মধ্যবিন্দু নিয়ম চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর

মধ্যবিন্দু নিয়ম চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর বক্ররেখার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করে চাপ-দৈর্ঘ্য সমাকলকে আয়তক্ষেত্রে ভাগ করে প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের কেন্দ্রে নমুনা নিয়ে। একটি ফাংশন লিখুন, ব্যবধান বেছে নিন, কতগুলো উপ-ব্যবধান ব্যবহার করবেন তা ঠিক করুন, আর ক্যালকুলেটরটি আসন্ন মান, সম্পূর্ণ মধ্যবিন্দু তালিকা, ত্রুটির অনুমান এবং আয়তক্ষেত্রগুলোর সরাসরি চিত্র দেখাবে। সঠিক উত্তর পেতে এই ধাপগুলো অনুসরণ করুন।

1. গণনার ধরন বেছে নিন। y = f(x) আকারে লেখা বক্ররেখার জন্য সুস্পষ্ট ফাংশন ব্যবহার করুন, যেমন y = x² বা y = sin(x)। x = x(t) ও y = y(t) আকারে লেখা বক্ররেখার জন্য প্যারামেট্রিক বক্ররেখা ব্যবহার করুন, যেমন কোনো বৃত্ত বা উপবৃত্ত যা কোনো প্যারামিটার দিয়ে আঁকা হয়।
2. ফাংশনটি লিখুন। ইনপুট বাক্সে ফাংশনটি টাইপ করুন, ঘাতের জন্য ^, বর্গমূলের জন্য বর্গমূল ফাংশন, আর সাধারণ ফাংশনগুলোর জন্য sin(), cos(), exp() ও ln() ব্যবহার করুন। ক্যালকুলেটরটি অন্তরজ নিজে থেকেই বের করে নেবে, অথবা আপনি অন্তরজটি আগে থেকে জানলে নিজেই টাইপ করতে পারেন।
3. ব্যবধান ঠিক করুন। নিম্নসীমা a ও ঊর্ধ্বসীমা b লিখুন। [a, b] ব্যবধানটি হলো বক্ররেখার সেই অংশ যার দৈর্ঘ্য আপনি চান। b-এর মান a-এর চেয়ে ছোট লিখলেও ক্যালকুলেটরটি ধনাত্মক দৈর্ঘ্যই দেবে, কারণ চাপের দৈর্ঘ্য কখনো ঋণাত্মক হয় না।
4. উপ-ব্যবধানের সংখ্যা n বেছে নিন। স্লাইডার ব্যবহার করুন বা মান টাইপ করুন। পূর্বনির্ধারিত মানগুলো হলো 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 50, 100, 500, 1,000 ও 5,000। n বড় হলে আয়তক্ষেত্রগুলো সরু হয় এবং সাধারণত আসন্ন মানটি আরও কাছাকাছি হয়। কাজটি পরিষ্কার দেখতে n = 4 দিয়ে শুরু করুন, তারপর উত্তর স্থির হচ্ছে কি না দেখতে n বাড়ান।
5. প্রদর্শনের নির্ভুলতা বেছে নিন। 2, 4, 6, 8 বা 10 দশমিক স্থান বেছে নিন। ক্যালকুলেটরটি ভেতরে পূর্ণ নির্ভুলতা ধরে রাখে এবং শুধু দেখানো ফলাফলটিকে গোল করে, তাই নির্ভুলতা বদলালে মূল গণনা কখনো বদলায় না।
6. চাপের দৈর্ঘ্য গণনা করুন বোতামে ক্লিক করুন। মূল ফলাফলটি হলো মধ্যবিন্দু আসন্ন মান L_n, যা আসন্ন মান হিসেবে স্পষ্টভাবে চিহ্নিত থাকে। এর নিচে আপনি পাবেন উপ-ব্যবধানের প্রস্থ, প্রথম ও শেষ মধ্যবিন্দু, প্রথম ও শেষ ইন্টিগ্র্যান্ড মান, ইন্টিগ্র্যান্ড মানগুলোর যোগফল, প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী জ্যার দৈর্ঘ্য, উচ্চ-নির্ভুলতার রেফারেন্স দৈর্ঘ্য, এবং আনুমানিক পরম ও আপেক্ষিক ত্রুটি।
7. চিত্রগুলো দেখুন। প্রথম চিত্রে মূল বক্ররেখাটি দেখানো হয়, যেখানে নির্বাচিত চাপটি চিহ্নিত থাকে এবং মধ্যবিন্দু নমুনা বিন্দুগুলো দাগানো থাকে। দ্বিতীয় চিত্রে চাপ-দৈর্ঘ্য ইন্টিগ্র্যান্ডটি দেখানো হয়, যার নিচে মধ্যবিন্দু আয়তক্ষেত্রগুলো আঁকা থাকে। ওই আয়তক্ষেত্রগুলোর মোট ক্ষেত্রফলই হলো আসন্ন মান, তাই দুটি চিত্র গুলিয়ে ফেললে চলবে না: আয়তক্ষেত্রগুলো ইন্টিগ্র্যান্ডের নিচে থাকে, মূল বক্ররেখার নিচে কখনো নয়।
8. গণনার তালিকাটি পড়ুন। প্রতিটি উপ-ব্যবধানের জন্য একটি সারি থাকে, যেখানে এর সীমানা, মধ্যবিন্দু, মধ্যবিন্দুতে অন্তরজ, ইন্টিগ্র্যান্ড মান ও আয়তক্ষেত্রের অবদান দেওয়া থাকে। শেষ সারিতে যোগফল দেখানো হয়, যা মূল ফলাফলের সমান।
9. অভিসৃতি তুলনা করুন এবং রিচার্ডসন বহির্পাতন চেষ্টা করুন। অভিসৃতি প্যানেলে n, 2n ও 4n-এর আসন্ন মানগুলো পাশাপাশি দেখানো হয়, সাথে তাদের পার্থক্যও থাকে। রিচার্ডসন বিকল্পটি দুটি আসন্ন মান মিলিয়ে আরও পরিশোধিত অনুমান দেয়। দুটিই নিচের গাইড অংশগুলোতে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।
10. কপি করুন, এক্সপোর্ট করুন বা রিসেট করুন। উত্তরের জন্য ফলাফল কপি করুন ব্যবহার করুন, আপনার কাজের জন্য তালিকাটি CSV হিসেবে এক্সপোর্ট করুন, অথবা প্যানেলটি পরিষ্কার করতে রিসেট করুন। পূর্বনির্ধারিত বোতামগুলো যাচাই করা উদাহরণগুলো তাৎক্ষণিকভাবে লোড করে: পরাবৃত্ত, সরলরেখা, অনুভূমিক রেখা, পাদ-বৃত্ত, ঘন ফাংশন ও সাইন বক্ররেখা।

একটি উদাহরণ চেষ্টা করুন। [0, 2]-এ y = x², n = 4 হলে L₄ = 4.6267234873 একক হয়, যেখানে রেফারেন্স 4.6467837624 একক। [0, 4]-এ y = 3x + 1, n = 4 হলে ঠিক 12.6491106407 একক হয়। [1, 5]-এ y = 2, n = 4 হলে ঠিক 4.0000000000 একক হয়। 5 ব্যাসার্ধের প্যারামেট্রিক পাদ-বৃত্তের দৈর্ঘ্য 7.8539816340 একক হয়। [0, 1]-এ y = x³, n = 4 হলে 1.5330289642 একক হয়, আর [0, π]-এ y = sin(x), n = 8 হলে 3.8201978627 একক হয়।

গুরুত্বপূর্ণ পরামর্শ। সবসময় প্রথমে ফাংশনটির অন্তরজ বের করুন: ইন্টিগ্র্যান্ডে f'(x) ব্যবহৃত হয়, f(x) নয়। প্রান্তবিন্দুতে নয়, মধ্যবিন্দুতে নমুনা নিন, নইলে আপনি অন্য কোনো নিয়মের গণনা করছেন। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য কোণের একক রেডিয়ানে রাখুন। গণনার মাঝখানে মধ্যবিন্দু বা ইন্টিগ্র্যান্ড মানগুলো গোল করবেন না, কারণ ছোট ছোট গোলকরণ অনেক আয়তক্ষেত্র জুড়ে জমা হয়। কোনো মধ্যবিন্দুতে ফাংশনটি অসংজ্ঞায়িত হলে ক্যালকুলেটরটি নমুনাটি চুপচাপ বাদ না দিয়ে ত্রুটি জানাবে।

সাংখ্যিক সমাকলন হলো এমন একটি নির্দিষ্ট সমাকলের অনুমান করার কৌশল, যখন সঠিক প্রতিঅন্তরজ খুঁজে পাওয়া কঠিন হয়, বা যখন শুধু নমুনা মানগুলোই পাওয়া যায়। মধ্যবিন্দু নিয়ম হলো সবচেয়ে সহজ ও নির্ভরযোগ্য সাংখ্যিক সমাকলন পদ্ধতিগুলোর একটি। এটি একটি বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল অনুমান করে আয়তক্ষেত্র দিয়ে সেটি ঢেকে তাদের ক্ষেত্রফল যোগ করে।

একটি রিমান সমষ্টি [a, b] ব্যবধানকে nটি সমান উপ-ব্যবধানে ভাগ করে, প্রতিটি উপ-ব্যবধানের প্রস্থ Δx = (b - a) / n, এবং প্রতিটি উপ-ব্যবধানে একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি করে। প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা হলো ওই উপ-ব্যবধানের ভেতরে কোনো একটি নমুনা বিন্দুতে ফাংশনের মান। বাম-প্রান্তবিন্দু সমষ্টি বাম কিনারায় নমুনা নেয়, ডান-প্রান্তবিন্দু সমষ্টি ডান কিনারায় নমুনা নেয়, আর মধ্যবিন্দু নিয়ম প্রতিটি উপ-ব্যবধানের কেন্দ্রে নমুনা নেয়।

কেন্দ্রে নমুনা নেওয়াই মূল ধারণা। একটি ছোট উপ-ব্যবধানে, মধ্যবিন্দুর এক পাশে বক্ররেখা যতটা ওঠে, অন্য পাশে প্রায় ততটাই নামে, তাই এক অর্ধেকের অতিরিক্ত অনুমান অন্য অর্ধেকের কম অনুমান দিয়ে প্রায় পূরণ হয়ে যায়। এই পূরণ হওয়ার কারণেই মধ্যবিন্দু নিয়ম একই সংখ্যক আয়তক্ষেত্রে বাম বা ডান প্রান্তবিন্দু নিয়মের চেয়ে বেশি নির্ভুল, এবং এর ত্রুটি উপ-ব্যবধানের প্রস্থের বর্গের সাথে কমে।

[a, b]-এ কোনো ফাংশন g(x)-এর জন্য, যৌগিক মধ্যবিন্দু নিয়মটি হলো:

এখানে x_i* হলো iতম উপ-ব্যবধানের মধ্যবিন্দু, এবং যোগফলটি nটি উপ-ব্যবধানের সবগুলো জুড়ে নেওয়া হয়। প্রতিটি পদ Δx × g(x_i*) হলো একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, এবং সব আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফলই হলো সমাকলের আসন্ন মান।

মধ্যবিন্দু নিয়ম ক্যালকুলাসের বাড়ির কাজের বাইরেও অনেক জায়গায় ব্যবহৃত হয়। প্রকৌশলীরা পীড়ন বিশ্লেষণ ও সংকেত প্রক্রিয়াকরণে সমাকল অনুমান করতে এটি ব্যবহার করেন, পদার্থবিদরা সাংখ্যিক অনুকরণে এটি ব্যবহার করেন, আর কম্পিউটার গ্রাফিক্সে এটি দিয়ে বক্ররেখার দৈর্ঘ্য ও তলের ক্ষেত্রফল মাপা হয়। সহজতা ও দ্বিতীয়-ক্রমের নির্ভুলতার এই মিশ্রণের কারণে যখনই কোনো সমাকলের পরিপাটি বদ্ধ রূপ থাকে না, তখন এটিই প্রথম পছন্দ হয়।

মধ্যবিন্দু কেন প্রান্তবিন্দুর চেয়ে ভালো। [0, 1]-এ g(x) = x নিন, n = 1 সহ। বাম সমষ্টি দেয় 0, ডান সমষ্টি দেয় 1, আর মধ্যবিন্দু সমষ্টি দেয় 0.5, যা ঠিক উত্তর। মধ্যবিন্দু উপ-ব্যবধান জুড়ে ফাংশনের গড় আচরণ দেখে, আর প্রান্তবিন্দু দেখে শুধু এক পাশ। এই সুবিধা যেকোনো মসৃণ ফাংশনের ক্ষেত্রেই থাকে, আর এ কারণেই বেশিরভাগ সাংখ্যিক কাজে মধ্যবিন্দু নিয়মই ডিফল্ট রিমান সমষ্টি।

চাপের দৈর্ঘ্য হলো একটি বক্ররেখা বরাবর মাপা দূরত্ব, এর প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সরলরেখার দূরত্ব নয়। পাহাড়ের মধ্য দিয়ে আঁকাবাঁকা রাস্তা তার দুই প্রান্তের মধ্যে মানচিত্রে আঁকা সরলরেখার চেয়ে লম্বা হয়। একটি বাঁকানো তার যে ফাঁক জুড়ে থাকে তার চেয়ে লম্বা হয়। চাপের দৈর্ঘ্য সেই আঁকাবাঁকা পথটিকেই মাপে।

এই দৈর্ঘ্য বের করতে, কল্পনা করুন বক্ররেখাটিকে অনেক ছোট ছোট টুকরোয় কাটা হয়েছে। প্রতিটি ছোট টুকরো এতটাই ছোট যে সেটি প্রায় সরল, তাই এর দৈর্ঘ্য এর প্রান্তদ্বয়কে যুক্ত করা সরলরেখার কাছাকাছি হয়। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, একটি ছোট টুকরো যা অনুভূমিকভাবে Δx ও উল্লম্বভাবে Δy সরে, তার দৈর্ঘ্য প্রায় √(Δx² + Δy²)। সব ছোট টুকরো যোগ করলে মোট দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়, আর টুকরোগুলো শূন্যের দিকে ছোট হতে দিলে যোগফলটি একটি সমাকলে পরিণত হয়।

y = f(x) বক্ররেখার জন্য, একটি ছোট অনুভূমিক ধাপ dx উল্লম্ব পরিবর্তন dy = f'(x) dx তৈরি করে, তাই ছোট দৈর্ঘ্য উপাদানটি হলো:

a থেকে b পর্যন্ত সব দৈর্ঘ্য উপাদান যোগ করলে চাপ-দৈর্ঘ্য সমাকলটি পাওয়া যায়:

এই সূত্রটি ব্যাখ্যা করে কেন অন্তরজ জড়িত। একটি খাড়া বক্ররেখা দ্রুত উচ্চতা বদলায়, তাই f'(x) বড় হয়, ইন্টিগ্র্যান্ড √(1 + [f'(x)]²) বড় হয়, এবং অনুভূমিক দূরত্বের প্রতিটি একক বক্ররেখার দৈর্ঘ্যে এক এককের বেশি অবদান রাখে। একটি সমতল বক্ররেখায় f'(x) শূন্যের কাছাকাছি থাকে, ইন্টিগ্র্যান্ড 1-এর কাছাকাছি থাকে, আর চাপের দৈর্ঘ্য অনুভূমিক দূরত্ব b - a-এর কাছাকাছি হয়।

চাপের দৈর্ঘ্য সবসময় জ্যার সমান বা তার চেয়ে বড়। প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সরলরেখা তাদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট পথ, তাই বক্ররেখা কখনো তার চেয়ে ছোট হতে পারে না। [0, 2]-এ পরাবৃত্ত y = x²-এর জন্য, (0, 0) থেকে (2, 4) পর্যন্ত জ্যা হলো √(20) = 4.4721359550 একক, আর আসল চাপের দৈর্ঘ্য 4.6467837624 একক, অর্থাৎ 0.1746478074 একক বেশি। [0, π]-এ সাইন বক্ররেখা y = sin(x)-এর জন্য, জ্যা হলো π = 3.1415926536 একক আর চাপ 3.8201977890 একক, অর্থাৎ 0.6786051354 একক বেশি। চাপ জ্যার চেয়ে বড় কি না যাচাই করা যেকোনো চাপ-দৈর্ঘ্য উত্তরের দ্রুত পরীক্ষা।

বেশিরভাগ চাপ-দৈর্ঘ্য সমাকলের কোনো প্রাথমিক প্রতিঅন্তরজ নেই। পরাবৃত্তের সমাকল ∫ √(1 + 4x²) dx প্রতিস্থাপন দিয়ে করা যায়, কিন্তু সাইনের সমাকল ∫ √(1 + cos²x) dx প্রাথমিক ফাংশন দিয়ে মোটেই প্রকাশ করা যায় না। ঠিক এখানেই মধ্যবিন্দু নিয়মের কাজ: এটি প্রতিঅন্তরজের প্রয়োজন ছাড়াই সমাকলটির সাংখ্যিক অনুমান দেয়।

মধ্যবিন্দু নিয়ম চাপ-দৈর্ঘ্য গণনা শুরু হয় সঠিক চাপ-দৈর্ঘ্য সমাকল থেকে, আর সমাকলটিকে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফল দিয়ে বদলে দেয়। চাপ-দৈর্ঘ্য ইন্টিগ্র্যান্ডটি সংজ্ঞায়িত করুন:

তাহলে সঠিক চাপের দৈর্ঘ্য হলো L = ∫_a^b g(x) dx, আর মধ্যবিন্দু নিয়ম সেই সমাকলটির অনুমান দেয়। [a, b]-কে nটি সমান উপ-ব্যবধানে ভাগ করুন। উপ-ব্যবধানের প্রস্থ হলো:

i-তম উপ-ব্যবধানের মধ্যবিন্দু, i-কে 0 থেকে গুনে, হলো:

প্রতিটি মধ্যবিন্দুতে ইন্টিগ্র্যান্ডের মান বের করুন, প্রতিটি মানকে Δx দিয়ে গুণ করুন, আর ফলাফলগুলো যোগ করুন:

প্রতিটি প্রতীকের সুনির্দিষ্ট অর্থ আছে:

একটি বাস্তব যাচাই। [0, 2]-এ y = x², n = 4 হলে, প্রস্থ Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5, মধ্যবিন্দুগুলো 0.25, 0.75, 1.25 ও 1.75, আর ইন্টিগ্র্যান্ড মানগুলো 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 ও 3.6400549446। তাদের যোগফল 9.2534469747, আর 0.5 দিয়ে গুণ করলে L₄ = 4.6267234873 একক হয়। এই ধারার প্রতিটি সংখ্যা ক্যালকুলেটরের ধাপে ধাপে প্যানেলে ও গণনার তালিকায় দেখানো হয়।

প্যারামেট্রিক বক্ররেখা x = x(t), y = y(t)-এর জন্য, একই ধারণা প্যারামিটার ব্যবধান [t₁, t₂]-এ প্রযোজ্য হয়, যেখানে দ্রুতি v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) ইন্টিগ্র্যান্ডের ভূমিকা নেয়। প্যারামেট্রিক সূত্রটি নিচে আলাদা অংশে দেওয়া আছে।

মধ্যবিন্দু নিয়ম গণনা দশটি ধাপে হয়, আর ক্যালকুলেটরটি সবগুলো ধাপ নিজে থেকেই করে। একবার হাতে-কলমে ধাপগুলো করে দেখলে টুলটি বোঝা ও ব্যবহার করা অনেক সহজ হয়। নিচের কাজ করা উদাহরণে [0, 2]-এ y = x², n = 4 ব্যবহার করা হয়েছে, ক্যালকুলেটরের প্রথম পূর্বনির্ধারিত উদাহরণটিও এটাই।

1. ফাংশনটি চিহ্নিত করুন। f(x) = x²।
2. এর প্রথম অন্তরজ বের করুন। f'(x) = 2x।
3. সমাকলনের ব্যবধান চিহ্নিত করুন। a = 0, b = 2।
4. উপ-ব্যবধানের সংখ্যা বেছে নিন। n = 4।
5. উপ-ব্যবধানের প্রস্থ গণনা করুন। Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5।
6. প্রতিটি উপ-ব্যবধানের মধ্যবিন্দু নির্ণয় করুন। x₀* = 0.25, x₁* = 0.75, x₂* = 1.25, x₃* = 1.75। প্রতিটি মধ্যবিন্দু তার উপ-ব্যবধানের সীমানাদ্বয়ের ঠিক মাঝখানে থাকে: 0.25 হলো 0 ও 0.5-এর মাঝখানে, 0.75 হলো 0.5 ও 1-এর মাঝখানে, ইত্যাদি।
7. প্রতিটি মধ্যবিন্দুতে চাপ-দৈর্ঘ্য ইন্টিগ্র্যান্ডের মান বের করুন। g(x) = √(1 + 4x²), তাই g(0.25) = 1.1180339887, g(0.75) = 1.8027756377, g(1.25) = 2.6925824036, এবং g(1.75) = 3.6400549446।
8. প্রতিটি মানকে উপ-ব্যবধানের প্রস্থ দিয়ে গুণ করুন। চারটি আয়তক্ষেত্রের অবদান হলো 0.5 × 1.1180339887 = 0.5590169944, 0.5 × 1.8027756377 = 0.9013878189, 0.5 × 2.6925824036 = 1.3462912018, এবং 0.5 × 3.6400549446 = 1.8200274723।
9. সব অবদান যোগ করুন। 0.5590169944 + 0.9013878189 + 1.3462912018 + 1.8200274723 = 4.6267234873।
10. আসন্ন চাপের দৈর্ঘ্যটি ব্যাখ্যা করুন। L₄ = 4.6267234873 একক। উচ্চ-নির্ভুলতার রেফারেন্স 4.6467837624 একক, তাই এই আসন্ন মানটি 0.0200602751 একক কম, যা 0.4317% আপেক্ষিক ত্রুটি।

একই দশটি ধাপ যেকোনো ফাংশনের ক্ষেত্রে কাজ করে। [0, 1]-এ y = x³, n = 4 হলে, অন্তরজ f'(x) = 3x², প্রস্থ Δx = 0.25, মধ্যবিন্দুগুলো 0.125, 0.375, 0.625 ও 0.875, ইন্টিগ্র্যান্ড মানগুলো 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 ও 2.5051217067, তাদের যোগফল 6.1321158566, আর 0.25 দিয়ে গুণ করলে L₄ = 1.5330289642 একক হয়, যেখানে রেফারেন্স 1.5478656547 একক।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দিয়ে দ্বিতীয় কাজ করা উদাহরণ। [0, π]-এ y = sin(x), n = 8 হলে, অন্তরজ f'(x) = cos(x), প্রস্থ Δx = π / 8 = 0.3926990817, আর আটটি মধ্যবিন্দু হলো π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 ও 15π/16। ইন্টিগ্র্যান্ড মানগুলো ক্রমানুসারে 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 ও 1.4006926023। তাদের যোগফল 9.7280539749, আর 0.3926990817 দিয়ে গুণ করলে L₈ = 3.8201978627 একক হয়, যেখানে রেফারেন্স 3.8201977890 একক, পরম ত্রুটি মাত্র 0.0000000736 একক।

প্রতিটি মধ্যবিন্দু আয়তক্ষেত্র সমাকলের একটি টুকরোর ছোট কিন্তু সৎ ছবি। এর তিনটি অংশ আছে, আর প্রতিটি অংশের একটি পরিষ্কার অর্থ আছে।

[0, 2]-এ পরাবৃত্ত y = x², n = 4 হলে, চারটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থই 0.5। তাদের উচ্চতা 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 ও 3.6400549446, আর ক্ষেত্রফল 0.5590169944, 0.9013878189, 1.3462912018 ও 1.8200274723। মোট ক্ষেত্রফল 4.6267234873 একক, যা ঠিক মধ্যবিন্দু আসন্ন মান L₄।

ক্ষেত্রফলগুলোর যোগফল কেন সমাকলের অনুমান দেয়। সমাকল ∫_a^b g(x) dx হলো ইন্টিগ্র্যান্ড বক্ররেখার নিচের সঠিক ক্ষেত্রফল। প্রতিটি আয়তক্ষেত্র একটি উপ-ব্যবধানের উপরে বাঁকানো ফিতাকে একই প্রস্থের সমতল-শীর্ষ ফিতা দিয়ে বদলে দেয়, মধ্যবিন্দুর উচ্চতাকে প্রতিনিধি উচ্চতা হিসেবে ব্যবহার করে। ইন্টিগ্র্যান্ড যেখানে উপরের দিকে বাঁকে, সেখানে সমতল শীর্ষ এক পাশে একটু ক্ষেত্রফল কেটে দেয় আর অন্য পাশে একটু যোগ করে। নমুনাটি কেন্দ্রে নেওয়ার কারণে ওই দুটি ত্রুটি প্রায় পূরণ হয়ে যায়, আর আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আসল ফিতার ক্ষেত্রফলের কাছাকাছি হয়। আয়তক্ষেত্রগুলো যোগ করলে পুরো ক্ষেত্রফলের অনুমান পাওয়া যায়, আর তাই চাপের দৈর্ঘ্যেরও অনুমান পাওয়া যায়।

সবচেয়ে সাধারণ চিত্রের ভুল। আয়তক্ষেত্রগুলো ইন্টিগ্র্যান্ড বক্ররেখা g(x) = √(1 + [f'(x)]²)-এর নিচে আঁকতে হবে, মূল বক্ররেখা f(x)-এর নিচে নয়। মূল বক্ররেখা ও ইন্টিগ্র্যান্ড আলাদা দুটি লেখচিত্র, যাদের উচ্চতা আলাদা: [0, 2]-এ y = x²-এর জন্য, মূল বক্ররেখা 0 থেকে 4 পর্যন্ত যায়, আর ইন্টিগ্র্যান্ড 1 থেকে √(17) = 4.1231056256 পর্যন্ত যায়। মূল বক্ররেখার নিচে আঁকা আয়তক্ষেত্রগুলো যোগ করলে f(x)-এর নিচের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে, যার সাথে চাপের দৈর্ঘ্যের কোনো সম্পর্ক নেই। ক্যালকুলেটরটি দুটি লেখচিত্র আলাদা রাখে, আর উপরের গাইড চিত্রে আয়তক্ষেত্রগুলো শুধু ইন্টিগ্র্যান্ডের নিচেই দেখানো হয়েছে।

একটি আয়তক্ষেত্র পড়া। ক্যালকুলেটরে কোনো আয়তক্ষেত্রের উপর মাউস রাখলে বা সেটি নির্বাচন করলে এর উপ-ব্যবধানের নম্বর, বাম ও ডান সীমানা, মধ্যবিন্দু, মধ্যবিন্দুতে অন্তরজ, ইন্টিগ্র্যান্ড মান ও আয়তক্ষেত্রের অবদান দেখা যায়। এই বিস্তারিত তথ্যই তালিকাটিকে বাড়ির কাজের জন্য দরকারি করে তোলে: চূড়ান্ত উত্তরের প্রতিটি সংখ্যার পেছনে কোনো একটি আয়তক্ষেত্র আছে।

উপ-ব্যবধানের সংখ্যা n ক্যালকুলেটরের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নিয়ন্ত্রণ, কারণ এটিই ঠিক করে আয়তক্ষেত্রগুলো কতটা সূক্ষ্ম হবে। n ছোট হলে কয়েকটি চওড়া আয়তক্ষেত্র হয়। n বড় হলে অনেক সরু আয়তক্ষেত্র হয়, যা ইন্টিগ্র্যান্ড বক্ররেখাকে কাছ থেকে অনুসরণ করে।

n ছোট হলে কী হয়। n = 1 হলে পুরো ব্যবধান একটি আয়তক্ষেত্র হয়, আর উত্তর হয় Δx × g(মধ্যবিন্দু)। [0, 2]-এ পরাবৃত্ত y = x²-এর জন্য, n = 1 দিলে 2 × √(5) = 4.4721359550 একক হয়, যা আসল 4.6467837624 একক থেকে 0.1746478074 একক কম। একটিমাত্র আয়তক্ষেত্র ইন্টিগ্র্যান্ডকে 1 থেকে 4.1231056256 পর্যন্ত উঠতে অনুসরণ করতে পারে না, তাই ত্রুটি বড় হয়। n = 2 হলে উত্তর উন্নত হয়ে 4.5764912225 একক হয়। n = 4 হলে 4.6267234873 একক হয়। n = 8 হলে 4.6417306581 একক হয়। n = 16 হলে 4.6455205322 একক হয়, আর n = 32 হলে 4.6464679593 একক হয়।

ত্রুটি কীভাবে কমে। মসৃণ ইন্টিগ্র্যান্ডের জন্য, মধ্যবিন্দু নিয়মের ত্রুটি 1 / n²-এর সমানুপাতিক। n দ্বিগুণ করলে ত্রুটি প্রায় এক-চতুর্থাংশে নেমে আসে। পরাবৃত্তের সংখ্যাগুলো এটি পরিষ্কার দেখায়: ত্রুটি n = 4-এ 0.0200602751 একক থেকে n = 8-এ 0.0050531044 একক, তারপর n = 16-এ 0.0012632302 একক, তারপর n = 32-এ 0.0003158031 একক হয়। প্রতিবার দ্বিগুণ করলে ত্রুটি প্রায় চার ভাগে ভাগ হয়। এই 1 / n² আচরণকে দ্বিতীয়-ক্রমের অভিসৃতি বলা হয়, আর এ কারণেই মধ্যবিন্দু নিয়ম এত কার্যকর: n সামান্য বাড়ালেই নির্ভুলতা অনেক বেড়ে যায়।

উন্নতি কেন সবসময় একটানা নয়। n বাড়লে ত্রুটি সাধারণত কমে, কিন্তু প্রতিটি ধাপে প্রতিটি ফাংশনের জন্য কমতেই হবে এমন নয়। সাইন বক্ররেখায় এর হালকা উদাহরণ দেখা যায়: n = 2 দিলে 3.8476494905 একক হয়, যা রেফারেন্স 3.8201977890 এককের চেয়ে বেশি, আর n = 4 দিলে 3.8204517876 একক হয়, যা অনেক কাছাকাছি। আসন্ন মানটি আসল মানের উপর থেকে তার ঠিক উপরে একটি মানে এসেছে, আর ত্রুটি তবুও সামগ্রিকভাবে কমেছে। তীক্ষ্ণ বাঁক, দোলন বা প্রায়-অসীমতা আছে এমন ফাংশনের ক্ষেত্রে, n বদলালে ত্রুটি দুলতে পারে, যদিও দীর্ঘমেয়াদি প্রবণতা নিচের দিকেই থাকে। কখনো ভাববেন না যে এক ধাপে বড় n সবসময় ভালো উত্তর দেয়; বরং অভিসৃতি তালিকাটি দেখুন।

বড় n-এর খরচ। বেশি উপ-ব্যবধান মানে বেশি গাণিতিক কাজ: বেশি অন্তরজের মান, বেশি ইন্টিগ্র্যান্ড মান ও বেশি তালিকার সারি। n = 5,000 হলে ক্যালকুলেটরটি 5,000টি মূল্যায়ন করে, যা কম্পিউটারের জন্য দ্রুত, কিন্তু তালিকাটি সারি ধরে পড়ার জন্য অনেক লম্বা হয়ে যায়, তাই ক্যালকুলেটরটি সেটিকে পাতায় ভাগ করে দেয়। ব্যবহারিক নিয়ম হলো n ততক্ষণ বাড়ান যতক্ষণ উত্তর আপনার প্রয়োজনীয় নির্ভুলতায় বদলানো বন্ধ না করে। n = 100 ও n = 200 ছয় দশমিক স্থান পর্যন্ত একমত হলে n = 100 যথেষ্ট, আর n = 5,000 শুধু বাড়তি কাজ ছাড়া কিছুই যোগ করে না।

বাস্তবে n বেছে নেওয়া। শেখার সময় n = 4 বা n = 8 ব্যবহার করুন, কারণ তালিকাটি হাতে যাচাই করার মতো ছোট থাকে। বাড়ির কাজের উত্তরে চার বা পাঁচটি সঠিক দশমিক স্থান চাইলে n = 50 বা n = 100 ব্যবহার করুন। খুব বেশি নির্ভুলতা চাইলে, বা ইন্টিগ্র্যান্ড ব্যবধান জুড়ে দ্রুত বদলালে, তবেই n = 1,000 বা তার বেশি ব্যবহার করুন। অভিসৃতি প্যানেলে n, 2n ও 4n একসাথে দেখানো হয়, তাই আন্দাজ না করেই উত্তরটি স্থির হচ্ছে দেখতে পাবেন।

মধ্যবিন্দু নিয়ম হলো তিনটি ধ্রুপদী সাংখ্যিক সমাকলন পদ্ধতির একটি, আর প্রতিটি ইন্টিগ্র্যান্ডের নমুনা নেয় আলাদাভাবে। তাদের পার্থক্য জানলে সঠিক টুলটি বেছে নেওয়া যায় এবং তাদের উত্তরগুলো কেন আলাদা হয় তা বোঝা যায়।

মধ্যবিন্দু নিয়ম। প্রতিটি উপ-ব্যবধানের কেন্দ্রে নমুনা নেয় ও আয়তক্ষেত্র তৈরি করে। এর ত্রুটি O(1 / n²), যা ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়মের সমান ক্রম, কিন্তু একই n-এ মধ্যবিন্দু নিয়ম সাধারণত ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়মের চেয়ে প্রায় দ্বিগুণ নির্ভুল হয়, কারণ কেন্দ্রের নমুনা প্রধান ত্রুটিকে বাতিল করে দেয়। এতে শুধু nটি মূল্যায়ন লাগে, প্রতি উপ-ব্যবধানে একটি, আর যেকোনো ধনাত্মক n-এর জন্য এটি কাজ করে।

ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম। প্রান্তবিন্দুগুলোতে নমুনা নেয় ও সরলরেখা দিয়ে যুক্ত করে ট্র্যাপিজিয়াম তৈরি করে। এর ত্রুটির ক্রম মধ্যবিন্দু নিয়মের মতোই O(1 / n²), কিন্তু এর ত্রুটির চিহ্ন সাধারণত বিপরীত হয়: উত্তল ইন্টিগ্র্যান্ডের ক্ষেত্রে ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম বেশি অনুমান করে আর মধ্যবিন্দু নিয়ম কম অনুমান করে, বা উল্টোটা হয়। দুটিকে গড় করলে ট্র্যাপিজয়েডাল-মধ্যবিন্দু সমন্বয় পাওয়া যায়, যা সিম্পসনের নিয়মের ভিত্তি। একই ফাংশনে দুটি পদ্ধতি তুলনা করতে ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম ক্যালকুলেটর চেষ্টা করুন।

সিম্পসনের নিয়ম। প্রতিটি জোড়া উপ-ব্যবধানের দুই প্রান্তবিন্দু ও মধ্যবিন্দু দিয়ে একটি পরাবৃত্ত বসায়, যার জন্য জোড় সংখ্যক উপ-ব্যবধান প্রয়োজন। এর ত্রুটি O(1 / n⁴), তাই মসৃণ ফাংশনের ক্ষেত্রে এটি অন্য দুটির চেয়ে অনেক দ্রুত অভিসৃত হয়। এর মূল্য হলো জোড়-n শর্ত ও প্রতি উপ-ব্যবধানে বেশি মূল্যায়ন। কম উপ-ব্যবধানে বেশি নির্ভুলতা চাইলে সিম্পসনের নিয়ম ক্যালকুলেটর চেষ্টা করুন।

সংখ্যায় তুলনা। [0, 2]-এ পরাবৃত্ত y = x², n = 4 হলে, মধ্যবিন্দু নিয়ম দেয় 4.6267234873 একক, ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম দেয় 4.6870560064 একক, আর সিম্পসনের নিয়ম দেয় 4.6502010785 একক, যেখানে রেফারেন্স 4.6467837624 একক। মধ্যবিন্দু ত্রুটি 0.0200602751 একক, ট্র্যাপিজয়েডাল ত্রুটি 0.0402722440 একক, আর সিম্পসন ত্রুটি 0.0034173160 একক। মসৃণ ফাংশনের ক্ষেত্রে সিম্পসন এখানে জেতে, যেমনটি সাধারণত হয়, কিন্তু মধ্যবিন্দু নিয়ম সহজতর, এতে জোড়-n শর্ত নেই, আর শুধু মধ্যবিন্দু নমুনা পাওয়া গেলে এটিই স্বাভাবিক পছন্দ।

কোন নিয়মটি ব্যবহার করবেন? সহজ ও নির্ভরযোগ্য অনুমান চাইলে, সমান ব্যবধানে ভেতরের বিন্দুগুলোতে ফাংশনের নমুনা নিলে, বা রিমান সমষ্টি শেখালে মধ্যবিন্দু নিয়ম ব্যবহার করুন। প্রতিটি ব্যবধানের প্রান্তে নেওয়া পরিমাপের মতো প্রান্তবিন্দুর মানগুলোই স্বাভাবিক তথ্য হলে ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম ব্যবহার করুন। ফাংশনটি মসৃণ হলে ও ছোট n-এ বেশি নির্ভুলতা চাইলে সিম্পসনের নিয়ম ব্যবহার করুন। চাপের দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে মধ্যবিন্দু নিয়মের একটি ব্যবহারিক সুবিধা আছে: এটি ইন্টিগ্র্যান্ডের মান কখনো প্রান্তবিন্দুতে বের করে না, যেখানে কোনো ফাংশন অসংজ্ঞায়িত বা অসীম হতে পারে, তাই অন্য দুটি নিয়ম যেসব বক্ররেখায় শুরুই করতে পারে না, সেগুলোও এটি সামলাতে পারে।

প্রতিটি মধ্যবিন্দু আসন্ন মান আসল চাপের দৈর্ঘ্য থেকে কিছুটা আলাদা হয়, আর সেই ত্রুটি বোঝাই একটি সংখ্যাকে বিশ্বাসযোগ্য উত্তরে পরিণত করে। ত্রুটি নিয়ে কথা বলার তিনটি আলাদা উপায় আছে, আর সেগুলো গুলিয়ে ফেললে চলবে না।

পরম ত্রুটি। পরম ত্রুটি হলো আসন্ন মান ও আসল মানের মধ্যবর্তী ব্যবধানের আকার: |L - L_n|। n = 4-সহ পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, পরম ত্রুটি |4.6467837624 - 4.6267234873| = 0.0200602751 একক। n = 8-সহ সাইন বক্ররেখার ক্ষেত্রে, এটি |3.8201977890 - 3.8201978627| = 0.0000000736 একক। পরম ত্রুটি দৈর্ঘ্যের একই এককে মাপা হয়।

আপেক্ষিক ত্রুটি। আপেক্ষিক ত্রুটি পরম ত্রুটিকে আসল মানের আকার দিয়ে ভাগ করে, আর সাধারণত শতাংশে দেওয়া হয়: |L - L_n| / |L| × 100। n = 4-সহ পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, আপেক্ষিক ত্রুটি 0.4317%। n = 4-সহ ঘন ফাংশনের ক্ষেত্রে, এটি 0.9585%। n = 8-সহ সাইন বক্ররেখার ক্ষেত্রে, এটি 0.00000193%। বিভিন্ন আকারের সমস্যায় নির্ভুলতা তুলনা করার ন্যায্য উপায় হলো আপেক্ষিক ত্রুটি: 100 একক দৈর্ঘ্যে 0.02 একক ত্রুটি সামান্য, কিন্তু 0.1 একক দৈর্ঘ্যে তা অনেক বড়।

পরিমার্জন-ভিত্তিক ত্রুটি নির্দেশক। বাস্তব কাজে আসল মান অজানা থাকে, তাই পরম ত্রুটি সরাসরি গণনা করা যায় না। তার বদলে দুটি আসন্ন মান তুলনা করুন: পার্থক্য |M_2n - M_n| দেখায় বিভাজন পরিমার্জন করলে উত্তর কতটা সরে। পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, |M₈ - M₄| = |4.6417306581 - 4.6267234873| = 0.0150071707 একক। এই পার্থক্য একটি ব্যবহারিক সতর্ক সংকেত: এটি বড় হলে উত্তর এখনো সরছে, আর n বাড়ানো উচিত। এটি একটি নির্দেশক, নিশ্চিত সীমা নয়: আসল ত্রুটি পরিমার্জন পার্থক্যের চেয়ে বড় বা ছোট হতে পারে, আর মধ্যবিন্দু নিয়মের ক্ষেত্রে এটি সাধারণত তার প্রায় এক-তৃতীয়াংশ হয়, কারণ প্রতিবার দ্বিগুণ করলে ত্রুটি চার ভাগে কমে।

তাত্ত্বিক ত্রুটি সীমা। যথেষ্ট মসৃণ ইন্টিগ্র্যান্ড g(x)-এর জন্য, যৌগিক মধ্যবিন্দু নিয়মের ত্রুটি এই শর্ত মানে:

এই সীমার জন্য ব্যবধান জুড়ে ইন্টিগ্র্যান্ডের দ্বিতীয় অন্তরজের সর্বোচ্চ মান প্রয়োজন, যা ঠিকভাবে বের করা প্রায়ই কঠিন। পরাবৃত্তের ইন্টিগ্র্যান্ড g(x) = √(1 + 4x²)-এর দ্বিতীয় অন্তরজ g''(x) = 4 / (1 + 4x²)^3/2, যার [0, 2]-এ সবচেয়ে বড় মান 4, x = 0-এ। তাই n = 4-এর জন্য সীমাটি (8 / (24 × 16)) × 4 = 0.0833333333 একক, আর আসল ত্রুটি 0.0200602751 একক নিরাপদে এর ভেতরে আছে। n = 8-এর জন্য সীমাটি 0.0208333333 একক। সীমাটি সৎ কিন্তু ঢিলেঢালা: এখানে এটি আসল ত্রুটিকে চার গুণ বেশি অনুমান করে, যা সাধারণ ঘটনা।

সীমাটি কখন প্রযোজ্য নয়। ত্রুটি সীমাটি ধরে নেয় ইন্টিগ্র্যান্ড মসৃণ, যার দ্বিতীয় অন্তরজ সীমাবদ্ধ। কোনো কোণ, লাফ বা অসীমতা আছে এমন ফাংশন এই ধারণা ভেঙে দেয়, আর সীমাটি হয় থাকে না, নয়তো অকাজের মতো বড় হয়। ক্যালকুলেটরটি যখন সীমা নিশ্চিত করতে পারে না, তখন বানিয়ে দেয় না। সেক্ষেত্রে এটি পরিমার্জন পার্থক্য দেখায় ও তার সীমাবদ্ধতা ব্যাখ্যা করে, আর সেটাই সৎ উত্তর।

মসৃণতা কেন গুরুত্বপূর্ণ। 1 / n² ত্রুটি আচরণ নির্ভর করে ইন্টিগ্র্যান্ড যথেষ্ট মসৃণ হওয়ার উপর, যাতে মধ্যবিন্দুর পূরণ কাজ করে। √(1 + 4x²)-এর মতো মসৃণ ইন্টিগ্র্যান্ড পরিষ্কারভাবে অভিসৃত হয়। তীক্ষ্ণ কোণ আছে এমন ইন্টিগ্র্যান্ড আরও ধীরে অভিসৃত হয়, আর অসীমতা আছে এমন ইন্টিগ্র্যান্ড খুব ধীরে অভিসৃত হতে পারে বা নাও হতে পারে। n দ্বিগুণ করলে উত্তর প্রায় না বদলালে, ফাংশনটি মসৃণ হতে পারে ও ইতিমধ্যে নির্ভুল হতে পারে। n দ্বিগুণ করলে উত্তর অনেক বদলালে, হয় ফাংশনটি রুক্ষ, নয়তো n এখনো খুব ছোট।

রিচার্ডসন বহির্পাতন একটি সহজ কৌশল, যা দুটি মধ্যবিন্দু আসন্ন মানকে একটি অনেক ভালো অনুমানে পরিণত করে। এটি মধ্যবিন্দু নিয়মের ত্রুটির জানা ধরন ব্যবহার করে প্রধান ত্রুটি পদটিকে বাতিল করে দেয়।

মসৃণ ইন্টিগ্র্যান্ডের জন্য, nটি উপ-ব্যবধানসহ মধ্যবিন্দু আসন্ন মানের ত্রুটি C / n²-এর মতো আচরণ করে, যেখানে C একটি ধ্রুবক যা ফাংশনের উপর নির্ভর করে, n-এর উপর নয়। উপ-ব্যবধান দ্বিগুণ করে 2n করলে ত্রুটি চার ভাগে কমে যায়। এ থেকে দুটি অজানা, আসল মান L ও ধ্রুবক C, নিয়ে দুটি সমীকরণ পাওয়া যায়:

L-এর জন্য সমাধান করলে C বাদ যায়, আর রিচার্ডসন বহির্পাতিত অনুমানটি থাকে:

কাজ করা উদাহরণ। [0, 2]-এ পরাবৃত্ত y = x²-এর জন্য, M₄ = 4.6267234873 একক ও M₈ = 4.6417306581 একক। রিচার্ডসন অনুমানটি হলো L_R = (4 × 4.6417306581 - 4.6267234873) / 3 = 4.6467330483 একক। আসল মান 4.6467837624 একক, তাই বহির্পাতিত ত্রুটি মাত্র 0.0000507141 একক, যা মূল M₄ ত্রুটি 0.0200602751 এককের চেয়ে অনেক ছোট। বহির্পাতনটি শুধু n = 4 ও n = 8 গণনা ব্যবহার করে অনেক বড় n-এর নির্ভুলতা এনে দিয়েছে।

সাইন বক্ররেখা দিয়ে কাজ করা উদাহরণ। [0, π]-এ y = sin(x)-এর জন্য, M₈ = 3.8201978627 একক ও M₁₆ = 3.8201977890 একক। রিচার্ডসন অনুমানটি হলো L_R = (4 × 3.8201977890 - 3.8201978627) / 3 = 3.8201977645 একক, যেখানে রেফারেন্স 3.8201977890 একক, ত্রুটি মাত্র 0.0000000245 একক।

ঘন ফাংশন দিয়ে কাজ করা উদাহরণ। [0, 1]-এ y = x³-এর জন্য, M₄ = 1.5330289642 একক ও M₈ = 1.5441590533 একক। রিচার্ডসন অনুমানটি হলো L_R = (4 × 1.5441590533 - 1.5330289642) / 3 = 1.5478690830 একক, যেখানে রেফারেন্স 1.5478656547 একক, ত্রুটি 0.0000034283 একক। মূল M₄ ত্রুটি ছিল 0.0148366905 একক, তাই বহির্পাতনটি সেটিকে প্রায় 4327.7 গুণ কমিয়েছে।

রিচার্ডসন বহির্পাতন যা নয়। বহির্পাতিত মান একটি পরিশোধিত অনুমান, মধ্যবিন্দু নিয়মের ফলাফল নয় এবং নিশ্চিত সঠিক উত্তরও নয়। এটি ধরে নেয় ত্রুটি সত্যিই C / n²-এর মতো আচরণ করে, যা মসৃণ ইন্টিগ্র্যান্ডের ক্ষেত্রে সত্য আর রুক্ষ ইন্টিগ্র্যান্ডের ক্ষেত্রে ভুল হতে পারে। ইন্টিগ্র্যান্ডে কোনো কোণ বা অসীমতা থাকলে বহির্পাতন মূল আসন্ন মানের চেয়েও খারাপ হতে পারে, তাই ক্যালকুলেটরটি সবসময় প্রথমে মূল মধ্যবিন্দু ফলাফলটি দেখায় ও বহির্পাতিত মানটি আলাদাভাবে চিহ্নিত করে। রিচার্ডসন বহির্পাতন রমবার্গ সমাকলনের পেছনের ধারণাও বটে, যা খুব বেশি নির্ভুলতায় পৌঁছাতে একই কৌশল বেশ কয়েক স্তরে পুনরাবৃত্তি করে।

কিছু বক্ররেখা y = f(x) আকারে লেখা যায় না। একটি বৃত্ত, যেমন, বেশিরভাগ x মানের জন্য দুটি y মান দেয়, তাই কোনো একটি ফাংশন সেটিকে বর্ণনা করতে পারে না। প্যারামেট্রিক বক্ররেখা এই সমস্যা সমাধান করে উভয় স্থানাঙ্ককে কোনো প্যারামিটার t-এর ফাংশন হিসেবে বর্ণনা করে: x = x(t) ও y = y(t)। t, t₁ থেকে t₂ পর্যন্ত চললে, বিন্দুটি (x(t), y(t)) বক্ররেখাটি আঁকে।

প্যারামেট্রিক বক্ররেখার জন্য, ছোট দৈর্ঘ্য উপাদানটি আসে উভয় স্থানাঙ্কের সরণ থেকে: ds = √(dx² + dy²)। dx = x'(t) dt ও dy = y'(t) dt লিখলে প্যারামেট্রিক চাপ-দৈর্ঘ্য সমাকলটি পাওয়া যায়:

বর্গমূলের নিচের রাশিটি হলো দ্রুতি v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²), অর্থাৎ t বদলানোর সাথে বিন্দুটি বক্ররেখা বরাবর কত দ্রুত চলে। মধ্যবিন্দু নিয়ম প্যারামিটার ব্যবধানে ঠিক সেভাবেই প্রযোজ্য হয় যেভাবে x ব্যবধানে হয়: [t₁, t₂]-কে nটি সমান অংশে ভাগ করুন, যার প্রস্থ Δt = (t₂ - t₁) / n, মধ্যবিন্দু প্যারামিটার t_i* = t₁ + (i + ½)Δt-এ দ্রুতির নমুনা নিন, আর অবদানগুলো যোগ করুন:

কাজ করা উদাহরণ: পাদ-বৃত্ত। [0, π/2]-এ x(t) = 5 cos(t) ও y(t) = 5 sin(t) নিন, n = 4 সহ। অন্তরজগুলো হলো x'(t) = -5 sin(t) ও y'(t) = 5 cos(t)। দ্রুতি হলো v(t) = √(25 sin²(t) + 25 cos²(t)) = √(25) = 5, একটি ধ্রুবক, কারণ sin²(t) + cos²(t) = 1। প্যারামিটার প্রস্থ হলো Δt = (π/2 - 0) / 4 = π/8 = 0.3926990817, আর মধ্যবিন্দু প্যারামিটারগুলো হলো π/16, 3π/16, 5π/16 ও 7π/16। প্রতিটি দ্রুতি মান 5, তাই প্রতিটি অবদান 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085, আর মোট 4 × 1.9634954085 = 7.8539816340 একক, যা ঠিক 5π/2। যেকোনো n-এর জন্য এখানে মধ্যবিন্দু নিয়ম সঠিক, কারণ দ্রুতি ধ্রুবক।

প্যারামেট্রিক রূপ কেন গুরুত্বপূর্ণ। অনেক বাস্তব বক্ররেখা স্বভাবতই প্যারামেট্রিক: বৃত্ত, উপবৃত্ত, সর্পিল, নকশা সফটওয়্যারের বেজিয়ার বক্ররেখা, এবং পদার্থবিদ্যা ও রোবোটিক্সে চলমান বস্তুর পথ। সুস্পষ্ট রূপ y = f(x) এমন বক্ররেখা বর্ণনা করতে পারে না যা নিজের উপর ফিরে আসে, কিন্তু প্যারামেট্রিক রূপ পারে। ক্যালকুলেটরটি উভয় রূপই একই মধ্যবিন্দু ইঞ্জিন, একই তালিকা ও একই অভিসৃতি বিশ্লেষণ দিয়ে সামলায়। প্যারামেট্রিক বক্ররেখা সম্পর্কে আরও জানতে প্যারামেট্রিক চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর দেখুন।

প্যারামিটার নিয়ে একটি সতর্কতা। প্যারামিটার t চাপের দৈর্ঘ্যের সমান নয়, যদি না দ্রুতি 1 হয়। t-তে সমান ধাপ বক্ররেখা বরাবর সমান ধাপ দেয় তখনই, যখন দ্রুতি ধ্রুবক থাকে। সাধারণ প্যারামেট্রিক বক্ররেখার ক্ষেত্রে মধ্যবিন্দু নিয়ম তবুও সঠিকভাবে কাজ করে, কারণ এটি দ্রুতির সমাকলন করে, কিন্তু আয়তক্ষেত্রগুলো t-তে সমান, বক্ররেখা বরাবর দূরত্বে সমান নয়। এতে কোনো সমস্যা নেই: সূত্রটি v(t)-এর মাধ্যমে সেটির হিসাব রাখে।

মধ্যবিন্দু নিয়ম কাজে লাগে যেখানেই কোনো সমাকলকে সাংখ্যিকভাবে অনুমান করতে হয়, আর চাপের দৈর্ঘ্য তার অনেক কাজের একটি মাত্র। এর সহজতা, দ্বিতীয়-ক্রমের নির্ভুলতা, আর প্রান্তবিন্দুর সমস্যা সহ্য করার ক্ষমতা এটিকে অনেক ক্ষেত্রে নির্ভরযোগ্য টুল বানিয়েছে।

সাংখ্যিক ক্যালকুলাস ও শিক্ষা। মধ্যবিন্দু নিয়ম প্রায়ই প্রথম সাংখ্যিক সমাকলন পদ্ধতি যা শিক্ষার্থীরা শেখে, কারণ আয়তক্ষেত্র আঁকা সহজ আর মধ্যবিন্দুর ধারণা বোঝা সহজ। এটি একসাথে রিমান সমষ্টি, অভিসৃতি ও ত্রুটি বিশ্লেষণ শেখায়। এই ক্যালকুলেটরের তালিকা ও চিত্র ঠিক সেই উদ্দেশ্যেই তৈরি: উত্তরের প্রতিটি সংখ্যা কোনো একটি আয়তক্ষেত্রের সাথে মেলানো যায়।

প্রকৌশল। প্রকৌশলীরা গাণিতিক মডেল থেকে বাঁকানো অংশ, তার, পাইপ ও রাস্তার বাঁকের দৈর্ঘ্য অনুমান করেন। বক্ররেখাটি বহুপদী বা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হলে, চাপ-দৈর্ঘ্য সমাকলের প্রায়ই কোনো বদ্ধ রূপ থাকে না, তাই সাংখ্যিক পদ্ধতিই একমাত্র উপায়। মধ্যবিন্দু নিয়ম একটি স্পষ্ট ত্রুটি অনুমানসহ দ্রুত উত্তর দেয়, আর n বাড়িয়ে নকশার প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা পর্যন্ত সেটিকে পরিশোধিত করা যায়।

পদার্থবিদ্যা। পদার্থবিদরা পথ বরাবর সমাকলন করে কাজ, ভ্রমণ করা দূরত্ব ও ক্ষেত্রের রাশি গণনা করেন। বাঁকানো পথে চলা কোনো কণা যে দূরত্ব অতিক্রম করে তা তার গতিপথের চাপের দৈর্ঘ্যের সমান, আর মধ্যবিন্দু নিয়ম বেগের তথ্য থেকে সেই দূরত্ব অনুমান করে। একই পদ্ধতি তাপগতিবিদ্যা, আলোকবিদ্যা ও কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় সমাকল অনুমান করে, যেখানেই বিশ্লেষণধর্মী প্রতিঅন্তরজ নাগালের বাইরে।

কম্পিউটার গ্রাফিক্স ও CAD। পর্দায় বক্ররেখা আঁকা হয় অনেক ছোট সরল অংশ দিয়ে, আর একটি বক্ররেখার মোট দৈর্ঘ্য অনুমান করা হয় সেই অংশগুলো যোগ করে, যা এক ধরনের সাংখ্যিক সমাকলন। ফন্টের রূপরেখা, অ্যানিমেশনের পথ ও CAD টুল পথ সবই নির্ভুল বক্ররেখা-দৈর্ঘ্য পরিমাপের উপর নির্ভর করে। মধ্যবিন্দু নিয়ম ছবি থেকে আন্দাজ না করে বক্ররেখার সমীকরণ থেকে সেই দৈর্ঘ্যগুলো মাপার নীতিসম্মত উপায় দেয়।

বক্ররেখা পরিমাপ ও রোবোটিক্স। একটি রোবট বাহু তার গ্রিপারকে বৃত্তাকার চাপ বরাবর সরাচ্ছে, একটি CNC মেশিন বাঁকানো কিনারা কাটছে, বা একজন জরিপকারী বাঁকানো সীমানা মাপছেন, সবাই এমন একটি বক্ররেখার দৈর্ঘ্য চান যা শুধু তার সমীকরণ বা নমুনা বিন্দুগুলোর মাধ্যমে জানা। মধ্যবিন্দু নিয়ম সেই নমুনাগুলোকে দৈর্ঘ্যে পরিণত করে, সাথে একটি ত্রুটি অনুমান দেয় যা বলে উত্তরটিকে কতটা বিশ্বাস করা যায়।

বৈজ্ঞানিক মডেলিং ও গণনামূলক জ্যামিতি। জীববিদ্যা, অর্থনীতি ও জলবায়ু বিজ্ঞানের মডেলগুলো এমন ফাংশনের সমাকলন করে যা শুধু বিচ্ছিন্ন বিন্দুগুলোতে জানা। মধ্যবিন্দু নিয়মই স্বাভাবিক পছন্দ যখন তথ্যগুলো ব্যবধানের কেন্দ্রে নেওয়া নমুনা হয়, যা সেন্সরের পাঠ ও অনুকরণের ফলাফলে সাধারণ। গণনামূলক জ্যামিতিতে এটি বাঁকানো আকৃতির পরিসীমা ও স্প্লাইন বক্ররেখার দৈর্ঘ্য মাপে।

কখন ব্যবহার করবেন না। ব্যবধানের ভেতরে ইন্টিগ্র্যান্ডে অসীমতা থাকলে, ফাংশনটি বিচ্ছিন্ন হলে, বা কম মূল্যায়নে খুব বেশি নির্ভুলতা চাইলে মধ্যবিন্দু নিয়ম খারাপ পছন্দ: সেখানে সিম্পসনের নিয়ম বা অভিযোজী পদ্ধতি ভালো করবে। সমাকলটিই যখন প্রশ্ন নয়, তখনো এটি ভুল টুল, যেমন যখন কোনো নামকরা বক্ররেখার বদ্ধ-রূপ চাপের দৈর্ঘ্য ইতিমধ্যে জানা। 5 ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের পাদ-বৃত্তের চাপ ঠিক 5π/2 = 7.8539816340 একক, আর কোনো সাংখ্যিক পদ্ধতি তার চেয়ে ভালো করতে পারে না।

বেশিরভাগ ভুল মধ্যবিন্দু উত্তরের উৎস অল্প কয়েকটি ভুলের একটি। প্রতিটি যাচাই করতে কয়েক সেকেন্ড লাগে, আর বেশিরভাগ ভুল এড়ানো যায়।

1. মধ্যবিন্দুর বদলে প্রান্তবিন্দু ব্যবহার করা। প্রতিটি উপ-ব্যবধানের বাম বা ডান কিনারায় নমুনা নিলে বাম বা ডান রিমান সমষ্টি গণনা হয়, মধ্যবিন্দু নিয়ম নয়। [0, 2]-এ পরাবৃত্ত y = x², n = 4 হলে, বাম সমষ্টি 3.75 একক ও ডান সমষ্টি 5.75 একক হয়, আর মধ্যবিন্দু নিয়ম দেয় 4.6267234873 একক। শুধু মধ্যবিন্দুর মানই মধ্যবিন্দু নিয়মের উত্তর।
2. ফাংশনটির অন্তরজ বের করতে ভুলে যাওয়া। ইন্টিগ্র্যান্ড হলো g(x) = √(1 + [f'(x)]²), √(1 + [f(x)]²) নয়। y = x²-এর ক্ষেত্রে, f'(x)-এর বদলে f(x) ব্যবহার করলে √(1 + x⁴)-এর সমাকল পাওয়া যায়, যা সম্পূর্ণ আলাদা সংখ্যা। সবসময় প্রথমে অন্তরজ বের করুন।
3. ভুল চাপ-দৈর্ঘ্য ইন্টিগ্র্যান্ড ব্যবহার করা। ইন্টিগ্র্যান্ডটি অবশ্যই √(1 + [f'(x)]²) হতে হবে। 1 বাদ দিলে, বর্গ ভুলে গেলে, বা ভুল রাশির বর্গমূল নিলে সবই ভুল উত্তর দেয়। 3 ঢালের সরলরেখার ক্ষেত্রে, ইন্টিগ্র্যান্ড হলো ধ্রুবক √(10) = 3.1622776602, 3 নয় এবং √(1 + 3) নয়।
4. ব্যবধানটি ভুলভাবে ভাগ করা। প্রস্থ হলো Δx = (b - a) / n, উপরে পুরো ব্যবধানের দৈর্ঘ্য। n + 1 দিয়ে ভাগ করলে, বা (b - a) / n-এর বদলে b / n ব্যবহার করলে প্রতিটি মধ্যবিন্দু সরে যায় ও উত্তর নষ্ট হয়। [0, 2], n = 4 হলে প্রস্থ 0.5, 0.4 নয় এবং 0.6666666667 নয়।
5. ভুল সংখ্যক মধ্যবিন্দু ব্যবহার করা। ঠিক nটি মধ্যবিন্দু থাকে, প্রতি উপ-ব্যবধানে একটি, n + 1 নয়। প্রান্তবিন্দুগুলো মধ্যবিন্দু নয়। n + 1টি নমুনা বিন্দু গুনলে বোঝা যায় একটি উপ-ব্যবধান দুবার গোনা হয়েছে বা ভুল করে কোনো প্রান্তবিন্দুর নমুনা নেওয়া হয়েছে।
6. মূল বক্ররেখাকে ইন্টিগ্র্যান্ড লেখচিত্রের সাথে গুলিয়ে ফেলা। মধ্যবিন্দু আয়তক্ষেত্রগুলো ইন্টিগ্র্যান্ড g(x)-এর নিচে বসে, মূল বক্ররেখা f(x)-এর নিচে নয়। সেগুলোকে f(x)-এর নিচে আঁকলে ও তাদের ক্ষেত্রফল যোগ করলে f(x)-এর নিচের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়, যা চাপের দৈর্ঘ্য নয়। দুটি লেখচিত্র আলাদা বক্ররেখা, আর সেগুলো আলাদাভাবে দেখাতে হবে।
7. মধ্যবর্তী মানগুলো গোল করা। যোগ করার আগে মধ্যবিন্দু, অন্তরজের মান বা ইন্টিগ্র্যান্ড মানগুলো গোল করলে ছোট ত্রুটি আসে যা অনেক আয়তক্ষেত্র জুড়ে জমা হয়। পুরো গণনায় পূর্ণ নির্ভুলতা ধরে রাখুন, আর শুধু চূড়ান্ত দেখানো ফলাফলটিকে গোল করুন। ক্যালকুলেটরটি নিজে থেকেই এটি করে।
8. প্রতিটি আসন্ন মানকে সঠিক ভাবা। মধ্যবিন্দু নিয়ম একটি আসন্ন মান দেয়, আসল মান নয়, সরলরেখা ও ধ্রুবক-দ্রুতির প্যারামেট্রিক বক্ররেখার মতো বিশেষ ক্ষেত্র ছাড়া। পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, L₄ = 4.6267234873 একক আসল 4.6467837624 এককের কাছাকাছি, কিন্তু সমান নয়। ফলাফলটি সবসময় আসন্ন মান হিসেবে জানান, সাথে ত্রুটির অনুমান দিন।
9. আনুমানিক ত্রুটিকে নিশ্চিত ত্রুটি সীমার সাথে গুলিয়ে ফেলা। পরিমার্জন পার্থক্য |M_2n - M_n| হলো উত্তর কতটা সরছে তার নির্দেশক, এটি নিশ্চয়তা নয় যে আসল ত্রুটি ওই পার্থক্যের চেয়ে ছোট। তাত্ত্বিক সীমা ((b - a)³ / (24n²)) × max|g''(x)| একটি নিশ্চয়তা, কিন্তু তখনই যখন দ্বিতীয় অন্তরজের সর্বোচ্চ মান জানা থাকে ও ইন্টিগ্র্যান্ড মসৃণ হয়।
10. ফাংশনের ডোমেনের সীমাবদ্ধতা উপেক্ষা করা। √(x)-এর মতো ফাংশন ঋণাত্মক x-এর জন্য অসংজ্ঞায়িত, আর ln(x) x ≤ 0-এর জন্য অসংজ্ঞায়িত। কোনো মধ্যবিন্দু ডোমেনের বাইরে পড়লে ইন্টিগ্র্যান্ডের মান থাকে না, আর আসন্ন মানটি অর্থহীন হয়। সেক্ষেত্রে ক্যালকুলেটরটি মান বানিয়ে না দিয়ে ত্রুটি জানায়।
11. ভুল প্যারামেট্রিক অন্তরজ ব্যবহার করা। প্যারামেট্রিক বক্ররেখার জন্য x'(t) ও y'(t) দুটি অন্তরজই প্রয়োজন, আর দ্রুতি হলো √([x'(t)]² + [y'(t)]²)। শুধু একটিকে ব্যবহার করলে, বা ভুল চলকের সাপেক্ষে অন্তরজ নিলে দ্রুতি ভুল হয় ও দৈর্ঘ্য ভুল হয়। পাদ-বৃত্তের ক্ষেত্রে, x'(t) = -5 sin(t) ও y'(t) = 5 cos(t), আর ধ্রুবক দ্রুতি 5 পেতে দুটিই প্রয়োজন।
12. মসৃণ নয় এমন বা অসীমতা আছে এমন ফাংশনকে এমনভাবে ধরা যেন মানক ত্রুটি ধারণাগুলো নিজে থেকেই প্রযোজ্য হয়। 1 / n² ত্রুটি আচরণ ও তাত্ত্বিক সীমা মসৃণ ইন্টিগ্র্যান্ড ধরে নেয়। ব্যবধানের ভেতরে কোণ, লাফ বা অসীমতা আছে এমন ফাংশন অনেক ধীরে অভিসৃত হতে পারে, আর রিচার্ডসন বহির্পাতন ব্যর্থ হতে পারে। অভিসৃতি তালিকাটি দেখুন: n দ্বিগুণ করলে পরিবর্তন প্রায় চার ভাগে না কমলে, ওই ফাংশনের ক্ষেত্রে মানক ধারণাগুলো প্রযোজ্য নয়।

একটি শেষ যাচাই যা বেশিরভাগ ভুল ধরে ফেলে। ফলাফলটি জ্যার দৈর্ঘ্য ও রেফারেন্স মানের সাথে মেলান। আসন্ন মানটি জ্যার সমান বা তার চেয়ে বড় হতে হবে, n বাড়ার সাথে এটি রেফারেন্সের দিকে এগোতে হবে, তালিকার সারিগুলোর যোগফল মূল ফলাফলের সমান হতে হবে, আর সরলরেখা বা ধ্রুবক-দ্রুতির বক্ররেখার ক্ষেত্রে এটি সঠিক মানের সমান হতে হবে। এই যাচাইগুলোর কোনোটি ব্যর্থ হলে, উপরের বারোটি ভুলের কোনো একটি এর কারণ।

এই ছয়টি উদাহরণ ক্যালকুলেটরের প্রধান ধরন ও ফাংশনের প্রকারগুলো জুড়ে দেয়। প্রতিটি একই মধ্যবিন্দু ইঞ্জিন দিয়ে গণনা করা হয়েছে যা টুলটিকে চালায়, আর প্রতিটি ফলাফল উচ্চ-নির্ভুলতার অভিযোজী সিম্পসন রেফারেন্সের সাথে স্বাধীনভাবে যাচাই করা হয়েছে।

উদাহরণ 1: পরাবৃত্ত, [0, 2]-এ y = x², n = 4। অন্তরজ f'(x) = 2x, প্রস্থ Δx = 0.5, আর মধ্যবিন্দুগুলো 0.25, 0.75, 1.25 ও 1.75। ইন্টিগ্র্যান্ড মানগুলো 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 ও 3.6400549446, তাদের যোগফল 9.2534469747, আর L₄ = 0.5 × 9.2534469747 = 4.6267234873 একক। রেফারেন্স 4.6467837624 একক, তাই পরম ত্রুটি 0.0200602751 একক ও আপেক্ষিক ত্রুটি 0.4317%। n = 8-এ দ্বিগুণ করলে 4.6417306581 একক হয়, আর দুটি থেকে রিচার্ডসন অনুমান 4.6467330483 একক হয়।

উদাহরণ 2: সরলরেখা, [0, 4]-এ y = 3x + 1, n = 4। অন্তরজ f'(x) = 3, তাই ইন্টিগ্র্যান্ড হলো ধ্রুবক g(x) = √(10) = 3.1622776602। প্রস্থ Δx = 1, মধ্যবিন্দুগুলো 0.5, 1.5, 2.5 ও 3.5, আর প্রতিটি ইন্টিগ্র্যান্ড মান 3.1622776602। যোগফল 4 × 3.1622776602 = 12.6491106407, আর L₄ = 1 × 12.6491106407 = 12.6491106407 একক, যা ঠিক 4√(10)। যেকোনো n-এর জন্য এখানে মধ্যবিন্দু নিয়ম সঠিক, কারণ ইন্টিগ্র্যান্ড ধ্রুবক আর প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা সঠিক।

উদাহরণ 3: অনুভূমিক রেখা, [1, 5]-এ y = 2, n = 4। অন্তরজ f'(x) = 0, তাই ইন্টিগ্র্যান্ড হলো ধ্রুবক g(x) = √(1 + 0) = 1। প্রস্থ Δx = 1, মধ্যবিন্দুগুলো 1.5, 2.5, 3.5 ও 4.5, আর প্রতিটি অবদান 1 × 1 = 1। মোট L₄ = 4.0000000000 একক, যা ঠিক অনুভূমিক দূরত্ব 5 - 1 = 4। অনুভূমিক রেখায় কোনো উল্লম্ব পরিবর্তন নেই, তাই এর চাপের দৈর্ঘ্য কেবল ব্যবধানের দৈর্ঘ্য।

উদাহরণ 4: প্যারামেট্রিক পাদ-বৃত্ত, [0, π/2]-এ x(t) = 5 cos(t), y(t) = 5 sin(t), n = 4। অন্তরজগুলো হলো x'(t) = -5 sin(t) ও y'(t) = 5 cos(t), আর দ্রুতি হলো ধ্রুবক v(t) = 5। প্যারামিটার প্রস্থ Δt = π/8 = 0.3926990817, মধ্যবিন্দু প্যারামিটারগুলো π/16, 3π/16, 5π/16 ও 7π/16, আর প্রতিটি অবদান 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085। মোট L₄ = 7.8539816340 একক, ঠিক 5π/2। পুরো বৃত্তটি হবে 10π = 31.4159265359 একক, আর অর্ধবৃত্তটি হবে 5π = 15.7079632679 একক।

উদাহরণ 5: ঘন ফাংশন, [0, 1]-এ y = x³, n = 4। অন্তরজ f'(x) = 3x², প্রস্থ Δx = 0.25, আর মধ্যবিন্দুগুলো 0.125, 0.375, 0.625 ও 0.875। ইন্টিগ্র্যান্ড মানগুলো 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 ও 2.5051217067, তাদের যোগফল 6.1321158566, আর L₄ = 0.25 × 6.1321158566 = 1.5330289642 একক। রেফারেন্স 1.5478656547 একক, তাই পরম ত্রুটি 0.0148366905 একক ও আপেক্ষিক ত্রুটি 0.9585%। n = 8-এ দ্বিগুণ করলে 1.5441590533 একক হয়, আর রিচার্ডসন অনুমান 1.5478690830 একক হয়।

উদাহরণ 6: ত্রিকোণমিতিক, [0, π]-এ y = sin(x), n = 8। অন্তরজ f'(x) = cos(x), প্রস্থ Δx = π/8 = 0.3926990817, আর আটটি মধ্যবিন্দু হলো π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 ও 15π/16। ইন্টিগ্র্যান্ড মানগুলো 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 ও 1.4006926023। তাদের যোগফল 9.7280539749, আর L₈ = 0.3926990817 × 9.7280539749 = 3.8201978627 একক। রেফারেন্স 3.8201977890 একক, তাই পরম ত্রুটি মাত্র 0.0000000736 একক, আপেক্ষিক ত্রুটি 0.00000193%। এই সমাকলের কোনো প্রাথমিক প্রতিঅন্তরজ নেই, তাই মধ্যবিন্দু নিয়ম ও রেফারেন্সই উত্তর পাওয়ার ব্যবহারিক উপায়।

ক্যালকুলেটরে যেকোনো পূর্বনির্ধারিত বোতামে ক্লিক করে এই উদাহরণগুলোর একটি লোড করুন, আর সেই ইনপুটের সম্পূর্ণ ধাপে ধাপে সমাধান, সরাসরি চিত্র, গণনার তালিকা ও অভিসৃতি তুলনা দেখুন।

মধ্যবিন্দু নিয়মে চাপের দৈর্ঘ্য সেখানেই দেখা যায় যেখানে ফিতা দিয়ে মাপার বদলে কোনো সূত্র থেকে বাঁকানো দূরত্ব মাপতে হয়। একই গণনা শিক্ষার্থী, প্রকৌশলী ও নকশাকার সবার কাজে লাগে।

রাস্তা, ট্র্যাক ও তার। একটি বাঁকানো রাস্তা, দৌড়ের ট্র্যাকের বাঁক, বা দুটি খুঁটির মধ্যে ঝুলন্ত তার, সবগুলোর দৈর্ঘ্যই কোনো বক্ররেখা অনুসরণ করে। বক্ররেখাটি কোনো ফাংশন দিয়ে মডেল করা হলে, মধ্যবিন্দু নিয়ম সেই মডেল থেকে এর দৈর্ঘ্য অনুমান করে, আর ত্রুটির অনুমান বলে উত্তরটিকে কতটা বিশ্বাস করা যায়। y = x² দিয়ে মডেল করা [0, 2]-এর একটি তারের জন্য 4.6467837624 একক তার প্রয়োজন, সরলরেখার ফাঁকের 4.4721359550 একক নয়।

উৎপাদন ও শিট মেটাল। একটি বাঁকানো প্যানেল, বাঁকানো পাইপ বা গুটানো কিনারা সমতল উপাদান দিয়ে শুরু হয়, যার দৈর্ঘ্য জানা। মধ্যবিন্দু নিয়ম বাঁকানো নকশাকে কাটার জন্য সমতল দৈর্ঘ্যে পরিণত করে, আর অভিসৃতি তালিকা কারখানার প্রয়োজনীয় নির্ভুলতায় দৈর্ঘ্যটি নিশ্চিত করে। 5 ব্যাসার্ধের পাদ-বৃত্ত বাঁকের জন্য বক্ররেখা বরাবর 7.8539816340 একক উপাদান প্রয়োজন।

স্থাপত্য। খিলান, গম্বুজ ও বাঁকানো সিঁড়ির মাপ তাদের চাপ দিয়ে দেওয়া হয়। 5 ব্যাসার্ধের অর্ধবৃত্তাকার খিলানের জন্য বক্ররেখা বরাবর 5π = 15.7079632679 একক ট্রিম প্রয়োজন। পরাবৃত্ত বা সাইন বক্ররেখা দিয়ে মডেল করা বৃত্তাকার নয় এমন খিলানের জন্য, মধ্যবিন্দু নিয়ম নকশার সমীকরণ থেকেই ট্রিমের দৈর্ঘ্য দেয়।

পদার্থবিদ্যা ও গতি। কোনো কণা বাঁকানো পথে যে দূরত্ব ভ্রমণ করে তা তার গতিপথের চাপের দৈর্ঘ্য। একটি দোলকের বব, একটি প্রক্ষেপ্য, বা উপবৃত্তাকার কক্ষপথে একটি উপগ্রহ, সবাই এমন বক্ররেখা বরাবর চলে যাদের দৈর্ঘ্য শক্তি, সময় ও জ্বালানির গণনায় গুরুত্বপূর্ণ। মধ্যবিন্দু নিয়ম গতির সমীকরণ থেকে সেই দূরত্বগুলো অনুমান করে।

কম্পিউটার গ্রাফিক্স, অ্যানিমেশন ও গেম। বাঁকানো পথে চলা বস্তু, ক্যামেরার নড়াচড়া ও অ্যানিমেটেড চরিত্ররা সবাই স্প্লাইন ও প্যারামেট্রিক বক্ররেখা অনুসরণ করে। পথ বরাবর দূরত্ব গতি, সময় ও ফ্রেমের ব্যবধান ঠিক করে। মধ্যবিন্দু নিয়ম বক্ররেখার সমীকরণ থেকে সেই পথের দৈর্ঘ্য মাপে, আর প্যারামেট্রিক ধরন নিজের উপর ফিরে আসা বক্ররেখাও সামলায়।

চিকিৎসা ও জীববিদ্যা। রক্তনালি, মেরুদণ্ড ও অঙ্গের বাঁকানো তল স্ক্যান ও মডেল থেকে মাপা হয়। কোনো নালির কেন্দ্ররেখা বরাবর চাপের দৈর্ঘ্য স্টেন্ট ও ক্যাথেটার পরিকল্পনায় সাহায্য করে, আর মধ্যবিন্দু নিয়ম মডেল করা কেন্দ্ররেখাকে ত্রুটি অনুমানসহ দৈর্ঘ্যে পরিণত করে।

এই সাইটের সম্পর্কিত ক্যালকুলেটর। নামকরা বক্ররেখার সঠিক চাপের দৈর্ঘ্যের জন্য পরাবৃত্ত চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর, উপবৃত্ত চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর, অর্ধবৃত্ত চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর, বৃত্ত চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর ও সেক্টর চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর চেষ্টা করুন। ধাপে ধাপে সঠিক সমাকলনের জন্য ধাপসহ চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর, প্যারামেট্রিক চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর, পোলার চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর ও 3D চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর চেষ্টা করুন। অন্য সাংখ্যিক পদ্ধতির জন্য ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম ক্যালকুলেটর ও সিম্পসনের নিয়ম ক্যালকুলেটর চেষ্টা করুন।

এই তালিকাগুলো দুটি প্রধান কাজ করা উদাহরণের অভিসৃতি আচরণ এক জায়গায় সংগ্রহ করে, যাতে দেখতে পান মধ্যবিন্দু নিয়ম কত দ্রুত স্থির হয় ও রিচার্ডসন বহির্পাতন উত্তরকে কীভাবে উন্নত করে। সব মান মধ্যবিন্দু ইঞ্জিন দিয়ে গণনা করা হয়েছে, আর রেফারেন্স অভিযোজী সিম্পসন সমাকলন থেকে নেওয়া।

পরাবৃত্ত y = x², [0, 2], রেফারেন্স 4.6467837624 একক।

সাইন বক্ররেখা y = sin(x), [0, π], রেফারেন্স 3.8201977890 একক।

তালিকাগুলো কীভাবে পড়বেন। পরাবৃত্তের ত্রুটি প্রতিবার দ্বিগুণ করলে প্রায় চার গুণ কমে, n = 4-এ 0.0200602751 থেকে n = 8-এ 0.0050531044, তারপর n = 16-এ 0.0012632302, যা প্রত্যাশিত 1 / n² আচরণ। সাইন বক্ররেখা আরও দ্রুত অভিসৃত হয়, কারণ এর ইন্টিগ্র্যান্ড ব্যবধানের মাঝখানের কাছে প্রায় সমতল: n = 8-এ ত্রুটি ইতিমধ্যে 0.0000000736 একক, আর n = 16-এ আসন্ন মান রেফারেন্সের সাথে দশটি দেখানো দশমিক স্থান পর্যন্ত মিলে যায়। রিচার্ডসন সারিগুলো এক ধাপে একই ধারণা দেখায়: দুটি আসন্ন মান মিলিয়ে যেকোনো একটির চেয়ে ভালো হয়, পরাবৃত্তের জন্য 0.0000507141 একক ও সাইন বক্ররেখার জন্য 0.0000000245 একক ত্রুটিসহ। এই তালিকাগুলো মানদণ্ড হিসেবে ব্যবহার করুন: এই উদাহরণগুলোর কোনোটির জন্য আপনার নিজের গণনা তালিকার সাথে না মিললে, উত্তরে আস্থা রাখার আগে অন্তরজ, মধ্যবিন্দু ও ইন্টিগ্র্যান্ড যাচাই করুন।