ≤ 0. Ако средна точка попада извън дефиниционната област, стойността на подинтегралната функция не съществува и приближението е безсмислено. Калкулаторът съобщава за грешка в този случай, вместо да измисля стойност.
11. Използване на грешни параметрични производни. При параметрична крива са нужни и двете производни x'(t) и y'(t), а скоростта е √([x'(t)]² + [y'(t)]²). Използването само на едната от тях или диференцирането по грешната променлива дава грешна скорост и грешна дължина. За четвърт окръжността x'(t) = -5 sin(t) и y'(t) = 5 cos(t) и двете са нужни, за да се получи постоянната скорост 5.
12. Отнасяне към негладка или сингулярна функция, сякаш стандартните предположения за грешката се прилагат автоматично. Поведението на грешката 1 / n² и теоретичната граница приемат гладка подинтегрална функция. Функция с ъгъл, скок или сингулярност вътре в интервала може да се схожда много по-бавно, а екстраполацията на Ричардсън може да се провали. Проверете таблицата за сходимост: ако удвояването на n не намалява промяната приблизително четири пъти, стандартните предположения не важат за тази функция.

Последна проверка, която хваща повечето от тях. Проверете резултата спрямо дължината на хордата и еталонната стойност. Приближението трябва да е поне колкото хордата, то трябва да се доближава до еталона с растежа на n, сборът на редовете в таблицата трябва да е равен на основния резултат, а за права линия или крива с постоянна скорост то трябва да е равно на точната стойност. Ако някоя от тези проверки се провали, причината е една от дванадесетте грешки по-горе.

Тези шест примера обхващат основните режими и типове функции на калкулатора. Всеки от тях е изчислен от същия двигател за средни точки, който задвижва инструмента, а всеки резултат е проверен независимо спрямо еталон с висока точност по адаптивния метод на Симпсън.

Пример 1: Парабола, y = x² върху [0, 2], n = 4. Производната е f'(x) = 2x, ширината е Δx = 0.5, а средните точки са 0.25, 0.75, 1.25 и 1.75. Стойностите на подинтегралната функция са 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 и 3.6400549446, сборът им е 9.2534469747, а L₄ = 0.5 × 9.2534469747 = 4.6267234873 единици. Еталонът е 4.6467837624 единици, така че абсолютната грешка е 0.0200602751 единици, а относителната грешка е 0.4317%. Удвояването до n = 8 дава 4.6417306581 единици, а оценката на Ричардсън от двете е 4.6467330483 единици.

Пример 2: Права линия, y = 3x + 1 върху [0, 4], n = 4. Производната е f'(x) = 3, така че подинтегралната функция е константата g(x) = √(10) = 3.1622776602. Ширината е Δx = 1, средните точки са 0.5, 1.5, 2.5 и 3.5, а всяка стойност на подинтегралната функция е 3.1622776602. Сборът е 4 × 3.1622776602 = 12.6491106407, а L₄ = 1 × 12.6491106407 = 12.6491106407 единици, което е точно 4√(10). Правилото на средните точки е точно при всяко n тук, защото подинтегралната функция е постоянна и всеки правоъгълник има правилната височина.

Пример 3: Хоризонтална права, y = 2 върху [1, 5], n = 4. Производната е f'(x) = 0, така че подинтегралната функция е константата g(x) = √(1 + 0) = 1. Ширината е Δx = 1, средните точки са 1.5, 2.5, 3.5 и 4.5, а всеки принос е 1 × 1 = 1. Общото е L₄ = 4.0000000000 единици, което е точно хоризонталното разстояние 5 - 1 = 4. Хоризонталната права няма вертикална промяна, така че дължината на дъгата ѝ е просто дължината на интервала.

Пример 4: Параметрична четвърт окръжност, x(t) = 5 cos(t), y(t) = 5 sin(t) върху [0, π/2], n = 4. Производните са x'(t) = -5 sin(t) и y'(t) = 5 cos(t), а скоростта е константата v(t) = 5. Параметричната ширина е Δt = π/8 = 0.3926990817, параметрите на средните точки са π/16, 3π/16, 5π/16 и 7π/16, а всеки принос е 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085. Общото е L₄ = 7.8539816340 единици, точно 5π/2. Пълната окръжност би била 10π = 31.4159265359 единици, а полуокръжността би била 5π = 15.7079632679 единици.

Пример 5: Кубична функция, y = x³ върху [0, 1], n = 4. Производната е f'(x) = 3x², ширината е Δx = 0.25, а средните точки са 0.125, 0.375, 0.625 и 0.875. Стойностите на подинтегралната функция са 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 и 2.5051217067, сборът им е 6.1321158566, а L₄ = 0.25 × 6.1321158566 = 1.5330289642 единици. Еталонът е 1.5478656547 единици, така че абсолютната грешка е 0.0148366905 единици, а относителната грешка е 0.9585%. Удвояването до n = 8 дава 1.5441590533 единици, а оценката на Ричардсън е 1.5478690830 единици.

Пример 6: Тригонометрична функция, y = sin(x) върху [0, π], n = 8. Производната е f'(x) = cos(x), ширината е Δx = π/8 = 0.3926990817, а осемте средни точки са π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 и 15π/16. Стойностите на подинтегралната функция са 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 и 1.4006926023. Сборът им е 9.7280539749, а L₈ = 0.3926990817 × 9.7280539749 = 3.8201978627 единици. Еталонът е 3.8201977890 единици, така че абсолютната грешка е едва 0.0000000736 единици, относителна грешка от 0.00000193%. Този интеграл няма елементарна примитивна функция, така че правилото на средните точки и еталонът са практичният начин да се получи отговорът.

Натиснете който и да е готов бутон в калкулатора, за да заредите един от тези примери и да видите пълното решение стъпка по стъпка, живите диаграми, таблицата с изчисления и сравнението на сходимостта за това въвеждане.

Дължината на дъга по правилото на средните точки се среща навсякъде, където извито разстояние трябва да се измери от формула, а не от ролетка. Същото изчисление служи на ученици, инженери и дизайнери.

Пътища, писти и кабели. Извит път, завой на писта за бягане или кабел, провесен между две опори, всички имат дължини, които следват крива. Когато кривата е моделирана чрез функция, правилото на средните точки оценява дължината ѝ от модела, а оценката на грешката казва доколко може да се вярва на отговора. Кабел, моделиран чрез y = x² върху [0, 2], се нуждае от 4.6467837624 единици кабел, а не от 4.4721359550 единици на правата линия.

Производство и ламарина. Извит панел, огъната тръба или валцован ръб започват като плосък материал с известна дължина. Правилото на средните точки превръща извития проект в плоската дължина за рязане, а таблицата за сходимост потвърждава дължината с точността, която работилницата изисква. Четвърт кръгъл завой с радиус 5 се нуждае от 7.8539816340 единици материал по кривата.

Архитектура. Арки, куполи и извити стълбища се оразмеряват по техните дъги. Полукръгла арка с радиус 5 се нуждае от 5π = 15.7079632679 единици облицовка по кривата. При некръгли арки, моделирани чрез параболи или синусоиди, правилото на средните точки дава дължината на облицовката направо от проектното уравнение.

Физика и движение. Разстоянието, което частица изминава по извита пътека, е дължината на дъгата на нейната траектория. Махало, снаряд или спътник в елиптична орбита всички се движат по криви, чиито дължини имат значение за енергията, времето и горивото. Правилото на средните точки оценява тези разстояния от уравненията на движението.

Компютърна графика, анимация и игри. Обекти, които се движат по извити пътища, движения на камера и анимирани герои всички следват сплайни и параметрични криви. Разстоянието по пътя определя скоростта, времето и разстоянието между кадрите. Правилото на средните точки измерва тези дължини на пътищата от уравненията на кривите, а параметричният режим работи с криви, които се връщат назад.

Медицина и биология. Кръвоносни съдове, гръбначният стълб и извитите повърхности на органи се измерват от сканирания и модели. Дължината на дъга по централната линия на съд помага при планирането на стентове и катетри, а правилото на средните точки превръща моделираната централна линия в дължина с оценка на грешката.

Свързани калкулатори на този сайт. За точни дължини на дъги на именувани криви опитайте калкулатора за дължина на дъга на парабола, калкулатора за дължина на дъга на елипса, калкулатора за дължина на дъга на полуокръжност, калкулатора за дължина на дъга на окръжност и калкулатора за дължина на дъга на сектор. За стъпка по стъпка точно интегриране опитайте калкулатора за дължина на дъга със стъпки, калкулатора за параметрична дължина на дъга, калкулатора за полярна дължина на дъга и калкулатора за 3D дължина на дъга. За други числени методи опитайте калкулатора по трапецовидното правило и калкулатора по правилото на Симпсън.

Тези таблици събират на едно място поведението на сходимостта на двата основни разработени примера, за да видите колко бързо се установява правилото на средните точки и как екстраполацията на Ричардсън подобрява отговора. Всички стойности са изчислени от двигателя за средни точки, а еталонът е от адаптивно интегриране по Симпсън.

Парабола y = x² върху [0, 2], еталон 4.6467837624 единици.

Синусова крива y = sin(x) върху [0, π], еталон 3.8201977890 единици.

Как се четат таблиците. Грешката за параболата пада около четири пъти при всяко удвояване, от 0.0200602751 при n = 4 до 0.0050531044 при n = 8 и до 0.0012632302 при n = 16, което е очакваното поведение 1 / n². Синусовата крива се схожда още по-бързо, защото подинтегралната ѝ функция е почти плоска близо до средата на интервала: при n = 8 грешката вече е 0.0000000736 единици, а при n = 16 приближението съвпада с еталона до всичките десет показани знака след десетичната запетая. Редовете на Ричардсън показват същата идея в една стъпка: обединяването на две приближения превъзхожда всяко от тях поотделно, с грешка от 0.0000507141 единици за параболата и 0.0000000245 единици за синусовата крива. Използвайте тези таблици като еталон: ако вашето собствено изчисление за един от тези примери не съвпада с таблицата, проверете производната, средните точки и подинтегралната функция, преди да се доверите на отговора.